高中数学第二章推理与证明211合情推理练习含解析新人教A版选修1 2

合情推理

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1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )

A.白色

B.黑色

C.白色可能性大

D.黑色可能性大

【解析】选A.由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色.

2.已知数列{a n}满足a0=1，a n=a0+a1+a2+…+a n-1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于( )

A.2n

B.n(n+1)

C.2n-1

D.2n-1

【解析】选C.a0=1，a1=a0=1，

a2=a0+a1=2a1=2，

a3=a0+a1+a2=2a2=4，

a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…，

猜想n≥1时，a n=2n-1.

3.给出下列三个类比结论：

①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；

②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；

③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.

其中结论正确的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sin αsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.

4.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )

A.f(n)+n+1

B.f(n)+n

C.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2

【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，

所以共有n(n-3)÷2个对角面，

所以可得f(n+1)-f(n)

=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2

=n-1，

故f(n+1)=f(n)+n-1.

5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

【解析】选C.观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n}，则a1=1，

a2=a1+2，

a3=a2+3，

…

a n=a n-1+n.

所以a1+a2+…+a n

=(a1+a2+…+a n-1)+(1+2+3+…+n)⇒a n=1+2+3+…+n=，

观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n}，

则b n=n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.

6.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )

1

3 5 7

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31

…

A.809

B.853

C.785

D.893

【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个，

则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，

所以这个数是2×405-1=809.

7.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是( )

A.B*D，A*D

B.B*D，A*C

C.B*C，A*D

D.C*D，A*D

【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.

8.已知“整数对”按如下规律排成一列：

(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )

A.(7，5)

B.(5，7)

C.(2，10)

D.(10，1)

【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n

个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).

9.观察下列各式：

1=12，

2+3+4=32，

3+4+5+6+7=52，

4+5+6+7+8+9+10=72，

…，

可以得出的一般结论是( )

A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2

B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2

D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2

【解析】选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n-1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…故第n个式子应该是2n-1的平方，故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

10.已知x>0，由不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…我们可以得出推广结论：x+≥n+1(n∈N*)，则a=( )

A.2n

B.n2

C.3n

D.n n

【解析】选D.再续写一个不等式：

x+=+++≥

4=4，

由此可得a=n n.