整体思想解题(一)

整体思想解题策略（一）

一、教学目标：

1、通过学习掌握数学解决问题的基本方式之一，整体代入法；

2、让学生掌握将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后代入的方法

二、教学重点与难点

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）等方面都有

广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用

三、教学过程

（一）数与式中的整体思想

【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为

9，则的值为 ( )

A ．18

B ．12

C ．9

D ．7

相应练习： 1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（ ）．

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．4

2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=

3.先化简，再求值，其中a 满足a 2－2a －1=0．

总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。

2

463x x -+222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷

⎪--+-⎝⎭

【例2】.已知114a b -=，则

2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27

- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b

-的形式，再整体代入求解．

【例3】已知2002007a x =+，

2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222

a b c ab bc ac ++---的值．

总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．

相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.

2、已知m 是方程2

310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.

总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。通常来讲技巧性还是蛮强的。

（二）几何与图形中的整体思想

【例5】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=

分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无

法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一

个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理

34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．

用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了

整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．

课堂练习：

1．当代数式-b 的值为3时，代数式2-2b+1的值是 ( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )

A ．y 2+2y+1=0

B ．y 2－2y+1=0

C ．y 2+2y －1=0

D ．y 2－2y －1=0

3．当x=1时，代数式x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式x 3+bx+7的值为( )

A ．7

B ．10

C ．11

D ．12

4．(08芜湖)已知，则代数式的值为_________． 5．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则=_____．

布置作业：

1．如果(2+b 2) 2－2(2+b 2)－3=0，那么2+b 2=___．

2．(07泰州)先化简，再求值：

，其中是方程

x 2+3x+1=0的根．

3、已知a 是方程2200910x x -+=一个根，求22200920081a a a -+

+的值. 4附加题：阅读材料，解答问题．

为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1=y ， 则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，a a a a 1

13x y -=21422x xy y x xy y

----1

x x -a a a 2224124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭a

y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，x 2=2，；当y=4 时，x 2－1=4，

x 2=5，．，

解答问题：

(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；

(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．

四、教学反思

∴∴x =∴∴x =∴1x =2x =3x =4x =