新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

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(新课程)高中数学《第一章解三角形》单元测试新人教A版必修5

高中新课程数学（新课标人教A 版）必修五《第一章解三角形》单元测试一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于（）A 4B2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（）A 3B 2C 12D 23.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C ==，则△ABC 一定是（） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形5.△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定 7. △ABC 中，8b =，c =，ABC S =A ∠等于（）A 30B 60C 30或150D 60或1208.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于（） A 2 B 129. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（） A 13 B 12 C 34D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（） A. 3400米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 C. 56 海里 D.53 海里第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于。

人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案

必修五第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为（）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评5 Word版含答案

高中数学必修五《解三角形》单元测试（含答案）一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足() A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】 B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21 D．13【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】 D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.12B．1C．2 2 D．52 2【解析】S△ABC ＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.【答案】 D4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62D．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1，所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.【答案】 D二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为．【解析】画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S △＝12×3×5×45＝6(cm 2)．【答案】 68．(2021·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为．【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)．∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2.【证明】由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＋b 2＝5c 2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米【解析】如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .设塔高AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝AB tan 30°＝3x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°，∴(3x )2＝x 2＋100＋10x ，解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒ sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝2114.【答案】21 144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。

完整新课标人教A版高中数学必修五第一章解三角形单元测试题

解三角形 60第Ⅰ卷（选择题共分） 5分，只有一个选项正确）：一、选择题（共12小题，每小题ACBCABABC32) ＝＝( ＝451.在△°，中，若∠＝60°，∠，则32233．．．C DA．4 B2ABCBCACABCAB)，( ＝8，则△2.在△中，的形状是＝5，＝6 ．非钝角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形A．锐角三角形 B AbABCa)，＝1303.在△°，则此三角形中，已知11＝，( ＝20．只有一解 BC．有两解 D．解的个数不确定A．无解?A岛望C岛和B岛成60的视角，从B两个小岛相距4. 海上有A、B10海里，从A岛望C岛和?）海里视角，则B、C两岛的距离是（岛成75365525 D.B.C.A.5 ) ( 7、8的三角形中，最大角与最小角之和为35.边长为、°D．150 C．135° 120A．90° B．°，测，两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定的一点如图，设6.AAB C m502两点的距离的距离为后，就可以计算出，，，出BA?105?ACB?45???ACCAB( )为m200100m m1002503m B. C. A. D.222ABCABBabCABCA)( ，且满足＝4，则△的面积为sin在△7.中，已知sin＋sin－sinsin＝3 ．1B2 C.2 D.．A1CDCABCDBABBC)8.如图，四边形2中，＝，则该四边形的面积等于＝120°，，＝4( ＝＝3 3 B．5A.3C．63D．7B sin BCABCAAB，则 ) 9.在△中，＝＝120°，5＝，7( 的值为C sin3558 C.A. B. D.5583A°方向航行，进处出发，沿北偏东60某海上缉私小分队驾驶缉私艇以10.40 km/h的速度由ACBC处北，若船位于行海面巡逻，当行驶半小时到达处时，发现北偏西45°方向有一艘船CB)°方向上，则缉私艇偏东30 与船的距离是(2) km 65(B＋2) km ．5(6－A．－6C．10(＋2) km 62) km．D10(2BCABCA3) 的长等于( ＝11.△60的周长为20，面积为°，则10 ，8D．A．5 B.6 C．7cb,a,）12.，则（在中，角所对的边分别为，若a2c?,?C?120?CA、、B△ABC b?baa? BA．．bba?与的大小关系不能确定DC．．a90分）第Ⅱ卷（非选择题共分）：二、填空题（共4小题，每小题52的根，则此三角形的，它们夹角的余弦值是方程13.三角形的两边分别是和0?7x?5x6?35。

人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》综合检测题

11．在△ ABC 中，三内角 A，B，C 分别对应三边 a，b， c，tan C＝ 43， c＝8，则
△ABC 外接圆的半径 R 为( )
A．10 C．6
B．8 D．5
12．设锐角△ ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝1，B＝ 2A，则 b 的取值范围为 ( )
A．( 2， 3)
＝°°ssiinn
20 10
＝°°2cos
10
°(km)．
答案：C
10．在△ ABC 中， a、b、c 分别为角 A， B， C 所对的边，若 a＝2bcos C，则此
三角形一定是 ( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：因为 a＝2bcos C，所以由余弦定理得：
∴△ ABC 的周长是 10＋20＋ 20＝50.
答案：50
14．在△
ABC
中，
A＝120°，AB＝
5，
BC＝
7，则
sin sin
BC＝
________.
解析：由余弦定理，得 a2＝b2＋ c2－2bccos A，
即 49＝ b2＋25＋ 5b，解得 b＝3 或 b＝－ 8(舍去 )，
sin B b 3 所以 sin C＝c＝5.
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ ABC 中， sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在△ ABC 中， A＝60°， b＝ 6，c＝10，则△ ABC 的面积为 ( )

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测(B)

第一章解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章解三角形章末检测答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°. ∴a ＝c ＝ 2.]5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ²cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解；D ：c >b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解在△ACD 中，∠DAC ＝α－β，由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)

高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．219C．27 D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π37．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >CB ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________.14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc答案 D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°答案 B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sin C，得sin C＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于() A．76 B．219C．27 D．27答案 B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于() A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案 D解析由正弦定理，得asin A＝bsin B.所以sin B＝ba sin A＝434sin30°＝32.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案 B解析a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－(a2＋b2＋ab)2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π3答案 B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2b cos C，那么△ABC的内角B、C之间的关系是() A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案 B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案 B9．在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,8 答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A .由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c，将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8.12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6 答案 C解析由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2.在△AOB 中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案4 2解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sin Asin B b＝sin30°sin45°×8＝4 2.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3解析在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CB sin C，则12＝12×5×8sin C.所以sin C＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案203403 3解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.则在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝20(m)，所以AB ＝AC tan60°＝203(m)，在△BCD 中，BC ＝40(m)，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC ＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以CD ＝sin ∠CBD sin ∠BDC BC ＝4033. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思路分析 (1)转化为求cos A ；(2)求出bc 的值即可．解析 (1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12，∴cos(B ＋C )＝12.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝12.∴cos A ＝－12.又∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A .则(23)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos 2π3.∴12＝16－2bc －2bc ·(－12)．∴bc ＝4.∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×4×32＝ 3.18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解析 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin A sin B AC ＝3 2.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.19．(12分)如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求AB 的值；(2)求sin(2A ＋C )的值．解析 (1)由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝4＋1－2×2×1×34＝2.∴AB ＝ 2.(2)由cos C ＝34且0<C <π，得sin C ＝1－cos 2C ＝74.由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，解得sin A ＝BC sin C AB ＝148.所以cos A ＝528.由倍角公式，得sin2A ＝2sin A cos A ＝5716，且cos2A ＝1－2sin 2A ＝916.故sin(2A ＋C )＝sin2A cos C ＋cos2A sin C ＝378.20．(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A (3,4)、B (0,0)、C (c,0)．(1)若c ＝5，求sin A 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．解析 (1)方法一 ∵A (3,4)、B (0,0)，∴|AB |＝5，sin B ＝45.当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5.根据正弦定理，得|BC |sin A ＝|AC |sin B ⇒sin A ＝|BC ||AC |sin B ＝255.方法二 ∵A (3,4)、B (0,0)，∴|AB |＝5.当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5. 根据余弦定理，得cos A ＝|AB |2＋|AC |2－|BC |22|AB ||AC |＝55.sin A ＝1－cos 2A ＝255.(2)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)，根据余弦定理，得cos A＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|.若∠A是钝角，则cos A<0⇒|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c－3)2＋42]－c2＝50－6c<0，解得c>25 3.21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．解析在△ABC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC sin60°sin15°＝32＋620，因此，BD＝32＋620≈0.33 km.故B、D的距离约为0.33 km22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.解析(1)f(x)＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝12－32sin2x.所以当2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝1＋32，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f(C2)＝－14，即12－32sin C＝－14，解得sin C＝32，又C为锐角，所以C＝π3.由cos B＝13，求得sin B＝223.由此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36.。

[精品]新人教A版必修五高中数学第一章解三角形分层测评3和答案

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图129，测得下面四组数据，较合理的是( )图129A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是( )A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1210，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B间距离是( )图1210A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB ＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1211所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )图1211A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m【解析】设建筑物的高度为h ，由题图知， PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ， ①cos∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos∠PBA ＋cos∠PBC ＝0. ③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D 二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．【解析】如图，∠BAO ＝75°，C ＝30°，AB ＝1，∴∠ABC ＝∠BAO －∠BCA ＝75°－30°＝45°. 在△ABC 中，AB sin C ＝ACsin ∠ABC，∴AC ＝AB ·sin ∠ABCsin C ＝1×2212＝2(千米)．【答案】27．如图1212，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m，则河的宽度是 m.图1212【解析】 tan 30°＝CDAD ，tan 75°＝CD DB，又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1213所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球. 【导学号：05920061】图1213【解析】设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373.∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球．【答案】 7 三、解答题9．A ，B ，C ，D 四个景点，如图1214，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，∠ADC ＝15°.A ，D 相距2 km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离．图1214【解】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，即BD ＝CD ·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋15°＝60°，BD ＝AD ， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB ＝2.答：A ，B 两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45°.∵AB ＝30(m)， ∴BC ＝30(m)，在R t△ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900， ∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1＝d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小【解析】如图，B ，C ，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC 中，d 1sin α＝PB sin∠PCB ，在△PCD 中，d 2sin β＝PDsin∠PCD， ∵sin α＝sin β，sin∠PCB ＝sin∠PCD ，∴d 1d 2＝PBPD.∵PB <PD ，∴d 1<d 2. 【答案】 C2．如图1215，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3＝1.732)( )图1215A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m【解析】在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE.∴AE ＝CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE，∴AE ＝CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝10 3＋1 3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C3.如图1216所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC .小明在山脚B 处看索道AC ，此时视角∠ABC ＝120°；从B 处攀登200米到达D 处，回头看索道AC ，此时视角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登300米到达C 处．则石竹山这条索道AC 长为米．图1216【解析】在△ABD 中，BD ＝200米，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB ＝AD sin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC 中，DC ＝300米，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039(米)．故石竹山这条索道AC 长为10039米．【答案】 100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M ，N 间的距离，无人机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图1217)，无人机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．图1217【解】方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d .②第一步：计算AM .由正弦定理AM ＝d sin α2sin α1＋α2 ；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM·AN cos α1－β1 .方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B 点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝d sin α1sin α1＋α2；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝d sin β1sin β2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝BM2＋BN2－2BM·BN cos β2＋α2 .。

(完整版)必修5-解三角形单元测试题---(含答案)(20210206030015)

32 专题：正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理应用的常见题型： ⑴ 已知两角与一边，解三角形，有一解。

⑵ 已知两边及其中一边的对角，解三角形，可能有两解、一解或无解（如右图）。

⑶ 已知三边，解三角形，有一解。

⑷ 已知两边及夹角，解三角形，有一解。

|1.在厶 ABC 中，已知 A=30°, B=45°, a=1，贝U b=() A. .22..3B.3C.D.222.在厶ABC 中，已知 C= - , b=4, ABC 的面积为2・._3，则 3 c=() A. ,7 B.2 、.2C.2、、3D.273.已知在△ ABC 中，sinA : sinB : sinC=3 : 5 :7,那么这个三角形的最大角是（）A.90 °B.120°C.135°D.150o4.已知在△ABC中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、 C 的对边，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 那么 A=( A.30 °B.60°C.120°D.150o)5.在厶ABC 中，角 A ， B 的对边分别为B.6.在厶 ABC 中, 3 5a=、2 , b= . 3 , C.4 aa 、b 且A=2B sinB= ，则旦的值是（5 b85D. nA.— 6B. C. 7. △ ABC 的内角 A 、 A.1B.2C.8.在厶ABC 中，内角 2 A. 2B. 9.在厶ABC 中，角 1 A. 一B.3nB=—, 3 则A 等于（D.C 的对边分别是 a 、 b 、c ，右 B=2A, a=1, b= 3，则 c=（ D.1B C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若 bsinA- 3 acosB=0,且 b =ac ,贝UC.2D. 4A 、B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、 nc , sinC+sin(A-B)=3sin2B.若 C=—, 则-=() bC.D.3310. 在厶ABC中，如果a+c=2b, B=30°,^ ABC的面积为？，那么b等于( )21+ 3 2+ 3A. B. 1+ 3 C. D. 2+ 32 211. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别是a、b、c,且a= 5，b=3，c=2 . 2，则角A= .112. 在厶ABC中，内角A、B C所对的边分别是a、b、c已知b-c= —a，2sinB=3sinC，贝U cosA的值为____________413. 在厶ABC中，a、b、c 分别是角A B C 的对边，若a2-c 2=2b，且sinB=6cosA?sinC，贝U b= .2 2 214. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别为a、b、c,若c <a +b +2abcos2C，贝U C的取值范围为15. 设_圧「的内角:-所对的边分别为.,且“一- • .■' o9(1)求的值；⑵求：i' I：的值;16. 在_把匚中，角1.「厂所对的边分别为..'「，且，「」’I： : ■ I -(1)求广.的值；(2)若』—［：,〉；-［,求二角形ABC的面积.B17. —•工二的内角的对边分别为“二…，已知二1一1三一」-二二.(I)求I：：：)J Ji ;(n)若n = f，二一上二的面积为】，求二.18. △三二中，角丄］打一所对的边分别为，: 'TI ■ (1)求r-;sin jd + sin.fi cos J4-HCOS⑵若△一匸1:-的面积-- ■：I ,求二匚参考答案1. 答案为：A；2. 答案为：C;3. 答案为：B;4. 答案为：B;5. 答案为：A;6. 答案为：B;7. 答案为：B;8. 答案为：C;9. 答案为：C;10. 答案为：B;11. 答案为：45 ° ;12. 答案为：-0.25 ;13. 答案为：3;n14. 答案为：(0,—);315. 解：⑴由込T希玄定理得，,+亠4諾口又十=6,解得—=3字与正弦走理得"上容十g所以sin （上一百）二sin ^cos B -cos 日sin 疗二耳*16. 解:(1)由已知及正弦罡理可得min厘亡凶C* +血Ccos^4 = 2 sin B亡心営丄由两角和的正菠公式得地〔丿十2沏Bees A由三角形的內角和可得血启二2血占匚oM因为sin 0,所^COSJ4=-2(2)由余弦定理得：弓6 =护斗J — 2尿x占=0 + u)" —3bc= 64—3b^ t\ be =£J由⑴知I+所以"《争字半17. 解:(1> 因为sin(^ + C) = sin(7T-^) = sin-5,siii3— = -~~ 』所sin.fi = 4(1- cos B).又因为或f?爲4"/F =1,所^16(1-002 5)2 + 00£25=1,展幵，得17COS3F-32COS5+15-04解得cosi = l 皓去》或co S5 = ^|<2> 由cos 5 = —j 得sin £ = J1- 匚;『E 故=—flesinS = —acY117 2 17又％= 则处=耳.由余弓玄定理51空+广=6」17 32得方2 二疋十百2 一2accos£= (a +c)2 - 2血(1 十ex 召)二36- 2x —x—二 4 ,所以占=2.18. 解:<、!—.. 严sin jl + sin 5 nri sin C sin + sin B(1)因为tanC =----------- ,即------ - ------------ ,cos J4+COS^匚os(7 cos」十cos 卫所以sinCcosj4 + sin Ceos B■= cosCsin^4+ cos C7sin 5』即sin Ceos J-cosCsin J!=COS C sin sin Ceos 5 j 得sin(C- ZJ = sin(3 - C). 所V.C-A = ^-C S或U-人=咒一(8-6(不成立).即2C = A^3t ^C = -7所以，占 +山=2" 3又因环H1 迢一QkwU 二，JDJ£-Z = y2 6 ⑵= —<se sin =亲七 -3+ 远?2 LI 冶去用上討5JTV2。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-，则角B 的大小是（） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=．（1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =．（1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在．故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°．故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=，即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<．故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=，联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<．【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B =．因为sin A ≠0，所以sin 30B B =．又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=．（2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =．【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =．【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=．（2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△．【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)．【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°．在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =．（1）求2sin cos22B CA ++的值；（2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2．（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．（1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-．化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==．在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===，由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=．由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =．答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=．（2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =．【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==．由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===．（2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形．【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°．所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形．（2）解由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

（完整）新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

（完整）新课标⼈教A版⾼中数学必修五第⼀章《解三⾓形》单元测试题解三⾓形第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题（共12⼩题，每⼩题5分，只有⼀个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23，则AC ＝( ) A ．43 B ．22 C ．3 D ．32.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．⾮钝⾓三⾓形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三⾓形( )A ．⽆解B ．只有⼀解C ．有两解D ．解的个数不确定4. 海上有A 、B 两个⼩岛相距10海⾥，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视⾓，从B 岛望C 岛和A岛成75ο视⾓，则B 、C 两岛的距离是（）海⾥A. 65B. 35C. 25D. 5 5.边长为3、7、8的三⾓形中，最⼤⾓与最⼩⾓之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，⼀测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的⼀点C ，测出AC 的距离为502m ，45ACB ∠=?，105CAB ∠=?后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 1002mD. 200mB ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的⾯积等于( )A. 3 B．5 3C．6 3 D．7 39.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.3510.某海上缉私⼩分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°⽅向航⾏，进⾏海⾯巡逻，当⾏驶半⼩时到达B处时，发现北偏西45°⽅向有⼀艘船C，若C船位于A处北偏东30°⽅向上，则缉私艇B与船C的距离是( )A．5(6＋2) km B．5(6－2) kmC．10(6＋2) km D．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，⾯积为A ＝60°，则BC 的长等于( ) A ．5 B.6 C ．7D ．812.在ABC △中，⾓A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=?=，则（） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的⼤⼩关系不能确定第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题5分）：13.三⾓形的两边分别是5和3，它们夹⾓的余弦值是⽅程06752=--x x 的根，则此三⾓形的⾯积是。

人教A版高中数学必修五课标章节素质测试题——第一章解三角形.doc

课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第一章解三角形（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（10湖北理3）在ABC ∆中，，，，︒===601015A b a 则cos B =（）A. －3 B. 3 C. －332.（08陕西理3）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===o ，则a 等于（）AB ．2CD3.（09福建文7）已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（） A. 75° B. 60° C. 45° D.30°4.（11重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a 、、满足22a b 4c +-=（），且︒=60C ，则ab 的值为（）A ．43B ．8-C ． 1D ．235．（10天津理7）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边c b a 、、，若22a b -=，sin C B =，则A=（）A.030 B.060 C.0120 D.01506.（11重庆文8）若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（）A B ．34C D ．11167．（11辽宁理4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a Ab B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（）A ．B ．CD8．（11浙江文5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（）A ．21-B ．12C ． 1-D ．19.（08山东文8）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)sin ,(cos ),1,3(A A n m =-=→→.若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角A ，B 的大小分别为（） A ．,63ππ B.2,36ππ C.,36ππ D.,33ππ 10.（11四川理6）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）A.(0,]6πB.[,)6ππC.(0,]3πD.[,)3ππ11．（08福建理10）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为（） A.6πB.3π C.6π或56πD.3π或23π12.（12湖北文8）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A a b C B A cos 203=>>，，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（）A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上） 13.（08湖北文12）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知︒===30,3,3C b a ,则A ＝ .14.（11新课标文15）△ABC 中，120,7,5B AC AB =︒==，则△ABC 的面积为_________．15.（10广东文13）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边．若a ＝1，b 2A C B +=，则sin C ＝ .16.（12北京理11）在ABC ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分，12安徽文16）设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长.18.（本题满分12分，11湖南理17）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19．（本题满分12分，11山东理17）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S.20.（本题满分12分，09宁夏理17）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1 km. 试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449） 21.（本题满分12分，11全国Ⅰ文18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知sin csin 2sin sin ,a A C a C b B +-=（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若075,2,A b a c ==求与.22.（本题满分12分，10陕西理17）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5（3＋3）海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？新课标高中数学人教A 版必修5章节素质检测题——第一章解三角形（参考答案）一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D DBAADDDCCDD二、填空题 13.6π ； 14. 4315 ； 15. 1 ； 16.2π.三、解答题17. 解：（Ⅰ）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=. （Ⅱ）由余弦定理得2222222cos 32a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=.在Rt ABD ∆中，2222371()2AD AB BD =+=+=. 18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则．（Ⅱ）由（Ⅰ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==Q 从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19. 解：（Ⅰ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A = 因此sin 2.sin CA = （Ⅱ）由sin 2sin CA=得2.c a =由余弦定理得：22222212cos cos ,2,4144.4b ac ac B B b a a a 及得4==+-==+-⨯解得a=1. 因此c=2 又因为1cos ,0.4B B 且π=<<所以sin 4B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=20. 解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA.在△ABC 中，,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB即,2062315sin ACsin60+==οοAB 因此，BD=。

高中数学第一章解三角形单元测试(一)新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题

设，则．∴ ，．故选C．
6．【答案】A
【解析】由，又，
∴b2＋c2－a2＝2b2⇒a2＋b2＝c2，故选A．
7．【答案】A
【解析】，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°．．
由正弦定理：．∴b＝4sinB＝2．故选A．
8．【答案】A
【解析】由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0．
【解析】（1）∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°．∴ ．
（2）在△ABE中，AB＝2，由正弦定理得，
即，故．
20．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）∵ ，且0<B<π，∴ ．
由正弦定理得，．
（2）∵ ，∴ ，∴ ．
由余弦定理得，∴ ．
21．【答案】（1）；（2）△ABC为等腰钝角三角形．
（2）若m⊥p，边长c＝2，角，求△ABC的面积．
2018-2019学年必修五第一章训练卷
解三角形（一）答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】，，，．
故选C．
2．【答案】A
【解析】由余弦定理得．
∴ ．∴ ．故选A．
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE．
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，．
（1）若b＝4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷

2014.9数学必修5第一章《解三角形》测试卷班级：姓名：座号：成绩：一、选择题：(本题共8小题，每小题6分，共48分)1.若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 2.在△ABC 中，一定成立的等式是（）A.asinB=bsinAB.acosB=bcosAC.atanB=btanAD.sinA=bsinB3.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝34，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18 C ．93 D ．1835.在△ABC 中，若cos cos a b A B =则△ABC 的形状是（）A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形6.在△ABC 中，bc c b a ++=222，则A 等于（）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°6.(8班)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若222()tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π7.已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°8.在ABC ∆中，下列各式正确的是（）A ．AB b a sin sin = B.B cC a sin sin = C.A c B A a sin )sin(=+ D.)cos(2222B A ab b a c +-+= 二、填空题：（本大题共2小题，每小题6分，共12分）9.在△ABC 中，若b ＝2csinB ，则∠C ＝________．10.某人朝正东方向走xkm 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_________.10.（8班）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C与D .现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB 为三、解答题：（本大题共3小题，第11题12分，第12，13题各14分）11.（12分）在△ABC 中，已知41cos ,2,1===C b a （1）求△ABC 的周长；（2）求△ABC 的面积； 11.（8班）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积123ABC S ∆=，bc ＝48，b-c ＝2，求a ．12.（14分）在△ABC 中，AC=2，BC ＝23，B=30︒，点D 在边BC 上，∠ADC ＝45︒，求AD 的长；13,（12分）某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东600，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东300，海轮改为北偏东600的航向再行驶80分钟到达C点，求P,C间的距离。

人教A版高中数学必修五第一章解三角形练习题.doc

第一章解三角形练习题姓名______学号______ 得分______1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．A tan 13．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A ．2B ．23C ．3D ．324．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．01506．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．27．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形9．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090B ．060C ．0135D ．015010．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（）A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-11．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（）A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[-12．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（）A ．12B ．221 C ．28 D ．36 13．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >14．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（）A ．090B ．060C ．0120D ．0150二、填空题（每小题5分，共30分）1．在△ABC 中，若005,60,15a A C ===，则此三角形的最大边长为_________。

高中数学必修5 第一章解三角形单元测试题(含答案)

必修5第一章解三角形一、填空题1、中，，，，则_____________ .2、在中，，则___ ____．3、在△ABC中，AB=A=45°，C=60°,则BC= ______________4、在_______5、在中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则 =________．6、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．7、已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.8、在中，已知，则的大小为.9、在中，内角所对的边分别是. 已知，，则的值为 .10、在中，，，，则的面积为____________11、若的面积为，则角=__________.12、在中，已知，则______________ 13、中，分别是角的对边，成等差数列，，的面积为，那么=________．14、在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形一定是三角形．15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b．c，且，则B的大小为．16、在锐角中，分别为角所对的边，且，则角＝________.二、选择题17、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于A．3 B． C．D．18、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，则c＝( )A. B.C．3 D.19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若a cos B＋b cos A＝c sin C，S＝(b2＋c2－a2)，则B＝( )A．90°B．60°C．45°D．30°20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于( )A. B.C．1 D.21、在．．．．22、等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为 ( )A ．B ．C ．D ．23、在△ABC中，已知sin B sin C＝cos 2，则三角形的形状是( )A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形24、在中, 若,那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形25、若三角形ABC 的三条边长分别为，，，则( )A．29 B． 30 C．9 D．10三、计算题26、（2012年高考（安徽文））设的内角所对的边为,且有(Ⅰ)求角的大小; (II) 若,,为的中点,求的长.27、（2012年高考（浙江文））在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.28、（2012年高考（辽宁理））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.29、（2012年高考（浙江理））在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.(Ⅰ)求tanC的值;(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.30、（2012年高考（课标文））已知,,分别为三个内角,,的对边,. (Ⅰ)求;(Ⅱ)若=2,的面积为,求,.31、（2012年高考（天津文））在中,内角所对的分别是.已知.(I)求和的值; (II)求的值.参考答案一、填空题1、2、或3、4、3 或 65、6、7、08、9、-1/4;10、只写一个答案扣2分11、_12、；13、b=14、等腰15、16、二、选择题17、D18、A19、C20、A21、A22、D23、D24、B25、A三、计算题26、【解析】(Ⅰ)(II)在中,27、【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得,即得,. (2)sinC=2sinA,由正弦定理得,由余弦定理,,解得,.28、【答案及解析】(1)由已知(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以,【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.29、【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=,又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=cosC+sinC.整理得:tanC=.(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=.又由正弦定理知:,故. (1)对角A运用余弦定理:cosA=. (2)解(1) (2)得: or b=(舍去).∴ABC的面积为:S=.【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .30、【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于,所以,又,故.(Ⅱ) 的面积==,故=4,而故=8,解得=2.法二:解: 已知:,由正弦定理得:因,所以: ,由公式:得: ,是的内角,所以,所以:(2)解得:31、解:(1)在中,由,可得,又由及,,可得由,因为,故解得.所以(2)由,,得,所以。