基于最小二乘算法的RBF
一种RBF神经网络的混合学习算法在CPI中的应用
ＣＩ ８ｓ Ｎｕｍ ｂ ＴＰ】 ３ ａ ｅｒ ８
１ 引言
研 究 表 明 ， 约 Ｒ Ｆ神 经 网 络 发 展 及 应 用 的 瓶 颈 主 要 制 Ｂ 有 ： 何 确 定 满 足 精 度 要 求 的最 小 网络 拓 扑 结 构 ； 网络 拓 如 当
பைடு நூலகம்
明显 无 法 满 足 要 求 或 效 果 不 好 ， 生 成 的 网 络 非 常 大 ， 或 或数 字 的病 态 产 生 线 性 的 结 果 ， 造 成 有 些 中心 值 很 接 近 。 正 或 交 最 小 二 乘 法 ＯＬ Ｏｒ ｏ ｏａ Ｌ ａｔＳ ｕ ｒｓ ， 正 交 性 Ｓ（ ｔ ｇ ｎ ｌ ｅｓ ｑ ａｅ） 其 ｈ 可 以有 效 地 解 决 上 述 问题 ］ Ｓ算 法 采 用 正 交 化 方 法 独 ， ＯＬ 立 计 算 回归 算 子 对 输 出 的 贡 献 ， 使 中心 的 选 择 步 骤 简 单 故 有 效 ， 从 大 量 的 候 选 值 中 选 择 合 适 的 回归 中心 子 集 ， 以 其 可
RBF神经网络
6. 调用 void RBFNet::lms()，采用梯度训练算法，由 u[1]，计算权值 w，并保存在 w[2]数组 之中，同时计算出输出的结果，保存在 u[2]之中； 7. 调用 double RBFNet::getwucha()，计算 u[2]与样本输出之间的误差大小（选择不同的聚 类中心数，分别计算误差，选出误差最小时的聚类中心数目）； 8. 调用 void RBFNet::saveW(double *newW)，将计算出的权值，以文件的形式保存下来，以 方便下次调用； 9. 调用 void RBFNet::saveGaosi(double *newG)，同上，保存高斯因子，将训练好的网络保 存下来；
RBF 神经网络： RBF 神经网络又称为径向基函数神经网络是一类常用的 3 层前馈网络， 也可用于函数逼近及 分类，常用的 RBF 网络为 n-h-m 结构，即网络具有 n 个输入，h 个隐节点，m 个输出。 RBF 的常用算法用：聚类方法，梯度训练方法，正交最小二乘算法等等，在本次算法实现过 程中，主要用到了聚类方法和梯度训练方法。 常用的 RBF 算法实现流程是： 1. 算法初始化：选择 h 个不同的初始聚类中心，并令 k=1。初始聚类中心的方法很多，比 如，从样本输入中随机选取，或者选择前 h 个样本输入，但这 h 个初始数据中心必须取 不同值。距离||X j –c i（k）||，i=1,2,· · ·,h，j=1,2,· · ·,N。 3. 对样本输入 X j 按最小距离原则对其进行分类： 即当 i(X j)=min||X j –c （ k ） || ， i=1,2, · · · ,h i 时，X j 即被归化为第 i 类，将 n 个输入分为 h 类。 4. 重新计算各类的新的聚类中心： C i（k+1）=Ni
三种RBF神经网络比较分析
三种RBF神经网络比较分析摘要：径向基函数（RBF）神经网络广泛应用于模式识别、非线性函数逼近等领域。
通过对聚类、梯度、正交最小二乘三种RBF神经网络进行正弦函数逼近的仿真实验，从中比较分析这三种RBF神经网络。
得到的对比分析结果表明：正交最小二乘的方式所需的训练时间最短，网络收敛速度最快，并且不需要预先定义隐层节点数。
关键词：神经网络；径向基函数；Matlab0引言人工神经网络是一种模仿生物神经网络的结构和功能的数学模型或计算模型。
现代神经网络是一种非线性统计性数据建模工具，常用来对输入和输出间复杂的关系进行建模，或用来探索数据的模式。
RBF神经网络即径向基函数神经网络（Radical Basis Function），是由J. Moody和C. Darken于上世纪80年代末提出的一种神经网络模型。
径向基函数神经网络是一种高效的前馈式神经网络，它具有其他前向网络所不具有的最佳逼近性能和全局最优特性，并且结构简单，训练速度快。
同时，它也是一种可以广泛应用于模式识别、非线性函数逼近等领域的神经网络模型。
1RBF神经网络原理由输入层、一个隐含层（径向基层）和一个线性输出层组成的前向RBF神经网络结构如图1。
隐含层神经元是将该层权值向量w与输入向量c之间的矢量距离与偏差b相乘后作为该神经元激活函数的输入，即：Ini=（‖w-c‖·bi）2=∑n[]j=1（wji-cj）2·bi（1）若取径向基函数为高斯函数，则神经元的输出为：Outi=e-In2i=e-（‖w-c‖·bi）2=e-（∑n[]j=1（wji-cj）2·bi）2（2）由式（1）可以看出，随着和之间距离的减少，径向基函数输出值增加，且在其输入为0时，即w和c之间的距离为0时，输出为最大值1。
1.1基于聚类的RBF神经网络原理基于聚类的RBF神经网络方法最早由Broomhead and Lowe提出。
最简单形式是有固定的中心，映射属性的参数有两组：输出层权值w，和径向基函数中心c。
最小二乘算法在RBF神经网络中的应用
此 ，Ｂ Ｒ Ｆ网络 以其简单的结构 、 快速 的训练过 程和 良好 的推 广能力 等诸 多优点 已在许多应用领域取得 了巨大 的成功 ， 特 别是在模式分类 和函数逼近方面 。
Ｒ Ｆ网络 中心选 取正交最 小二乘 ０ ｓ算法 ， Ｂ Ｌ 解决 了径
Ｒ Ｆ网络 中所用的非线性 函数的形式对 网络性能的影 Ｂ 响并不是至关重要 的， 关键 因素是 基 函数 中心的选取 ， 中心
２ Ｒ Ｆ中心选取 的正 交最ｄ －乘算 法 Ｂ ｘ
正交最 ｄ － 乘 （ ｒ ｏｏａ Ｌ ａｔＳ ｕｒ－Ｏ Ｓ 法来 源 ｘ Ｏ ｔ ｇｎｌ ｅｓ ｑ ａｅ－ Ｌ ） ｈ
于线性 回归模型。令网络的训练样本对为 ｛ ， ” ｝ ”＝ ｄ（ ） ， １２ …， ， ， Ｎ。其 中 ， 为训练样本 数 ； ∈Ｒ Ｎ 为网络 的输入 数据矢量 ； （ ） ｄ ” ∈Ｒ’ 网络的期望输 出响应 。根据线性 回 为
选取不 当构造 出来 的 Ｒ Ｆ网络 的性 能一般 不能令人 满意。 Ｂ
例如 ， 如果某 些中心靠 的太近 ， 产生近似线形相关 ， 会 从而带 来数值上 的病变条件。由于 Ｒ Ｆ网络中心选取是该 网络能 Ｂ
否成功用于实际的关键 ， 因此下面我们主要研究径 向高斯 函 数中心 的选取算法 。
关键词 ： 径向基 函数 ； 神经 网络 ； 最小二乘算法 ； 函数逼近
中 图分 类 号 ： Ｐ ８ Ｔ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引言
近年来 ， 随着智能技 术 的发 展 ， 神经 网络理论 已得 到 了
广泛的应用 ， 中前馈 网络和反馈 网络是两 种典 型的 网络模 其
ｙ： ｉ
图 １ Ｒ Ｆ网络 结构 Ｂ
ｕ ｊ＝ ｅ ｘｐ
基于改进RBF神经网络的动态测量误差预测方法
算法 （ Ｏ Ｓ 来 改进 传 统 的 Ｒ Ｆ神 经 网络 存 在 的不 Ｒ Ｌ） Ｂ 足 ， 而有效地提 高了动态测量误 差的预测精度 。 从
１ Ｉ Ｆ神 经 网络 结 构 ｍ
Ｒ Ｆ神 经 网 络 可 以 看 成 是 一 从 输 入 到输 出 的 Ｂ 高度 非线 性 映射 ， ， 一 即 Ｘ）＝Ｙ 。对 于 样 本 集合 ： 输入 （∈ 和 输 出 Ｙ（∈Ｒ ） 可 以认 为存 Ｒ） ， 在某 一映 射 ｇ 使 ｇ ）＝Ｙ， 要 求 出一 映 射 ， ， （ 现 使 得在某 种 意 义 下 ， ｇ的最 佳 逼 近 。神 经 网络 通 ． 厂是 过 对 简单 的非线 性 函数 进 行数 次 复合 ， 可近 似 为 复
杂 函数 。
术 的发展 ， 时误差 修 正 己变得 越来 越 重 要 ， 进 行 实 在
实时误差修正过 程时 ， 不可避免地 要对 动态测 量误差
进行建模预测 ， 动态测量误差的建模预测是误差修正 的基础 ， 在误差修 正技 术 中具有 非常重要 的地位 。
动态 测量误差模 型的精 度很 大程 度 上决 定 了对
ｔ ｎ（ Ｂ ）ｎ ｕａ ｎｔｏｋ ｔｉ ｐ ｐ ｒ ｕｓｆ ｗ ｒ ｅａ ｏｉ ｍ ｏ ｖ ｌ ｅａｉ ｄｃｍｐｔｉ ｅｒｉｇ ｉ Ｒ Ｆ ｅ ｒｌ ｅ ｒ ， ｓ ａｅ ｔ ｏ ａｄｔ ｌ ｒｈ ｆ ａ ｐｎ ｌ ｅ ｏ ｅ ｔ ｅｌ ｎｎ ｏ ｗ ｈ ｐ ｒ ｈ ｇ ｔ ｉ ｒ ｚ ｉｖ ａ （ Ｐ Ｌ ｎ ｅｕｓ ｅｏｔｏｏ ａ ｌ ｓ ｓｕ ｒ（ Ｏ Ｓ ｎ ｋ ｓａｓ ｄ ｆ ｙ ａ ｃｍ ａｕｅ ｅ ｔ ｒ Ｒ Ｃ ）ａｄｒｃ ｒ ｖ ｒ ｇｎ ｌ ｅ ｔ ｑ ａｅ Ｒ Ｌ ）ａ ｄｍａｅ ｔ ｙｏ ｎｍｉ ｅｓｒｍ ｎ ｅ－ ｉ ｈ ａ ｕ ｄ
rbf神经网络原理
rbf神经网络原理RBF（RadialBasisFunction）神经网络是一种广泛应用的人工神经网络，它以其准确性和高精度被广泛应用于多种领域，其中有建模预测、模式识别和控制系统等。
本文首先介绍了RBF神经网络的基本原理，然后介绍了其优势及模式识别应用，最后重点介绍了其在控制系统研究中的应用。
RBF神经网络的原理是在一个给定的期望输出集合中，通过学习总结出一组带有可调整参数的基函数分布，以此来进行近似。
它的本质是一个二次形式的最小二乘函数：E（w）=∑i{p[i]-yd[i]^2}+∑jε{wj*hj(x)}其中p[i]是第i个观测点的期望输出，hj(x)是第j个基函数，wj是它的参数，yd[i]是第i个点的实际输出值。
基函数通常用高斯函数形式，其参数会在学习过程中不断调整，使得建模能够准确拟合实际数据。
RBF神经网络的优势在于其具有可解释性、快速学习速度、无局部极小点和可扩展性等特点，即其可以有效解决复杂的系统建模和控制问题。
在模式识别方面，由于RBF神经网络具有很高的识别精度，它被广泛用于语音识别、图像分类等复杂任务。
例如，一些研究者使用RBF神经网络来识别人脸图像，以及基于光学字符识别的文本翻译系统，其准确率高达99%。
另外，RBF神经网络也被广泛用于控制系统领域，其中包括机器人控制、动力系统控制及非线性系统的鲁棒控制和稳定控制等。
例如，研究者使用RBF神经网络设计了一种可用于机器人末端重力补偿的非线性控制器，提高了机器人对负载变化的响应效果。
总而言之，RBF神经网络具有可解释性、快速学习速度、无局部极小点和可扩展性等优势，广泛应用于各种领域，如模式识别、控制系统设计等。
通过RBF神经网络可以更好地解决复杂的实际问题，具有极大的应用价值。
基于OLS算法的RBF神经网络在大坝安全监测中的应用
文 章编号 ：０９ ９４ （０ ０ １ ０９ —２ １０ — １Ｘ ２ １）卜 ２ ２０ ０Ｓ Ｌ 算法 来 自于回 归模型 ：
引言 人工神 经 网络 是 ６ 年 代提 出， Ｏ ０ ８ 年代 以来 的 以迅 速发 展 的一 门新 兴的信 息处 理技术， 因其 ，泛 的适 应能力 和学 习能力在 非线性系 统的预测 中得到广 泛
【ｅ ｏ ｄ Ｒ Ｆ ｎ ｕ ａ ｎ ｔ ｏ ｋ ０ Ｓ ｌ ｏ ｉ ｈ Ｄ ｍ Ｓ ｆ ｔ ｏ ｔ ｒ ｎ Ｋ ｙ ｗ ｒ ｓＪ Ｂ ｅ ｒ １ ｅ ｗ ｒ ｓ Ｌ ａ ｇ ｒ ｔ ｍ ａ ａ ｅ ｙ ｍ ｎｉ ｏ ｉ ｇ
中图 分类号 ：９ ４２ Ｘ ２ ．
文献标 识码 ： Ａ
其 中： （） ｄ ｋ是期 望输 出 ： ａ是权值 ：（） ｅｋ 是误 差 ： 将 上式 改写 为 ： ｄ ＝Ｐａ＋ Fra bibliotek其中：
ｄ ［（ （ ） （ “ ［ ・ ｒ】 ＝ｄ ） （． ｄ ）； ＝ｑ 一 １， ２ 一 ，
Ｐ 【 ２ ， ＝ｎ【 毂ｆ ， （） ， ｌ ； ＝ｎＰ … Ｐ 】而 『 １ ２ … 鼽 ｌ ｌ ｊ ）
应用 技 术
Ｉ ■
基于 Ｏ Ｓ算法的 Ｒ Ｆ神 经网络在大坝安全 监测中的应用 Ｌ Ｂ
刘红涛
（ 陕西省 西安 市临潼 区油槐 街道 办 陕西 西安 ７ ０ ０） １６４ ［ 摘 要］ 文章 介绍 了 Ｒ Ｆ网络 的基本 原理 以及 网络 中心 选取 Ｏ Ｓ 法 （ 交最 小二乘 法） 并将 该方 法应用 于大 坝渗 流安全 监测 资料 的分析 预报 上， Ｂ Ｌ算 正 ， 应用 结 果表 明 ： 该神经 网路可 以很好 地 克服 Ｂ Ｐ神经 网络 学习过 程 的收敛过 分依赖 于初 值和可 能 出现局 部收 敛的缺 陷， 有较快 的运 算速度 、较 强的非 线性 映射能 力和 具 较 好 的预 报 功 能 。 ［ 关键 词］ Ｂ 神经 网络 Ｏ Ｓ 法 大坝 安全 监测 ＲＦ Ｌ算
径向基神经网络学习算法(RBF)
Mezer chen 2018.5.9
RBF简介
1989年，Moody和Darken提出了一种由两个阶段组成的混 合学习过程的思路。
①无监督的自组织学习阶段 ②有监督学习阶段
其任务是用自组织聚类方法为隐 层节点的径向基函数确定合适的 数据中心，并根据各中心之间的 距离确定隐节点的扩展常数。 一般采用Duda和Hart1973年提 出的k-means聚类算法。
其任务是用有监督 学习算法训练输出 层权值，一般采用 梯度法进行训练。
RBF网络的工作原理
RBF网络特点
只有一个隐含层，且隐层神经元与输出层神经元的模型不同。 隐层节点激活函数为径向基函数，输出层节点激活函数为线 性函数。 隐层节点激活函数的净输入是输入向量与节点中心的距离 （范数）而非向量内积，且节点中心不可调。 隐层节点参数确定后，输出权值可通过解线性方程组得到。 隐层节点的非线性变换把线性不可分问题转化为线性可分问 题。 局部逼近网络（MLP是全局逼近网络)，这意味着逼近一个输 入输出映射时，在相同逼近精度要求下，RBF所需的时间要 比MLP少。 具有唯一最佳逼近的特性，无局部极小。 合适的隐层节点数、节点中心和宽度不易确定。
RBF神经网络中心选取
① 从样本输入中选取中心
一般来说，样本密集的地方中心点可以适当多些，样本 稀疏的地方中心点可以少些；若数据本身是均匀分布的，
中心点也可以均匀分布。总之，选出的数据中心应具有代
表性。径向基函数的扩展常数是根据数据中心的散布而确 定的，为了避免每个径向基函数太尖或太平，一种选择方 法是将所有径向基函数的扩展常数设为
d max 2I
② 自组织选取中心法
常采用各种动态聚类算法对数据中心进行自组织选择，在
一种基于RBF神经网络预测算法在石油累积产量中的应用研究
部 分布 的 对 中 心点 径 向 对 称 衰 减 的 非 负 非 线 性 函 数 。 比较 常用 的是 线 形 优 化 策 略 ， 习速 度 较 快 。 隐 含 层是 对 作 用 函 数 （ 斯 学 高 的径 向基 函数 是高 斯 函数 函数 ） 的参 数 （ 中心 和 均 方 差 ） 行 调整 ． 用 非 线 性 优 化 策 略 。 进 采
性 方 程 组 直 接 求 解 （ 斯 消 去 法 ） 或 用 Ｒ Ｓ计 算 ， 而 权 值 收 在 模 式 识 别 中有 广 泛 应 用 ． 体 步 骤 如 ： 高 ， Ｌ 从 具 敛 速 度 快 ， 避 免 了局 部 极 小 问 题 。 面 对 这 种 网络 进 行 简要 介 并 下 （ｉ） 始化 聚类 中心 （ １ ， Ｄ 初 ｉ ， …＾ 。一 般 是从 输 入 样 本（ ， ＝２ １ ， ２
袖 屉 盼
因而 学 习 速 度 较 慢 。 隐含 层 的 学 习 是 自组 织 的 学 习方 法 ． 输 出 而 层 的 学 习 方 法 是 有 导 师 的 ， 而一 般 分 为两 个 层 次 进行 ． 整 体 因 但
RBF神经网络的结构动态优化设计
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曲线拟合方法浅析
曲线拟合方法概述工业设计 张静 1014201056引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。
现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
1 曲线拟合的概念在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。
但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。
曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。
即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。
2 曲线拟合的方法2.1最小二乘法最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。
该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：δ=∑-=n i y x f i i 02))((对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。
2.2 移动最小二乘法移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
基于局部最小误差的数据拟合算法
基于局部最小误差的数据拟合算法随着科技的不断发展，数据量和数据复杂度越来越大，数据拟合算法在科学和工程领域中起着越来越重要的作用。
在这个领域中，基于局部最小误差的数据拟合算法是一种重要的算法。
它使用最小二乘法来拟合数据，并且将权重给予离拟合曲线近的数据点。
这个算法有很多的优点，比如对噪声的抗干扰性强、对异常值的容忍度高等等。
接下来，我将从算法的原理、应用、优缺点等方面进行介绍。
一、算法的原理基于局部最小误差的数据拟合算法使用的核心算法是最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化残差平方和来拟合一个数据模型。
它的数学模型被表示为：$$ \min_{\bold{a}} \||\bold{y} - \bold{Xa}||_2^2 $$其中，$\bold{y}$ 表示的是数据集中的数据输出，$\bold{X}$ 表示的是输入参数，$\bold{a}$ 表示的是参数的向量。
这个模型会计算出一个参数向量 $\bold{a}$, 来拟合数据集。
那么如何将拟合曲线贴近输入参数呢？这就是基于局部最小误差拟合算法另一个重要的概念——径向基函数(Radial basis function, RBF)。
它主要的目的是定义数据点的权重，以确定数据点对于整体拟合的贡献。
在基于局部最小误差拟合算法中，我们使用决策函数 $f(x)$ 来拟合数据，公式如下：$$ f(x) = \sum_{i=1}^n w(i) \varphi(||x - x_i||) $$其中, $n$是数据点的数量，$w(i)$是每个数据点上的权值，$\varphi(||x - x_i||)$是径向基函数（RBF），定义如下：$$ \varphi(||x - x_i||) = exp(-\frac{||x - x_i||^2}{2\sigma_i^2}) $$其中, $\sigma_i$ 是 RBF 的参数，用来度量数据点的半径。
二、应用基于局部最小误差的数据拟合算法广泛应用于计算机视觉、模式识别、机器学习等领域。
RBF神经网络的函数逼近能力及其算法
RBF神经网络的函数逼近能力及其算法RBF（径向基函数）神经网络是一种用于函数逼近的非线性神经网络模型。
它具有强大的函数逼近能力，并且在许多领域中被广泛应用。
RBF神经网络由输入层、隐含层和输出层组成，其中隐含层是其核心组成部分。
隐含层包含一组径向基函数，这些函数将输入映射到一组隐含单元上。
每个隐含单元使用一个径向基函数计算输出，这个函数是以该隐含单元为中心的高斯函数。
RBF神经网络的函数逼近能力还受到其隐藏单元数量和径向基函数的选择的影响。
隐含单元的数量越多，网络的逼近能力越强，但也容易导致过拟合。
同时，选择适当的径向基函数也是至关重要的。
常见的径向基函数包括高斯函数、多项式函数和sigmoid函数，它们具有不同的特点和适用范围。
RBF神经网络的训练算法通常使用两个步骤：聚类和最小二乘法。
聚类步骤用于确定隐含单元的位置，最小化输入数据点与隐含单元之间的距离。
常用的聚类算法有K-means算法和自组织映射算法。
最小二乘法步骤用于确定径向基函数的参数，以最小化训练数据点与神经网络输出之间的误差。
这可以通过线性回归或最小二乘法来实现。
总之，RBF神经网络具有强大的函数逼近能力，可以逼近任意复杂的非线性函数。
其核心算法包括聚类和最小二乘法，通过确定隐含单元和径向基函数的参数来实现函数逼近。
这使得RBF神经网络在多个领域中得到广泛应用，包括模式识别、时间序列预测、图像处理等。
RBF神经网络：原理详解和MATLAB实现
RBF神经网络：原理详解和MATLAB实现——2020年2月2日目录RBF神经网络：原理详解和MATLAB实现 (1)一、径向基函数RBF (2)定义（Radial basis function——一种距离） (2)如何理解径向基函数与神经网络？ (2)应用 (3)二、RBF神经网络的基本思想（从函数到函数的映射） (3)三、RBF神经网络模型 (3)（一）RBF神经网络神经元结构 (3)（二）高斯核函数 (6)四、基于高斯核的RBF神经网络拓扑结构 (7)五、RBF网络的学习算法 (9)(一)算法需要求解的参数 (9)0.确定输入向量 (9)1.径向基函数的中心（隐含层中心点） (9)2.方差（sigma) (10)3.初始化隐含层至输出层的连接权值 (10)4.初始化宽度向量 (12)（二）计算隐含层第j 个神经元的输出值zj (12)（三）计算输出层神经元的输出 (13)（四）权重参数的迭代计算 (13)六、RBF神经网络算法的MATLAB实现 (14)七、RBF神经网络学习算法的范例 (15)（一）简例 (15)（二）预测汽油辛烷值 (15)八、参考资料 (19)一、径向基函数RBF定义（Radial basis function——一种距离）径向基函数是一个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数，也就是Φ（x）=Φ(‖x‖),或者还可以是到任意一点c的距离，c点称为中心点，也就是Φ（x，c）=Φ(‖x-c‖)。
任意一个满足Φ（x）=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向基函数。
标准的一般使用欧氏距离（也叫做欧式径向基函数），尽管其他距离函数也是可以的。
在神经网络结构中，可以作为全连接层和ReLU层的主要函数。
如何理解径向基函数与神经网络？一些径向函数代表性的用到近似给定的函数，这种近似可以被解释成一个简单的神经网络。
径向基函数在支持向量机中也被用做核函数。
常见的径向基函数有：高斯函数，二次函数，逆二次函数等。
基于OLS算法的RBF网设计方法与实现
Ｋｅ ｒ ｓ ｂ ｓｓ ｆ ｎ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ａ ｉ ｕ ｃ ｉ ｎ； ｌ ａ ｔ ｑ ｒ ｓ ｍ ｅｈｏ ｅ ｓ ｓ ｕａ ｅ ｔ ｄ；ｎ ｕ ａ ｅ ｏ ｋ；ｒ ｇ ｅ ｓｏ ｅ ｒ ｌｎ ｔ ｒ ｗ ｅ ｒ ｓ ｉ ｎ；ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ｒｈ ｇ ｎ ｌ
０ 引 言
前向神经 网络 已经应 用在很 多领域 ， 用前向神经 网络处理 复杂信 号可 以看成是在 多维空 间的 曲面拟 合操作 。这些应 用
者 结 果 不理 想 ， 而 无 法 满 足 要 求 。 径 向基 函数 中心 的 选 择 基 于 正 交 最 小二 乘 法 ， 个找 出径 向 基 函数 的 中 心 ， 建 出 从 逐 构
良好 的网络 。该算 法选择 的 中心最大值不会产 生数 字的病 态问题 。正交最小二乘法策略 简单 、 有效 ， 设计 的径 向基 函数
ＬＩ Ｊｎ ｌ Ｕ ｉ — ｉ ｎｇ
（ ｏ ｇ ｈ ｎ Ｂ ａ ｃ ｃ ｏ ｌ Ｔ ｎ ｓａ ｒ ｎ ｈ Ｓ ｈ ｏ ，Ｘ￣ｈ ｕ Ｒ ｄ ｏ ａ ｄ Ｔ ｎｖ ｒ ｔ，Ｘ ｚｏ ，Ｊａ ｇ ｕ ２ １ １ ，Ｃ ｉａ ｏ ａ ｉ ｎ Ｖ Ｕ ｉ ｓ ｙ ｕｈ ｕ ｉｎ ｓ ２ １ ６ ｈｎ ） ｅｉ
１径 向基 函数 网络
径 向基函数 网络的原理 是用隐 单元实现 输入空 间到隐含
层空 间的变换 ， 矢量不通过连 接权直接 映射到 了隐空间 ， 只要
Ｂ 这种关系也就确定 了。输入层到隐含层的 从理 论上讲是可 行的 ， 网络 结构足够 大时 ， 在 通过 参数的选 择 确定 了Ｒ Ｆ的中心 ，
的实际输 出是单元响应的线性和。
Ｒ Ｆ Ｂ 网络如图１ 所示， 映射 ： ＋ ＲＬ Ｒ： ＿
rbf的数学模型
rbf的数学模型
RBF(径向基函数)是一种常用的非线性模型，在机器学习和数据挖掘中广泛应用。
其核心思想是利用一组基函数对数据进行拟合，从而实现对目标函数的预测。
具体来说，RBF 的数学模型可以表示为：
f(x) = ∑i=1n wi(||x-ci||2)
其中，x 表示输入样本的特征向量，n 表示基函数的个数，wi 表示基函数的权重，ci 表示基函数中心，||·||2 表示欧几里得距离，(·) 表示径向基函数。
径向基函数是一种以距离为自变量的函数，通常具有局部性和平滑性。
常用的径向基函数包括高斯函数、多项式函数和大津函数等。
对于给定的训练数据集，RBF 的目标是构造一个最优的基函数集合，使得预测误差最小。
通常采用最小二乘法或最大似然估计法求解模型参数。
RBF 的优点包括能够处理高维数据和非线性关系，具有较强的泛化能力和适应性。
在实际应用中，RBF 常用于分类、回归、聚类等任务。
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RBF神经网络的函数逼近能力及其算法
万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据RBF神经网络的函数逼近能力及其算法作者：柴杰， 江青茵， 曹志凯作者单位：厦门大学,化工系,厦门,361005刊名：模式识别与人工智能英文刊名：PATTERN RECOGNITION AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE年，卷(期)：2002,15(3)被引用次数：64次参考文献(36条)1.吴宗敏函数的径向基表示 1998(03)2.张乃尧阎平凡神经网络与模糊控制 19983.Mhaskar H N;Micchelli C A Approximation by Superposition of Sigrnoidal and Radial Basis Functions [外文期刊] 19924.Leshno M;Lin V Y;Pinkus A;Schocken S Multilayer Feedforward Networks with a Non-Polynomial Activation Can Approximate Any Function 19935.Hartman E J;Keeler J D;Kowalski J M Layered Neural Networks with Gaussian Hidden Units as Universal Approximators[外文期刊] 19906.Lee S;Kil R M A Gaussian Potential Function Network with Hierarchically Self-Organizing Learning 19917.Park J;Sandberg I W Universal Approximation Using Radial Basis Function Networks[外文期刊]1991(02)8.Park J;Sandberg I W Approximation and Radial Basis Function Networks 1993(02)9.Chen T P;Chen H Approximation Theory Capability to Functions of Several Variables Nonlinear Functionals and Operators by Radial Basis Functional Neural Networks[外文期刊] 1995(04)10.Li X On Simultaneous Approximations by Radial Basis Function Neural Networks[外文期刊] 1998(1)11.JONES L K A Simple Lemma on Greedy Approximation in Hilbert Space and Convergence Rates for Projection Pursuit Regression and Neural Network Training[外文期刊] 199212.Barron A R Universal Approximation Bounds for Superposition of a Sigrnoid Function[外文期刊] 1993(3)13.Girosi F;Anzellotti G Rates of Convergence for Radial Basis Function and Neural Networks 199314.Kurková V Dimension-Independent Rates of Approximation by Neural Networks 199715.Kurková V;Kainen P C;Kreinovich V Estimates of the Number of Hidden Units and Variation with Respect to Half-Spaces 199716.Yukich J;Stinchcombe M;White H Sup-Norm Approximation Bounds for Networks through Probabilistic Methods[外文期刊] 1995(04)17.Makovoz Y Random Approximants and Neural Networks[外文期刊] 199618.Dohlerd S;Uschendorf L R An Approximation Result for Nets in Functional Estimation 200119.PIGGIO T;Girosi F A Theory of Networks for Approximation and Learning. 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RBF神经网络学习算法
RBF神经网络学习算法RBF（径向基函数）神经网络是一种常用的神经网络模型，其学习算法主要分为两个步骤：网络初始化和参数优化。
本篇文章将详细介绍RBF 神经网络学习算法的原理和步骤。
1.网络初始化（1）选择隐藏层神经元的个数隐藏层神经元的个数决定了网络的复杂度。
一般情况下，隐藏层神经元的个数越多，网络的拟合能力越强。
但是隐藏层神经元个数的选择也受限于样本的数量和特征维度。
（2）选择径向基函数径向基函数用于将输入样本映射到隐藏层，常用的径向基函数有高斯函数、多项式函数等。
高斯函数是最常用的径向基函数，其具有良好的非线性映射性质。
选择合适的径向基函数如高斯函数可以提高网络的拟合能力。
（3）确定径向基函数的参数高斯函数有一个重要参数σ，控制了函数的宽度。
确定适当的σ值可以使得网络在训练过程中收敛更快，提高网络的学习效率。
2.参数优化（1）梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，通过不断迭代网络参数来最小化误差函数。
具体步骤如下：a.随机初始化网络的权值和偏置。
b.使用前向传播计算网络的输出。
d.根据误差计算参数的梯度。
e.根据梯度和学习率更新参数。
f.重复b-e直到满足停止准则。
（2）最小二乘法最小二乘法是一种基于最小化误差平方和的优化方法。
具体步骤如下：a.设置误差函数为平方和。
b.对误差函数求偏导，并令导数为0，得到参数的闭式解。
c.使用闭式解更新参数。
3.网络训练与预测（1）网络训练（2）网络预测网络预测是指使用训练好的网络来进行新样本的预测。
给定新样本的特征向量，通过前向传播计算网络的输出，即为网络对该样本的预测结果。
总结：本文首先介绍了RBF神经网络的基本原理和结构，然后详细描述了RBF神经网络的学习算法。
网络初始化包括选择隐藏层神经元个数、径向基函数和参数的确定。
参数优化主要通过梯度下降法和最小二乘法来优化网络的参数。
最后，本文介绍了网络训练和预测的过程。
通过合理选择网络结构和参数，RBF神经网络可以有效地处理非线性问题，具有很好的拟合能力和预测能力。
最小二乘支持向量机的一种改进算法
最小二乘支持向量机的一种改进算法最小二乘支持向量机（LS-SVM）是一种常用的机器学习算法，它使用最小二乘法来寻找最佳决策边界，就像标准的支持向量机（SVM）一样。
但是，LS-SVM有一些局限性，例如对噪声数据的敏感性。
为了解决这些限制，人们开发了许多改进算法。
这篇文章将介绍最小二乘支持向量机的一种改进算法。
一、最小平方双曲线支持向量机（LSSVM-RBF）LSSVM-RBF是对LS-SVM的改进。
它使用径向基函数（RBF）作为核函数，通过添加双曲线惩罚项来解决LS-SVM的局限性。
这个惩罚项可以控制分类器复杂度，从而使其更适应噪声数据。
二、随机采样最小平方支持向量机（RS-LSSVM）另一个改进方法是随机采样最小平方支持向量机（RS-LSSVM）。
这个算法可以在保持准确性的同时降低计算成本。
它在每个迭代中随机选择一小部分样本，以计算新的最小二乘解。
这样可以减少计算，但也增加了噪声的影响。
为了解决这个问题，RS-LSSVM还引入了一个新惩罚项来稳定分类器。
三、多核最小二乘支持向量机（MKL-SVM）MKL-SVM是另一个对LS-SVM的改进。
它使用多个核函数组合，可以对不同的数据集选择最佳的核函数组合，以提高分类器的准确性。
此外，MKL-SVM还使用自适应核函数权重来调整不同核函数的重要性。
四、在线最小二乘支持向量机（OLS-SVM）在线最小二乘支持向量机（OLS-SVM）是一种新的改进方法，它可以逐渐适应新数据，而不需要重新训练模型。
该算法在线更新模型参数，可以实时适应变化的数据。
总之，最小二乘支持向量机是一种优秀的分类器，但也存在局限性。
随着机器学习领域的不断发展，人们也在不断改进这个算法，以使其更适应不同的数据集和问题。
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基于正交最小二乘算法的RBF神经网络
一、实验环境
硬件平台Win10 64位操作系统，1.5GHZ，4G内存，软件版本MA TLAB2015b
二、实验数据
训练数据集：
T
F W M Y Q
1000.00130010000
20.00740.03350.00150.00320.010610000
30.00430.022300.00470.005310000
40.5520.30170.25810.30940.231601000
50.54520.27930.26110.29880.203601000
60.55020.24580.27170.31150.234701000
70.24620.15080.09470.09640.099900100
80.25350.10610.09680.09710.08100100
90.26650.08940.09370.09940.090800100
100.66150.52510.51950.471100010
110.67380.44130.52250.47320.966700010
120.66650.47490.52550.47690.975800010
13110.981210.820600001
140.97970.977710.9960.775900001
150.98460.97270.98470.98570.7600001
测试数据集：
T
F W M Y Q
10.00310.02350.00050.0030.004510000
20.54930.26260.26590.30880.222101000
30.25720.10060.09580.09810.08900100
40.67040.49720.52350.47410.979100010
50.9920.98990.99790.99370.797900001
三、算法介绍
RBF函数网络从结构上看是一个3层前馈网络，包括一个输入层、一个输出层和一个隐含层。
输入层节点的作用是将输入数据传递到隐含层节点。
隐含层节点称为RBF节点，其激活函数为辐射状函数的神经元构成，通常采用高斯型函数：Array
图1 RBF结构
RBF网络中所用的非线性函数的形式对网络性能的影响并不是至关重要的，关键因素是基函数中心的选取，中心选取不当构造出来的RBF网络的性能一般不能令人满意。
例如，如果某些中心靠的太近，会产生近似线形相关，从而带来数值上的病变条件。
基本的RBF 神经网络采用随机抽取固定中心的方法，在输入样本数据的分布具有某种特性的情况下，采用这种方法解决给定问题就显得简单可行了。
而针对其缺陷，已经有许多改进的方法，其中
之一就是利用最小二乘法选取中心，训练网络权重。
四、程序设计
1.RBF基本算法
程序分为数据准备，网络训练，网络测试，图形绘制四部分。
数据准备部分将EXCEL表格中的训练集测试集数
据导入MATLAB工作空间，作为实验的数据源。
然后
对程序参数进行初始化设置在训练集中随机抽取数据
作为RBF中心。
网络训练部分进行样本迭代训练，每
一次迭代结束计算误差是否达到精度要求，若未达到精
度要求则调整权值进行下一次迭代。
精度达到要求或达
到最大步数则结束训练，进入测试阶段。
最后绘制训练
误差图形，输出测试结果。
图2 基本RBF程序流程图2.基于正交最小二乘法的改进设计
正交最小二乘法是神经网络中的很重要的一种学习方法。
线性回归模型是算法的来源。
不失一般性，考虑网络中只有一个单元的输出层。
令网络训练样本对为
其中、N代表训练样本数。
Xn是网络输入数据矢量。
d(n)表示网络期望输出响应。
网络的期望输出响应根据选型回归模型可以表达为
式中M是隐含层的单元数M<N。
p(i)是回归算子,它其实也是在某种参数下，隐含层产生的响应,可以用下式表达
Wi为模型参数，同样也可以表示输出层连接隐含层的权；e(n)是残差。
将4-40写成矩阵方程形式，可表示为
式中，P为回归矩阵。
选择回归算子矢量pi是求解回归方程式的关键。
P确定以后，就可以用线性方程组来求解模型参数矢量。
通常的RBF中心，是从输入的样本数据的矢量集合中做选择。
每当选定一组ti，就能得到一个对应于输入样本的回归矩阵。
值得注意的是，
回归算子的个数M的选择和它的变化都直接影响回归模型中的残差。
我们要选择那些对降低残差贡献显著回归的算子，剔除对降低残差贡献差的回归算子。
为了得到满足二次性能指标的网络输出，OLS法需要的工作是通过学习选择出合适的回归算子矢量，以及它的个数M，OLS法的基本思想是正交化pi，分析判断pi对降低残差的贡献，选择贡献显著的回归算子并确定其个数。
将P进行正交三角形分解，P=UA，U是各列正交的N*M阵，A为上三角矩阵。
经运算得到最小二乘解
定义误差压缩比，据此可以选择重要的回归算子。
总结OLS算法的具体过程是：
（1）进行隐含层单元数的预选工作。
（2）选择一组RBF中心矢量ti，1≤i≤M
（3）选择输入样本矢量计算P
（4）正交化P矩阵
（5）分别计算
（6）计算上三角矩阵A，根据AW=G求连接权重。
（7）检查是否满足以下公式
如果得到满足,则停止计算。
否则,重新开始第2步。
五、调试过程及结果
1.RBF基本算法
网络结构及参数：选择5个输入神经元，5个输出神经元，隐层神经元个数20个，目标精度0.001。
训练过程误差变化如图3所示，经过两次迭代就达到精度要求。
图3 基本RBF训练过程
此时输出结果如下表所示，由结果可知经过训练后的网络很好的实现了分类目的，且精度较高。
此时网络权值如下表所示，M为隐层神经元，Y为输出神经元
RBF中心取值分别为
改变隐藏神经元个数为5个训练及测试结果：
通过测试数据可以看到并未达到分类要求，因此隐层神经元太少会影响分类精度，而且在调试过程中由于初始权值以及网络中心都是随机选择，同一参数下测试效果也不相同。
2.基于正交最小二乘法的改进设计
基于正交最小二乘算法的RBF改进算法并没有成功实现。
在程序设计调试过程中，开始并不了解RBF的工作原理，于是参考了《智能控制》（），《MATLAB神经网络：：：》以及网络上一篇名为《RBF神经网络的matlab简单实现》的博客文章，了解了RBF的基本结构及其实现方法。
在基本算法完成的情况下，考虑正交最小二乘算法与RBF神经网络的结合问题。
对于最小二乘法，可以理解为是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
在知网期刊论文文库搜索了大量相关的文献资料，通过阅读文献发现最小二乘法常用来进行隐层神经元中心的选择以及权值的修正，上一部分研究已经发现RBF隐层神经元函数中心的选择直接影响了网络训练结果的好坏，基于正交最小二乘算法的RBF改进算法就是利用最小二乘法进行网络中心的选择以及权值调整。
接下来在一篇硕士论文《基于RBF神经网络的浮船坞浮态检验系统辨识》中找到基于最小二乘算法改进RBF神经网络的较为详细的总体步骤。
（如第四部分所述），据此设计程序。
首先进行数据准备工作，将训练数据测试数据导入MATLAB工作空间，然后初始化所需参数，计算回归矩阵P，p(i)为第i个隐层的输出向量，对P进行正交化处理，程序中采用QR分解的方法，得到正交矩阵U以及上三角矩阵A，之后再求取g和误差压缩比时针对多维输出情况遇到困难，至此，问题的关键集中于如何求取误差压缩比并选择最佳的中心点向量，通过每次迭代增加隐层中心数目更新权值矩阵直至误差达到精度要求。
接下来的工作应该建立在充分理解最小二乘算法的基础上解决多维输出情况下最优中心点选择的问题。
对于测试部分、结果处理绘图程序同前述基本RBF算法。
六、讨论与小结
由实验可知，RBF神经网络在分类问题中具有优越性能。
通过动手编制RBF底层学习算法程序可以促使我们深入了解算法原理，在其缺陷基础上提出改进措施。
由于时间有限，实验改进算法虽未顺利完成，但也在其中学到了更多程序改进的思路。
未完成的部分还需要继续研究。
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