开放探究题(含答案)

开放探究题
开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.
开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.
开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.
在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.
类型之一条件开放型问题
解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. （郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可
判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．
2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是ABC
△的边AB、AC上的点，则使
△的条件是．
△∽ABC
AED
类型之二结论开放型问题
解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3.（滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），
在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC
交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；
③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

4.（•梅州）如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过
点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的
线段，请选出其中一对加以证明．
5.（•常德市）如图，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？
（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
类型之三策略开放型问题
策略开放型也称为设计方案型，是指题目的条件和结论都已知或部分已知，需要探索解题方法或设计解题方案的一类试题；这种类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决。

策略开放性问题的解题方法一般不惟一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

6.（盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
类型之四综合型问题
这类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题；它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境，解这类题时，要求我们对课本知识特别熟悉并能灵活运用。

7．（大连市）点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC = kAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF =∠A BC，EF交直线m于点F．
⑴如图1，当k = 1时，探究线段EF与EB的关系，并中以说明；
说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；
②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图2中补全图形，完成证明．
⑵如图3，若∠ABC = 90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．
图1 图2 图3
参考答案
1.【解析】由90A B C ∠=∠=∠=︒可知四边形ABCD 是矩形,再得到正方形方法有很多,比如邻边相等、对角线互相垂直等。

答案不唯一。

【答案】 AB=BC 或者BC=CD 或者CD=DA 或者DA=AB
2.【解析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可。

【答案】 AED B =∠∠，或ADE C =∠∠，或AD AE AC AB
=
3.【解析】由于A 、C 、E 三点共线可证明三角形ACD 与三角形BCE 全等（边角边）从而可证AD=BE 、∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CCBE+∠CEB =∠ACB= 60°，再证三角形ACP 全等于三角形BCQ ，从而可证AP=BQ ，PQ ∥AE 。

如果DE=DP ，那么就会有DE=DP=EQ （三角形CEQ 全等于三角形CDP ）EQ=CE 因为∠DCE=60°，所以三角形CEQ 为等边三角形，矛盾。

【答案】（1）（2）（3）（5）
4.【解析】考察了相似的两种基本图形，平行四边形中利用全等三角形的简单证明.
【答案】（1） ∆AEH 与∆DFH ．（或∆AEH 与∆BEG ， 或∆BEG 与∆CFG ，或∆DFH 与∆CFG ）
（2）OE =OF ．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
AB ∴∥CD ，AO CO = EAO FCO ∠=∠∴，
AOE COF ∠=∠∵， ∴△AOE ≌△COF ，
OE OF =∴．
5.【答案】解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④其中有两组（①③，②④）是相似的．
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P 3
1=
（2）证明：选择①、③证明．
在△AOB 与△COD 中, ∵AB ∥CD,
∴∠CDB ＝∠DBA , ∠DCA ＝∠CAB,
∴△AOB ∽△COD
选择②、④证明.
∵四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠DAB ＝∠CAB,
∴在△DAB 与△CBA 中有
AD=BC, ∠DAB ＝∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,
∴∠ADO ＝∠BCO.
又∠DOA ＝∠COB, ∴△DOA ∽△COB
6.【答案】：（1）①CF 与BD 位置关系是 垂直、数量关系是相等；
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ，
又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD ．
∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD （2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF ⊥BD （如图丁）．
理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG
可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD
（3）当具备∠BCA=45º时，
过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊）
∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，
容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ
= ， ∴44CP x x =-，2
21(2)144x CP x x ∴=-+=--+． ∵0＜x ≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．
7.【答案】（1）EF=EB．证明：如图，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M,连结EM．
∴EM=EA, ∴∠EMA=∠EAM．
∵BC=Kab,k=1，∴BC=AB．
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，∴∠MAC=∠ACB, ∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB．
∴∠CAB=∠EMA．
∵∠BEF=∠ABC, ∴∠BEF=∠FAB．
∵∠AHF=∠EHB, ∴∠AFE=∠ABE．
∴△AEB≌△MEF．
∴EF=EB．
探索思路：如上图，∵BC=Kab,k=1，∴BC=AB．
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，∴∠MAC=∠ACB．
添加条件：∠ABC=90°．
证明：如图，在直线m上截取AM=AB，连结ME．
∵BC=kAB,k=1，∴BC=AB．∵∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠ACB=45°,
∵m∥n，∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°, ∠FAB=90°．
∵AE=AE, ∴△MAE≌△ABE．
∴EM=EB, ∠AME=∠ABE ．
∵∠BEF=∠ABC=90°, ∴∠FAB+∠BEF=180°． ∴∠ABE+∠EFA=180°,又∵∠AME+∠EMF=180°, ∴∠EMF=∠EFA ．
∴EM=EF ． ∴EF=EB ．
(2)EF=k
1EB ． 说明：如图，过点E 作EM ⊥m 、EN ⊥AB,垂足为M 、N ．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m ∥n ，∠ABC=90°, ∴∠MAB=90°．
∴四边形MENA 为矩形．∴ME=NA, ∠MEN=90°． ∵∠BEF=∠ABC=90°． ∴∠MEF=∠NEB ． ∴△MEF ∽△NEB ．
∴.EB EF EN ME =∴.EB
EF EN AN = 在Rt △ANE 和Rt △ABC 中，tan ∠BAC=
k ==AB BC AN EN ， ∴EF=
k
1EB ．。