高考数学6.7数学归纳法知识研习课件理(通用版)
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高考数学 第六章第七节数学归纳法课件 理 新人教A版
[精析考题] [例1] 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n －1)(n∈N*)．
[自主解答] 当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式 成立；假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k ＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立． 综上可知原等式对于任意正整数n都成立．
答案：2k
5．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3) 条时，第一步检验第一个值n0＝________.
解析：第一步检验的第一个值n0应为3. 答案： 3
数学归纳法的应用 (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证
明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不 可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第 二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的 关键是“一凑假设，二凑结论”． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
(2)由(1)得bn＝(14)n 由bn＝aann＋ －12＝(14)n得an＝14＋n－2·14n得 an＋1＝14＋n－2·14n＋1＝43n－·4n1. ∴an＋3 1＝1－41n. ∴C1·C2·…·Cn＝(1－14)·(1－412)·…·(1－41n)． 下面用数学归纳法证明不等式：
高考数学(理科)一轮复习课件：第五章 第7讲 数学归纳法
要证当 n＝k＋1 时结论成立， 只需证22kk＋＋31≥ k＋2， 即证2k＋2 3≥ k＋1k＋2， 由基本不等式可得 2k＋2 3＝k＋1＋2 k＋2≥ k＋1k＋2成立， 故22kk＋＋31≥ k＋2成立.所以当 n＝k＋1 时，结论成立. 由①②可知，对任意的 n∈N*， 不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立.
的图象上，
故由所给出的两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直线 PQn 的 斜率一定存在.
故有直线 PQn 的直线方程为 y－5＝fxxnn－－45(x－4)，
令
y
＝
0
，
得
－
5
＝
x2n－2xn－8 xn－4
(x
－
4)
⇔
－5 xn＋2
＝
x
－
4
⇔
x
＝
4xxnn＋＋23.
所以 xn＋1＝4xxnn＋＋23.
证明：(1)当 n＝1 时， 左边＝2×1×12×1＋2＝18， 右边＝4×11＋1＝18， 左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1，
则当 n＝k＋1 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋ 1
x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时命题成立. 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立.
考点 4 用数学归纳法证明几何问题 例 4：平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三 条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2)个区域. 思路点拨：用数学归纳法证明几何问题的关键是注意从n ＝k 到n＝k＋1 时图形的变化情况，为了发现这一变化规律往往 从特殊情况入手，如 n＝1,2,3，…时，图形的变化规律，从而 推出从n＝k 到n＝k＋1 时图形的变化情况.有时也可以用f(k＋1) －f(k)来探讨变化情况.
高考数学 6.7数学归纳法配套课件 理 新人教A版
1 4 n
4
1 4
n
2
对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时，由以上可知等式成立;
(2)假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-
k2)=
1 4
k
4
1 4
k ,
2
则当n=k+1时，［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2 -k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2 -k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
【例2】由下列不等式： 1
1 1 2 1 3 1 15 2, ,
1 2
,1
1 2
1 3
1,1
1 2
1 3
1 7
3 2
,
你能得到一个怎样的一般不等式？并加
以证明. 【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明， 证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，
并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用
假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.
【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式 (n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？ 若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存 在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.
4
1 4
n
2
对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时，由以上可知等式成立;
(2)假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-
k2)=
1 4
k
4
1 4
k ,
2
则当n=k+1时，［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2 -k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2 -k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
【例2】由下列不等式： 1
1 1 2 1 3 1 15 2, ,
1 2
,1
1 2
1 3
1,1
1 2
1 3
1 7
3 2
,
你能得到一个怎样的一般不等式？并加
以证明. 【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明， 证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，
并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用
假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.
【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式 (n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？ 若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存 在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.
高考数学一轮复习 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教版
数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[基础自测自评] 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证 ( A．n＝1 B．n＝2 )
C．n＝3
C
D．n＝4
1 1 2． (教材习题改编)已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 1－ ＋ － 2 3 1 1 1 1 1 ＋…－ ＝2 ＋ ＋…＋ 时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 4 n n＋2 n＋4 2n 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 B [因为n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等式 成立．]
1 1 1 1 3．已知 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ 2，则 n n＋1 n＋2 n ( 1 1 A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3 1 1 1 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 C．f(n)中共有 n －n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
(广东专用)高考数学总复习 第六章第七节 数学归纳法及其应用课件 理
第七节 数学归纳法及其应用
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一个值n0(n0∈N*) (1)(归纳奠基)证明当n取_____________________ 时命题成立； (2)( 归纳递推 ) 假 设 n ＝ k(k≥n0 ， k∈N*) 时 命 题 成 立， 证 明 当
递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递
推．两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成
立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
1 1． (教材改编题)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n 2 －2)条时，第一步检验 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0
当 n＝ k＋ 1 时，左边 k＋ 12 12 22 k2 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ 1· 3 3· 5 2k－ 12k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3 k k＋ 1 k＋ 12 ＝ ＋ 2 2k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3 k k＋ 12k＋ 3＋ 2k＋ 12 ＝ 2 2k＋ 12k＋ 3 k＋ 12k2＋ 5k＋ 2 ＝ 2 2k＋ 12k＋ 3 k＋ 1k＋ 2 ＝ ， 2 2k＋ 3 所以当 n＝ k＋ 1 时，命题成立． 由 ①②可得对任意 n∈N*，等式成立．
【答案】 C
1 1 1 1 4．(2012· 揭阳模拟3 4 3n－1 f(n＋1)－f(n)＝________.
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝ 1＋ ＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 4 3n－ 1 1 1 1 1 1 1 ∴ f(n＋ 1)＝ 1＋ ＋ ＋ „＋ ＋ ＋ ＋ .∴ f(n＋ 1) 2 3 3n－ 1 3n 3n＋ 1 3n＋ 2 1 1 1 － f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋ 1 3n＋ 2
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一个值n0(n0∈N*) (1)(归纳奠基)证明当n取_____________________ 时命题成立； (2)( 归纳递推 ) 假 设 n ＝ k(k≥n0 ， k∈N*) 时 命 题 成 立， 证 明 当
递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递
推．两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成
立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
1 1． (教材改编题)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n 2 －2)条时，第一步检验 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0
当 n＝ k＋ 1 时，左边 k＋ 12 12 22 k2 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ 1· 3 3· 5 2k－ 12k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3 k k＋ 1 k＋ 12 ＝ ＋ 2 2k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3 k k＋ 12k＋ 3＋ 2k＋ 12 ＝ 2 2k＋ 12k＋ 3 k＋ 12k2＋ 5k＋ 2 ＝ 2 2k＋ 12k＋ 3 k＋ 1k＋ 2 ＝ ， 2 2k＋ 3 所以当 n＝ k＋ 1 时，命题成立． 由 ①②可得对任意 n∈N*，等式成立．
【答案】 C
1 1 1 1 4．(2012· 揭阳模拟3 4 3n－1 f(n＋1)－f(n)＝________.
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝ 1＋ ＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 4 3n－ 1 1 1 1 1 1 1 ∴ f(n＋ 1)＝ 1＋ ＋ ＋ „＋ ＋ ＋ ＋ .∴ f(n＋ 1) 2 3 3n－ 1 3n 3n＋ 1 3n＋ 2 1 1 1 － f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋ 1 3n＋ 2
【全套解析】高三数学一轮复习 6-7 数学归纳法课件 (理) 新人教A版
D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确 解析：首先要注意n为奇数，其次还要使“n＝k”能取到1，故选 B. 答案：B
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人教A 版 · 数学 （理）
热点之二
用数学归纳法证明有关问题
用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性 问题和几何问题等，应用数学归纳法要注意其基本步骤.
1 1 解析：f(n)表示n项的和，则f(n＋1)＝ ＋ n＋1＋1 n＋1＋2 1 1 ＋…＋ ＋ . n＋1＋n n＋1＋n＋1 ∴f(n＋1)－f(n) 1 1 1 ＝ ＋ － 2n＋1 2n＋2 n＋1 1 1 ＝ － . 2n＋1 2n＋2
答案：D
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第七节
数学归纳法
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1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证 明问题的基本步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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人教A 版 · 数学 （理）
1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫归纳法．根
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人教A 版 · 数学 （理）
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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人教A 版 · 数学 （理）
即时训练用数学归纳法证明： n 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋…＋ n≤ ＋n(n∈N*)． 2 2 3 2 2 1 1 证明：(1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式＝ ＋1， 2 2
1 1 1 4．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋…＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增 加的项数是________．
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热点之二
用数学归纳法证明有关问题
用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性 问题和几何问题等，应用数学归纳法要注意其基本步骤.
1 1 解析：f(n)表示n项的和，则f(n＋1)＝ ＋ n＋1＋1 n＋1＋2 1 1 ＋…＋ ＋ . n＋1＋n n＋1＋n＋1 ∴f(n＋1)－f(n) 1 1 1 ＝ ＋ － 2n＋1 2n＋2 n＋1 1 1 ＝ － . 2n＋1 2n＋2
答案：D
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第七节
数学归纳法
高三总复习
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1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证 明问题的基本步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫归纳法．根
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＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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即时训练用数学归纳法证明： n 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋…＋ n≤ ＋n(n∈N*)． 2 2 3 2 2 1 1 证明：(1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式＝ ＋1， 2 2
1 1 1 4．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋…＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增 加的项数是________．
高中数学《数学归纳法》课件
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
高考数学一轮总复习第6章6.7数学归纳法课件理171.ppt
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( × ) 2．所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法 证明．( × )
3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不 用．( × )
2.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现 数学归纳法证题的形式.
板块三 启智培优·破译高考
规范答题系列 5——怎样解决数学归纳法中的“归纳— 猜想—证明”问题
[2014·广东高考]设数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn ＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且 S3＝15.
4．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项．( × )
二、小题快练
1．[课本改编]在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角
线为12n(n－3)条时，第一步检验 n 等于(
)
A．1 B．2 C．3 D．0
解析 凸 n 边形的边最少有三条，故第一个值 n0 取 3.
核心规律
数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正 整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤 缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用， 当 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二 步的关键是“一凑假设，二凑结论”．
满分策略
1.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从 k 到 k ＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
②假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 2× 1 4＋4× 1 6＋6× 1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋ k 1，
高考数学 6.7 数学归纳法知识研习课件 理(通用版)
(a≠0)，在验证 n＝1 时，等式左端计算所得的项是( )
A．1 C．1＋a＋a2
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
解析：n＝1，左边为1＋a＋a2. 答案：C
立体设计·走进新课堂
第六章 不等式、推理与证明
3．设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n(n∈N*)，那么
f(n＋1)－f(n)等于( )
立体设计·走进新课堂
第六章 不等式、推理与证明
因为an≥0恒成立，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0， 所以ak＋2－ak＋1＞0，即ak＋1＜ak＋2， 所以命题对n＝k＋1时也成立． 综上①②可知，原命题成立．
立体设计·走进新课堂
第六章 不等式、推理与证明
【即时巩固 2】 数列{an}中，a1＝52，an＋1＝2aan－n2 1 (n∈N*)，用数学归纳法证明：an＞2(n∈N*)．
.
1
第六章 不等式、推理与证明
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步 骤进行：
(1)(归纳奠基) 证明当n取第一个值n0时命题成立 ； (2)(归纳递推) 假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n＝k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．上述证明方法叫做 数学归纳法 ．
第六章 不等式、推理与证明
考点三 证明整除问题 【案例3】 用数学归纳法证明：f(n)＝3·52n＋1＋23n＋ 1(n∈N*)能被17整除． 关键提示：用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋ 1时常使用拼凑法． 证明：(1)当n＝1时， f(1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f(1)能被17整除，命题成立．
第六章 不等式、推理与证明
高考数学 6-7数学归纳法课件 理 新人教B版
1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时， 从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是( A． 2k＋ 2 C． 2k＋ 1 B．2k＋3 D．(2k＋2)＋(2k＋3) )
解析：当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加， 即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋
1 答案：an＝ 2n－12n＋1
5．(2013年徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn 能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需 证n＝________时，命题亦真． 解析：∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k
＋1时成立．
即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)． 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．
下面用数学归纳法予以证明： ①当 n＝1 时，命题显然成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即有 ak＝k(k＋1)，则当 n＝k＋1 时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)， 得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，
－
)
B．k 项 D．2k 项
1 1 1 1 1 1 解析：1＋ ＋ ＋…＋ k＋1 －1＋2＋3＋…＋ k 2 3 2 －1 2 －1
1 1 1 ＝ k＋ k ＋…＋ k＋1 ，共增加了 2k 项，故选 D. 2 2 ＋1 2 －1
答案：D
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可 推得当 n＝ k＋ 1时该命题也成立，现已知 n ＝ 5 时，该命题不成立，那
(1)写出a1，a2，a3；
高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 f n 1 1 1
1 则f(1)为( n N ， 2 3 5n 1 1 A 1 B 4 1 1 1 1 C 1 D 1 4 2 3 4 【解析】选D. f 1 1 1 1 1 . 2 3 4
(3n 2＋ ＋ 11n 10)
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即 122＋232＋＋k k＋ 2 ＝ k k 1 3k 2＋ ＋ ， 1 11k 10
12
则当n＝k+1时，
2k 1 2k 2 k 1
=(k+1)(k+2)„(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
3
a4，猜想an的表达式，其结果是. 【解析】由 a1＝1 且Sn=n(2n-1)an得， 2＝ 1 ，a 3＝ 1 ，a 4＝ 1 ， a
)
3．用数学归纳法证明：＋ 1 1＋ ＋ 1
2 3
1 n (n∈N+且n>1) n 2 1
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1
高考数学一轮复习 6.7 数学归纳法课件 理 新人教A版
第十页，共49页。
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P147)
第十一页，共49页。
考点 1 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于
“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时等式的两边 变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．
第四页，共49页。
基础
知识回顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书 P146)
第五页，共49页。
1.数学归纳法的适用对象
数学归纳法是用来证明关于与 正整数n
有关命题
的一种方法，若 n0 是起始值，则 n0 是 使命题成立的最小正整数 .
第六页，共49页。
2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： ①当 n＝n0(n0∈N*)时，验证命题成立； ②假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，推证 n＝ k＋1 时命题也成立，从而推出命题对所有的 从n0开始的正整数n 命题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺 一不可.
第十四页，共49页。
＝(k＋1)fk＋1－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n ∈N*)．
第十五页，共49页。
用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值 n0 的取值并 验证 n＝n0 时命题的真假(必不可少)．“假设 n＝k(k∈N*且 k≥n0) 时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1 时”命题是什么， 并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明 确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、 因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递 推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P147)
第十一页，共49页。
考点 1 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于
“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时等式的两边 变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．
第四页，共49页。
基础
知识回顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书 P146)
第五页，共49页。
1.数学归纳法的适用对象
数学归纳法是用来证明关于与 正整数n
有关命题
的一种方法，若 n0 是起始值，则 n0 是 使命题成立的最小正整数 .
第六页，共49页。
2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： ①当 n＝n0(n0∈N*)时，验证命题成立； ②假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，推证 n＝ k＋1 时命题也成立，从而推出命题对所有的 从n0开始的正整数n 命题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺 一不可.
第十四页，共49页。
＝(k＋1)fk＋1－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n ∈N*)．
第十五页，共49页。
用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值 n0 的取值并 验证 n＝n0 时命题的真假(必不可少)．“假设 n＝k(k∈N*且 k≥n0) 时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1 时”命题是什么， 并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明 确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、 因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递 推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
高考数学复习课件 第6章 第7节 数学归纳法
答案：2(2k＋1)
1 1 1 1 1 1 (2)用数学归纳法证明 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ 2 3 4 2n－1 2n n＋1 1 1 ＋ ＋…＋ ，第一步验证的等式中左边是______，右边是 2n n＋2 ________．
D．P(n)对所有自然数n都成立
4 2 n ＋ n (2)用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝ 2 ， 则当 n＝k
＋1 时左端应在 n＝k 的基础上加上 A．k2＋1 B．(k＋1)2 k＋14＋k＋12 C. 2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
题号 (1)
解析：注意到左边共有 2n 项，则从 k 到 k＋1 时，左边所 1 1 1 1 要添加的项是 － ＝ － ，故选 C. 2k＋1－1 2k＋1 2k＋1 2k＋2
答案：C
1 1 1 4．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋ n ＜2(n∈N，且 n 2 －1 ＞1)时，第一步要证的不等式是________．
2 2 2 2k＋1个
，
答案：D
(1) 在数学归纳法的第二个步骤中，要注意 观察递推的形式，以便准确地得到相应的一般性的结论．
(2)判断由n＝k到n＝k＋1时式子的变化情况时，要利用两式
的结构特点来判别增加的项的规律，这是数学归纳法证题的难 点．
【活学活用】
1 ． (1) 用 数 学 归 纳 法 证 明 (n ＋ 1)(n ＋ 2)…(n ＋ n) ＝
2n·1·3·…·(2n － 1) ， 从 k 到 k ＋ 1 时 左 边 需 要 增 乘 的 代 数 式 为 ________．
解析：当 n＝k 时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k) 当 n＝k＋1 时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k ＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) k＋k＋1k＋k＋2 ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k) k＋1 ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]， ∴从 k 到 k＋1，左边需要增乘的代数式为 2(2k＋1)．
1 1 1 1 1 1 (2)用数学归纳法证明 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ 2 3 4 2n－1 2n n＋1 1 1 ＋ ＋…＋ ，第一步验证的等式中左边是______，右边是 2n n＋2 ________．
D．P(n)对所有自然数n都成立
4 2 n ＋ n (2)用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝ 2 ， 则当 n＝k
＋1 时左端应在 n＝k 的基础上加上 A．k2＋1 B．(k＋1)2 k＋14＋k＋12 C. 2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
题号 (1)
解析：注意到左边共有 2n 项，则从 k 到 k＋1 时，左边所 1 1 1 1 要添加的项是 － ＝ － ，故选 C. 2k＋1－1 2k＋1 2k＋1 2k＋2
答案：C
1 1 1 4．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋ n ＜2(n∈N，且 n 2 －1 ＞1)时，第一步要证的不等式是________．
2 2 2 2k＋1个
，
答案：D
(1) 在数学归纳法的第二个步骤中，要注意 观察递推的形式，以便准确地得到相应的一般性的结论．
(2)判断由n＝k到n＝k＋1时式子的变化情况时，要利用两式
的结构特点来判别增加的项的规律，这是数学归纳法证题的难 点．
【活学活用】
1 ． (1) 用 数 学 归 纳 法 证 明 (n ＋ 1)(n ＋ 2)…(n ＋ n) ＝
2n·1·3·…·(2n － 1) ， 从 k 到 k ＋ 1 时 左 边 需 要 增 乘 的 代 数 式 为 ________．
解析：当 n＝k 时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k) 当 n＝k＋1 时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k ＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) k＋k＋1k＋k＋2 ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k) k＋1 ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]， ∴从 k 到 k＋1，左边需要增乘的代数式为 2(2k＋1)．
数学归纳法-高考数学复习PPT
索引
思维升华
用数学归纳法证明不等式的四个关键：
索引
训练 2 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n≤21＋n(n∈N*). 证明 (1)当 n＝1 时，1＋12＝32，不等式成立. (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋21k≤21＋k， 则当 n＝k＋1 时，1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k＋2k·21k＝21 ＋(k＋1)， 即当 n＝k＋1 时，不等式成立. 由(1)和(2)可知，不等式对所有的 n∈N*都成立.
索引
对于(k＋1)棱柱 A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱 Ak＋1Bk＋1 与其余和它不相邻的 (k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面 A1B1BkAk 变成了对角面，因此对角面 的个数为 f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]， 即 f(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]成立. 由(1)和(2)，可知原结论成立.
索引
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解 猜想 an＝（n－n－1）（－n－（1n）－a2）a(n∈N*). 用数学归纳法证明如下：①当 n＝1 时，左边＝a1＝a， 右边＝（1－1－1）（－1－（11）－a2）a＝a，猜想成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即 ak＝（k－k－1）（－k－（1k）－a2）a， 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝2－1ak＝2－（k－k－1）（1－k－（1k）－a2）a
索引
题型三 用数学归纳法证明整除、平面几何等数学命题
例3 证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17 ＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64， 故f(k＋1)也能被64整除. 综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
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用数学归纳法证明不等式的四个关键：
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训练 2 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n≤21＋n(n∈N*). 证明 (1)当 n＝1 时，1＋12＝32，不等式成立. (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋21k≤21＋k， 则当 n＝k＋1 时，1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k＋2k·21k＝21 ＋(k＋1)， 即当 n＝k＋1 时，不等式成立. 由(1)和(2)可知，不等式对所有的 n∈N*都成立.
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对于(k＋1)棱柱 A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱 Ak＋1Bk＋1 与其余和它不相邻的 (k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面 A1B1BkAk 变成了对角面，因此对角面 的个数为 f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]， 即 f(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]成立. 由(1)和(2)，可知原结论成立.
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(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解 猜想 an＝（n－n－1）（－n－（1n）－a2）a(n∈N*). 用数学归纳法证明如下：①当 n＝1 时，左边＝a1＝a， 右边＝（1－1－1）（－1－（11）－a2）a＝a，猜想成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即 ak＝（k－k－1）（－k－（1k）－a2）a， 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝2－1ak＝2－（k－k－1）（1－k－（1k）－a2）a
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题型三 用数学归纳法证明整除、平面几何等数学命题
例3 证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17 ＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64， 故f(k＋1)也能被64整除. 综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
高考数学总复习 第6章 第7节 数学归纳法(理)课件 新人教A版
1 1 1 1 9 用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋„＋ ＞ 3n 10 n＋1 n＋2 n＋3 (n＞1，且 n∈N)．
【思路点拨】n取的第一个值是2.
1 1 1 1 19 9 【自主证明】 ①当 n＝2 时， 左边＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＞ 3 4 5 6 20 10 ＝右边，不等式成立． ②假设 n＝k(k∈N，k≥2)时不等式成立， 1 1 1 9 即 ＋ ＋„＋ ＞ 成立． 3k 10 k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时，
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时命题成立，
即(3k＋1)×7k－1能被9整除， 那么当n＝k＋1时：
[3(k＋1)＋1]×7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]×(1＋6)7k－1 ＝(3k＋1)7k－1＋(3k＋1)×6×7k＋21×7k ＝[(3k＋1)7k－1]＋3k×6×7k＋(6＋21) ×7k.
D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为
奇数，k＋2为奇数．
答案：D
1 1 1 4．用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋„＋ n ＜2(n∈N， 2 3 2 －1 且 n＞1，)第一步要证的不等式是________．
1 1 1 1 解析：n＝2 时，左边＝1＋ ＋ 2 ＝1＋ ＋ ，右边＝ 2 2 －1 2 3 2.
分析不出来，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作
差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数 学归纳法证明几何问题的一大技巧．
平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条 1 2 不共点， 求证： 这 n 条直线把平面分割成 (n ＋n＋2)个区域． 2
【思路点拨】由n＝k推证n＝k＋1时，搞清区集域变化了
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1 1 1 ＝ ＋ ＋ … ＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 k＋1＋k 1 ， k＋1＋k＋1 即当 n＝k＋1 时，等式成立． 根据(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
【即时巩固 1】 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 n ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .( 其 中 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 4n＋1 n∈N*) 1 1 证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝ ＝ ， 2×4 8
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步 骤进行： (1)(归纳奠基) 证明当n取第一个值n0时命题成立 ； (2)(归纳递推) 假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n＝k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．上述证明方法叫做 数学归纳法 ．
1 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＋ 1×2 3×4 2k－1· 2k 2k＋12k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ 2k 2k＋12k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 1 － ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ 2 k 2 k ＋ 1 2 k ＋ 2 k＋2 k＋3 k＋1 1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ 2k 2k＋1 2k＋2 k＋2 k＋3
1 右边＝ ， 8 所以等式成立． 假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 1 1 1 1 k 即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 成立， 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 4k＋1
那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 1 ＋ 2k＋1[2k＋1＋2] kk＋2＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 4k＋1 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋12 k＋1 ＝ ＝ ， 4k＋1k＋2 4[k＋1＋1] 即 n＝k＋1 时等号成立． 由(1)、(2)可知，对任意 n∈N*等式总成立．
关键提示： 注意证明 n＝k＋1 时， 左右两边均产生变化．
1 1 1 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ，右边＝ ， 2 1×2 2 等式成立． (2)假设当 n＝k 时，等式成立， 1 1 1 1 1 1 即 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ . 2k 1×2 3×4 2k－1· 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时，
1(n∈N*)能被17整除．
关键提示：用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋
解析：n＝1，左边为1＋a＋a2. 答案：C
)
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
1 1 1 1 3．设 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)，那么 2n n＋1 n＋2 n＋3 f(n＋1)－f(n)等于( 1 A. 2n＋1 1 1 C. ＋ 2n＋1 2n＋2 ) 1 B. 2n＋2
1 1 D. － 2n＋1 2n＋2 1 1 1 1 解析： f(n ＋ 1) － f(n) ＝ ＋ － ＝ － 2n＋1 2n＋2 n＋1 2n＋1
在应用数学归纳法证明时： 第一步：验证 n ＝n0 时，n0不一定为1 ，根据题设，有时 可为2,3等． 第二步：证明 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立一定要用 n ＝ k 的假 设结论，否则不是数学归纳法．
考点一 证明等式问题 【案例 1】 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ . 1×2 3×4 2n－1· 2n n＋1 n＋2 n＋n
1 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－ 2 3)条时，第一步检验 n 等于( A．1 B．2 ) C．3 D．0
解析：第一步应为n＝3. 答案：C
n＋2 1 － a 2 ．用数学归纳法证明 1 ＋ a ＋ a2 ＋…＋ an ＋ 1 ＝ 1－a
(a≠0)，在验证 n＝1 时，等式左端计算所得的项是( A．1 C．1＋a＋a2
(2)假设当 n＝k 时不等式成立，即 ak＞2(k∈N*)， ak－22 ak2 则 ak＋1－2＝ －2＝ ＞0， 2ak－1 2ak－1 所以 ak＋1＞2. 当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 综上(1)(2)，不等式对所有正整数都成立
考点三 证明整除问题
【案例 3】 用数学归纳法证明： f(n) ＝ 3·52n ＋ 1 ＋ 23n ＋
1 . 2n＋2 答案：D
4．设函数f(n) ＝(2n ＋9)3n ＋1 ＋9.当 n∈N* 时，若f(n) 能被
m整除，猜想m的最大值为( A．9 B．18 ) D．36 C．27
解析：因为f(1)＝11×32＋9＝11×9＋9＝12×9，
f(2)＝(4＋9)×33＋9＝13×33＋9＝40×9， 故猜想m＝36.＋ak＋1＋1＞0， 所以ak＋2－ak＋1＞0，即ak＋1＜ak＋2，
所以命题对n＝k＋1时也成立．
综上①②可知，原命题成立．
【即时巩固 2】
5 an2 数列{an}中，a1＝ ，an ＋1 ＝ 2 2an－1
(n∈N*)，用数学归纳法证明：an＞2(n∈N*)． 5 证明：(1)当 n＝1 时，a1＝ ＞2，不等式成立． 2
考点二 证明不等式问题 【案例2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，且an＋12＋an＋
2，求证：n∈N*时，a ＜a － 1 ＝ a 1 n n n＋1.
关键提示：可以利用ak2＝ak＋12＋ak＋1－1实现ak到ak＋1， ak＋1到ak＋2的转化．
证明：①当 n＝1 时，有 a22＋a2－1＝0， －1± 5 所以 a2＝ . 2 5－1 又 an≥0⇒a2＝ ＞0＝a1. 2 ②假设 n＝k 时，ak＜ak＋1 成立． 又 an≥0，所以 ak2＜ak＋12. 所以 ak＋12＋ak＋1－1＜ak＋22＋ak＋2－1， 所以(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0.