平面任意力系例题
第三章_平面任意力系
第三章 平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。
已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。
解：因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。
又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： αcos ab =[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：)(212R O O O F M M M +=)(R B A B F M M M +=)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=依题意0=Rx F ，故有：)(Ry B A B F M M M +=)24(1215-⨯+=Ry F32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==)(85.112m F M a R A ===故C 点的水平坐标为：m x 6-=。
[理学]理论力学--5平面任意力系
![[理学]理论力学--5平面任意力系](https://img.taocdn.com/s3/m/2c28f2e54028915f804dc23f.png)
MA ( F i ) = 0 MB ( F i ) = 0
Fx = 0
投影轴 x 不能与矩心 A 和 B 的连线垂直.
A B
x
17
( 2 ) 三力矩式
MA( Fi ) = 0
MB( Fi ) = 0
MC( Fi ) = 0
三个矩心 A , B 和 C 不在一直线上
A
B
C
18
l
合力大小:
q0 1 F R q( x )dx xdx q0 l 2 0 0 l
l l
14
FR
q(x)dx
b qm
1 F R q0 l 2
A
x
C
dx 2l / 2 F R AC q( x) xdx l x dx 3 q0 l 0 0
3
y
F2
450 (-3,2) (2,1)
F/R
5 β 12
F1 cosβ=12/13 x
θ
O M (0,-4) F3
sinβ=5/13
FRx FRy 702 1502 165.53N FR
FRy 150 arctg arctg 650 FRx 70
F1 cosβ=12/13 x
sinβ=5/13
解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：
主矢： FR/= Fi 主矩： Mo = m o( Fi )
2
y
F2
450 (-3,2) (2,1) O M (0,-4) F3 5 β 12
F1 cosβ=12/13 x
sinβ=5/13
F/Rx = FX = F1 cosβ - F2 cos45o + F3 = 70N F/Ry= Fy= F1sinβ + F2sin45o = 150N
平面任意力系习题
A
a
D
E
F
a
4m
B
1E
B
C
A
F
G
D
ll
6
6
a
a
题 3-28图
题3-29图
3-30.构架由杆 ACE 、DEF 、BCD 铰接而成的， 所受的力及几何尺寸如图所示，各杆的
自重不计，试求杆 BCD 在铰链 C 处给杆 ACE 的力。
D
A b
E a
C a
B
b
b
题 3-30图
3-31.如图所示的构架，起吊重物的重为 滑轮和杆的自重，几何尺寸如图，试求支座
B1
2
A
α
题 3-37图
4F 4F
F
3
a
1
F
2
a
a
a
a
a
题 3-36 图
（）
3-9.桁架中的杆是二力杆。 （ ）
3-10.静滑动摩擦力 F 应是一个范围值。 （ ）
2. 填空题（把正确的答案写在横线上）
3-11.平面平行力系的平衡方程
n
n
M A (Fi ) 0
M B(Fi ) 0 ，
i1
i1
其限制条件
。
3-12. 题 3-12 图平面力系，已知： F1=F 2=F 3=F 4=F , M=Fa ， a 为三角形边长，如以 A
C
A
l /2
l /2
l/6 B
题3-26图
3-27.均质杆 AB 重为 P1，一端用铰链 A
支与墙面上，并用滚动支座 C 维持平衡，另一端又与重为 P2 的均质杆 BD 铰接，杆 BD 靠
与光滑的台阶 E 上，且倾角为 α ，设 AC 2 AB , BE 2 BD 。试求 A 、 C 和 E 三处的约
第四章 平面任意力系
第四章平面任意力系一、判断题1.设平面一般力系向某点简化得到一合力。
如果另选适当的点简化，则力系可简化为一力偶。
对吗？（✖）2.如图所示，力F和力偶（F'，F"）对轮的作用相同，已知，F'=F"=F。
（✖）3.一般情况下，力系的主矩随简化中心的不同而变化。
（✔）4.平面问题中，固定端约束可提供两个约束力和一个约束力偶。
（✔）5.力系向简化中心简化，若R'=0，M b=0，即主矢、主矩都等于零，则原平面一般力系是一个平衡力系，对吗？（✔）6.力偶可以在作用面内任意转移，主矩一般与简化中心有关，两者间有矛盾，对吗？（✖）7.组合梁ABCD受均布载荷作用，如图所示，均布载荷集度为q，当求D处约束反力时，可将分布力简化为在BE中点的集中力3qa，对吗？（✖）8.桁架中，若在一个节点上有两根不共线的杆件，且无载荷或约束力作用于该节点，则此二杆内力均为零，对吗？（✔）9.力的平移定理的实质是，作用于刚体的一个力，可以在力的作用线的任意平面内，等效地分解为同平面内另一点的一个力和一个力偶；反过来，作用于刚体某平面内的一个力和一个力偶也可以合成为同平面内另一点的一个力，对吗？（✔）10.当向A点简化时，有R=0，M A≠0，说明原力系可以简化为一力偶，其力偶矩就为主矩M A，其与简化中心无关。
所以将R=0，M A≠0再向原力系作用面内任意点B简化，必得到R=0，M B=M A≠0的结果，对吗？（✔）二、选择题1.对任何一个平面力系（）。
A.总可以用一个力与之平衡B.总可以用一个力偶与之平衡C.总可以用合适的两个力与之平衡D.总可以用一个力和一个力偶与之平衡2.如图所示，一平面力系向0点简化为一主矢R’和主矩M0，若进一步简化为一合力，则合力R为（）。
M⁄R） B.合力矢R位于O合力矢R位于B（OB≠OC.合力矢R=R’位于B（OB=O M⁄R）D.合力矢R=R’位于A（OA=0M⁄R）3.如图所示，结构在D点作用一水平力F，大小为F=2kN，不计杆ABC的自重，则支座B 的约束反力为（）A.R B≤2kNB.R B=2kNC.R B＞2kND.R B=04.如图所示，一绞盘有三个等长的柄，长为L，相互夹角为120°，每个柄作用于柄的力P将该力系向BC连线的中点D简化，其结果为（）A.R=P，M D=3PLB.R=0，M D=3PLC.R=20，M D=3PLD.R=0，M D=2PL5.悬臂梁的尺寸和载荷如图所示，它的约束反力为（）。
平面任意力系习题答案
平面任意力系习题答案平面任意力系是指作用在物体上的力不满足平面力偶系或平面共面力系的条件，即力的作用线不在同一平面上，也不互相平行。
解决这类问题通常需要应用静力学的基本原理，如力的平衡条件、力矩平衡等。
习题1：已知一平面任意力系作用在刚体上，力F1=50N，方向为水平向右；力F2=30N，方向为竖直向上；力F3=40N，方向为与水平面成30度角斜向上。
求力系的合力。
答案：首先，将力F3分解为水平分量和竖直分量：- 水平分量：F3x = F3 * cos(30°) = 40 * (√3/2) = 20√3 N- 竖直分量：F3y = F3 * sin(30°) = 40 * (1/2) = 20 N然后，计算合力的水平分量和竖直分量：- 水平合力：Fx = F1 + F3x = 50 + 20√3 N- 竖直合力：Fy = F2 + F3y = 30 + 20 N最后，计算合力的大小和方向：- 合力大小：F = √(Fx^2 + Fy^2) = √((50 + 20√3)^2 + (30 + 20)^2) N- 方向：与水平面夹角θ满足tan(θ) = Fy / Fx习题2：一个平面任意力系作用在刚体上，已知力F1=60N，作用点A；力F2=40N，作用点B；力F3=50N，作用点C。
A、B、C三点不共线。
求力系的合力矩。
答案：首先，计算各力对任意一点（如A点）的力矩：- 力矩M1 = 0（因为力F1作用在A点，力矩为0）- 力矩M2 = F2 * (B到A的距离)- 力矩M3 = F3 * (C到A的距离)然后，计算合力矩：- 合力矩M = M1 + M2 + M3由于题目没有给出具体的距离，我们无法计算出具体的数值。
但是，上述步骤提供了计算合力矩的方法。
习题3：已知一平面任意力系作用在刚体上，力F1和F2的合力为100N，方向与F1相反，求F1和F2的大小。
答案：设F1的大小为xN，F2的大小为yN。
平面任意力系例题
NA d NB
不向右翻倒，有NA 0
Pe Wa G(b d )
NA
d
0
解不等式得
G Wa Pe 54kN bd
Gb
e
空载时 P, G, NA , NB 不向左翻倒
AP B
mA(F) NBd Gb P(d e) 0
P(d e) Gb
NB
d
0
解得
G
P(d
e)
NA
150kN
x
cos(R, i )
Rx
232.8 0.328
7051
R’ R
R 709
力系简化的主矩
MA mA(F) G11.5 G23.9 P13 2355kNm
力系的最终简化结果为一合力R
d M A 2355 3.32m R 709
例题
例题
例2. 图示倒L形杆，A端为固定端约束，水平段BC受集度为q 的均布载荷的作用，垂直段AB的中点D受一水平集中力 P和一力偶矩为M的力偶作用。求固定端A的约束力。
E 2L
O
LNB D
Nc 0.5P
mD(F) P3Lsin NA2Lsintg 0
3P
N A 2tg 2.6P
mE (F) P3Lsin NB 2Lsin sin 0
校核：
P
3P
N B 2sin 3P
mo (F )
N ALcos
NBL
Nc 3Lsin
9 PL
4
3PL
3 4
PL
B x
mB
(F )
P
h 2
Q
L 2
YA
2L
0
Ph QL YA 4L
平面任意力系习题
第3章平面任意力系习题1. 是非题（对画"，错画X）n3-1.平面任意力系的主矢F R=”F i =0时，则力系一定简化一个力偶。
（）i z!n3-2.平面任意力系中只要主矢F R = "F j =0 ,力系总可以简化为一个力。
（）i 43-3.平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。
（）3-4.平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。
（）3-5.作用在刚体上的力可以任意移动，不需要附加任何条件。
（）3-6.作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭，则该力系一定平衡。
（）3-7.平面任意力系向任意点简化的结果相同，则该力系一定平衡。
（）3-8.求平面任意力系的平衡时，每选一次研究对象，平衡方程的数目不受限制。
（）3-9.桁架中的杆是二力杆。
（）3-10.静滑动摩擦力F应是一个范围值。
（）2. 填空题（把正确的答案写在横线上）n n3-11.平面平行力系的平衡方程M A（FJ=0M B（FJ=0 ,i 9 i T其限制条件 _________________ 。
3-12.题3-12图平面力系，已知：F1=F2=F3=F 4=F , M=Fa , a为三角形边长，如以A为简化中心，则最后的结果其大小___________ ，方向_________ 。
3-13 .平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外，力系向______________________ 简化其主矩不变。
3-14.平面任意力系三种形式的平衡方程：___________________________ 、____________ 3-15.判断桁架的零力杆。
题3-13a图_____________________ 、题3-13b图____________题3-12图(1)⑵题3-22图3.简答题3-16.平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果如何? 个力偶？或者是一个力和一个力偶？）3-17 •平面力系向任意点简化的结果相同，(b)题3-13图5KN4KN/m10KN m（可能是一个力？可能是 则此力系的最终结果是什么?3-18.为什么平面汇交力系的平衡方程可以取两个力矩方程或者是一个投影方程和一个力矩方程？矩心和投影轴的选择有什么条件？3-19.如何理解桁架求解的两个方法？其平衡方程如何选取？3-20.摩擦角与摩擦因数的关系是什么？在有摩擦的平衡问题时应如何求解？4. 计算题3-21.已知F i=150N，F2=200N，F3=300N，F = F =200N，求力系向点O 简化的结果，合力的大小及到原点O的距离。
平面任意力系平衡方程的基本形式例题分析
《工程力学》课程习题-例题分析学习项目二（平面任意力系的合成与平衡）平面任意力系平衡方程的基本形式1、起重设备重G1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为G2=40k N的重物，如图所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为，其它尺寸如图所示。
求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。
解：以起重机为研究对象，它所受的主动力有G1和G2。
由于对称性，约束反力和主动力都在同一平面内。
止推轴承A处有两个约束反力F Ax、F Ay，轴承B处只有一个与转轴垂直的约束反力F B，约束反力方向如图所示。
上述力形成平面一般力系，取坐标系如图所示，列平衡方程，即∑F x=0 F Ax＋F B =0∑F y=0 F Ay－G1－G2=0∑M A（F i）=0 －F B×5－G1×－G2×=0联立以上方程，得F Ay=G1＋G2=50 kNF B =－－=－31kNF Ax =－F B =31kNF B 为负值，说明其方向与假设的方向相反，即应指向左。
2、防洪用弧形闸门有对称的两个支架和铰链支座。
已知闸门重G =1100kN ，静水总压力2P 2G B V A (F i )=0 B V ×2G×=0得 V B = kN 取x 、y 轴方向如图b ，列投影方程由∑F x =0 05531sin 25531sin 21='︒-'︒+-G V R P B得 R 1=由∑F y =0 05531c 25531cos 2='︒-'︒+os G V R B得R2=反力的方向如图b所示。
理论力学5平面任意力系
P
1m
q
C
2m
A
2m
B
43
P
1m
q
C
XA
2m
A
YA
2m
XB
B
YB
解: ( 1 ) 取整体为研究对象，画受力图.
44
P
1m
q
C
XA
2m
A
2m
XB
B
YA
MA( F ) = 0
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
45
P
1m
q
C
XA
2m
2m
A
FR 0, M O (F ) 0
（一）基本平衡方程
Fx = 0 Fy = 0 Mo ( F ) = 0
（一力矩式）
能解 3 个未知量
16
（二）平面任意力系平衡方程旳其他形式
（1） 二力矩式
MA ( Fi ) = 0 MB ( Fi ) = 0 Fx = 0
投影轴 x 不能与矩心 A 和 B 旳连线垂直.
a
G3 A
C
e G1 L G2
B
NA
b
NB
1、满载时，当重物距离右轨最远时，易右翻。 当起重机平衡 m B( F ) = 0 - G1 ·e - G2 ·L - NA ·b+ G3 ·（a+ b） = 0
NA = [ - G1 ·e - G2 ·L + G3 ·（ a+ b）] / b
33
a
G3 A
XA = 14.14 kN
Fy = 0
YA
第4章——平面任意力系补充例题讲解
用解析法求解
建立直角坐标系Oxy，如图所示，根据平衡` 方程建立方程求解
F 0 , T cos 30 W 0, TBA 34.64kN y BA
F 0 , T T sin 30 0, TBC 17.32kN x BC BA
FD
FAy= -175 N
例 下图为一悬臂梁。受集中荷载P=2kN和三角形分布荷载 q=1kN/m作用。如果不计梁重，求支座A和B的反力。
解：取CD梁为研究对象，受力图如 图（b）所示，列平衡方程
Fx 0 MA 0 XA 0 1 P 1 q 3 1 2YB 0 2 13 YB q 2 1 0.25kN() 22
几何法求解静力问题
例 一物重30kN，用不可伸长的柔索AB和BC悬挂于如图所示的平衡位 置，不计柔索重量，AB与铅垂线的夹角α=30º ，BC水平。求柔索AB 和BC的拉力。
C C
解：（1）受力分析：取重物为研究对象，受力图如图所示。根据约束 特点，绳索必受拉力。
（2）作力多边形，求解未知力。选取比例尺1cm代表15kN，任取一点 a，作ac平行于W，且|ac|=W=40KN，过c点作TBC的平行线，过a点作 TAB的平行线，两线相交于b点。于是得到封闭的力三角形abc。
用解析法求解
取坐标轴Axy如图所示，利用平衡方程，得
F 0 , R T cos 60 T cos 30 0 x AC 1 2
由于T1=T2=W=20kN，代入上式即得 RAC=-27.32 KN,RAC为负值，说明AC杆受压力。
F 0 , R T sin 30 T sin 60 0 y AB 2 1
第4章 例题 解答
平面任意力系
例 题 4
y
3m
重力坝受力情况如图所示。 重力坝受力情况如图所示 。
C
设 G1=450kN ， G2=200kN ， 450kN 200kN F1=300 kN，F2=70 kN。 求力 300 kN， kN。 系的合力F 的大小和方向余弦, 系的合力FR的大小和方向余弦,
x
9m
1.5m
q A B x
例题
平面任意力系
例 题 3
解：
F 在梁上距A 端为x 的微段d 在梁上距 A 端为 x 的微段 dx
上 ， 作用力的大小为 q‘dx ， 其 作用力的大小为q‘d
q B x
q′
中q’ 为该处的载荷集度 ，由相 似三角形关系可知
A dx x h l
x q′ = q l
因此分布载荷的合力大小
FAx= 0 ， FAy= －175 N
FD
例题
平面任意力系
例 题 9
一种车载式起重机，车重 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重 ， G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重 3 = 31 kN。 ，起重机的旋转与固定部分共重G 。 尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内， 尺寸如图所示 。 设伸臂在起重机对称面内 ， 且放在图示 位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量G 位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量 max。
′ FRy
′ FRy = ∑Fy = −G − G2 − F sin θ = −670.1kN 1 2
例题
平面任意力系
例 题 4
所以力系合力F 所以力系合力FR的大小
′ FR = FR = (ΣFx )2 + (ΣFy )2 = 709.4 kN
理论力学平面任意力系
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）
经典力学例题
1、平面任意力系例；无重水平梁地支撑和载荷如图所示,已知力F 和强度为q=F/b 地均不载荷.求 支架A 和B 地约束力.【解析】平面任意力系平衡条件.【答案】取梁分析E F X =0,F A X +F COS 30° =0E F Y =0,F ay +F B -Fsin30o -qb=0 E MA(F)=0,Fbsin30° +qb5/2b -2F B b =0解得；F*—F = ay F B =2、摩擦平衡问题静滑动摩擦力地方向与物体运动趁势方向相反，大小在零与最大静摩擦力之间；即0W F sW F max一般静摩擦力由平衡条件确定，最大静摩擦力；F max =f s FN 称为库伦摩擦定律,即静摩擦定律，其中f s 是摩擦系数.动滑动摩擦力地方向与相对滑动方向相反，大小F‘ =fFN 称为库伦动摩擦定律.即动滑动摩擦定律,f 是动摩 擦系数.例；材料不同地两块A 和B 叠放在水平面上.巳知物块A 重0.5KN,物块B 重0.2KN 物块A 、B 间地摩擦系 数f 1=0.25,物块B 与地面间地摩擦系数f 2=0.2,拉动物块B 所需要地最小力为？答案；F=(F A +F B )X f 2例3.自重为P=100KN 地T 字型钢架ABD,置于垂面内.如图.巳知q=20kn/m,F=400KN.M=20KN.M, L=1m.求固定端 地约束力.例4；求图示结构地固定端A 和 连杆支座B 地支座反力.解.利用平面任意力系地平衡条件求解；由图得；E Fx=0, -Fcos30 ° +1/2q*3L+Fax=0MA-3qL.L/2-M+Fsin30° .3L=0 解得；Fx= Fy= M A = E Fy=0, -Fsin30 ° -p+Fay=0 E M A (F)=0,解；利用物体系统地平衡I、问题求如图.取CB为研究对象，Emc=0,2RB-10=0——► RB=5KN取整体为研究对象E y=0,Y A+RB-2X20=0 ------- ► Y A=35KN工X=0,X A+50=0------ ►X A=—50E M A=0,M A+5 X 4-10-40 X 1-50 X 2=0〃-►M A=130KN2、材料力学基础概念材料力学地任务1、强度；构件抵抗破坏地能力，即在规定地使用条件下.构件不会发生断裂或显著地永久形变.2、刚度；构件抵抗变形地能力，即在规定地使用条件下，变型不超过允许地限度.3、稳定性；构件保持原有地平衡形式地能力,即在规定地使用条件下，构件能始终保持原有地平衡形式它地任务就是在满足刚度、强度和稳定性地前提下，从经济方面为构件选择适宜地材料，确定合理地形状和尺寸，为构件地设计提供基本理论和计算方法.杆地几何特征是纵向（长度方向）尺寸远大于横向（垂直与长度方向）尺寸.轴、梁和柱均属于杆.轴线为直线地杆称为真杆，轴线为曲线地杆称曲杆，等截面地直杆简称等直杆，横截面大小不等地杆称为变截面杆.杆件地四种基本形变；1、拉伸与压缩.2、剪切.3、扭转4、弯曲.12、轴杆地拉伸与压缩轴杆地拉伸与压缩地强度计算.例；图示桁架.杆1、2地横截面均匀为图形，直径分别为d1=30mm、d2=20mm、两杆材料相同，许用应力【Q】=160MPa，该桁架在节点A 处受垂直方向地载荷F作用，求F地最大允许直.如图所示三个力构成矢量三角形，有勾股定理可知;FN1 - FN2 二巨sin45° sin30G sinlOS0假设杆1、2都能够满足强度要求，则有Q1=F N1/A1=F N1/3.14* (D1/2) *(D"2)W[160]MPa F N1W113040NQ2=F N2/A2=F N2/3.14* (D2/2) *(D2/2)W[160]MPa F N2W50240N 有F1和F2强度得到F地最大允许值得、si<FW血砰得F力为97KN 例2；某铣床工作台进给液压缸如图所示，缸内工作油缸P=2MPa,内经D=75mm，活塞杆直径d=18mm,已知活塞杆材料地许应力【Q】=50MPa. 试校该活塞杆地强度.解；利用轴向拉伸或压缩时地强度解题.F=PA=2*1000000*3.14(D/2)*(D/2)=2*1000000*3.14* ( 75/2 ) (75/2)*0.000000=8831.25NQ=F/[3.14(d/2)*(d/2)]=8831.25/(3.14*81*0.000000)=34.7MPa<[q]=50M Pa故活塞杆满足强度要求13、拉伸或压缩时地变形例3,钢杆AC、BD吊一横梁AB （重量与变型不计），F=20NK,_T 钢杆横截面积A=1CM2,E=200GPa,试求两杆地应力及F力作用点G 地位移.由与载荷作用于梁地中部，由力矩平衡定理可知,FNAC=FNBD=F/2=20/2=10KN又因为AC和BD地两杆材料和横截面积都相同，则由应力公式可知Q=F/AQac=Qbd=F/2/A=10*1000/1*0.0000=100MPa(2).杆在载荷F地作用力下产生形变△L ac =F/2/LAC/EA=20/2*1000*2/200*1000000000*1*0.0001=0.00△L bd =F/2/Lbd/EA=20/2*1000*1/200*100000000*1*0.0001=0.0005m 例4.如图所示一三角架，杆AB为园钢杆,【Q】1=120MPa.直径d=24mm; 杆BC为正方形截面杆[Q]2=60MPa，边长a=20mm.求三脚架地许可荷载[p].利用平衡条件得到.N1=N2=P杆1【P1】=[N1]=[Q]*A1=34.6KN杆2【P2】=[N2]=[Q]*A2=24KN取[P]=24KN13、剪切当构件受到两个大小相等，反向相反，力地作用线相互平行且距离很近地两个力作用时.两力间地横截面发生相对错动,这种变形称为剪切. 受剪切上地内力称剪力.工程上采用实用算法，假设应力在剪切内均匀分布,设剪切面积为A,则应力为T=Fs/A强度地条件是；t=Fs/AW[t]挤压地实用计算螺栓、螺钉、键、柳钉等连接件，除了承受剪切以外，在连接件和被连接件地接触面上还相互压紧一这一现象称为挤压.作用在挤压面单位面积上地挤压力习惯上称挤压应力，用Qbs表示,挤压应力在挤压面上地分布比较复杂，所以和剪切一样，也采用使用计算，为保证构件正常,满足挤压强度条件；Qbs二Fbs/AbsW [Qbs]试中Fbs为挤压面上挤压力.Abs为挤压面积，[Qbs]为材料许用挤压应力.挤压面积根据接触面积而定,一般有两种，(1)平面接触时，挤压面积等于实际承压面积；(2)柱面接触时(如柳钉，销轴等)挤压面积为实际面积在其直径平面上地投影，即Abs=dt式中d为柳钉或销轴直径；t为接触柱面地高度，例；木接头如图所示，已知a=b=12cm. h=35cm,c=4.5cm, F=40KN.试求切应力和挤压力.剪切面地面积为A=bh=12*0.02*35*0.02=0.042m2挤压面地面积为A j「bc=12*0.02*4.5*0.01=5.4*10-3m2 则切应力t=F/A=40000N/0.042M2=0.952MPa挤压应力Q jy=F/A jy=40000N/5.4*0.001M2=7.41MPa例；一螺栓将拉杆与厚为8mm地两快板相连接，如图零件材料相同.其许应力均为【Q】=80MPa.【T】=60MPa,【Q jy】=160MPa.若拉杆厚度t=15m m,拉力F=120K N.试求螺栓直径d及拉杆厚度 b.利用剪切和挤压地实用计算求解；螺栓受到地挤压面积A=dt=15d*0.000000 tf拉杆欲满足强度要求.则Q拉W【Q】=80MPaQ y=F/AQ &=F/A图示钢板地厚度L=5mm,其极限切tb=400MPa，试问要加多大地冲压力,才能是钢板上冲出一个直径d=18mm地圆孔.利用剪切地实用计算求解, (1)受剪切力地面积为；A=3.14・d・t (2)剪断所需地冲剪力为;F=T・3.14 d仁400X3.14X18X5=113Kn b例；两块钢板个厚t】二8哑,t2=10哑，用直径相同飞柳钉搭界受拉力P=200KN地作用，如图，设柳钉地许应力分别为【t】=140MPa,[Qbs]=320MPa, 试求柳钉地直利用挤压实用计算求解；Pbs=P/5=40KND2 N 40*1000*4/3.14 - 140=19.1mm Qbs=40 X 1000/d - 8 W【Q】bs=320MPaDN15.63mm.取 d=20mm13,扭矩-外力偶据、扭矩和扭矩图杆件在垂直轴线地两个平面内受到等值，反向地力偶作用时，杆件个截面绕轴线作相对转动，这种变形称为扭矩.为；已知传动地功率p (kw)，转速n (转/分)，则外力偶据M=9550P/n (N • m)MO待续...12 / 12。
平面任意力系习题汇总
习题3-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。
解：(1)取O点为简化中心，求平面力系的主矢：
求平面力系对O点的主矩：
(2)合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力针。
习题3－2．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
解：(1)平行力系对A点的矩是：
解：(1)研究AB杆，受力分析（注意BC是二力杆），画受力图：
列平衡方程：
(2)研究铰C，受力分析（注意BC、CD、CE均是二力杆），画受力图：
由力三角形：
其中：
(3)研究OE，受力分析，画受力图：
列平衡方程：
习题3－10．图示液压升降装置，由平台和两个联动机构所组成，联动机构上的液压缸承受相等的力（图中只画了一副联动机构和一个液压缸）。连杆EDB和CG长均为2a，杆端装有滚轮B和C，杆AD铰结于EDB的中点。举起重量W的一半由图示机构承受。设W=9800N，a=0.7m，l=3.2m，求当θ=60o时保持平衡所需的液压缸的推力，并说明所得的结果与距离d无关。
解：(1)研究整体，受力分析（注意1杆是二力杆），画受力图：
列平衡方程：
解方程组：
(2)研究1杆（二力杆），受力分析，画受力图：
由图得：
(3)研究铰C，受力分析，画受力图：
由力三角形得：
杆1和杆3受压，杆2受拉。
习题3－9．图示破碎机传动机构，活动颚板AB=60cm，设破碎时对颚板作用力垂直于AB方向的分力P=1kN，AH=40cm，BC=CD=60cm，OE=10cm；求图示位置时电机对杆OE作用的转矩M。
图中的几何关系是：
(3)列平衡方程
(4)解方程组：
反力实际方向如图示；
(5)研究BC杆，是二力杆，画受力图：
平面任意力系例题
C F1
l
αB
F2 b
A
10
例题
平面任意力系
例题3
解：
F
1.取伸臂AB为研究对象。
2.受力分析如图。
y
FAy FAx
C
A
D
A
FB
α
B
E
x
F1 G
F2 A
c C
F1 a
l
αB F2 b
11
例题
平面任意力系
例题3
3.选如图坐标系，列平衡方程。 y
Fx 0,
FB
FAxFBcos0
FAy FAx
C
A D
A
2
例题
平面任意力系
例题1
主矢的方向：
cosFR
,iFRx
FR
0.614
F R ,i5.1 2
coF sR ,
jFRy
FR
0.7
8
9
F R ,j 3.9 7
y
y
F2
A 60
B F3
A
B
°
2m
2. 求主矩MO
F1
F4 C 30° x MO
F R
O
3m
M O M OF
O
x C
2 F 2 c6 o 2 0 F s 3 3 F 4 s3 i n 0 . 5 k m N
y
FAy FAx
C
A D
FB α
B
x
E
a
F1
G l
F2 b
A
13
例题
平面任意力系
例题4
如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度 为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶 M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
平面任意力系的简化实例文本
平面任意力系简化实例分析(1)固定端支座约束力分析。
图1(a)所示一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称固定端支座。
应用平面任意力系的简化理论，对平面固定端支座约束力系进行简化分析。
固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力，在平面问题中，这些力为一个平面任意力系，如图1(b)所示。
将这群力向作用平面内A 点简化，得到一个力和一个力偶，如图1(c)所示。
一般情况下，这个力的大小和方向均为未知，可用两个正交分力来代替。
因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束力可简化为两个正交约束力F Ax 、F Ay 和一个约束力偶M A ，如图1(d)所示。
固定端支座的工程结构简图为图1（e ）所示。
图1(2)线分布荷载的简化。
若力分布于物体的表面上或体积内的每一点，则称此力系为分布力。
例如屋面上的风压力，水坝受到的静水压力以及梁的自重等。
在进行计算时，将杆件用其轴线表示，如梁所受的重力则简化为沿梁轴线分布的分布力，称此荷载称为线分布荷载。
每单位长度上所受的力，称为荷载集度，并以q 表示，其单位为N/m 。
图2(a)所示三角形分布荷载，对此线分布荷载进行简化。
首先计算力系的主矢。
选取坐标系如图示，微段长度dx 上的荷载大小为()dx x q dF =；因为()x l q x q A =，则有xdx lq dF A =。
主矢在两轴上的投影分别为： 0=′RxFl q xdx l q dF FA lA l Ry 2100-=-=-='⎰⎰ 主矢的大小为：l q F F F A Ry Rx R 2122='+'=' 主矢的方向铅直向下。
再计算力系对O 点的主矩。
选取O 为简化中心，因为xdx l q xxdF dM A -=-=， 所以有 320000l q xdx l q x dM M A lA M -=-==⎰⎰图2最后讨论力系的等效结果。
因为F /R ≠0，M O ≠0，所以力系可简化为一个合力F R ，合力的大小为l q F F A R R 21='= ① 合力作用线距简化中心距离为l F M d R O 32='= ② 简化结果如图2(b)所示。
平面任意力系例题
所以，主矢的大小
2 2 FR FRx FRy 0.794 kN
例题
平面任意力系
主矢的方向：
cosFR , i FRx 0.614 FR FRy cosFR , j 0.789 FR
F2
60 ° 2m
例 题 1
FR , i 52.1
9
例题
平面任意力系
伸臂式起重机如图所示， 匀质伸臂AB 重G =2 200 N，吊 车D，E连同吊起重物各重F1= F2=4 000 N。有关尺寸为：l = 4.3 m，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，α=25°。试求铰链A 对臂AB的水平和铅直约束力， a l
10
例 题 3
F
c A F1
C
α F2 b
B
以及拉索BF 的拉力。
例题
平面任意力系 解：
1.取伸臂AB为研究对象。 2.受力分析如图。 c y A FB α
E
例 题 3
F
C F1
α F2 b
B
FAy FAx
A D
C
B
x
a l
F1
G
F2
11
例题
平面任意力系
3.选如图坐标系，列平衡方程。
例 题 3
F1
3m
G1
3.9m
90
F2
化的结果，合力与基线OA的交 点到O点的距离x，以及合力作用
x
B O
5.7m
G2 A
线方程。
5
例题
平面任意力系
y
3m
例 题 2
C
解： 1.将力系向O点简化，得主矢和主矩，
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B A h
X T Tc sin 0
T Tc sin 1.04 kN
G
b b
NA
NB
Y N A N B Tc cos 0 m A ( F ) N B 2b Td Tc cosb Tc sin h 0
Tc sin (h d ) Tc cosb NB 1.67 kN 2b 代入第二式解得 N A TC cos N B 2.19 kN
P
NB
校核：
3P 3P 2 sin
9 3 mo ( F ) N A L cos N B L N c 3L sin PL 3PL PL 0 4 4
p.6
例
题
例
题
例6. 已知起重机重P=300kN，重物重W=100kN，e=0.5m, a=5m, d=2.5m, b=4m.求起重机在满载和空载时都不致翻 倒的配重G应多大? 解：研究对象： 起重机 G b a e 分析力： P B A P, W, G, NA , NB 满载时
mB (F ) N Ad Pe Wa G (b d ) 0
NA
NA d NB
W
不向右翻倒，有NA 0 解不等式得 空载时
Wa Pe G 54 kN bd
Pe Wa G (b d ) 0 d
G b A NA P d e B NB
m A (F ) N B d Gb P (d e) 0
p.3
例
题
例
题
例3. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重W=40kN,外 伸端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和轴向力 Q=40kN。L=20cm. 求两轴承的约束力。 解：研究对象： 轮轴 P y
分析力： W, P, Q, YC , XA , YA 选轴列平衡方程：
YA A
L B XA
NF F
P
D E
XC
SGD y
对象：
G点
分析力： SGD’, SBG , SFG
S FG 2.67 P
列方程： X SGD ' cos S FG 0
Y SGD ' sin S BG 0
将NF=SFG代入第一式得
S BG 2 P
SFG
SBG G
SGD’ x
R X P1 P2 cos 300 70 0.958 232 .8 x
R Y G1 G2 P2 sin 670 .1 y
9 3
P1
3
3.9 1.5 G1
2 2 R R Ry 232 .82 (670 .1) 2 709 kN x
q B L/2 P L/2 YA M D x C
X XA P 0
L Y YA q 2 0
X A P
qL YA 2
A m XA A
L LL m A (F ) P 2 q 2 4 M m A 0
1 2 1 m A qL PL M 8 2
p.8
例
题
例
题
例8. 图示曲柄连杆机构载荷和尺寸如图，各杆的自重不计， 滑道与滑块为光滑接触。求在图示位置机构处于平衡， 力偶矩m与力P的关系，以及滑道B和轴承O的约束力。 解： NR= 3+1 = 4 NE = 3+2 = 5 静定
自由度数 N N E N R 5 4 1 取滑块为对象 选轴列方程： 分析力： P, NB , SAB
C
分析力：P, NA , NC , NB
m B (F ) PL cos(90 ) N c 2 L sin 0
N c 0 .5 P
2L A B
E 2L
L NB D
列平衡方程：
NA
O
m D (F ) P 3L sin N A 2 L sin tg 0 3P NA 2.6 P 2tg m E (F ) P 3L sin N B 2 L sin sin 0
x
X XA XB P 0
取左半部为研究对象 分析力： P,XA , YA , XC , YC
h mc ( F ) P X A h Y A L 0 2
XA 3Ph 4QL 4h
XA P A YA C
YC XC
代入第三式解得
XB
Ph 4QL 4h
将Yc 代入第二式解得
Y A W P Yc 15 kN
p.4
例
题
例
题
例4. 已知：图示小车（自重不计）上悬挂重物重G=4kN, 光 滑斜面倾角=15°, b=10cm, h=10cm, d=5cm。求：小 车匀速移动时，缆绳的拉力T 和斜面对前后轮的约束力。 解：研究对象： 小车ABC T E y C d x 分析力： T, TC = G, NA, NB 选轴列平衡方程：
列方程： m A ( F ) P 8 m A N F 3 0
XA 3 mA G YC C
P E
对象： 梁CE 列方程：
mC (F ) P 4 SGD 2 sin 0 2P SG D 3.33 P sin
分析力：P, SGD , XC , YC
S AB
XO
m O
A
Hale Waihona Puke B NB y SAB B NB P
P
YO
X S AB cos P 0 Y N B S AB sin 0
P cos N B Ptg
x
再取曲柄为对象 分析力 m, SA= SB , Xo , Yo
整体考虑
mo (F ) m S AB r sin[180 ( )] 0 Pr sin( ) m S r sin( ) AB cos
(2) 建立坐标系Axy，列出平衡方程；
a m A F 0, RB qa m P 2a 0 2 Y 0, RA RB qa P 0
XO m
A O YO SAB’
X XO P 0
XO P
Y YO N B 0
YO Ptg
p.9
例
题
例
题
例9. 图示连续梁，载荷和尺寸如图，各杆的自重不计，A端 为固定端，B、C、D、G、F均为光滑铰链。求固定端A 和三支撑杆GD、FG、BG的约束力。 YA 2 2 2 2 解： NR= 4+4=8 NE= 23+2=8 静定 A B C D P,N 以整体为对象 分析力： F ,XA ,YA ,mA
p.12
例
题
例
题
例12.在水平双伸梁上作用有集中载荷P，矩为m的力偶和集度 为q的均布载荷。如已知P=20kN，m=16kNm，q=20kN/m， a=0.8m；求支座A,B的约束反力。
q m P B a a Q y m P B RB x
A
a
A
a/2 RA
解: (1) 研究梁 ，将分布力简化成集中力，画出受力图；
T cos h 0 (3) 解方程组；
h l l2 l l Y0 1 sin cos T P l l l l2 T P 满足N>0； l1 sin h cos
X 0 T cos 1 l N l1 sin h cos T 2 P l l
y C P h h/2 XA YA A L XB L YB B L/2 Q
Ph 3QL h 3L YB m A (F ) P 2 Q 2 YB 2 L 0 4L Ph QL h L YA m B ( F ) P 2 Q 2 YA 2 L 0 4L
m A 8 P 3 S FG 0
p.10
例
题
例
题
例10.绞车通过钢丝绳牵引小车沿斜面轨道匀速上升。已知小 车重P=10kN，绳与斜面平行，=30o，a=0.75m， b=0.3m，不计摩擦；求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的 约束反力。 T b 解: (1) 研究小车，受力分析，画出受力图；
(2) 建立坐标系Oxy，列平衡方程；
A
a a
C B
X 0,T P sin 0
Y 0, N A N B P cos 0
(3) 解方程组；
m0 F 0,2 N B a Pa cos Pb sin 0
T A NA O C
y
T P sin 10 sin 30 5KN a cos b sin
力系的最终简化结果为一合力R
p.2
例
题
例
题
例2. 图示倒L形杆，A端为固定端约束，水平段BC受集度为q 的均布载荷的作用，垂直段AB的中点D受一水平集中力 P和一力偶矩为M的力偶作用。求固定端A的约束力。 解：研究对象： 倒L形杆 y L/2 分析力： q, P, M, XA, YA, mA 选轴列平衡方程：
L C
L D d YC
Q x
X XA Q 0
X A Q 40 kN
W
Y YA Yc W P 0
d m A (F ) Q 2 P 3L W L Yc 2 L 0 6 PL 2WL Qd Yc 45kN 4L
R 232 .8 , i ) x cos(R 0.328 R 709