高等数学讲义-第一章-函数

解：
x 1 0 log2 x 1 0
即 x 1, x 0, x 2
所以，定义域为 (- ,0) (0,1) (1,2) (2,+ )
(2) f (x) 1 arcsin x 1
x2 1
3
解：xx2
1 1
3
0 1
即
x 1
x
1Hale Waihona Puke Baidu
3
x 1或x 1
2 x4
所以，定义域为[-2，-1） （1，4]
2) x a ( 0) a x a
3) a b a b
4) a b a b
2. 变量 在高等数学中，主要研究变量。
常用区间或邻域来表示变量的取值范围
1)区间：开区间(a,b)
x
a
x
b
闭区间[a,b]
x
a
x
b
无穷区间(a,) x x a
a, b, a, b, , a, a,, ,等。
0 ,
x为无理数
函数定义的两个要素：定义域、对应规律。
求函数的定义域主要掌握五种基本类型
1 , y 0; y
y , y 0; loga y, y 0(a 0, a 1);
arcsin y , arccos y , y 1
例4. 求下列函数的定义域
(1) f (x) 1 log 2 x 1
对于几何平均值而言，达到了最大值。
3. 常用记号 : 对于任意给定的； ：存在
第一章 函数
函数是高等数学的主要研究对象，它揭示了现实世 界中各种变量之间的相互依存关系，是高等数学中最 重要的基本概念之一。
§1. 函数的概念
1. 实数的绝对值
a
a, a,
a0 a0
常用的相关不等式
1) x A(A 0) A x A
单调增（或减）函数，简称单调函数。 除去等号称为严格单调函数。
3. 有界性 设 y = f ( x )，定义域为 X
若 M > 0， x X ，有|f ( x )| < M
则称函数 f 有界，反之，称函数 f 无界。
无界也的可 严以 格定义为是：什么？
M 0, xM X ,使 f (xM ) M
解： f (x) lg(x 1 (x)2 )
lg
1
f (x)
x 1 x2
所以 f ( x ) 为奇函数。
2. 单调性
设函数 y = f ( x )，定义域为 X。 x1 , x2 X ,当 x1 x2 时，若 (1) f (x1) f (x2 ) 则称函数 f 为单调增函数， (2) f (x1) f (x2) 则称函数 f 为单调减函数。
§2. 函数的表示法 1. 表格法：用表格来表示一种函数关系。
2. 图示法：用图来表示一种函数关系。
3. 公式法 (或称解析法)： 用公式来表示一种函数关系。
在函数定义中，对应法则不一定是一个公式，有时 需用几个公式加以表达，用多个公式来表示的函数 称为分段函数。
例 1.
f
(x)
x2
,
0 x 1
ii) 也可假设 n=1，n=2，…，n=k 时，P 均成 立，能够推出 n=k+1，P 也成立。
2. 算术平均值大于等于几何平均值
设 xi 0 (i 1,2,, n)
则
x1 x2 xn n
n
x1x2 xn
当且仅当 x1 x2 xn 时，上式等号成立。
此时，对于算术平均值而言，达到了最小值；
数 x 对应的数 y 称为 f 的函数值，记作 y =f (x) 其中 X 称为函数 f 的定义域 (或D( f ) )， 函数值 y 的集合称为 f 的值域 ,记作 f (X) (或R( f ) ) 。
即：f (X ) y y f (x), x X , f (X ) Y
在本课程中，为了便于讨论具体的函数常把函数 f 记作 f (x) 。
x X 1) 若 f (x) f (x) 则称 f 为偶函数； 2)若 f (x) f (x) 则称 f 为奇函数。
例1. 判定下列函数的奇偶性
1) f (x) chx e x ex 2
解：
ex ex
f (x)
f (x)
2
所以 f ( x ) = ch x 为偶函数
2) f (x) lg(x 1 x ) 2
2 x, 1 x 2
是一个定义在[0，2]上的分段函数
例 2. 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的
整数部分，记作[ x ]，称 y = [ x ] 为 x 的取整函数。
如[2.3] = 2 [-2.3]==?-3
例3. (Dirichlet) 函数
D(x)
1
,
x为有理数
则称 f ( x )为周期函数，T 为一个周期。 一般,当最小 周期存在时，称最小周期为周期。 注：定义中也可用 T 0 ，此时，最小正周期存在 的话，简称周期。 思考：周期函数是否一定有最小（正）周期。
例2. 证明函数 f ( x ) = x cos x 在 (- ，+ ) 上无界。
证：M 0 取 N M 1
xM 2N 则 f (xM ) 2N cos2N 2N M
f (x) 在(,)上无界。
4. 周期性
设 y = f ( x ),定义域为 X，若 T > 0,使得 x X， 有 x T X 且 f ( x + T ) = f ( x )。
2)邻域：
Ua, x x a a , a
称为点a的 邻域，a为邻域中心， 为邻域半径。
0
U
a,
x
0
xa
称为点 a的去心
邻域。
定义：设有非空数集 X 和数集 Y ，如果对于 X 中 的每一个数 x , 按照对应法则 f 都对应于 Y 中唯一 的一个确定的数 y ，则称 f 为定义在 X 上的函数， 记做 f : X Y。
高等数学
主讲：李铮
预备知识
1. 数学归纳法 设 P 是一个与自然数 n 有关的命题。如果 (1) n=1 时，P 成立。 (2) 假设 n=k 时，P 成立，能够推出 n=k+1 时 P 也成立。 则 命题 P 对一切自然数 n 均成立。
注：i) 如果命题 P 对于 n≥ N0 时成立，则应验证 n= N0 时，P 成立。
例5. 已知 2 f (x) f (1 x) x2 ，求 f (x)
解：利用函数的“变量无关性”
2 f (x) f (1 x) x2
2
f
(1
x)
f
(x)
(1
x)2
消去 f (1 x)可得 f (x) 1 (x2 2x 1) 3
§3. 函数的特性 1. 奇偶性
设 X 为对称区间或为 R = (- ，+ )