教案直线的倾斜角

《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案

本节课选自高中数学《必修2》（普通高中课程标准实验教科书）第三章第一节第一节课。

一、内容和内容解析

内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。

每一章的第一节课非常重要，所讲内容要体现出“大问题”，“显著问题”，要从全章的角度来看问题。因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

教学重点：

1、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；

2、理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、目标和目标解析

1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析

平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。

由于学生还没有系统学习三角函数，所以要求学生利用补充的公式对倾斜角和斜率的关系进行研究，并猜想出一般的结论，是比较困难的。

函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。

教学难点：

直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。

四．教学支持条件分析

可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等。借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程。

五．教学过程设计

（一）引言

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。

今天，我们从直线开始研究，也就是研究直线上的点是如何满足等量关系式的，让直线插上方程的翅膀，带着我们一起去遨游奇妙的解析几何世界。

（设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义。站在高处了解本章内容。）（二）倾斜角概念的形成

大家请看大屏幕，美丽的夷陵长江大桥是一座斜拉桥，将桥上的斜拉索抽象成如图的一组直线

请问：这组直线在位置上有何不同之处？

【生】倾斜程度不同

【师】这节课我们来研究直线的倾斜角与斜率

（

当在y

斜率）

【板书】直线的倾斜角和斜率

来看本课【知识与技能】

1．理解倾斜角的概念。

2．理解斜率的定义和斜率公式。

3．掌握过两点的直线斜率的计算方法。

【过程与方法】自学、讨论、交流

【情感态度与价值观】

1． 体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2． 经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3． 通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

【师】请同学们将书打开第82页，自学第82页至第83页倒数第4行，完成学案上问题1～问题7，时间5分钟。

（设计意图：通过学生自学，掌握基本内容。体现出“学生自己给自己上新课”。）

【探究一】直线的倾斜角与斜率

问题1：倾斜角的定义：当直线与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 方向与直线l 向 上 方向所成的最小角α叫做直线l 的 倾斜角 。特别地，当l 与x 轴 平行 或 垂直 时，规定倾斜角为 零度和90度 ． 问题2：请说出下列四个图中直线的倾斜角。

（答案：0

0；0

20；0

90；0

135

）

问题3：倾斜角的范围是 0

1800<≤α

问题4：确定直线位置的几何要素是 直线上的一个点及其倾斜角

（设计意图：通过学生回答，教师了解学生对基本概念的掌握情况。）

【师】平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等。因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

【师】日常生活中，我们是如何刻画楼梯或山坡的倾斜程度呢？坡比 问题5：直线斜率的定义： 倾斜角的正切值

问题6：判断正误,并说明理由：

（1）平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π。 （⨯） （2）因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以它的倾斜角不存在。(⨯ )

（设计意图：通过学生回答，教师了解学生对斜率的掌握情况及对斜率部分解释。）

【探究二】已知直线上两点坐标求斜率

【师】两点可以确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，能否求出这条直线的斜率呢？请看问题8。

问题8．已知直线l 经过点

A (4, 3),

B (2, 2)

（1） 请在坐标系内作出此直线，判断它的倾斜角是锐角还是钝角；

（2） 它的斜率多少？

（答案：2

1=k ）

（设计意图：通过学生尝试解答，一方面学生可以通过初中学过的知识加以解答，同时也可以让学生带着问题去自学课本）

【师】请同学自学课本第83页至第85页【例1】，然后小组一起讨论问题9。

问题9：已知直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，结合图1和图3，说出斜率公式的推导