2021年上海进才中学高三周练数学试卷(二)(含答案)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.下列命题正确的是()A. 若ac>bc，则a>bB. 若a>b，c>d，则ac>bdC. 若a>b，则1a <1bD. 若ac2>bc2，则a>b2.已知函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一条对称轴是()A. x=π8B. x=π4C. x=π2D. x=3π43.函数f(x)=lg(x−2)+1x−3的定义域是()A. (2,3)B. (3,+∞)C. [2,3)∪(3,+∞)D. (2,3)∪(3,+∞)4.下列命题中的真命题是()A. 互余的两个角不相等B. 相等的两个角是同位角C. 若a2=b2，则|a|=|b|D. 三角形的一个外角等于和它不相等的一个内角二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集集合则．6.已知点A(2,−1)在角α的终边上，则sinα=______．7.函数f(x)=lgx−sinx在定义域(0,+∞)上的零点有个．8.(1−x2)8的二项展开式中含x2项的系数是______ ．9.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=−5，a n+1=a n+2，n∈N∗，那么S1，S2，S3，S4中最小的为______．10.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2sinAcosC=sinB，则ac的值为______ ．11.定义新运算为：，例如，则函数的值域为12.若a>0，b>0，且2a+b=1，则ba2+1b2的最小值为______13. 已知sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，且α、β均为锐角，则cos(α−β)= ______ ．14. 已知偶函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈(0,1)时，f(x)=2x ，则f(−52)= ______ ．15. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 10=______．16. 已知定义在R 上的函数f(x)周期为2，且∀x ∈R ，f(x)−f(−x)=0恒成立，当x ∈[−1,0]时，f(x)=x 2，若g(x)=f(x)−log 2020x 在(0,m]上恰有2019个零点，则整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA =1，PD =√2．(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的体积．18. 设函数f(x)=3⋅log 2(4x)，14≤x ≤4；(1)若t =log 2x ，求t 取值范围；(2)求f(x)的最值，并给出最值时对应的x 的值．19. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c ，a+b cosA+cosB =ccosC ．(1)求证：角A 、C 、B 成等差数列；(2)若角A 是△的最大内角，求cos(B +C)+√3sinA 的范围(3)若△ABC 的面积S △ABC =√3，求△ABC 周长的最小值．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n ．(1)求数列的通项a n；(n∈N+)，求数列的前n项和为T n．(1)令b n=1a n2+4n−121. 设函数f(x)=4x+a，ℎ(x)=2f(x)−ax−b．2x+1(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)若f(x)为奇函数，且ℎ(x)在[−1,1]有零点，求实数b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于A，若ac>bc，c≤0，则a>b不成立，不正确；对于B，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，不正确；对于C，若a>b>0，则1a <1b，不正确；对于D，若ac2>bc2，则a>b，正确．故选D．利用不等式的性质，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：解：函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则：π=2π2ω．所以：ω=1．故f(x)=cos2x．令：2x=kπ(k∈Z)，解得：x=kπ2(k∈Z)，当k=1时，x=π2．故选：C．直接利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．3.答案：D解析：解：要使函数有意义，需满足{x−2>0x−3≠0解得x>2且x≠3故选D令对数的真数x−2大于0；分母x−3非0，列出不等式组，求出函数的定义域．求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示．4.答案：C解析：解：A.互余的两角可相等，比如都为45°，故A错；B.相等的两个角可以是对顶角，故B错；C.若a2=b2，则a2−b2=0，(a+b)(a−b)=0，即a=b或a=−b，则不管a，b是实数还是复数，均有|a|=|b|，故C正确；D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，故D错．故选：C．由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等来判断B；运用平方差公式，得到a=b或a=−b，从而|a|=|b|可判断C；运用三角形的外角的性质即可判断D．本题以命题的真假判断为载体，考查三角形的外角与内角的关系，两角互余的概念，同位角的概念以及复数范围内模与平方的关系，是一道基础题．5.答案：解析：本题主要考查集合的应用，熟悉交并补的运算法则是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意得，∴，故答案为．6.答案：−√55解析：解：设O为坐标原点，因为A(2,−1)．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5，∴sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可．本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题．7.答案：3解析：。
2021年上海市长宁区高考数学二模试卷(解析版)
2021年上海市长宁区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝（﹣1，3），B＝[0，4），则A∪B＝．2．复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是．4．若向量，，则向量与的夹角为．5．若实数x、y满足，则z＝2x﹣y的最小值为．6．函数的最小正周期为．7．在公差不为零的等差数列{a n}中，a3是a1与a9的等比中项，则＝．8．在二项式（1+x）5的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是．9．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝S n，则＝．10．定义域为R的奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设g（x）＝xf（x），若对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），则实数a的取值范围为．11．设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1的左、右焦点，点A、B在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点．若＝，且λ＞0，则实数λ的值为．12．在△ABC中，AC＝2，，若△ABC的面积为2，则AB＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，1）D．（1，﹣2）15．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（）个．A．1B．2C．3D．416．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|．命题p：若y＝f（x）是增函数，则y＝f（x）﹣g（x）不是减函数；命题q：若y＝f（x）有最大值和最小值，则y＝g（x）也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（）A．p和q都是真命题B．p和q都是假命题C．p是真命题，q是假命题D．p是假命题，q是真命题三、解答题（共有5题，满分76分）17．如图，AA1是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段A1C的中点．已知AA1＝AC＝4，BC＝3．（1）求圆柱的侧面积；（2）求证：BC⊥AM．18．设．（1）若，求f（x）的值；（2）设，若方程有两个解，求φ的取值范围．19．某种生物身体的长度f（x）（单位：米）与其生长年限x（单位：年）大致关系如下：（其中t＝e﹣0.5（e为自然对数的底2.71828…），该生物出生时x＝0）．（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生x年后的一年里身长生长量g（x）可以表示为g（x）＝f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最大值（精确到0.01）．20．（16分）设双曲线Γ：y2﹣＝1的上焦点为F，M、N是双曲线Γ上的两个不同的点．（1）求双曲线Γ的渐近线方程；（2）若|FM|＝2，求点M纵坐标的值；（3）设直线MN与y轴交于点Q（0，q），M关于y轴的对称点为M′．若M′、F、N三点共线，求证：q为定值．21．（18分）数列{a n}满足：a1＝1，a n∈N*，且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，a2n﹣1+a2n＝4a n．（1）求a2，a3，a4；（2）设d n＝a n+1﹣a n，求证：对任意n∈N*，都有d n≠1；（3）求数列{a n}的通项公式a n．参考答案一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝（﹣1，3），B＝[0，4），则A∪B＝（﹣1，4）．解：∵A＝（﹣1，3），B＝[0，4），∴A∪B＝（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．2．复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．解：因为，所以＝．故答案为：．3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是．解：由题意可知，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝，故该组数据的标准差是＝．故答案为：．4．若向量，，则向量与的夹角为．解：根据题意，设向量与的夹角为θ，向量，，则向量||＝，||＝，•＝1×0+0×1+1×（﹣1）＝﹣1，则cosθ＝＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，5．若实数x、y满足，则z＝2x﹣y的最小值为﹣2．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，2），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．6．函数的最小正周期为π．解：函数＝sin2x﹣1，所以函数的周期为：π．故选：π．7．在公差不为零的等差数列{a n}中，a3是a1与a9的等比中项，则＝．解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a3是a1与a9的等比中项，得，即，化简得d＝4a1，∴＝153a1，a9＝a1+8d＝33a1，∴＝＝．8．在二项式（1+x）5的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是．解：∵二项式（1+x）5的展开式中共有6项，它们的系数分别为，，，，，，共计2个偶数，4个奇数，从中任取两项，∴所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率为＝，故答案为：．9．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝S n，则＝3．解：由a n+1＝S n，得a n＝S n﹣1（n≥2），∴a n+1﹣a n＝S n﹣S n﹣1＝a n，得a n+1＝2a n，即（n≥2），由a1＝1，a n+1＝S n，得a2＝1，∴，∴＝1+1+＝1+＝．∴＝．故答案为：3．10．定义域为R的奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设g（x）＝xf（x），若对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），则实数a的取值范围为[﹣2，2]．解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数，因为奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减且f（x）＞0，根据奇函数对称性可知，f′（x）≥0恒成立，当x＜0时，g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，根据偶函数对称性可知，g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），所以|2+x|≥|ax|在[1，2]上恒成立，所以﹣（x+2）≤ax≤2+x，所以﹣1﹣在[1，2]上恒成立，所以﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]．11．设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1的左、右焦点，点A、B在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点．若＝，且λ＞0，则实数λ的值为1．解：因为＝0，所以，所以F1A∥BF2，根据椭圆的对称性可知，四边形F1AF2B一定为平行四边形，如图：所以F1A＝BF2，所以，即λ＝1，故答案为：1．12．在△ABC中，AC＝2，，若△ABC的面积为2，则AB＝1．解：因为，所以+＝1，可得2cos A sin B+sin A cos B＝sin A sin B，所以cos A sin B+cos A sin B+sin A cos B＝sin A sin B，所以cos A sin B+sin（A+B）＝sin A sin B，可得cos A sin B+sin C＝sin A sin B，由正弦定理可得b cos A+c＝b sin A，可得c＝b（sin A﹣cos A），又因为b＝AC＝2，所以c＝2（sin A﹣cos A），又因为S＝bc sin A＝2（sin A﹣cos A）sin A＝1﹣sin2A﹣cos2A＝1﹣sin（2A+）＝2，所以sin（2A+）＝﹣，又A∈（0，π），可得A＝，所以S＝bc＝2，解得c＝AB＝1．故答案为：1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：若函数y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）时，则（﹣1）α＝1，∴α＝﹣2或α＝2，∴y＝f（x）为偶函数．若y＝f（x）为偶函数，①α＝﹣1，，1时为奇函数，②α＝时为非奇非偶函数，③α＝﹣2，2时为偶函数，∴若y＝f（x）为偶函数时，α＝﹣2，2∴函数y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）是y＝f（x）为偶函数的充要条件．故选：C．14．直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，1）D．（1，﹣2）解：根据题意，直线l的参数方程是，则其普通方程为x﹣1＝﹣2（y﹣1），即y﹣1＝﹣（x﹣1）其斜率k＝﹣，直线l的一个方向向量为（1，﹣），分析可得：直线l的方向向量可能是（﹣2，1），故选：B．15．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（）个．A．1B．2C．3D．4解：第一类：①A1在平面的一边，B，D在另一边，有一个平面α符合条件；②B在平面的一边，A1，D在另一边，有一个平面α符合条件；③D在平面的一边，A1，B在另一边，有一个平面α符合条件；第二类：A1，B，D都在平面的同侧，有一个平面α符合条件．综上所述，满足条件的平面α共有4个．故选：D．16．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|．命题p：若y＝f（x）是增函数，则y＝f（x）﹣g（x）不是减函数；命题q：若y＝f（x）有最大值和最小值，则y＝g（x）也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（）A．p和q都是真命题B．p和q都是假命题C．p是真命题，q是假命题D．p是假命题，q是真命题解：对于命题p：设x1＜x2，因为y＝f（x）是R上的增函数，所以f（x1）＜f（x2），所以|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2），因为|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，所以﹣f（x2）+f（x1）≤g（x1）﹣g（x2）≤f（x2）﹣f（x1），所以f（x1）﹣g（x1）≤f（x2）﹣g（x2），故函数y＝f（x）﹣g（x）不是减函数，故命题p为真命题；对于命题q：y＝f（x）在R上有最大值M，此时x＝x1，有最小值m，此时x＝x2，因为|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，所以|g（x1）﹣g（x2）|≤M﹣m，所以m﹣M≤g（x1）﹣g（x2）≤M﹣m，故函数y＝g（x）也是有界函数，所以y＝g（x）也有最大值和最小值，故命题q为真命题．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，AA1是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段A1C的中点．已知AA1＝AC＝4，BC＝3．（1）求圆柱的侧面积；（2）求证：BC⊥AM．解：（1）由题意可得AC＝4，BC＝3，L＝AA1＝4，所以在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，所以底面半径r＝AB＝，所以圆柱的侧面积S＝2πrL＝2π××4＝20π．（2）证明：由题意可得BC⊥AC，又因为图为圆柱，可得AA1⊥底面ABC，因为BC⊂底面ABC，所以BC⊥AA1，因为BC⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以BC⊥△ACA1，又AM⊂△ACA1，所以BC⊥AM．18．设．（1）若，求f（x）的值；（2）设，若方程有两个解，求φ的取值范围．解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∵，且x∈[0，]，∴cos x＝，∴sin2x＝2sin x cos x＝2××＝，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×＝，∴f（x）＝sin2x+cos2x＝×+×＝．（2）f（x﹣φ）＝sin[2（x﹣φ）+]＝sin（2x+﹣2φ），∵x∈[0，]，且，∴2x+﹣2φ∈[﹣2φ，﹣2φ]⊆[，]，∵sin x＝在[，]内的解为和，∴，解得≤φ≤，故φ的取值范围为[，]．19．某种生物身体的长度f（x）（单位：米）与其生长年限x（单位：年）大致关系如下：（其中t＝e﹣0.5（e为自然对数的底2.71828…），该生物出生时x＝0）．（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生x年后的一年里身长生长量g（x）可以表示为g（x）＝f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最大值（精确到0.01）．解：（1）由＞8得：，解得：，∵t＝e﹣0.5∈（0，1），∴x﹣4＞，∵＝＝﹣＝2ln4，∴x＞2ln4+4，又∵ln4≈1.386，∴x＞6.772，即约需要6.8年．（2）g（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣＝，令u＝t x﹣4，x﹣4≥﹣4，u∈（0，e2），则g（u）＝＝10（1﹣t），∵tu+＝2，当且仅当tu＝即u＝时，等号成立，∴g（u）≤10（1﹣t）≈1.24，∴g（x）的最大值为1.24．20．（16分）设双曲线Γ：y2﹣＝1的上焦点为F，M、N是双曲线Γ上的两个不同的点．（1）求双曲线Γ的渐近线方程；（2）若|FM|＝2，求点M纵坐标的值；（3）设直线MN与y轴交于点Q（0，q），M关于y轴的对称点为M′．若M′、F、N三点共线，求证：q为定值．【解答】（1）解：令y2﹣＝0，则x＝±y，∴双曲线Γ的渐近线方程为x±y＝0．（2）解：由题意知，F（0，2），设M为（x，y），则y2﹣＝1，且y∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又|FM|＝2＝，解得y＝或（舍），∴点M纵坐标的值为．（3）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x＝0，与y轴有无数个交点，不符合题意；②当直线MN的斜率存在时，设为k（k≠0，且k≠±），则其方程为y＝kx+q，设M（x1，y1），N（x2，y2），则M'（﹣x1，y1），联立，得（3k2﹣1）x2+6kqx+3q2﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵M′、F、N三点共线，∴k M′F＝k FN，即，也即x1y2+x2y1＝2（x1+x2），∴x1（kx2+q）+x2（kx1+q）＝2（x1+x2），即2kx1x2＝（2﹣q）（x1+x2），∴2k•＝（2﹣q）•（﹣），化简得，q＝，为定值，故命题得证．21．（18分）数列{a n}满足：a1＝1，a n∈N*，且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，a2n﹣1+a2n＝4a n．（1）求a2，a3，a4；（2）设d n＝a n+1﹣a n，求证：对任意n∈N*，都有d n≠1；（3）求数列{a n}的通项公式a n．【解答】（1）解：根据题意，可知数列{a n}为递增数列，∵a2n﹣1+a2n＝4a n，a1＝1，∴当n＝1时，a1+a2＝4a1，解得a2＝3a1＝3，当n＝2时，a3+a4＝4a2＝12⇒a4＝12﹣a3，∵a3＜a4⇔a3＜12﹣a3⇒a3＜6⇒3＜a3＜6，当a3＝4时，a4＝8，又因为当n＝3时，a5+a6＝4a3＝16，又由a5＜a6可得，a5＜8，即a5＜a4，该结果与题意相反，故a3≠4；由上可得，a3＝5，a4＝7．（2）证明：假设存在K∈N*，使得d k＝1，即a k+1＝a k+1，则由a2k﹣1+a2k＝4a k，及a2k﹣1＜a2k，得a2k＞2a k，由a2k+1+a2k+2＝4a k+1＝4a k+4，及a2k+1＜a2k+2，得a2k+1＜2a k+2，由此可得，a2k＝a2k+1＝2a k+1，该结论与a2k＜a2k+1相反，∴假设不成立，即d K≠1，即对任意n∈N*，都有d n≠1．（3）解：由（2）可知，d n＝a n+1﹣a n≥2，∴4（a n+1﹣a n）＝a2n+1+a2n﹣a2n﹣1﹣a2n＝（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1），∴对任意的n∈N*，都有4d n＝d2n+1+2d2n+d2n﹣1，当n＝1时，得d3+2d2+d1＝4d1＝8，又由d2≥2，d3≥2，得d2＝d3＝2，设d k＝2，由d2k+1+2d k+d2k﹣1＝4d k＝8，及，得a2k+1＝a2k＝a2k﹣1＝2，∴对任意的n∈N*，d n＝2，进而a n＝2n﹣1．。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝．6．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg 是奇函数，则a+b的值可以是.（写出一个值即可）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．（5分）对于任意实数a，b，c，d，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，则D．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd 14．（5分）关于函数f（x）＝sin x+，下列观点正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝0对称B．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象关于直线x＝π对称15．（5分）设函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，3），则函数y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点（）A．（1，1）B．（3，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，1）16．（5分）已知a1，a2，a3，a4均为正数，且a1+a2+a3+a4＝10，以下有两个命题：命题一：a1，a2，a3，a4中至少有一个数小于3；命题二：若a1a2a3a4＝7，则a1，a2，a3，a4中至少有一个数不大于1．关于这两个命题正误的判断正确的是（）A．命题一错误、命题二错误B．命题一错误、命题二正确C．命题一正确、命题二错误D．命题一正确、命题二正确三、解答题（满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．（1）求正四棱锥E﹣ABCD的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角θ的大小．18．（14分）已知f（x）＝ax2﹣（a+1）x，g（x）＝﹣a+13x，其中a∈R．（1）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）＜g（x）在x∈[2，3]时恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，已知tan A＝．（1）若△ABC外接圆的直径长为，求BC的值；（2）若△ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．20．（16分）已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4+a1，S16＝16b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和；（3）设集合，，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{c n}，记U n为数列{c n}的前n项和，求|U n﹣2020|的最小值．21．（18分）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）判断函数f（x）＝x2是否是定义域上的C函数，说明理由；（2）若f（x）是R上的C函数，设a n＝f（n），n＝0，1，2，…，m，其中m是给定的正整数，a0＝0，a m＝2m，记S f＝a1+a2+…+a m，对满足条件的函数f（x），试求S f的最大值；（3）若f（x）是定义域为R的函数，最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝（﹣1，3]．解：∵集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤3}，∴B∩∁U A＝{x|﹣1＜x≤3}＝（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．解：∵角α的终边过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，∴sinα＝＝﹣，故答案为：．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是[﹣1，2]．解：由题意得：3﹣|1﹣2x|≥0，即|2x﹣1|≤3，故﹣3≤2x﹣1≤3，解得：﹣1≤x≤2，故函数的定义域是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为﹣160．解：（2x﹣1）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•（2x）6﹣r，令6﹣r＝3，可得r＝3，故展开式中含x3的项的系数为﹣•23＝﹣160，故答案为：﹣160．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝8．解：由S10﹣S5＝a6+a7+…+a10＝（a6+a10）+（a7+a9）+a8＝5a8＝40，所以a8＝8．故答案为：86．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝3．解：在△ABC中，∵已知tan A＝1，tan B＝2，∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝3，故答案为：3．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为3．解：由cos（3x+）＝0，可得3x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，可得在[0，π]上的解为，，，共3个解．故答案为：3．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是[0，]．解：∵定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x＝cos（x+）是减函数，其中a ＞0，∴x+∈[﹣a+，a+]，∴﹣a+≥0，且a+≤π，求得0＜a≤，故a的最大值为，则当a取最大值时，x+∈[0，]，f（x）＝cos（x+）的值域为[0，]，故答案为：[0，]．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg是奇函数，则a+b的值可以是﹣2.（写出一个值即可）解：根据题意，函数f（x）＝lg是奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即lg+lg＝lg＝0，则有a2＝4，解可得a＝±2，又由a≠2，则a＝﹣2，则f（x）＝lg，有＞0，解可得：﹣＜x＜，即函数的定义域为（﹣，），即0＜b≤，故有﹣2≤a+b≤﹣，故答案为：﹣2，（答案不唯一）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．解：S n＝＝﹣•（﹣）n，①n为奇数时，S n＝+•（）n，可知：S n单调递减，且S n＝，∴＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n＝﹣•（）n，可知：S n单调递增，且S n＝，∴＝S2≤S n＜，∴S n的最大值与最小值分别为：2，，考虑到函数y＝3t﹣在（0，+∞）上单调递增，∴A≤（3S n﹣）min＝3×﹣＝，B≥（3S n﹣）max＝3×2﹣＝，∴B﹣A的最小值＝﹣＝，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意；当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1），图象如图所示：当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，函数y＝﹣x的函数值为﹣，∴两图象有4个交点，符合题意；当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1），在[0，）内两函数图象有两个交点，则若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）内有两个交点即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，也就是k＝x+在（，+∞）内有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），∴0＜＜，且k＞2，得k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确。
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交且不过圆心 C ．相切 D ．相离【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆224x y +=的圆心到直线的距离925d ==<， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 故选：B2．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=【答案】A【详解】函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令23x k ππ-=，可得()f x 的图象的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为6x π=，故选A.【解析】三角函数图象变换.3．已知数列{}{}{},,n n n a b c ，以下两个命题：①若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是递增数列，则{}{}{},,n n n a b c 都是递增数列； ②若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，则{}{}{},,n n n a b c 都是等差数列；下列判断正确的是（ ） A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】D【解析】对于①，不妨设2n a n =，3n b n =，sin n c n =，所以{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是递增数列，但sin n c n =不是递增数列，故①是假命题；对于②，{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，不妨设公差分别为a ，b ，c ，则11n n n n a b a b a --+--=，11n n n n b c b c b --+--=，11n n n n a c a c c --+--=，所以12n n a b c a a --+-=，12n n a c b b b --+-=，12n n b a cc c --+-=，所以若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，则{}{}{},,n n n a b c 都是等差数列，故②是真命题 故选D4．已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ）A ．12B ．1312CD ．1【答案】B【分析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值. 【详解】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =, 设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++--5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和, 所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B.【点睛】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.二、填空题5．若集合{}12A x Z x =∈-<<，{}220B x x x =-=，则A B =______.【答案】{}0,1,2【分析】求出集合A 、B ，利用并集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}120,1A x Z x =∈-<<=，{}{}2200,2B x x x =-==，因此，{}0,1,2A B =.故答案为：{}0,1,2.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.6．若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为________【答案】2-【分析】由x 、y 满足约束条件，画出可行域，将目标函数3z x y =+转化为1133y x z=-+，平移直线13y x=-，由直线在y轴上的截距最小时，目标函数取得最小值求解.【详解】由x、y满足约束条件262x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数3z x y=+转化为1133y x z=-+，平移直线13y x=-，当直线经过点()4,2A-时，直线的y轴上的截距最小，此时，目标函数取得最小值，最小值为-2，故答案为：-27．已知向量(2,1),(2,1)a b k k==-+，且a b⊥，求实数k=_______【答案】5【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接求出.【详解】∵a b⊥，∴2(2)10a b k k⋅=-++=，故5k=.故答案为：5.8．直线1:(3)30l a x y++-=与直线2:5(3)40l x a y+-+=，若的方向向量是的法向量，则实数_____．【答案】2-【解析】试题分析：由题意得：12l l⊥，即5(3)302a a a++-=⇒=-【解析】两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C ++='，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C -+='9．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______.【答案】80【分析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk kk k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80.【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.10．通过手机验证码登录哈喽单车App ，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________ 【答案】16【分析】利用概率的定义进行求解即可.【详解】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==. 故答案为：16【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题 11．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=________________.【答案】323【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++，即可计算出所求极限值.【详解】由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列，11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--，1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=. 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0>ω.若函数()f x 在0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________． 【答案】54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当0f x 时,()3k x k Z ππωω=-+∈,当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,则523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,进而求解即可 【详解】由题,()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭取零点时,3x k πωπ+=()k Z ∈ ,即()3k x k Z ππωω=-+∈,则当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力13．欧拉公式i e cos isin θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos2020n n a π=+isin 2020n π（1,2,3,n =⋅⋅⋅），则数列{}n a 前2020项的乘积为________ 【答案】i【分析】根据题意，2020cos sin 20202000n i n n n a i e πππ=+=，然后可得，2202022020202020202020202020202020122020i iiia a a e eeeππππππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⋯=， 然后，利用等差数列求和公式求解即可 【详解】cos sin i e i θθθ=+2020cossin 20202000n i n n n a i e πππ∴=+=， 220202202020212020202020202020202020202122020i iiiia a a e eeeeπππππππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴=⋯==20212021cossin cos 1010sin 10102222i i i ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：i【点睛】本题考查指数的乘积运算以及等差数列的求和，属于简单题 14．已知函数1()()2xx f x a a -=-（1a >）的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数()F x =1(1)1f x --+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 【答案】2【分析】由1a >，得到函数()f x 在定义域上单调递增，再由函数与反函数具有相同的单调性以及平移变换，得到1(1)f x --在[3,5]-上单调递增，再由函数与反函数具有相同的奇偶性求解. 【详解】因为1a >，所以函数1()()2xx f x a a -=-（1a >）在定义域上单调递增， 因为函数与反函数有相同的单调性，所以1()f x -在[4,4]-上单调递增，1(1)f x --在[3,5]-上单调递增， 因为()f x 为奇函数，则1()f x -也为奇函数，11(4)(4)22M m f f --∴+=+-+=.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数与反函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ→→→=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________ 【答案】(,4){122}-∞---．【分析】由已知向量等式可得0λ<，令sin x t =，把关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0，2)π上恰有两解转化为22(1)10t t λ-++=在(1,1)-上有唯一解，进一步得到关于λ的不等式（组)求解，与0λ<取交集得答案．【详解】由(1)()AD AB AC AC AB AC AC BC λλλλ→→→→→→→→=+-=+-=-， 且AD AC CD →→→=+，得AC BC AC CD λ→→→→-=+，即CD BC λ→→=-，D 是ABC 边BC 延长线上，0λ∴->，即0λ<．关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0，2)π上恰有两解，令sin x t =，可得22(1)10t t λ-++=在(1,1)-上有唯一解，[2(1)1][2(1)1]0λλ∴-+++++<或2(1)801114λλ⎧=+-=⎪⎨+-<<⎪⎩， 又0λ<，解得4<-λ或1λ=--∴实数λ的取值范围是(,4){122}-∞---．故答案为：(,4){122}-∞---．【点睛】方法点睛：一元二次方程的根的分布问题常从以下几个方面考虑：（1）二次函数的抛物线的开口方向；（2）对称轴位置；（3）∆大小；（4）端点函数值；（5）抛物线与坐标轴的交点.16．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()()1210n n n a na n N*++-=∈，则下列命题：①n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数()2112x n n a f x x a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则存在某个区间()(),1n n n N *+∈，使得()f x 在(),1n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________ 【答案】②③【分析】对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得n a ，可验证出10n n a a +->，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定()f x 单调性，利用零点存在定理可得到结论. 【详解】对于①，由()1210n n n a na ++-=得：121n n a an n+=⋅+， 又141a =，n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，①错误；对于②，由①知：11422n n na n-+=⋅=，12n n a n +∴=⋅， ()()()21111122222220n n n n n n a a n n n n n +++++∴-=+⋅-⋅=+-=+>， {}n a ∴是递增数列，②正确；对于③，由②知：101n n a a +<<，21x n n a y a -+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭单调递减，()221112222x x n n a n f x x x a n --+⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭单调递增()21222n n f n n n -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，()111222n n f n n n -⎛⎫+=+- ⎪+⎝⎭，当1n =时，()712f =-，()122f =，即()()120f f <，由零点存在定理知③正确；综上所述：正确的命题序号为②③. 故答案为：②③.【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.三、解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,2,4AB BC CC ===，M 为棱1CC 上一点．（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成的角； （2）若12C M =，求点B 到平面11A B M 的距离． 【答案】（1）5arcsin3或5arctan 2或2arccos 3；（2）2．【分析】（1）先证明异面直线1A M 和11C D 所成角即为11B A M ∠或其补角，再求11B A M ∠得解；（2）利用等体积法求解即可.【详解】解：（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得15B M = ∵1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为11B A M ∠或其补角， 长方体1111ABCD A B C D -中，1111111,A B B C A B B B ⊥⊥，∴11A B ⊥面11B BCC ，∴111A B B M ⊥，故可得11B A M ∠为锐角且111115tan 2B M B A M B A ∠==11B A M ∠=arcsin 3或arctan 2或2arccos 3.所以异面直线1A M 和11C D 所成的角为2arccos 3.（2）设点B 到平面11A B M 的距离为h ，11111,B A B M M A B B V V B M --==11112242,3232h h ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴=所以点B 到平面11A B M 的距离为【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）向量法；（2）几何法（找→作→证→指→求）；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解. 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2. 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19． 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 【答案】（1）10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）；（2）71924m ≤≤． 【详解】1）由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． （２）因为030M ≤≤，所以()*100{116,1030mx x x x N mx x +--≥≤≤∈+--≤恒成立()*101{116,201m x x x N m x ≥-++⇒≤≤∈≤+恒成立t =，则：114t ≤≤ 22101011{1420101m t t t m t t ≥-++⎛⎫⇒≤≤ ⎪≤++⎝⎭恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． 20．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且1210,15a a ==．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==；（3）1a ≤． 【分析】（1）由题意可得12n n n b a a +=+，211n n na b b ++=联立化简变形可得=（2）由（1(4)2=+n ，即2(4)2n n b +=为所求；结合1n a +=求出(3)(4)2n n n a ++=；（3）法一：由（2）得1na ，表示出n S ，将原不等式等价转化为2(1)(36)80a n a n -+--<，结合二次函数2()(1)(36)8f n a n a n =-+--的性质讨论即可；法二：由（2）得1n a ，表示出n S ，将原不等式等价转化为不等式化为23813n a n n+<++对任意*n ∈N 恒成立，研究函数238()3n f n n n+=+的单调性，求出min ()f n ，则min ()a f n ≤. 【详解】解：（1）由已知．12n n n b a a +=+①，211n n n a b b ++= ②．由②可得1n a +=③将③代入①，得对任意*2,n n N ≥∈，有2n b =即是等差数列（2）设数列的公差为d ．由1210,15a a ==，得1225,18,2b b ====，d ==2(4)(1)1)4)2,n n n d n n b +=-⋅=+-=+=． 由已知，当2n ≥时，(3)(4)2n n n a ++==，而110a =也满足此式．所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式为：2(3)(4),(4)22n n n n n a b +++==． （3）由（2），得12112(3)(4)34n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 不等式22n n n b aS a <-化为11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭． 解法一：不等式化为2(1)(36)80a n a n -+--<，设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--，则()0f n <对任意*n ∈N 恒成立．当10a ->，即1a >时，不满足条件， 当10a -=，即1a =时，满足条件．当10a -<，即1a <时，函数()f n 图像的对称轴为直线3(2)02(1)a x a -=-<-，()f n 关于n 递减，只需(1)4150f a =-<，解得154a <，故1a <． 综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．解法二：不等式化为22683n n a n n++<+对任意*n ∈N 恒成立， 即23813n a n n+<++，设238()3n f n n n+=+，任取1n 、*2n N ∈，且12n n <，则()()1212221122383833n n f n f n n n n n ++-=-++ ()()()()2112122211223824033n n n n n n nn n n -+++⎡⎤⎣⎦=>++，故()f n 关于n 递减．又()0f n >且lim ()0n f n →∞=， 所以238113n n n++>+对任意*n ∈N 恒成立，所以1a ≤． 因此，实数a 的取值范围是(,1]-∞． 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断； （3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.21．设对集合D 上的任意两相异实数1x ，2x ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ；若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x .（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8a f x x =，()()()log log a a g x a x a x =+--，若01a <<，是否存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，)1a .【分析】（1）令1x x =，2x x =-代入已知不等式中，再结合()y f x =是偶函数，即可证明()y g x =是偶函数；（2）根据新定义先列出不等式，再把()y f x =是R 上的增函数转化为若12x x <，则12()()f x f x <，代入不等式即可证明()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到()212120a x x a x x --+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =，证明当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，再证明，当)121a x x a ≤<<时不合题意，从而求得t 的最大值．【详解】（1）设x 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，∴()()0g x g x --≤，即()()g x g x -= ∴()y g x =为偶函数.（2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，即()()120f x f x -<，所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证.（3）若存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在1x ，(]20,x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a a x f x f x x x x -=-=，()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++-=-==---+--+-∴()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---≤-+-在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在1x ，(]20,x t ∈时恒成立()212120a x x a x x ⇔--+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，当)121a x x a ≤<<时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+<--=⎣⎦，不合题意.综上所述，实数t的最大值为)1a .【点睛】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2024年上海市浦东新区进才中学数学高三上期末检测试题含解析
2024年上海市浦东新区进才中学数学高三上期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10B ．3C ．5D ．22．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．233．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 6．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π47．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．132B ．5C ．25D ．138．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．329．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．132⎛- ⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．13,2⎛⎝⎭或132⎛- ⎝⎭10．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 211．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭12．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题2020．12一、填空题1．若集合{12}A x Z x =∈-<<∣，{}220B xx x =-=∣，则A B ⋃=__________ 2．若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为________3．已知向量(2,1),(2,1)a b k k ==-+，且a b ⊥，求实数k =_______4．直线1l ：(3)30a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a =______5．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______6．通过手机验证码登录共享单车APP ，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码()1234,,,a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为______7．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=______8．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>，若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围为_____9．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos sin (1,2,3,)20202020n n n a i n ππ=+=，则数列{}n a 前2020项的乘积为___________ 10．已知函数()1()(1)2xx f x a a a -=->的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________11．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________ 12．已知{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则下列命题：①n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数211()2x n n a f x x a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则存在某个区间()*(,1)n n n N +∈，使得()f x 在(,1)n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为__________二、选择题13．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交且不过圆心 C ．相以 D ．相离14．已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经过如下变换得到：先将()g x 的图像向右平移3π个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图像的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 15．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，以下两个命题：①如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +都是递增数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是递增数列；②如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +是等差数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是等差数列；下列判断正确的是（ ）A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题16．已知单位向量a 、b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b ta b -+++--的最小值为（） A B ．1312C D ．1 三．解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,2,4AB BC CC ===，M 为棱1CC 上一点．（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成的角； （2）若12C M =，求点B 到平面11A B M 的距离．18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若23,cos 3a cb B ===，求c 的值（2）若sin cos 2A B a b =，求sin 2B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．某油库的设计最大容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x的函数关系为()*0,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月油库满足区域内外需求后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式：（2）要使16个月内油库总能满足区域内和区域外的需求，且油库的石油剩余量不超过油库的最大容量，试确定m 的取值范围．20．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且1210,15a a ==．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立，求实数a 的取值范围．21．设对集合D 上的任意两相异实数1x 、2x ，若()()()()1212f x f x g xg x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ，若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x ．（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8,()log ()log ()a a a f x x g x a x a x ==+--，若01a <<，是否存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．{0,1,2} 2．2- 3．5 4．2-5．80 6．72000 7．323 8．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．i 10．2 11．4λ<-或1λ=--．②③二、选择题13．B 14．A 15．D 16．B三、解答题17．（1）或arctan 2arccos 3；（2）h =．解：（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得1B M =∵1111A B C D ∥，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B ，所成角长方体1111ABCD A B C D -，D 中，1111111,A B B C A B B B⊥⊥，∴11A B ⊥面11B BCC ，∴111A B B M ⊥，故可得11B A M ∠为锐角且11111tan 2B M B A M B A ∠==112arctanarcsin ,arccos 233B A M ∠=（2）设点B 到平面11A B M 的距离为h，11111,B A B M M A B B V V B M --==，11112242,3232h h ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴= 18．（1）3c =；（2）5（1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯ ，即213c =，所以3c =．（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B = 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =． 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，cos 5B =．因此sin cos 2B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 19．（1）()*10116,M mx x x x N =--≤≤∈；（2）71924m ≤≤ （1）由条件得202100p ==，)*116,y x x N=≤≤∈ 2分()*10,116,M mx x x x N =--≤≤∈ 6分（2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立． 8分()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩恒成立 10分t =，则：221010111114420101m t t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由2217110101101224m t t t t ⎛⎫⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） 12分212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． 14分20．（1）证明略；（2）2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==；（3）1a ≤．解：（1）由已知．12n n n b a a +=+①，211n n n a b b ++=②．由②可得1n a +=③ 将③代入①，得对任意*2,n n N ≥∈，有2n b =，即所以，是等差数列 （2）设数列的公差为d ．由1210,15a a ==，得1225,18,2b b ====，2d ==2(4)(1)(1)4),2222n n n d n n b +=-⋅=+-=+=．由已知，当2n ≥时，(3)(4)2n n n a ++==，而110a =也满足此式．所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式为：2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==．（3）由（2），得12112(3)(4)34n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 不等式22n n n b aS a <-化为11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭． 解法一：不等式化为2(1)(36)80a n a n -+--<，设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--，则()0f n <对任意*n ∈N 恒成立． 当10a ->，即1a >时，不满足条件，当10a -=，即1a =时，满足条件． 当10a -<，即1a <时，函数()f n 图像的对称轴为直线3(2)02(1)a x a -=-<-，()f n 关于n 递减，只需(1)4150f a =-<，解得154a <，故1a <． 综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．解法二：不等式化为22683n n a n n ++<+对任意*n ∈N 恒成立，即23813n a n n+<++ 设238()3n f n n n+=+，任取1n 、*2n N ∈，且12n n <，则()()1212221122383833n n f n f n n n n n ++-=-++ ()()()()2112122211223824033n n n n n n nn n n -+++⎡⎤⎣⎦=>++，故()f n 关于n 递减．又()0f n >且lim ()0n f n →∞=，所以238113n n n++>+对任意*n ∈N 恒成立，所以1a ≤． 因此，实数a 的取值范围是(,1]-∞．21．（1）偶函数，证明略；（2）证明略；（3）max 1)t a =．解：（1）设 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=， ∴|()()|0g x g x --≤，即()()g x g x -=，∴()y g x =为偶函数 4分 （2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 即()()120f x f x -<， 5分 所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证． 10分 （3）若存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在12,(0,]x x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a ax f x f x x x x -=-=， ()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++∴-=-==---+--+-()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---∴≤-+-在12,(0,]x x t ∈时恒成立()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在12,(0,]x x t ∈时恒成立， ()212120a x x a x x ⇔--+≥在12,(0,]x x t ∈时恒成立．令2220a t at --=，取1)t a =当1201)x x a <<≤时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+>--=，当121)a x x a ≤<<时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+<--=不合题意．综上所述，实数t 的最大值为1)a ．。
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有2题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分。
1．（4分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则AB = ．2．（4分）已知1i +是实系数一元二次方程20x ax b ++=的根(i 为虚数单位），则2a b += ． 3．（4分）已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则xy = ．4．（4分）已知球的主视图的面积为4π，则该球的体积为 ． 5．（4分）若1()n x x +展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ．6．（4分）已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -⎧⎪⎨⎪+⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为 ．7．（5分）方程239(log )log 32x x +=的解集为 ．8．（5分）某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）: 高一 6 6.5 7 7.5 8 高二 6 7 8 9 10 11 12 高三34.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为 ．9．（5分）已知(1,0)A 、(0,1)B -，若曲线2:1C y x =-上存在两个不同的点P 满足条件BP BA t ⋅=，则t 的取值范围为 ．10．（5分）将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数的()y g x =图象．若()y g x =在[0，](0)b b >上至少含有2021个零点，则b 的最小值为 ．11．（5分）已知a 、b 、m 、n 均为正实数，且满足202120200a b ab +-=，202020218()m n a b +=+，则11()()m n m n+⋅+的取值范围为 ． 12．（5分）已知a 、b 、c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为1x ，2x ，且1||1x <，2||1x <，则a b c ++的最小值为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．（5分）已知实数0a ≠，则“1a <”是“11a>”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）以圆22430x y x +++=的圆心为焦点的抛物线标准方程为( ) A ．24y x =B ．24y x =-C ．28y x =-D ．28y x =15．（5分）已知函数()()f x x D ∈，若对任意的x D ∈，都存在t D ∈，使()()f t f x =-成立，称()f x 是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是( ) ①2()f x x =；②()f x lnx =；③1()f x x x=+；④()cos f x x =． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．（5分）数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝m ，且对任意的n ∈N *都有a n +a n +1＝2n +1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ） ①存在实数m ，使得{a n }为等差数列； ②在实数m ，使得{a n }为等比数列；③若存在k ∈N *使得S k ＝S k +1＝55，则实数m 唯一． A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，已知圆锥SO 底面圆的半径1r =，直径AB 与直径CD 垂直，母线SA 与底面所成的角为3π．（1）求圆锥SO 的侧面积；（2）若E 为母线SA 的中点，求二面角E CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数()sin f x x =，x R ∈．（1）设2()3(2)2()2g x x f x π=++，求函数()g x 的值域；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．若f （A ）3=，1b =，ABC ∆3sin C 的值．19．（14分）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本()h x 万元，已知249,(0,50]()1363551860,(50,100]21ax x x h x x x x ⎧+∈⎪=⎨+-∈⎪+⎩．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y 万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元． （1）求a 的值；（2）求年利润y 的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．20．（16分）已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点(0,2)A 的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q ．（1）若直线l 经过2F ，求△1F PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点2F ，求直线l 的方程； （3）若AQ AP λ=，求实数λ的取值范围．21．（18分）已知无穷实数列{}n a ，*n N ∈，若存在0M >，使得对任意*n N ∈，||n a M 恒成立，则称{}n a 为有界数列；记1||i i i b a a +=-，(1i =，2，3，⋯，1)n -，若存在0T >，使得对任意2n ，*n N ∈，1231n b b b b T -+++⋯+恒成立，则称{}n a 为有界变差数列．（1）已知无穷数列{}n a 的通项公式为21n a n=，*n N ∈，判断{}n a 是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为11c =，公比为实数q 的等比数列{}n c 为有界变差数列，求q 的取值范围； （3）已知两个单调递增的无穷数列{}n d 和{}n e 都为有界数列，记n n n f d e =⋅，*n N ∈，证明：数列{}n f 为有界变差数列．2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有2题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分。
上海市进才中学2020-2021学年第一学期期中考试高三数学试卷(word版,含答案)
上海市进才中学2020学年第一学期期中考试高三年级数学试卷2020年11月04日(时间120分钟,满分150分)一､填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分.1.集合U R =,集合{|30}A x x =->,{|10}B x x =+>,则U B C A ⋂=____.2.已知角α终边经过点()3,4P -,则sin α=____.3.函数()f x =____.4.在()621x -的展开式中,含3x 项的系数是____. (用数字作答) 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10540S S -=,则8a =____.6.在ABC 中,1tanA =,2tanB =,则tanC =____.7.方程306cos x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上的解的个数为____. 8.若实数x ､y 满足221x y +=,则xy 的取值范围是____.9.已知定义在[],a a -上的函数()f x cosx sinx =-是减函数,其中0a >,则当a 取最大值时,()f x 的值域是____.10.设a ､b R ∈,且2a ≠､0b >,若定义在区间(),b b -上的函数()112ax f x lgx +=+是奇函数,则a b +的值可以是____.写出一个值即可)11.已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为13-,其前n 项和记为n S ｡若对任意的*n N ∈,均有13n n A S BS -恒成立,则B A -的最小值为____.12.已知函数()()3(0)0x x f x x x ≥⎧=⎨<-⎩,若函数()()()2|2|g x f x kx x k R =--∈恰有4个不同的零点,则k 的取值范围是____.二､选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确｡考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分｡13.对于任意实数a,b,c,d,下列命题正确的是()A.若a b >,则22ac bc >B.若22ac bc >,则a b >C.若a b >,则11a b< D.若0a b >>,c d >,则ac bd > 14.关于函数()1f x sinx sinx=+,下列观点正确的是() A.()f x 的图像关于直线0x =对称 B.()f x 的图像关于直线4x π=对称C.()f x 的图像关于直线2x π=对称 D.()f x 的图像关于直线x π=对称15.设函数()y f x =存在反函数()1y f x -= ,且函数()y x f x =-的图像过点()1,3 ,则函数()13y f x -=+的图像一定经过定点()A.()1,1B.()3,1C.()2,4-D.()2,1-16.已知1a ,2a ,3a ,4a 均为正数,且123410a a a a +++=,以下有两个命题:命题一:1a ,2a ,3a ,4a 中至少有一个数小于3;命题二:若12347a a a a =,则1a ,2a ,3a ,4a 中至少有一个数不大于1关于这两个命题正误的判断正确的是()A 命题一错误､命题二错误B.命题一错误､命题二正确C.命题一正确､命题二错误D.命题一正确､命题二正确三､解答题(满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,正方形ABCD 的边长为2,4PA =,设E 为侧棱PC 的中点.(1)求四棱锥E ABCD -的体积V;(2)求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()()21f x ax a x =-+,()13g x a x =-+其中a R ∈.(1)当0a <时,解关于x 的不等式()0f x <;(2)若()()f x g x <在[]2,3x ∈时恒成立,求实数a 的取值范围.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.在ABC 中,已知125tanA =. (1)若ABC 外接圆的直径长为132,求BC 的值;(2)若ABC 为锐角三角形,其面积为6,求BC 的取值范围.20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分6分. 已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()*n S n N ∈ ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b += ,341b a a =+,16416S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和()*n T n N ∈;(3)设集合*{|,}n A x x a n N ==∈ ,*{|,}n B x x b n N ==∈ ,将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n c ,记n U 为数列{}n c 的前n 项和,求|2020|n U -|的最小值.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 设()f x 是定义在D 上的函数,若对任何实数()0,1α∈以及D 中的任意两数1x ､2x ,恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-+-,则称()f x 为定义在D 上的C 函数.(1)判断函数()2f x x =是否是定义域上的C 函数,说明理由;(2)若()f x 是R 上的C 函数,设()n a f n = ,0,1,2,n m =⋯ ,其中m 是给定的正整数,00a = ,2m a m = ,记12f m S a a a =+++,对满足条件的函数()f x ,试求f S 的最大值;(3)若()f x 是定义域为R 的函数,最小正周期为T,试证明()f x 不是R 上的C 函数.。
2021届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题Word版含解析
2021届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．()2log 2y x =C ．()2log 1y x =+D ．212x y -= 【答案】D【解析】试题分析：A 选项12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于y x =对称的函数是12log y x =.B 选项()22log 21log y x x ==+，先向下平移一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴对称翻折，得到12log y x =.C 选项先向右移动一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴对称翻折，得到12log y x =.故选D.【考点】函数图象变换.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换，考查指数函数和对数函数互为反函数.选择题采用逐一排除法.首先考查A 选项，选项中的函数和12log y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以翻折后可以重合.接着考查B 选项，首先利用对数运算化简()22log 21log y x x ==+，然后通过先下平移，再关于x 对称，得到12log y x =图象.C 也是同样的做法，先平移然后对称变换得到12log y x =.2．ABC △中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】先判断是否充分：化简cos sin cos sin A A B B +=+后能否得到结论：等腰三角形；再判断是否必要：由等腰三角形是否能得到cos sin cos sin A A B B +=+，据此得到条件类型. 【详解】因为cos sin cos sin A A B B +=+，所以1sin 21sin 2A B +=+，所以A B =或2A B π+=，所以三角形是等腰或者直角三角形，所以不充分； 又因为当三角形是等腰三角形时，取,42A CB ππ===，此时cos sin cos sin A A B B +≠+，所以也不必要，故为：既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】充分、必要条件的判断要从两方面入手：充分性和必要性.充分性是条件能否推出结论的过程，必要性是结论能否推出条件的过程，判断时两者缺一不可.3．已知实数0a >，0b >，对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①“()f x 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称”； ②“()f x 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ，都有()()f x a f x -=-”； ④“函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ ） A.①② B.②③C.①④D.③④【答案】A【解析】①根据奇函数的定义判断；②根据偶函数的定义判断；③根据周期性的定义判断；④根据对称性定义判断. 【详解】①：因为()y f x a =-图象是由()y f x =向右平移a 个单位得到的，所以()f x 是奇函数⇔()f x 图像关于原点对称⇔函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称，故正确；②：由①同理可知:()f x 是偶函数⇔()f x 图像关于y 轴对称⇔函数()f x a -的图像关于直线x a =对称，故正确；③：设()2f x =，2a 是()f x 的一个周期，所以()()2,2f x a f x -=-=-，所以()()f x a f x -=-不成立，故错误；④：设()0f x =，所以()0f x a -=，()0f b x -=，此时()f x a - 与()f b x -的图象关于y 轴对称，但是a b =不一定成立，故错误； 所以正确命题序号为：①②. 故选：A. 【点睛】常见的函数对称轴和对称中心的判断：（1）若()()2f a x f x -=，则()f x 的一条对称轴为x a =；（2）若()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 的一个对称中心为：,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭. 4．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+D.2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知 ，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【考点】函数的概念二、填空题5．函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=______.【答案】2【解析】根据周期的计算公式2T ωπ=，代入周期即可得到ω的值.【详解】 因为2T ωπ=，所以222T ππωπ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.2T ωπ=知道其中一个量即可求解另一个量.6．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 【答案】()1,2-【解析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B 的结果. 【详解】因为12x -<，所以13x ，所以()1,3A =-； 又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-. 故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集. 7．方程lg lg(3)1x x ++=的解x =______.【答案】2【解析】首先根据对数的真数大于零得到：030x x >⎧⎨+>⎩，然后根据对数运算法则可知：()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，据此求解出x 的值.【详解】因为030x x >⎧⎨+>⎩，所以()0,x ∈+∞；又因为()lg lg(3)lg 3x x x x ++=+⎡⎤⎣⎦，所以()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，所以()310x x +=，解得：2x =或5x =-，又因为()0,x ∈+∞，所以2x =. 故答案为：2. 【点睛】解对数方程时，第一步应该根据对数式的真数大于零先确定未知数的范围，然后再利用对数的运算性质对方程进行化简，最后完成求解.8．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的解析式()f x =______. 【答案】()120xx ->【解析】设出幂函数解析式，由于点1,93⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以可知19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()f x 图像上，由此可求解出()f x . 【详解】设()f x x α=，因为点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以()f x 图像经过19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以193α=，解得：12α=-，所以()()120f x x x -=>.故答案为：()120x x ->.【点睛】本题主要考查反函数与原函数的关系，难度较易.互为反函数的两个函数的图像关于y x =对称.9．函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为______. 【答案】56π 【解析】先通过平移变换得到新的函数解析式，然后根据新函数为奇函数得到关于ϕ的等式，由此确定ϕ的最小正值. 【详解】因为()f x 向左平移3π单位后得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭且()g x 为奇函数， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=-∈，又因为0ϕ>，所以当1k =时有min 56πϕ=. 故答案为：56π.【点睛】本题考查根据三角函数的奇偶性求解参数的最值，难度一般.若()()sin f x x ωϕ=+为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()()sin f x x ωϕ=+为偶函数，则有,2k k Z πϕπ=+∈.10．若集合A 、B 、C 满足A B B C ⋃=⋂，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ；④A =∅中一定成立的有______.（填写你认为正确的命题序号） 【答案】①【解析】通过A B B C ⋃=⋂发现等式的两边都有集合B ，根据交、并集运算特点可知A B B C B ⋃=⋂=，由此利用集合间运算的性质判断出各结论是否一定成立【详解】因为A B B C ⋃=⋂，所以A B B C B ⋃=⋂=， 由A B B ⋃=可知A B ⊆；由B C B =可知B C ⊆， 因此可得：A B C ⊆⊆， 故①一定成立，②不一定成立；A C 不一定成立，A =∅也不一定成立，所以③④不一定成立；故一定成立的只有：①. 故答案为：①.【点睛】本题考查根据集合间的运算结果判定集合间的关系，难度一般.交、并集运算的性质：若A B A ⋃=，则B A ⊆；若A B A =，则A B ⊆11．偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是_____．【答案】1233x <<【解析】因为函数f （x ）为偶函数，所以f （|x|）=f （x ），所以要求 f(2x-1)＜f(13)的解集，等价于求解：f （|2x-1|）＜f （|13|）的解集，等价于：|2x-1|＜13，解得：13＜x ＜23，故答案为1233x <<。
2022年 新进才中学高三上学期开学考试数学模拟练习解析版配套精选
2021届上海市进才中学高三上学期开学考试数学试题一、单项选择题1．假设，，那么是的〔〕条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【答案】B【解析】由a＞0，b＞0，＞a且＞b，可得：＞ab，且＞ab．反之不成立，例如＞b，＞a．【详解】由a＞0，b＞0，＞a且＞b，由不等式的性质可得：＞ab，且＞ab．反之不成立，例如还可以得到＞b，＞a．因此是的必要不充分条件．应选：B．【点睛】此题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．假设变量，满足那么22的最大值是A．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图，点A〔3，1〕到原点距离最大，所以，选C【考点】简单线性规划【名师点睛】此题主要考查简单线性规划的应用，是一道根底题目从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的根本问题，往往围绕目标函数最值确实定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力3．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出以下四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D选项C中，投影相交那么原来直线不可能重合，错误。
选项D中，投影平行，那么原来直线可能相交，错误。
选B4．两个不相等的实数满足以下关系式：，那么连接、两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是〔〕A．相离B．相切C．相交D．不能确定【答案】C【解析】利用设而不求可求的直线方程，再利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系【详解】因为，故点在直线上，同理，在直线上，故直线的方程为：圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交应选：C【点睛】此题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系的判断，求直线方程时注意判断直线的几何要素中哪些是，哪些是未知的，从而假设适宜的直线方程形式来求直线方程，也可以利用方程的思想即找一个二元一次方程，而的点的坐标均满足该方程，那么该方程即为所求的直线方程〔此为设而不求法〕直线与圆的位置关系的判断依据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断即可二、填空题5．复数的虚部为__________．【答案】-1【解析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可【详解】由复数的运算法那么有：，那么复数的虚部为【点睛】此题主要考查复数的运算法那么及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【答案】【解析】因为，所以，应填答案。
上海市进才中学2021届高三上学期12月月考数学试题(练习版)
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定 的取值范围．
20.已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，都有 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，且 ．
则 都是递增数列；
②若 都是等差数列，则 都是等差数列；
下列判断正确的是（ ）
A.①②都是真命题B.①②都是假命题
C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题
16.已知单位向量 ，且 ，若 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.1
三．解答题
二、选择题
13.直线 与圆 位置关系是（）
A. 相交且过圆心B. 相交且不过圆心C. 相切D. 相离
14.已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对称轴方程为（）
A B. C. D.
10.已知函数 （ ）的反函数为 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 ________
11.已知实数 同时满足：（1） ，其中 是 边 延长线上一点：（2）关于 的方程 在 上恰有两解，则实数 的取值范围是___________
12.已知数列 的首项为 ，且满足 ，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数 ，则存在某个区间 ，使得 在 上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________
7.已知等比数列 满足 ，则 ________________.
8.设函数 ，其中 .若函数 在 上恰有2个零点，则 的取值范围是________．
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题2020．12一、填空题1．若集合{12}A x Z x =∈-<<∣，{}220B xx x =-=∣，则A B ⋃=__________ 2．若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为________3．已知向量(2,1),(2,1)a b k k ==-+，且a b ⊥，求实数k =_______4．直线1l ：(3)30a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a =______5．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______6．通过手机验证码登录共享单车APP ，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码()1234,,,a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为______7．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=______8．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>，若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围为_____9．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos sin (1,2,3,)20202020n n n a i n ππ=+=，则数列{}n a 前2020项的乘积为___________ 10．已知函数()1()(1)2xx f x a a a -=->的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________11．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________ 12．已知{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则下列命题：①n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数211()2x n n a f x x a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则存在某个区间()*(,1)n n n N +∈，使得()f x 在(,1)n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为__________二、选择题13．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相以D ．相离14．已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经过如下变换得到：先将()g x 的图像向右平移3π个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图像的一条对称轴方程为（） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 15．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，以下两个命题：①如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +都是递增数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是递增数列；②如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +是等差数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是等差数列；下列判断正确的是（）A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题16．已知单位向量a 、b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b aa b t a b -+++--的最小值为（） A ．12B ．1312C D ．1 三．解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,2,4AB BC CC ===，M 为棱1CC 上一点．（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成的角； （2）若12C M =，求点B 到平面11A B M 的距离．18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若23,cos 3a cb B ===，求c 的值（2）若sin cos 2A B a b =，求sin 2B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．某油库的设计最大容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x的函数关系为()*0,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月油库满足区域内外需求后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式：（2）要使16个月内油库总能满足区域内和区域外的需求，且油库的石油剩余量不超过油库的最大容量，试确定m 的取值范围．20．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且1210,15a a ==．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立，求实数a 的取值范围．21．设对集合D 上的任意两相异实数1x 、2x ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ，若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x ．（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8,()log ()log ()a a a f x x g x a x a x ==+--，若01a <<，是否存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．{0,1,2}2．2-3．54．2-5．806．720007．3238．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．i 10．211．4λ<-或1λ=--．②③二、选择题13．B14．A15．D16．B三、解答题17．（1）或arctan 2arccos 3；（2）h =．解：（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得1B M =∵1111A B C D ∥，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B ，所成角长方体1111ABCD A B C D -，D 中，1111111,A B B C A B B B⊥⊥，∴11A B ⊥面11B BCC ，∴111A B B M ⊥，故可得11B A M ∠为锐角且11111tan 2B M B A M B A ∠==112arctanarcsin ,arccos 233B A M ∠= （2）设点B 到平面11A B M 的距离为h，11111,B A B M M A B B V V B M --==，11112242,3232h h ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴= 18．（1）3c =；（2）5（1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =，所以3c =．（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B = 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =． 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，cos 5B =．因此sin cos 2B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭19．（1）()*10116,M mx x x x N =--≤≤∈；（2）71924m ≤≤ （1）由条件得202100p ==，)*116,y x x N=≤≤∈2分()*10,116,M mx x x x N =--≤≤∈6分（2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立．8分()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩恒成立10分t =，则：221010111114420101m t t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由2217110*********m t t t t ⎛⎫⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号）12分212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤．14分20．（1）证明略；（2）2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==；（3）1a ≤．解：（1）由已知．12n n n b a a +=+①，211n n n a b b ++=②．由②可得1n a += 将③代入①，得对任意*2,n n N ≥∈，有2n b =，即所以，是等差数列 （2）设数列的公差为d ．由1210,15a a ==，得1225,18,22b b ====，2d ==2(4)(1)(1)4),2222n n n d n n b +=-⋅=+-=+=．由已知，当2n ≥时，(3)(4)2n n n a ++==，而110a =也满足此式．所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式为：2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==．（3）由（2），得12112(3)(4)34n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 不等式22n n n b aS a <-化为11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭． 解法一：不等式化为2(1)(36)80a n a n -+--<，设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--，则()0f n <对任意*n ∈N 恒成立． 当10a ->，即1a >时，不满足条件，当10a -=，即1a =时，满足条件． 当10a -<，即1a <时，函数()f n 图像的对称轴为直线3(2)02(1)a x a -=-<-，()f n 关于n 递减，只需(1)4150f a =-<，解得154a <，故1a <．综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．解法二：不等式化为22683n n a n n ++<+对任意*n ∈N恒成立，即23813n a n n+<++ 设238()3n f n n n+=+，任取1n 、*2n N ∈，且12n n <，则()()1212221122383833n n f n f n n n n n ++-=-++ ()()()()2112122211223824033n n n n n n nn n n -+++⎡⎤⎣⎦=>++，故()f n 关于n 递减．又()0f n >且lim ()0n f n →∞=，所以238113n n n++>+对任意*n ∈N 恒成立，所以1a ≤． 因此，实数a 的取值范围是(,1]-∞．21．（1）偶函数，证明略；（2）证明略；（3）max 1)t a =．解：（1）设为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=， ∴|()()|0g x g x --≤，即()()g x g x -=，∴()y g x =为偶函数4分（2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 即()()120f x f x -<，5分所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证．10分（3）若存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在12,(0,]x x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a ax f x f x x x x -=-=， ()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++∴-=-==---+--+-()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---∴≤-+-在12,(0,]x x t ∈时恒成立 ()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在12,(0,]x x t ∈时恒成立， ()212120a x x a x x ⇔--+≥在12,(0,]x x t ∈时恒成立．令2220a t at --=，取1)t a =当1201)x x a <<≤时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+>--=，当121)a x x a ≤<<时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+<--= 不合题意．综上所述，实数t的最大值为1)a ．。
2022年上海市浦东新区进才中学高考数学二模试卷
2022年上海市浦东新区进才中学高考数学二模试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）集合A={x|x=2k ，k∈Z}，B={x|x 2≤5}，那么A∩B=___ ．2.（填空题，4分）已知一个关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵是 (1−11011) ，则x+y=___ ．3.（填空题，4分）不等式 1x＜1的解集为___ ．4.（填空题，4分）已知 θ∈(π4，π2) ，且 sin (θ+π4)=45 ，则tanθ=___ ．5.（填空题，4分）已知双曲线x 2+my 2=1的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的焦距为 ___ ．6.（填空题，4分）在复数范围内分解因式：x 2-2x+2=___ ．7.（填空题，5分）若将函数f （x ）=x 6表示成f （x ）=a 0+a 1（x-1）+a 2（x-1）2+a 3（x-1）3+…+a 6（x-1）6，则a 3的值等于___8.（填空题，5分）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长AB=AA 1=1，AD= √2 ，它的外接球是球O ，则A 、A 1这两点的球面距离等于___ ．9.（填空题，5分）设函数f （x ）=2x ，若存在x∈[0，4]使不等式f （a+x ）-f （2x ）≥2成立，则实数a 的取值范围为 ___ ．10.（填空题，5分）设数列{a n }是等差数列，其首项a 1=1，公差d ＜0，{a n }的前n 项和为S n ，且对任意n∈N *，总存在m∈N *，使得S n =a m ，则d=___ ．11.（填空题，5分）△ABC 中， AB =√2 ， ∠ACB =π4 ，O 是△ABC 外接圆圆心，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ．12.（填空题，5分）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：① f（1）=1；② |f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…，11）；③ f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为___ ．13.（单选题，5分）关于x、y的二元一次方程组{mx+y=−13mx−my=2m+3的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题，5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A.若l || α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB.若l || α，m⊥β，l⊥m，则α || βC.若l || α，m⊥β，l || m，则α⊥βD.若l || α，m⊥β，l || m，则α || β15.（单选题，5分）已知直线l：y=m（x-2）+2与圆C：x2+y2=9交于A，B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有（）A.6条B.7条C.8条D.9条16.（单选题，5分）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T、V是Z的两个没有公共元素的非空子集，T∪V=Z．若任意的a，b，c∈T，有abc∈T，同时，任意的x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A.T、V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T、V中至多有一个关于乘法是封闭的C.T、V中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T、V中每一个关于乘法都是封闭的17.（问答题，15分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点．（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．18.（问答题，15分）在△ABC 中，记∠BAC=x （角的单位是弧度制），△ABC 的面积为S ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC⃗⃗⃗⃗⃗ =8，4≤S≤4 √3 ． （1）求x 的取值范围；（2）根据（1）中x 的取值范围，求函数f （x ）=2 √3 sin 2（x+ π4 ）+2cos 2x- √3 的最大值和最小值．19.（问答题，15分）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元/张（x∈N ），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少 100xx+11 %．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？20.（问答题，15分）已知椭圆Ω：9x 2+y 2=m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若m=3，点K 在椭圆Ω上，F 1，F 2分别为椭圆的两个焦点，求 KF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •KF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点（ m3，m ），射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21.（问答题，16分）设{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 1=1，a 6+a 7=a 13，设正项数列{b n }的前n 项和为S n ，且4S n +2b n =3． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）在b 1和b 2之间插入1个数x 11，使b 1、x 11、b 2成等差数列；在b 2和b 3之间插入2个数x 21、x 22，使b 2、x 21、x 22、b 3成等差数列；…；在b n 和b n+1之间插入n 个数x n1、x n2、…、x nn ，使b n 、x n1、x n2、…、x nn 、b n+1成等差数列，求T n =x 11+x 21+x 22+⋅⋅⋅+x n1+x n2+⋅⋅⋅+x nn ； （3）对于（2）中求得的T n ，是否存在正整数m 、n ，使得 T n =a m +12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m ，n ）；若不存在，请说明理由．2022年上海市浦东新区进才中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）集合A={x|x=2k ，k∈Z}，B={x|x 2≤5}，那么A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{-2，0，2}【解析】：根据已知条件，结合交集及其运算，即可求解．【解答】：解：∵A={x|x=2k ，k∈Z}，B={x|x 2≤5}= {x|−√5≤x ≤√5} ， ∴A∩B={-2，0，2}． 故答案为：{-2，0，2}．【点评】：本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.（填空题，4分）已知一个关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵是 (1−11011) ，则x+y=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：把二元一次方程组的增广矩阵转化为方程组，求出x 、y 的值即可得出结论．【解答】：解：关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵是 (1−11011) ，所以 {x −y =1y =1 ，解得 {x =2y =1 ，所以x+y=2+1=3． 故答案为：3．【点评】：本题考查了二元一次方程组与对应增广矩阵的转化问题，是基础题． 3.（填空题，4分）不等式 1x ＜1的解集为___ ． 【正确答案】：[1]（1，+∞）∪（-∞，0）【解析】：首先移项通分，等价变形为整式不等式解之【解答】：解：原不等式等价于x−1x＞0，即x（x-1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（-∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（-∞，0）【点评】：本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．4.（填空题，4分）已知θ∈(π4，π2)，且sin(θ+π4)=45，则tanθ=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：利用正弦和角公式，结合同角三角函数关系，将已知条件转化为tanθ的方程，即可求得结果．【解答】：解：因为sin(θ+π4)=45=√22(sinθ+cosθ)，故可得sinθ+cosθ=45√2，将上式两边平方整理可得sinθcosθ=750，即sinθcosθsin2θ+cos2θ=750，故tanθtan2θ+1=750，即（7tanθ-1）（tanθ-7）=0，解得tanθ=17或tanθ=7，又因为θ∈(π4，π2)，故可得tanθ＞1，故tanθ=7，故答案为：7．【点评】：本题考查了同角三角函数关系式，两角和正弦公式，属于基础题．5.（填空题，4分）已知双曲线x2+my2=1的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的焦距为___ ．【正确答案】：[1]2 √5【解析】：由双曲线的方程及渐近线的方程可得b2=- 1m=4，从而可求得双曲线的焦距2c．【解答】：解：因为x2+my2=1为双曲线，所以a2=1，b2=- 1m，又双曲线x2+my2=1的一条渐近线方程为y=2x，所以b 2a2 =- 1m=22=4，即b2=4，所以c2=a2+b2=5，c= √5，所以该双曲线的焦距2c=2 √5．故答案为：2 √5．【点评】：本题考查双曲线的基本性质，几何量的计算，考查计算能力，属基础题．6.（填空题，4分）在复数范围内分解因式：x2-2x+2=___ ．【正确答案】：[1]（x-1+i）（x-1-i）【解析】：配凑二次三项式，结合平方差公式，即可求出结果．【解答】：解：∵x2-2x+2=（x-1）2+1=（x-1）2-i2=（x-1+i）（x-1-i）．故答案为：（x-1+i）（x-1-i）．【点评】：本题考复数范围内要解因式的运算，考查二次三项式性质、平方差公式、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+a6（x-1）6，则a3的值等于___【正确答案】：[1]20【解析】：由f（x）=x6=[（x-1）+1]6，展开即可求得a3的值．【解答】：解：∵f（x）=x6=[（x-1）+1]6，∴a3（x-1）3= C63•(x−1)3，则a3=C63=20．故答案为：20．【点评】：本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是基础题．8.（填空题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD= √2，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：求出球的半径和∠AOA1，根据弧长公式得出答案．【解答】：解：A1C= √12+12+(√2)2 =2，∴外接球半径为OA1= 12A1C=1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1= π3，∴球A、A1这两点的球面距离为π3•1 = π3．故答案为：π3．【点评】：本题考查了球面距离的计算，属于基础题．9.（填空题，5分）设函数f（x）=2x，若存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）-f（2x）≥2成立，则实数a的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][ 32，+∞）【解析】：由已知不等式代入后先进行分离参数，然后结合基本不等式可求．【解答】：解：因为f（x）=2x存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）-f（2x）≥2成立，所以2a+x-22x≥2，即2a≥2x+2•2-x，因为2x+2×2-x≥2√2，当且仅当2x=21-x，即x= 12时取等号，所以2a≥2√2，所以a ≥32，故a的取值范围为[ 32，+∞）．故答案为：[ 32，+∞）．【点评】：本题主要考查了不等式的存在性问题与最值关系的相互转化，基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．10.（填空题，5分）设数列{a n }是等差数列，其首项a 1=1，公差d ＜0，{a n }的前n 项和为S n ，且对任意n∈N *，总存在m∈N *，使得S n =a m ，则d=___ ． 【正确答案】：[1]-1【解析】：根据等差数列的通项公式和前n 项和公式建立方程关系即可得到结论．【解答】：解：由S n =a m ，得n+ n (n−1)2d =1+（m-1）d ， 则m=1+n (n−1)2 +（ n−1d）为正整数， ∵对任意n∈N *，总存在m∈N *， ∴当d 取- 12 时，n=2时，m=0；当d=- 13 时，n=2时，m 会取到负值，其它推理下都会取到负值， ∴d 只能取-1 即任意n∈N *， n−1d也是整数，只有d=-1满足条件．故答案为：-1【点评】：本题主要考查等差数列的性质的应用，比较基础．11.（填空题，5分）△ABC 中， AB =√2 ， ∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：先由平面向量数量积运算可得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+√22|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | ，再由三角恒等变换及正弦定理可得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-2sin （A-B- π4 ），然后求解即可．【解答】：解：由O 是△ABC 外接圆圆心， ∠ACB =π4 ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ •(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = CO ⃗⃗⃗⃗⃗ •CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+√22|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | ， 在△ABC 中，不妨设AB=c ，AC=b ，BC=a ， 由正弦定理可得 asinA =bsinB =√2sinπ4=2 ，则a=2sinA ，b=2sinB ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin 2B-2sin 2A+2 √2 sinAsinB=cos2A-cos2B+2 √2 sinAsinB=-2sin（A+B）sin（A-B）- √2 [cos（A+B）-cos（A-B）]=- √2 sin（A-B）+ √2 cos（A-B）+1=1-2sin（A-B- π4），又A-B- π4∈（-π，π2），则当A −B−π4=−π2，即A=B- π4，即A= π4，B= π2时，OC⃗⃗⃗⃗⃗ •AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ •CB⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值1-2×（-1）=3，故答案为：3．【点评】：本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了三角恒等变换及正弦定理，属中档题．12.（填空题，5分）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：① f（1）=1；② |f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…，11）；③ f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为___ ．【正确答案】：[1]155【解析】：分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．【解答】：解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2-x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，-2，-4．f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：① f（1）=1、f（6）=2、f（12）=4；② f（1）=1、f（6）=-2、f（12）=4．|f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…，11），f（x+1）=f（x）+1，或者f（x+1）=f（x）-1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f（1）=1、f（6）=2、f（12）=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为C53 =10种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为C64 =15种．根据分步乘法原理，共有10×15=150种方法．（2）当f（1）=1、f（6）=-2、f（12）=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到-2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为C51 =5种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从-2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为C66 =1种．根据分步乘法原理，共有5×1=5种方法．综上，满足条件的f（x）共有：150+5=155种．故填：155．【点评】：解决本题的难点在于发现 f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．13.（单选题，5分）关于x、y的二元一次方程组{mx+y=−13mx−my=2m+3的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：D【解析】：将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】：解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．总之，两者之间互相推出的问题．故选：D．【点评】：本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．14.（单选题，5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A.若l || α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB.若l || α，m⊥β，l⊥m，则α || βC.若l || α，m⊥β，l || m，则α⊥βD.若l || α，m⊥β，l || m，则α || β【正确答案】：C【解析】：在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】：解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l || α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l || α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l || α，m⊥β，l || m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l || α，m⊥β，l || m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．15.（单选题，5分）已知直线l：y=m（x-2）+2与圆C：x2+y2=9交于A，B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有（）A.6条B.7条C.8条D.9条【正确答案】：C【解析】：根据题意，直线过点M（2，2），圆C的圆心（0，0），半径r=3，则可得当直线与CM垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，求出直线CM的斜率，由直线垂直与斜率的关系分析可得直线AB的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答】：解：根据题意，直线恒过点M（2，2），圆C：x2+y2=9的圆心C为（0，0），半径r=3，则CM=2 √2当直线与CM垂直时，M为|AB|中点，此时|AB|=2 √9−8 =2，符合题意，此时直线有一条，当直线过圆心C时，|AB|=2r=6，满足题意，此时直线有一条，则当|AB|=3，4，5时，各对应两条直线，综上，共8条直线．故选：C．【点评】：本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查点到直线距离公式，弦长公式，是综合性题目．16.（单选题，5分）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T、V是Z的两个没有公共元素的非空子集，T∪V=Z．若任意的a，b，c∈T，有abc∈T，同时，任意的x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A.T、V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T、V中至多有一个关于乘法是封闭的C.T、V中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T、V中每一个关于乘法都是封闭的【正确答案】：A【解析】：本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z折分成两个互不相交的非空子集T、V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非员整数集进行分析排除即可．【解答】：解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T、V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选：A．【点评】：本题考查了集合的新定义，属于基础题．17.（问答题，15分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点．（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）连接AC，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．【解答】：（1）证明：连接AC，∵E，F分别为AB、BC的中点，∴EF || AC，又∵AA1 || CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴A l C1 || AC，∴A l C l || EF，所以A1，C1，F、E四点共面；（2）解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1（2，0，1），E （2，1，0），F （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1），则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，−1)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，1) ， 设平面A 1C 1FE 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ）， 故 {−x +y =0y −z =0 ，取x=1，得 n ⃗ =（1，1，1），记直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为θ， 则 sinθ=|n ⃗ ⋅CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×√5=√1515， 直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为 arcsin √1515．【点评】：本题考查了四点共面的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题． 18.（问答题，15分）在△ABC 中，记∠BAC=x （角的单位是弧度制），△ABC 的面积为S ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC⃗⃗⃗⃗⃗ =8，4≤S≤4 √3 ． （1）求x 的取值范围；（2）根据（1）中x 的取值范围，求函数f （x ）=2 √3 sin 2（x+ π4 ）+2cos 2x- √3 的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角形面积公式，退席已知中 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，4≤S ≤4√3 ，我们易确定tanx 的范围，结合x 为三角形的内角，我们易求出x 的取值范围；（2）结合（1）的结论，利用降幂公式和辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质即可得到答案．【解答】：解：（1）∵ ∠BAC =x ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ， 4≤S ≤4√3 ， 又 S =12bcsinx ，∴bccosx=8，S=4tanx ，即 1≤tanx ≤√3 ．（4分） ∴所求的x 的取值范围是 π4≤x ≤π3 ．（7分）（2）∵π4≤x ≤π3 ， f (x )=2√3sin 2(x +π4)+2cos 2x −√3 =√3sin2x +cos2x +1=2sin (2x +π6)+1，（9分） ∴2π3≤2x +π6≤5π6 ， 12≤sin (2x +π6)≤√32．（11分）∴ f (x )min =f (π3)=2，f (x )max =f (π4)=√3+1 ．（14分）【点评】：本题考查的知识点是三角函数的最值，平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据平面向量数理积的含义及三角形面积结合正切函数的性质，求出X 的取值范围是解答本题的关键．19.（问答题，15分）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元/张（x∈N ），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少 100xx+11 %．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？【正确答案】：【解析】：（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；（2）设票价为100+10x 元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10万人，列出不等式．通过解不等式求得正整数x 的值，可得答案．【解答】：解：（1）样本中“足球迷”出现的频率=（0.16+0.10+0.06）×0.5=16%， “足球迷”的人数=100×16%=16（万）， “铁杆足球迷”=100×（0.06×0.5）=3（万） ∴16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）设票价为100+10x 元，则一般“足球迷”中约有13（1-10x%）万人， “铁杆足球迷”约有 3(1−100xx+11%) 万人去现场看球， 令 13(1−10x%)+3(1−100xx+11%)=16−13x10−3xx+11≤10 ，化简得：13x 2+113x-660≥0 解得： x ≤−16513，或x ≥4 ，由x∈N ，∴x≥4，即平均票价至少定为100+40=140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．【点评】：本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，考查了不等式的实际应用，列出关于票价x 的不等式是解答本题的关键．20.（问答题，15分）已知椭圆Ω：9x 2+y 2=m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若m=3，点K 在椭圆Ω上，F 1，F 2分别为椭圆的两个焦点，求 KF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •KF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点（ m3，m ），射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设P （cosα，3sinα），用α表示出 KF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •KF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出结论； （2）设直线l 方程为y=kx+b ，联立方程组，根据韦达定理求出M 点坐标得出结论； （3）设直线l 斜率为k ，求出P 点坐标，令M 为OP 的中点得出k 的值．【解答】：解：（1）当m=3时，椭圆方程为 x 2+y 29=1，F 1（0，2 √2 ），F 2（0，-2 √2 ）， 设K （cosα，3sinα），则 KF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα，2 √2 -3sinα）， KF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα，-2 √2 -3sinα），∴ KF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •KF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos 2α+9sin 2α-8=8sin 2α-7，∵0≤sin 2α≤1， ∴-7≤8sin 2α-7≤1，即 KF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •KF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围是[-7，1]．（2）设直线l 的方程为：y=kx+b ，（k≠0，b≠0），联立方程组 {y =kx +b9x 2+y 2=m 2 ，消元得：（9+k 2）x 2+2kbx+b 2-m 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 则x 0= 12 （x 1+x 2）=- kb 9+k 2 ，y 0=kx 0+b= 9b9+k 2 ． ∴k OM = y 0x 0=- 9k ．∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值-9． （3）∵直线l 经过点（ m3 ，m ），直线l 不过原点且与Ω有两个交点的充要条件是k ＞0，且k≠3． 设P （x p ，y p ），直线l 的方程为：y=k （x- m3 ）+m ，即y=kx- mk3+m ． 由（2）可知直线OM 的方程为：y=- 9k x ， 联立方程组 {9x 2+y 2=m 2y =−9k x ，解得x p 2= m 2k 29k 2+81 ， 由（2）知M （-(m−mk3)k k 2+9，9(m−km3)k 2+9），若四边形OAPB 为平行四边形，则M 为OP 的中点， ∴2x 0=x p ，即4（(m−mk3)k k 2+9）2=m 2k 29k 2+81， 解得k=4± √7 ．∴当k=4+ √7或k=4- √7时，四边形OAPB为平行四边形．【点评】：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.（问答题，16分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足a1=1，a6+a7=a13，设正项数列{b n}的前n项和为S n，且4S n+2b n=3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1、x11、b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21、x22，使b2、x21、x22、b3成等差数列；…；在b n和b n+1之间插入n个数x n1、x n2、…、x nn，使b n、x n1、x n2、…、x nn、b n+1成等差数列，求T n=x11+x21+x22+⋅⋅⋅+x n1+x n2+⋅⋅⋅+x nn；（3）对于（2）中求得的T n，是否存在正整数m、n，使得T n=a m+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），利用等差数列的通项公式求出d=1，从而a n=n，再由4S n+2b n=3，当n⩾2时，4S n-1+2b n-1=3，推导出{b n}是首项为12，公比为13的等比数列，由此能求出b n．（2）在b n和b n-1之间插入n个数x n1，x n2，…，x nn，推导出d n=b n+1−b n(n+2)−1=−13n(n+1)，从而x nk=b n+kd n=12(13)n−1−k3n(n+1)，进而T n=x11+x21+⋯+x n1+x n2+⋯+x nn=13+1 32+⋯+n3n，由此利用错位相减法能求出T n．（3）m=2×3n3n−2n−3=2+4n+63n−2n−3，当n=1时，m=2+10−2=−3∉N∗，当n=2时，m=2+142=9∗，当n=3时，m=2+1=3∈N*，再证明当n⩾4（n∈N*）时，3n-6n-9＞0，由此能求出所有的正整数对．【解答】：（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，（d≠0），则由a6+a7=a13，得（a1+5d）+（a1+6d）=a1+12d，∴a1=d=1，∴a n=1+（n-1）=n；由4S n+2b n=3，①当n ⩾2时，4S n-1+2b n-1=3， ② ① - ② ，得4b n +2b n -2b n-1=0， ∴ b n =13b n−1，(n ⩾2) ， 又4b 1+2b 1=3，∴ b 1=12≠0 ，∴{b n }是首项为 12，公比为 13 的等比数列， ∴ b n =12×(13)n−1，(n∈N ∗) ．（2）在b n 和b n-1之间插入n 个数x n1，x n2，…，x nn ， ∵b n ，x n1，x n2，…x nn ，b n+1成等差数列，设公差为d n ， ∴ d n =b n+1−b n (n+2)−1=(12)(13)n −(12)(13)n−1n+1=−13n (n+1) ，则 x nk =b n +kd n =12(13)n−1−k3n (n+1)，∴ ∑x nk n k=1=12(13)n−1×n −13n (n+1)×n (n+1)2=n3n ，∴ T n =x 11+x 21+⋯+x n1+x n2+⋯+x mn =13+232+⋯+n3n ， ① 则 13T n =132+233+⋯+n−13n +n3n+1 ， ② ① - ② 得 23T n =13+132+⋯+13n −n3n+1=13[1−(13)n]1−13−n 3n+1=12(1−13n )−n3n+1 ，∴ T n =34−3+2n4×3n． （3）假设存在正整数m ，n ，使 T n =a m+−12a m成立， T n =34−14×3n−1−n2×3=m+12m=12+12m ． m =2×3n 3n −2n−3=2(3n −2n−3)+4n+63n −2n−3=2+4n+63n −2n−3 ，当n=1时， m =2+10−2=−3∉N ∗ ， 当n=2时， m =2+142=9∈N ∗ ，当n=3时，m=2+1=3∈N *，下证，当n ⩾4（n∈N *）时，有3n -2n-3＞4n+6，即证3n -6n-9＞0， 设f （x ）=3x -6x-9，x ⩾4，则f （x ）=3x ln3-6＞3x -6＞0， ∴f （x ）在[4，+∞）上单调递增， 故n ⩾4时，3n -6n-9＞34-6×4-9=48＞0， ∴ 0＜4n+63n −2n−3＜1 ， ∴n⩾4时，m 不是整数，∴所有的正整数对（m，n）为（9，2）及（3，3）．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，数列的递推关系，数列的求和以及数列与函数的综合，属于综合题．。