整体思想解题(一)
数学解题思想——整体思想
数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
一．整体代入在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形,再整体代入求值，使问题化难为易。
例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根,求代数式22211a a a a--+的值。
分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=,则21-a a -=，2=1a a +,再整体带入即可。
二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解.例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。
解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++，两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-;故2320141+2+2+2...2++=201521-。
请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++;（2）231+5+5+5...5n ++(其中n 为正整数）.分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++，再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++，再与已知等式相减,得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造,从而解决问题。
例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
16.整体思想解题例说
整体思想解题例说杨鹤云 (江苏省泰州中学 225300)整体思想是从宏观上、本质上考察问题的结构,通过对问题进行整体处理,以达到简洁顺利地解决问题.1 从整体与局部的内在联系入手从观察整体与局部的结构关系、知识之间的内在联系获得问题的解决.例1 求1,2,3, ,n 这n 个正整数中每两个数乘积之和.分析 问题即求S =1 2+1 3+ +1 n+2 3+ +(n-1)n.解 因为(1+2+ +n)2=12+22+ +n2+2S,所以S =12[(1+2+ +n)2-(12+22++n 2)]=12[(n(n+1)2)2-n(n+1)(2n+1)6]=(n-1)n(n+1)(3n+2)24.评注 把握整体与局部的特征以及内在联系是解题关键.例2 求sin 220 +cos 250 +sin 20 cos 50 的值.解 设x =sin 220 +cos 250 +sin 20 cos 50 ,y =cos 220 +sin 250 +cos 20 sin 50 ,则x +y =2+sin 70 ,x -y =-12-sin 70 ,两式相加,得x =34.评注 观察题设结构特征,联想类比式子结构,寻求整体配对,配对的目的在于能够使用三角公式化简运算.另外,x -y =cos 100 -cos 40 -sin 30 =-12+cos(70 +30 )-cos(70 -30 )=-12-sin 70 ,运用了整体与局部关系解决.2 从局部向整体转化例3 等差数列{a n }中,公差d =1,S 100=150,求a 2+a 4+ +a 100.分析 已知整体S 100,求局部的问题.解 由等差数列定义,得a 1=a 2-d,a 3=a 4-d, ,a 99=a 100-d.代入S 100=150,得2(a 2+a 4+ +a 100)-50d =150,所以a 2+a 4+ +a 100=100.评注 求解过程中,由局部与局部之间的关系如a 1=a 2-d,向整体转化后求出局部a 2+a 4++a 100的值,体现了由局部向整体再向局部转化的解题过程.例4 如图1,正三角形A BC 的边长为2,A 1A ,B 1B,C 1C 都垂直于平面A BC ,且A 1A =1,B 1B =2,C 1C =3,求这个几何体的体积.图1 图2解法1(分割法) 如图1,连结A 1C,A 1B,将几何体分成两个棱锥A 1 A BC,A 1 BB 1C 1C,根据体积变换法,所求体积为V A 1A BC +V A 1BB 1C 1C =V A 1A BC +V A BB1C 1C=23.解法2(补形法) 如图2,在已知几何体上补一个同样大小的几何体,便得A 2A =B 2B =C 2C =4,所求几何体的体积为12S ABC A 2A =23.评注 对基本图形整体理解,把不规则图形相关问题通过直觉想象与判断转化成规则图形问题,便于问题的求解.这种整体补形的方法,便捷而富有创造性.3 从整体向整体转化例5 当函数f (x )=ax -bx 满足不等式1 f (1) 2,13 f (2) 20时,求f (3)的取值范围.解 f (1)=a-b,f (2)=2a-b2,f (3)=3a -b 3.令f (3)= f (1)+ f (2),得 =-59, =169,所以f (3)=-59f (1)+169f (2).又因为1 f (1) 2,13 f (2) 20,所以22 f (3) 35.评注 本题用f (1),f (2)线性表示f (3),将f (1),f (2)整体代入,利用不等式基本性质进行解答.若从1 a-b 2,13 2a-b220分别求出a,b 的范围后再求f (3)的范围,破坏了函数f (x)=ax -b x 的整体结构,容易致误.例6 已知sin x +sin 求cos x +cos y 42 中学数学月刊 2011年第3期的取值范围.解 设u=cos x+cos y,将已知式与待求式两边平方,得12=sin2x+2sin x sin y+sin2y,u2=cos2x+2cos x cos y+cos2y.+ ,得u2+12=2+2cos(x-y),即2cos(x-y)=u2-32.因为-2 2cos(x-y) 2,所以-2u2-32 2.解得-142u 142,即-142cos x+cos y 142.评注 利用整体代换构建不等式,再求出整体的取值范围,这是求解此类问题的基本方法.4 从问题结构入手例7 方程1+3-x1+3x=3的解是 .分析1 正常解法是去分母得关于3x的一元二次方程,将3x当作整体的局部作代换求解.分析2 将方程两边同乘以3x,得3x(1+3-x)1+3=3 3x,得3x+1=1,即x=-1.通过变换后将整体部分1+3x约去.分析3 作1的变换,将1=3x-x代入,得3x-x+3-x1+3x=3,3-x(1+3x)1+3x=3,得3-x=3,x= -1.评注 分析2、3中将题目本身含有整体(1+ 3x)约去,通过适当变换简化解法.例8 已知实数a b且a2+2011a+1=0,b2+2011b+1=0.求11+a+11+b的值.分析1 依题意a,b是方程x2+2011x+1= 0的两个实根,求根后直接代入求解,较繁琐.分析2 由以上分析得a+b=-2011,ab=1直接代入,得11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=1.分析3 由分析2,本题只需将ab=1代入即可:1+1=ab+1=b+1 =1.从以上各例不难发现,利用整体思想解题的关键是把握整体与局部之间的关系,善于发现问题之间的内在联系,揭示转化的规律.在形式、结构、方法、特征上寻求利用整体思想解题的途径,从而创造性地解决问题.(上接第34页)题中,由{S n}为等差数列,可得S1,S2,S3成等差数列,这里就应用了一般向特殊转化的思想,将条件最终转化为对数列{a n}的前3项进行研究,应用了化归思想和方程思想.(3)数列复习应强化能力意识,促进探究创新知识的多寡、常用方法掌握的熟练程度对解题思路与解题过程的改进起到非常重要的作用,但要使解题过程更为简捷、流畅,在教学时还要强化意识,注重探究.通过对等差数列和等比数列定义及相关公式的研究,可得出一些常用性质.除此之外,还可探究得:数列{a n}为等差数列 a n=kn+ b S n=an2+bn;数列{b n}为公比q不等于1的等比数列 S n=aq n-a(a 0);若数列{a n}为等差数列,则其前n项和S n满足S2n-1=(2n-1)a n;若数列{S n}为等差数列,则数列{a n}从第2项起也为等差数列;若数列{S n}为等比数列,则数列{a n}从第2项起也为等比数列;若数列{a n}为各项为正的等比数列,则数列{log b a n}为等差数列;若数列{a n}为各项为正的等差数列,则数列{b a n}为等比数列,等等.本题第(1)问的解法4正是应用了等差数列的性质,使解题过程更为简捷.由此可见,在数学复习中,不但要重视学生基础知识、基本方法、基本技能的回顾、总结、运用,还要重视培养学生的数学意识和探究能力,这样也更有利于发展学生的创新意识.(4)数列复习中应注意纵横交叉,理解数学本质数列是一类特殊函数,可以与函数、不等式、三角等知识综合,考查学生的数学素质和综合能力.本题的第(2)问即是将数列与不等式、函数相结合,考查学生的综合能力.在复习中要注重知识的前后联系,综合运用,这样才能处变不惊,冷静处理.同时,要加强审题能力的培养,理解问题的本质,才能确保全面、逻辑地解决问题.高考试题的主要题源为教材,理解教材、吃透教材、挖掘教材,这样既能提高学生的数学素养,提升思维能力,使学生在高考中立于不败之地,又能培养学生良好的学习习惯,增强学生的探究、创新意识,为学生的终生发展打下良好的基础.参考文献[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2001.[2] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2008.432011年第3期 中学数学月刊。
整式中的整体思想(一)专题讲解
点 菝 计算１ ２ ３ …＋ ＋ ＋＋
例ｌ 一个房 间中有红、 、 三种灯 ， 间中所 有的灯都 黄 蓝 房
，
１０ ？时 ， ０： 可以看到高斯 和他 的 ： 闭 拉 一 次 开 关 ， 灯 亮 ； 二 次 拉 开 关 ， 、 灯 都 亮 ； 三 关 红 第 红 黄 第
同 们 选 方 上 差 ． 次拉开关， 黄、 学 在 择 法 的 异 他ｊ 红、 蓝灯都亮； 第四次拉开关， 三种灯全部关闭．
里 ，铜 钱般 的大 雨点 已落 了下来 ，没有 办 法 ，他们 急 三火 四地 将场 中的玉米 和 麦 子堆 在 了一
起 ，然 后用 塑料 薄膜 盖 好 ．等到 雨 过天 晴，他 们 遇到 了这样 一个 问题 ：麦 子 和 玉米 全 混在～
起 了。要把 它们 重新分 开 ，该 怎 么办？
经过 思考 ， 全家人 各 自想 出 了 自己的办 法 ：
小 明 的母 亲想 出 的办法 是 ： 玉米 ． 拣 由于玉 米颗 粒 较大 ． 以通 过逐 个 “ ” 可 拣 的办法 ． 它们 把
拣 出来 ．
小 明的父 亲想 ｝ 的办 法是 ： 麦子 和玉 米 的混 合 物均匀 摊 开 ． 扫帚 将玉 米轻 轻地 掠 出来 ． ｝ ｛ 把 用
剩下 的是麦 子 ．
例 ２ 若 ｍ， 凡满足 ｍ＋ ＝一 ００ ｍ ＝７ 求（ ０９ ｎ ２ １ ， ｎ ， ｍ ＋２０ｍ＋
点拨 从 两 人 的 对 话 可 以 看 出 ． 题 的 过 程 基 本 上 反 映 了 解
６ （ ０ ｉ ） ｎ ＋２ １ ｎ＋８ 的值 ． ）
运 用 整 体 方 法 处 理 问 题 的 三 个 重要步骤 ：
小 明想 出的办法 是 ： 筛麦 子． 选择 一个筛 孔大小 恰 当（ 只能 让麦粒 通过 ） 的筛 子 ， 玉 米 、 子 将 麦 的混 合物 “ ” 筛 一遍 ． 这样 玉米 就 留在 筛 子里 了． 三种处 理方 案的思 想方法 有什 么差别 ？ 拣 玉米 的方法 ， 眼于个 体 ． 着 通过 逐一 的个 别处 理来解 决 问题 ； 玉米 、 掠 筛麦 子 的方案 ， 眼 着
七年级数学下册《利用整体思想解题》讲义 (新版)苏科
利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a-=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013+++L ，则评析把111232013+++L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，GH＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8．FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。
四讲 整体思想巧用
第四讲整体思想在整式加减运算中的巧用运用整体思想解题，常可化繁为简，变难为易，收到事半功倍之效，现就整式加减运算中运用整体思想解题的一些方法技巧举例如下：一、整体合并：例1：计算：43（2x－3y）+30(3y－2x)－12(2x－3y－120)+569分析：因为（2x－3y）=－(3y－2x)，所以可把（2x－3y）看作整体，先合并再去括号，这样较为简便。
解：原式=43（2x－3y）－30(2x－3y)－12(2x－3y)+1440+569=2x－3y+2009二、整体代入例2：若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－1时，代数式ax3+bx+7 的值为（）A.7B.10C.11D.12分析：若分别求出a和b的值再代入，既无必要也不可能，故可考虑整体代入。
解：由题意可得a+b+7=4，即a+b=－3∴－（a+b）=3当x=－1时，原式=－a－b+7=－(a+b)+7=3+7=10，故选B。
三、整体加减例3：已知3x2－3xy=28，3xy－3y2=－13，求代数式x2－y2与x2－2xy+ y2的值。
分析：若由已知条件想解方程组求出x、y的值，再代入求解，则超出初一学生所学范围，仔细观察已知式和要求式，便可发现，只要将已知式整体相加减再变形，即可求解。
解：将两式分别相加得3x2－3xy+3xy－3y2=28－13可化为3（x2－y2）=15∴x2－y2=5两式相减得3x2－3xy－3xy+3y2=28+13=41∴x2－2xy+y2=41/3一、自查：1. 单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ． 2. 若23122++-m n y x 与41135--m y n x 是同类项，则m n n m -+)(= ．3. 己知0122=++a a ，则求3422-+a a 的值为 ．4. 如果5324331+-k ab b a 是五次多项式，那么k= ． 5. 计算：()()()()2356x y z x y z x y z x y z +---+-+-+-+= ．二、梳理：1. 知识上① ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式、几次几项式系数；、次数；、概念；多项式系数、次数；、概念；单项式整式代数式4321---321--- ② 整式的加减：关键词：同类项；去括号；先化简，再求值.2. 方法上：这部分内容涉及到整体、方程、转化等数学思想，特别是运用整体思想对某些问题进行整体处理，常能化繁为简，收到事半功倍的效果．三、典型问题：例1、先化简再求值：{}a a a a a a a a 3]9)2(85[41522222-+---+--，其中51-=a例2、计算：222213344a b ab ab a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1：一个多项减去2234ab a b +，差为22122a b ab -,求这个多项式.例3、已知：多项式a x b x c x 539+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3时，它的值为多少？变式1：设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--的值变式2：若4=+-b a b a ，求代数式)(2)(5b a b a b a b a -+-+-的值？四、巩固练习：1. 若 －3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________， m ＝________．2. 3)2(42-+-x m x n 是关于x 的四次二项式，则=n m ___________.3. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m +n =____________.4. 若当2x =时，代数式35ax bx -+的值是4，则当2x =-时，35ax bx -+的值是 ．5. 已知05322=--a a ，那么109124234-+-a a a =____________.6. 个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c 的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为 ____________.7. 化简：=-+--)(3)3(2b a b a a ，=---24354b ab ab ． 8. 一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为b a +2，另一边比它大b a -，则长方形的周长是 ____________.9. 下列代数式中，①ab ·2 ②. a ÷4 ③. －4×a ×b ④. xy 213⑤. mn 35 ⑥ . －3×6 书写正确的是____________.（填序号）10. 计算：63)(41)(21y x y x y x y x --++++-=____________. 11. 若a ＜0, 则 2a+5a = ____________.12. 代数式 2)(3a x -+- 的最小值为_______，这时x =_______.13. 已知：b a A 35+=，b a a B 2223-=，2722-+=b a a C ，当a=1,b=2时， 求C B A 32+-的值.14. 先化间，再计算： )32(35)23(61)32(21)32(31y x x y y x y x --+---++--，其中x=2，y=1.。
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
七下练测第12招整体思想在解题中的四种应用习题新版新人教版
整体代换在求角度中的应用
2.如图①，CE∥AB，所以∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B，所
以∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝∠A＋∠B.这是一个有用的
结论，借用这个结论，在如图②所示的四边形ABCD内，
引一条和边平行的直线，求∠A＋
∠B＋∠C＋∠D的度数.
【解】如图②，过D作DE∥AB，交BC于E.
和转化为两组同旁内角的度数和，使问题得以解决.
整体代换在解方程组中的应用
− − = ，
3.解方程组：ቐ
−+
＋
= .
− − = ，①
【解】ቐ
−+
＋
= . ②
由①，得4x－5y＝7.③
将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝3.
【解】因为a－b＝ ，b－c＝ ，
所以a－c＝(a－b)＋(b－c)＝ ＋ .
所以(a－b)2＋(b－c)2＋a－c＝( )2＋( )2＋ ＋ ＝8＋
＋ .
【点方法】
本题利用整体变形思想求值，a－b，b－c可以根据已
知条件直接代入，a－c只有转化为a－c＝(a－b)＋(b－c)＝
− ＝ ，
即ቐ
解得൞
＋ = .
＝ .
＝ ，
所以原方程组的解为൞
＝ .
【点方法】
本题利用整体换元思想，将x－y看成一个整体，用m
表示，将x＋y看成一个整体，用n表示，即将关于x，y的方
程组转化为关于m，n的方程组，使计算简便.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= .
数学解题中的一把金钥匙——整体思想
数学学习与研究2014.18一、整体代入有些问题,如果孤立地利用条件,问题虽然可以得到解决,但解题过程比较复杂,如果把一些组合式子看成一个“整体”,并把它直接代入另一式,以避免局部运算的麻烦和困难,这就是整体代入.例1当x =1时,代数式px 3+qx +1的值是2014,则当x =-1时,代数式px 3+qx +1的值是.分析对于此题,若想分别求p 和q 的值,这是不必要的,也不可能.由题设得p +q +1=2014,如果我们视p +q 为一个整体,则有p +q =2013,于是,当x =-1时,有px 3+qx +1=-p -q +1=1-(p +q )=1-2013=-2012.二、整体换元整体换元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分,从而达到化繁为简、化难为易的目的.例2解方程x x +1()2+5x x +1()+6=0.分析如果先将括号展开,题目就难解了.根据方程的结构特征,把x x +1看作整体y ,则原方程转化为y 2+5y +6=0,解得y 1=-3,y 2=-2,当y 1=-3时,x x +1=-3,解得x 1=-34;当y 2=-2时,x x +1=-2,解得x 2=-23.经检验x 1=-34,x 2=-23均为原方程的根.三、整体构造整体构造就是根据已知条件和所求,整体构造相应的式子,通过对两个式子的联合研究来解决问题.例3已知a ,b 为两个不相等的实数,且满足a 2=1-2a,b 2=1-2b,求b a +a b的值.分析根据常规,习惯于先求出a ,b ,这需分四种情况讨论,运算较繁,且容易出错.若能整体把握b a+a b =b 2+a 2ab =(a +b )2-2ab ab,只需求出a +b 与ab ,易联想到根与系数的关系.本题可构造出以a ,b 为两实数根的一元二次方程x 2+2x -1=0,∴a +b =-2,ab =-1,b a +a b =(a +b )2-2ab ab=-6.四、整体求解整体求解是将问题中的某些局部计算作整体求解,从而达到简化问题和减少计算量的目的.例4有大、小两种货车,2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?分析设一辆大车与一辆小车一次可以各运货x 吨、y 吨,则有2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,然后用常规方法解得x 与y 的值,再代入下一步作答,非常烦琐.简便解法:由题意,可得2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,①×7-②,得9x +15y =73.5,从而就有3x +5y =24.5.五、整体补形整体补形是从图形的整体性角度出发,将问题中不完整的图形补为完整的图形,从而利用图形的整体性质使问题巧妙获解.从整体补形的角度去思考问题,巧妙添加辅助线,从而导致解题方向明朗化.例5如图1,AB =4,DB ⊥AB ,EA ⊥AB ,DB =3,EA =6,又点M 是DE 的中点,求BM 的长.分析由已知条件可以联想到平行四边形,故延长DB 到F ,使DF=EA =6,连接EF ,AD ,由AE ⊥AB ,DB ⊥AB ,得AE ∥DB ,∴四边形ADFE 为平行四边形.在Rt△ABD 中,AD =AB 2+DE 2√=5.∴EF =AD =5.由中位线定理得BM =12EF =52.六、化零为整化零为整就是化部分为整体,避免分散计算.在很多几何题中,如果把所求部分进行单个计算,有时不能使问题获解,只有把所有部分看作一个整体进行合理转化,才能得出结论.例6如图2,☉A,☉B,☉C 两两不相交且半径都为0.5厘米,则图中阴影部分的面积为________.分析由于各个扇形的圆心角的度数均未知,从而不能分别求各个扇形的面积.为此,将三个阴影部分整体考虑,注意到三角形内角和为180°,所以三个扇形的圆心角的和为180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积为半径为0.5厘米的圆的面积的一半,即12×π×0.52=π8(平方厘米).七、应用题中的整体思想我们在研究有关应用题时,如果能从大处着眼,从整体入手,往往可化繁为简,思路明晰.例7甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发,相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带了一只小狗,狗每小时跑10千米,小狗随甲同时出发,向乙跑去;当它遇到乙后,就立即回头向甲跑去;遇到甲后,就立即回头向乙跑去,直到甲、乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.分析本题如按常规解法,考虑“狗”的行程,不仅图无法画出,且容易导致思路曲折复杂,无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举:要求狗的行程,已知狗的速度,只需知道狗奔跑的时间;而这时间也恰是甲、乙二人走完全程所用的时间,而求甲、乙二人走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.如果设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x 小时,根据题意列方程:6x +4x =100,解之得x =10,因此狗以10千米/时的速度跑了10小时,则它一共跑了10×10=100(千米).当然,整体思想在数学解题中的应用还涉及其他的各种题型.有了整体思想的意识,从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.灵活恰当地运用整体思想,往往能帮我们走出困境,走向成功.数学解题中的一把金钥匙———整体思想◎范金伟(山东省枣庄市第三十七中学277212)图1. All Rights Reserved.。
用整体思想解题举例-
用整体思想解题举例用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入或求值等。
这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。
例1 分解因式()()x x x x 22535121+-++-分析：若把两个二次三项式()x x 253+-与()x x 251++相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。
但若把x x 253+-（或x x 25+）视为一个整体，即把x x 253+-看成一个新变元t ，原式就变形为关于t 的二次多项式，问题就容易解决了。
解：设x x t 253+-=，则x x t 2514++=+原式=+-=+-=+-t t t t t t ()()()421421732再将t x x =+-253代入上式原式=+-++--()()x x x x 22537533 =+++-=+++-()()()()()()x x x x x x x x 2254561461 说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
例2 解方程()x x x x -+--=151602解：设x x m -=1，则原方程可变为m x 2560+-= 解得m 16=-，m 21= 当x x -=-16时，解得x =67；当x x -=11时无解 经检验，x =67是原方程的解。
说明：本题是把x x -1看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。
例3 计算()()()(1213120051121312004112131200512+++++++-++++⋅+ 1312004++ ) 解：设a =++++1121312005，则 原式=-----()()()a a a a 112005112005 =--+-++=a a a a a a 22200512005200512005说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。
七年级上培优专题——整体思想求值(附答案)
七年级上培优专题——整体思想求值（附答案）题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】 设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】 已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】 有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算 的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】 把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（ ）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ． ⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝ ．整体思想之构造整体【练习5】 如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为 ．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
数学思想方法(一) (整体思想、转化思想、分类讨论思想)(无答案)
数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．402．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4C．2cm或4D．2cm或二、填空题6．若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．7如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．13．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求»AP的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．。
用“整体思想”解题
用“整体思想”解题作者：俞英来源：《读写算·高年级》2014年第07期有些较复杂的数学题目，仅仅按照常规的思路，从题目的各部分进行分析，探究解题方法，很难得出问题的结果。
但是，如果运用“整体思想”，着眼全局观察、分析、把握数量关系，则很容易使问题得到解决。
现举例加以说明。
【分析与解】这道题如果按照常规脱式的方法解答，在计算加、减时要进行大数目的通分，计算乘法时又要进行大数目的运算，既麻烦又极易出错。
如果用“整体思想”，从全局观察、分析，不难发现减号两边都有相同的部分，若用字母代替相同的部分，然后进行计算，就相当简便了。
【例2】将一个正方形划分成9个长方形（如下图），这些小长方形的周长和是96厘米，这个大正方形的面积是多少平方厘米？【例3】200名乒乓球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰赛。
要决出冠军，一共要比赛多少场？【分析与解】一般的思路是：两两配对进行淘汰赛，第一轮要赛200€？=100（场），第二轮要赛100€？=50（场）……最后一轮赛一场，进行的总场数是（100+50+……+1）。
这样推算显然很烦琐。
如果从比赛的总体进行分析，即淘汰赛每赛一场要淘汰一名运动员，要淘汰掉多少名运动员就需要进行多少场比赛。
200名运动员进行淘汰赛，最后决出一名冠军，必须要淘汰掉199名运动员，所以一共要比赛199场。
【例4】一块近似平行四边形的草坪，中间有三条石子路（如下图），小路宽1米。
如果铺1m2草坪需12元，铺这块草坪大约需要多少钱？【例6】一条马路长2000米，明明在马路的一端，强强在马路的另一端，他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。
明明每分钟走60米，强强每分钟走40米，明明带着一条狗，狗每分钟跑100米。
这条狗与明明一同出发，碰到强强时就立即回头向明明跑，碰到明明时又立即回头向强强跑，直到明明和强强相遇为止。
这条狗从出发到明明和强强相遇时为止一共跑了多少米？。
整体思想的解题策略
整体思想的解题策略(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。
本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。
在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。
这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。
一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。
例1：证明21×43×65…×n n 212-＜121+n 证：设M=21×43×65…×n n 212-，N=32×54×76…×122+n n ，显然M ＜N 则MN=(21×43×65…×n n 212-)(32×54×76…×122+n n )=121+n∵M 2＜MN ∴M 2＜121+n 故M ＜121+n 评注：本解法抓住M ，N 这两个整体，使问题得到解决。
本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。
例2：设三个方程ax 2+bx+c=0，bx 2+cx+a=0，cx 2+ax+b=0有公共实数解，求实数a 、b 、c 之间的关系。
解：设三个方程的公共实数根为x 0，则 ax 02+bx 0+c=0 ① bx 02+cx 0+a=0 ② cx 02+ax 0+b=0 ③①+②+③ (a+b+c)( x 02+x 0+1)=0∵x 02+x 0+1=(x 0+21)+43＞0，∴a+b+c=0评注：本题欲求a 、b 、c 关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c 这一整体，使问题的解决豁然开朗。
初中数学中整体思想的应用及解题策略 (1)
初中数学中整体思想在代数中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一、 整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。
例1：已知22007a d +=，22008b d +=，22009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则原式＝2221()a b c bc ac ab abc++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488=⨯++= 二、整体设元 整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：1111111(1)()2320072342008---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。
设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008= 三、整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。
小学数学经典例题精讲(一),整体思想与数学思维能力的训练
小学数学经典例题精讲（一）
例题、在以下算式的∆内填上相同的数，50－∆=38+∆。
解题思路：熟练地运用加法和减法的定义，能快速、准确地得出所要的答案，同时培养小学生的数学思维、分析、归纳、整理的能力。
分析：因为有：50-∆=38+∆；
上式中：被减数是50，减数是∆，差是（38+∆）；由“被减数＝差+减数”，即“差+减数＝被减数”可得：
（38+∆）+∆＝50；把括号去掉后可得：
38+∆+∆＝50；把（∆+∆）看成其中的一个加数。
已知一个加数与和，求另一个加数，解题方法是：用和减去另一个加数，即：（∆+∆）=50-38，从而可求出∆=6；
练一练：26+∆=36-∆；
分析：利用等式性质，把等式两边一交换，则上式变成如下形式：
３6-∆=２6+∆；再和例1进行比较，是不是发现两题具有相同的形式了。
解：由“差+减数＝被减数”可知：
（26+∆）+∆＝36；
∆+∆＝36-26；
∆=5；
归纳小结：等号两边有加减，大数减小数，再平均。
例2、32-∆=∆-8；
分析：可以将（∆-8）看成一个整体（差），由“差+减数＝被减数”可得：
（∆-8）+∆＝32；
∆+∆－8＝32；
再将（∆+∆）看成被减数，则有：被减数＝差+减数，即：
∆+∆＝32+8；
∆=20；
练一练：57-∆=∆-13；
想一想：能不能先将（57-）看成差呢；你自己会做这样的题了吗？如果会了，能不能总结出这类题的规律来呢？欢迎大家讨论。
中考数学复习解题思想方法技巧--第一讲：整体思想
中考数学复习解题思想方法技巧第一讲：整体思想整体思想，就是探究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易。
整体思想的表现形式有：整体代入、整体约减、整体换元、整体合并等。
一、整体代入主体思想：求代数式的值时，通常会遇到各种各样关于未知数的关系式的条件，利用常规方法在这些关系式中求出未知数后再代入求值，其计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值。
这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式，挖掘式子结构上的特征联系，将已知条件进行恰当变形，或把一些已知关系式作为整体，直接代入求值式中计算，过程简洁明了。
例题精析：m=1+，n=1-，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（）A.-5B.5C.-9D.9点拨提示：如果将m，n的值直接代入，运算量很大。
观察含a的方程中，7m2-14m和m=1+隐约有一定的关系，尝试将m=1+变形为m-1=，再两边平方可得m2-2m+1=2，整理得m2-2m=1；所以7m2-14m=7（m2-2m）=7×1=7。
用类似的处理方法整体可得3n2-6n 的值，整体代入即可求出a的值。
参考答案：Ca是方程x2-2011x+1=0的一个根，试求a2-2010a + 的值。
点拨提示：由已知得a2-2011a+1=0，直接解方程会有2个根，需要分别都代入求值，而且运算很大。
观察a2-2011a+1=0和所求代数式中的a2-2010a部分，隐约有一定的关系，尝试整体变形处理后再代入。
解题过程：由a2-2011a+1=0得a2-2010a=a-1①，即a2+1=2011a②，显然a≠0，两边同除以a得a+=2011③，将①、②、③式代入得：原式=a-1+ =a-1+= a+-1=2011-1=2010同步练习：当时，求多项式（4x3-2007x-2004）2004的值。
数学思想方法一整体思想(解析)(自己整理)
数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．第9题YXO 1-14321I HEDBA说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法第11题OP FEDCBA在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。
整体思想解题专题练习
整体思想解题专题练习
姓名 考试时间 30分钟 得分
一、整体直接代入
将已知的式子直接代入求式中求值
二、变形已知
已知变形的方法有：移项、等于两边同时乘除同一个数（式），两边平方
三、变形求式
（一）添加括号
（二）求式变形
四、变形已知求式
将已知条件与求式都变形，直到能求值为止
五、添加括号
通过添加括号，达到将只有符号差异的式子转化成已知式子
六、整体加减
方法运用
1、如果a+b=5,那么())(42
b a b a +-+的值为 2、已知6432+-x x 的值等于9，则42-x ＝
3、已知5242+-y y 的值等于7，则122+-y y ＝
4、已知0232=--a a ，则2625a a -+＝
5、已知9﹣6y ﹣4y 2＝7，则2y 2+3y+7的值为
6、已知代数式5x 2﹣8+15x ＝﹣3，则2x 2+6x ﹣3的值为
7、若x ＋2y+3z ＝10,4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值是_____________。
8、若方程组⎩⎨⎧=++=+3
313y x k y x 的解x ，y 满足10<+<y x ，k 的取值范围是为 9、已知x ﹣2y ＝﹣2，则3﹣x+2y 的值是
10、已知43=-y x ，则5－2x+6y 的值是
11、已知2122=+-x x ，则x x 1+
的值为。
整体思想解题(一)
整体思想解题策略（一）一、教学目标：1、通过学习掌握数学解决问题的基本方式之一，整体代入法；2、让学生掌握将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后代入的方法二、教学重点与难点整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用三、教学过程（一）数与式中的整体思想x2 4 x6【例 1】已知代数式3x2－ 4x+6 的值为 9，则3的值为()A．18B．12C．9D．7相应练习：1.若代数式 4x22x 5 的值为7 ，那么代数式2x2x 1 的值等于（）．A．2B．3C．－ 2D．42.若 3a2-a-2=0,则 5+2a-6a2=a2a1a43.先化简，再求值a22a a24a 4a22，其中 a 满足 a－2a－1=0．总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式， 然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。
【例 2】 .已知11 4 ，则a2ab b 的值等于（ ）ab2a 2b7abA.6B. 6C.12D. 257分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出 1 1的形式，再整体代入求解．a b【例 3】已知 a 200x2007 ，b200x 2008 ，c 200x 2009，求多项式 a2b2c2abbcac 的值．总结：在进行条件求值时， 我们可以根据条件的结构特征， 合理变形，构造出条件中含有的模型， 然后整体代入， 从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．【例 4】逐步降次代入求值： 已知 m 2-m-1=0，求代数式 m 3-2m+2005的值．相 应 练 习 ： 1 、 已 知 m 是 方 程x 22x5的 一 个 根 ， 求m 3 2m 25m9 的值 .2、已知 m 是方程 x 23x 1 0 的根，求代数式m421m 10的值 .总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。
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整体思想解题策略（一）
一、教学目标：
1、通过学习掌握数学解决问题的基本方式之一，整体代入法；
2、让学生掌握将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后代入的方法
二、教学重点与难点
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）等方面都有
广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用
三、教学过程
（一）数与式中的整体思想
【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为
9，则的值为 ( )
A ．18
B ．12
C ．9
D ．7
相应练习： 1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（ ）．
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．4
2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=
3.先化简，再求值，其中a 满足a 2－2a －1=0．
总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。
2
463x x -+222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷
⎪--+-⎝⎭
【例2】.已知114a b -=，则
2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27
- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b
-的形式，再整体代入求解．
【例3】已知2002007a x =+，
2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222
a b c ab bc ac ++---的值．
总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．
相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.
2、已知m 是方程2
310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.
总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。
通常来讲技巧性还是蛮强的。
（二）几何与图形中的整体思想
【例5】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=
分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无
法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一
个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理
34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．
用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了
整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．
课堂练习：
1．当代数式-b 的值为3时，代数式2-2b+1的值是 ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )
A ．y 2+2y+1=0
B ．y 2－2y+1=0
C ．y 2+2y －1=0
D ．y 2－2y －1=0
3．当x=1时，代数式x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式x 3+bx+7的值为( )
A ．7
B ．10
C ．11
D ．12
4．(08芜湖)已知，则代数式的值为_________． 5．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则=_____．
布置作业：
1．如果(2+b 2) 2－2(2+b 2)－3=0，那么2+b 2=___．
2．(07泰州)先化简，再求值：
，其中是方程
x 2+3x+1=0的根．
3、已知a 是方程2200910x x -+=一个根，求22200920081a a a -+
+的值. 4附加题：阅读材料，解答问题．
为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1=y ， 则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，a a a a 1
13x y -=21422x xy y x xy y
----1
x x -a a a 2224124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭a
y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，x 2=2，；当y=4 时，x 2－1=4，
x 2=5，．，
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．
四、教学反思
∴∴x =∴∴x =∴1x =2x =3x =4x =。