基于Logistic回归模型的人口预测分析

基于Logistic回归模型的人口预测分析

尹东旭，李阳，马雨晨

指导老师：徐慧

(空军工程大学，西安XXXXXX)

摘要：本文在数值微分法和最小二乘法曲线拟合的基础上对Logistic回归模型进行参数估计，预测了人口城镇化和老龄化两个影响因素以及2016-2030年我国的人口总数以及人口所能达到的最大值并对其加以检验。

关键词：Logistic回归模型；数值微分；参数估计；曲线拟合；人口预测

1问题重述与社会背景

对于中国这样一个人口大国，人口问题始终是制约我们经济、文化等各方面发展的关键因素之一。如何使用数学模型来对我国的人口增长进行准确而有效的预测，关乎我国的人民幸福，更关乎国家的发展大事。近年来中国的人口发展呈现了一些新的特点，比如老龄化进程加速，男女比例失调，以及农村人口城镇化，特别是计划生育政策的施行，这些都不同水平的影响着人口的增长，而这些因素影响着人口增长趋势预测的准确性。为此，如何综合考量各方面的因素，较为精确的刻画出人口增长趋势，是本文的主要目标。经过分析与讨论后，我们着重探讨了以下问题：

1. 如何从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考表1中的相关数据及其他材料，建立中国人口增长的数学模型；

2如何利用建立的数学模型对中国人口增长做出预测并加以检验。

2基本假设

1.预测时间内没有重大瘟疫、战争、自然灾害等非正常因素影响人口发展。从图

1中可以看出2003年60岁以上老人的死亡率因为SARS流行达到五年年来最

大值，其余年份假设基本保持平稳。（见图1）

图1(数据来源于中国统计年鉴)

2.不考虑多胞胎情况。

3.忽略人口统计时漏报误报现象。

4.假设人口只受我国国内的出生率、死亡率和迁移因素影响，不考虑国家之间的

移民。

3模型的分析与建立

3.1logistic模型的介绍

Logistic模型是1938年Verhulst—Pearl在修正非密度方程时提出来的，他认为在一定的环境中种群的增长总存在一个上限，当种群的数量逐渐向着上限上升时实际增长率就要逐渐地缩小，所以也被称为Verhulst—Pearl方程。广义Logistic曲线可以模仿一些情况的人口增长（P）的S形曲线。起初阶段大致是指数增长；然后随着人口开始变得饱和，增加变慢；最后，达到成熟时增加停止，所以又叫sigmoid曲线（S型曲线）。（摘自百度文库）

logistic方程即微分方程：

(摘自百度百科)

众所周知，人口增长呈现指数型增长，但人口是会受到环境最大容纳量、政策变化、经济发展、科技进步等的影响，因此这些影响因素都成为一种阻滞作用，而人口越接近最大值，这种阻滞作用就越大，所以，我们在数值微分和最小二乘法曲线拟合的基础上对Logistic数学模型进行了参数估计，此方法对许多事物如经济、生物种群、医疗卫生的发展和预测具有很大的应用价值。只要满足指数增长的事物（S型曲线），就可以使用这种预测方法。

3.2logistic模型建立

首先，我们不妨设时刻t的人口总量为x(t)，并将x(t)看作连续、可微的函数。记初始时刻(t=0)的人口为x0。规定人口的增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r 乘以x(t)。我们考虑t到t+∆t时间内人口的增量，则有

x(t+∆t)−x(t)=rx(t)∆t(1) 令∆t→0，则得到x(t)满足如下的微分方程

dx

=rx,x(0)=x0(2)

dt

对人口的阻滞体现在对r的影响上，表现为r随着人口数量x的增加而下降．我们不妨把人口的增长率r表示为关于人口数量x的函数r(x)，显而易见r(x)为减函数，于是(2)式可写为

dx

=r(x)x,x(0)=x0(3)

dt

设r(x)是x的线性函数，即

r(x)=r−sx(r>0,s>0)(4) 此时r表示当人口数目比较少时(理论上设x=0)的增长率，就是假设此时的人口是不受自然资源等限制的固有增长率。我们要明确参数s的含义，可以引入最大人口环境容纳量x m,即我国在现在及未来国情下所能容纳的最大人口数量。则当x=x m时，人口

，于是(4)达到最大，此时人口增长率为0,即增长率r(x m)=r−sx m=0从而得到s=r

x m

式可改写为

r (x )=r(1−

x x m

) (5)

将(5)代入(3)得如下的Logistic 模型

dx dt

=rx (1−x

x m

),x (0)=x 0 (6)

由分离变量法得方程（6）的通解

x x m −x

=ce rt 。

利用初始条件得

c =x 0x m −x 0

。

把c 代入通解并简化得 x (t )=x m

1+(x

m x 0

−1)e −rt

。 (7)

(7)式可简写为 x =

x m 1+ae −bt

， (8)

其中 a =

x m x 0

−1 ,b =r 。

从(8)式可以看出要想预测出人口数量，需求出参数x m ，r 或a 、b 的值。我们采用最小二乘法求

E (x m ,r )=∑

(

x m 1+(x m

x 0

−1)e −rt

−y i )2

n

i=1

的最小值，通过求ðE

ðx m

，ðE

ðr 并令它们等于零，利用Matlab 软件进行处理可以估算x m ，r

的值，并对解取倒数，得到1x =1x m

+(1x 0

−1

x m

e −rt )。利用等长度时刻t 0，t 1，t 2(t 2=2t 1)

所对应的三个人口数量求得相关参数 r =In (x 1−x 0)x 2

(x 2−x 1)x 0 ，

X m =

x 0(1+e rt )(1+x 0x 1)e rt

(t=t 1−t 0=t 2−t 1)。

3.3 Logistic 回归模型的参数估计

对Logistic 模型进行参数估计的方法有很多，通常我们使用的方法有Bayes 估计、最小二乘法估计、稳健估计等等。这里我们使用数值微分和预测拟合法对logistic 模型进行参数估计，并对结果进行合理验证。由解(8)中可知，只要对参数x m ，a ，b ,进行估计即可得出结果，主要方法和步骤如下：