高中数学几何定理.doc
高中数学立体几何证明定理及性质总结
高中数学立体几何证明定理及性质总结高中数学立体几何是数学的一个重要分支，主要研究与三维空间中的几何形体相关的性质和定理。
在学习过程中，我们会遇到许多重要的定理和性质，下面是对其中一些重要的定理和性质进行总结的文章，以便于我们更好地掌握该知识点。
一、三角形的五种中线定理：1.三角形的三条中线交于一点，并且该点离三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的重心。
2.三角形的三条中线外接圆半径为内接圆半径的两倍。
3.三角形的三条中线构成的小三角形，其面积之和等于三角形面积的三分之一4. 中线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条中线长分别为m_a = 0.5*sqrt(2*b^2+2*c^2-a^2)，m_b =0.5*sqrt(2*a^2+2*c^2-b^2)，m_c = 0.5*sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)。
5.中线垂直性质：三角形的三条中线互相垂直，且互相平分。
二、三角形的四种高定理：1.三角形的三条高交于一点，并且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的垂心。
2.高线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条高线长分别为h_a=2*S/a，h_b=2*S/b，h_c=2*S/c，其中S为三角形的面积。
3.垂心到顶点距离的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有AH/HD=BH/HE=CH/HF=2，其中H为垂心，E,F为垂足。
4.垂心角的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有∠BHC=2∠A，∠BHC=2∠A，∠CHB=2∠A。
三、三角形的欧拉定理：设O为三角形的外心，G为重心，H为垂心，则有OG=1/3GH。
四、圆的性质：1.垂径定理：直径AB垂直于弧CD，则弦CD的中点E与弦AB的中点F，以及圆心O在一条直线上，且OE=OF=1/2CD。
2.正接定理：一个直角三角形的斜边上的圆的直径与该斜边上的直角边成正切关系。
3.切线定理：从一个点外切于圆的切线恒垂直于该点至圆心的半径。
高中数学的归纳解析几何中的常见定理
高中数学的归纳解析几何中的常见定理归纳解析几何是高中数学中的一个重要分支，它主要研究几何图形的特征与性质，并以定理的形式进行归纳与推理。
下面将介绍一些在归纳解析几何中常见的定理。
一、直线的性质1. 竖直线性质定理：两条竖直线平行。
证明：设AB和CD为两条竖直线，不妨设AB在CD的左侧。
根据竖直线性质，AB与CD均与x轴平行，因此AB与CD平行。
2. 平行线性质定理：若AB与CD平行，而CD与EF平行，则AB 与EF平行。
证明：根据平行线性质定理，AB与CD平行且AB与EF平行，则CD与EF平行。
二、三角形的性质1. 等腰三角形底角定理：等腰三角形的底角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
连接线段BC，并过点A作线段DE平行于BC，使DE与AB相交于点F。
由平行线性质定理可知，DE与AC平行，因此△ADE与△ABC相似。
根据相似三角形的性质，可得∠AFE=∠ACB。
由于∠AFE与∠BAC为对应角，因此∠BAC=∠ACB。
2. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
证明：设△ABC为直角三角形，其中∠C为直角。
过点C作线段CD垂直于斜边AB。
根据直线的性质可知，AB与CD垂直。
我们分别计算△ABC和△CDA的面积并利用三角形面积公式，得到AB^2=AC^2+BC^2。
三、圆的性质1. 切线与半径垂直定理：切线与半径垂直。
证明：设O为圆心，AB为半径，CD为切点。
连接线段OC，并过点D作线段DE平行于OC。
根据平行线性质定理，CD与DE平行，因此∠DCO=∠COD。
又因为∠DCO与∠OCA为对应角，所以∠OCA=90°，即切线与半径垂直。
2. 弧长角定理：圆心角所对的弧长是其所对角度的一半。
证明：设△ABC为圆的半径为R的内接三角形，其中∠ABC为圆心角，弧AC所对的角为∠A。
通过数学计算可以得到弧AC的弧长为R∠A。
以上仅是归纳解析几何中常见定理的一部分，通过这些定理我们可以更好地理解图形的性质与关系。
高中数学联赛平面几何常用定理
（高中）平面几何常用基本定理1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边及另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=．4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段及这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．7． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．8． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）9． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．10．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）11．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC ⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．12．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线及⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是及此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．13．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．14．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．15．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．16．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．17．九点圆（Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心及各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;18．（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心及外心连线的中点;（3）三角形的九点圆及三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．19．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．20．欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心及内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．21．锐角三角形的外接圆半径及内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．22． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 23． 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；24．（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； 25． （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； 26．（4）设G 为△ABC 的重心，则 27．③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）； 28． ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；29． ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．30． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C c B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++31． 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；32．（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上； 33． （3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；34． （4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．35． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；36． 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；37． （2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；38． （3）三角形一内角平分线及其外接圆的交点到另两顶点的距离及到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；39． （4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IK KI AK ID AI +===； 40． （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．41． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；42．外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等； 43． （2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；44． （3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆及外接圆半径之和．45． 旁心：一内角平分线及两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别及AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．46． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 47．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系： 48． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 49． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．50． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．51． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =1． 52． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线及两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M ． 53．塞瓦定理的逆定理：（略） 54． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．55． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．56．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．57．西摩松定理的逆定理：（略）58．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．59．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．60．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．61．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（及西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．62．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．63．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．64．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．65．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．66．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．67．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR 的的西摩松线交于及前相同的一点．68．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．69．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．70．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点．71．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引及△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，及三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．72．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们及△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN及△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．73．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F 三点共线．74．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW 和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）75．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．76．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．77．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．78．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．79．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M 和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD 的康托尔线．80．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．81．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．82．费尔巴赫定理：三角形的九点圆及内切圆和旁切圆相切．83．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．84．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．85．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线．86． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．87． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．88． 密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．89． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．90． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆． 斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB^2·DC+AC^2·BD -AD^2·BC＝BC·DC·BD。
高中数学立体几何判定定理与性质.docx
高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言公理 1A l ,B l , A, B如果一条直线上的两l点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理 2作用①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行Pl 且 P lA, B, C 不共线A, B,C 确定一个平面A有且只有一个平面，使 A, aa b P有且只有一个平面，使 a,ba ∥ b有且只有一个平面，使 a,ba ∥ ba ∥ cb ∥c ①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
用来证明多点共面，多线共面用来证明线线平行二、平行关系文字语言（1）公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .符号语言图像语言作用a ∥ ba ∥ cb ∥ ca ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ baa ∥b ∥a b O∥ab（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
OOOO∥（6）面面平行的性质定理如果两个∥a a ∥ b平行平面同时和第三b个平面相交 ,那么它们的交线平行。
（ 7）面面平行的性∥质如果两个平面平行 , a ∥那么其中一个平面内a的直线平行于另一个平面。
高中数学的归纳解析几何的关键概念与定理总结
高中数学的归纳解析几何的关键概念与定理总结数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力至关重要。
在高中数学中，归纳解析几何是一个重要的知识点，它涉及到诸多关键的概念与定理。
本文将对高中数学的归纳解析几何的关键概念与定理进行总结。
一、平面几何的基本概念在归纳解析几何中，我们首先要了解平面几何的基本概念。
平面几何主要包括点、直线、线段、射线、角度等概念。
1. 点：点是平面几何中最基本的单位，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
2. 直线：直线是由无数个点连成的，在平面上没有弯曲。
3. 线段：线段是由两个点决定的，它有一个确定的长度。
4. 射线：射线是由一个初始点和一个方向决定的，它只有一个端点。
5. 角度：角度由两条射线的公共初始点和沿着同一方向转动所形成的部分组成，单位是度或弧度。
二、归纳解析几何的关键概念1. 向量：向量是在数学中常见的一个概念，它由大小和方向组成。
在归纳解析几何中，向量可以表示平面上的位移、速度、力等概念，它有着重要的应用价值。
2. 相似：在归纳解析几何中，相似是一个重要的概念。
相似是指两个图形的形状相同，但是大小可能不同。
相似性质在解决几何问题中起到了至关重要的作用，它可以用来求解比值、证明定理等。
3. 直角三角形：直角三角形是指一个角为直角（即90度）的三角形。
在归纳解析几何中，直角三角形是一个重要的特殊三角形，它有许多重要的定理和性质，比如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
4. 圆与圆的位置关系：在归纳解析几何中，研究圆与圆的位置关系是一个重要的内容。
常见的圆与圆的位置关系有相交、相切、相离等情况，我们要通过几何分析和运用相关定理来解决这些问题。
5. 直线与圆的位置关系：另外一个重要的内容是研究直线与圆的位置关系。
当直线与圆相交时，我们可以通过几何分析和相关定理来求解交点的坐标；当直线与圆相切时，我们也可以用定理来确定切点的坐标。
三、归纳解析几何的关键定理在归纳解析几何中，有一些关键的定理对于解决问题至关重要。
根据高中数学平面几何定理总结
根据高中数学平面几何定理总结在高中数学中，平面几何是一个重要的分支，它涉及到平面内点、直线、角等基本概念，以及相关的定理和公式。
这些定理和公式帮助我们理解和解决平面几何问题。
以下是一些高中数学平面几何定理的总结：1. 直线的性质和定理1.1 垂直定理垂直定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率乘积为-1。
即若直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1。
1.2 平行定理平行定理：如果两条直线的斜率相等且不等于无穷大，则它们是平行的。
1.3 夹角定理夹角定理：如果两条直线互相垂直，则它们的夹角为90度。
1.4 同位角定理同位角定理：当两条直线被一条截线相交时，相对应角相等。
即对应角相等。
2. 三角形的性质和定理2.1 内角和定理内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180度。
2.2 直角三角形定理直角三角形定理：一个三角形有一个角是90度的直角，则它是直角三角形。
2.3 相似三角形定理相似三角形定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2.4 三角形的边长关系三角形的边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边，任意一边的长度小于其他两边之和。
3. 圆的性质和定理3.1 圆心角定理圆心角定理：一个圆的圆心角是其所对弧的两倍。
3.2 弧长定理弧长定理：一个圆的弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。
以上是一些高中数学平面几何的重要定理和性质。
通过掌握这些定理和公式，我们能够更好地理解和解决平面几何问题，提高数学应用能力。
_注意：以上内容是对高中数学平面几何定理的总结，我们根据教材内容进行总结，但请在使用时自行核实教材或教师的讲解。
_。
高中竞赛数学几何定理
关于圆圆幂定理线段成比例托米勒定理线段成比例帕斯卡定理三点共线西摩松线三点共线关于三角形海伦公式三角形面积梅内劳斯定理线段成比例塞瓦定理线段成比例欧拉线三点共线且成比例圆幂定理圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OP^2-R^2所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·P D。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
进一步升华（推论）：过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
（这就是“圆幂”的由来）圆的方程通常表示为x^2+y^2=r^2[编辑本段]证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）相交弦定理：相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结在高中数学中，平面几何是一个非常重要的分支，它研究了平面内各种图形之间的关系和性质。
而在学习平面几何时，归纳法是一个常用的证明方法。
本文将对高中数学中的归纳平面几何基本定理与证明进行总结。
一、线段中点定理线段中点定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一条线段的中点上，可以作一条平行于这条线段的直线。
换句话说，如果在线段AB的中点M上作一条直线l，那么l与AB平行。
证明：连接AM、BM。
由于M是线段AB的中点，所以AM=BM，且由中点连线定理可知，AM∥BM。
根据平行线的性质可知，l∥AB。
二、角平分线定理角平分线定理是另一个重要的平面几何定理，它指出：一条角的平分线将这个角分成两个相等的小角。
证明：设∠AOB为一锐角，其中OC是∠AOB的平分线。
要证明∠AOC=∠BOC，我们可以利用三角形AOB和COA的相似性来进行证明。
由于OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC。
又因为∠AOB是个锐角，所以∠COA也是个锐角，故∆COA和∆AOB是相似三角形。
根据相似三角形的性质可知，AO/CO=BO/CO，即AO=BO。
因此，∠AOC=∠BOC。
三、垂直平分线定理垂直平分线定理也是平面几何中的重要定理，它指出：一条线段的垂直平分线上所有点到线段的两个端点的距离相等。
证明：设线段AB上的垂直平分线为l，垂直平分线上的一点为M。
要证明AM=BM，我们可以利用三角形AMO和BMO的全等性来进行证明。
由于l是线段AB的垂直平分线，所以AM=BM，且∠AMO=∠BMO=90°。
又因为OM是l的一部分，所以MO=MO，自反性成立。
故∆AMO和∆BMO是全等三角形。
根据全等三角形的定义，可知AM=BM。
四、角的外角定理角的外角定理指出：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。
证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，对于∠A，其外角为∠D。
我们可以利用∆ABC和∆ACD的相似性来进行证明。
高中数学立体几何定理总结.doc
平行判定总结一、线线平行的判定1.定义 :在同一平面内 ,没有公共点的两条直线 .ab a // ba b2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.a // ba // cb // c3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．l //l l // mm lm4.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．//a a // bb5.垂直于同一平面的两条直线平行.aa // bb a b二、线面平行的判定1.定义：直线与平面无公共点.a a //2.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．lm l //l // m三、面面平行的判定1.定义：两个平面没有公共点.//2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．aba b A//a//b//3.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.a //a ////a b A垂直判定总结一、线线垂直1.定义：两直线所成角为90o.2.线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直线.ll aa3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 .PA APBa PAaa AB4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 .PA APBa ABaa PA二、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.2.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 .l ml nm lnm n B3. 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.baaa b三、面面垂直1.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角平面角是直角，就说两个平面互相垂直 .2. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.ab bb。
高中数学公式大全几何证明中常用的定理与公式
高中数学公式大全几何证明中常用的定理与公式在高中数学学习中，几何证明是一个重要的内容。
几何证明需要运用到各种定理和公式，下面将介绍一些高中几何证明中常用的定理与公式。
一、三角形的定理与公式1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角之和等于360度。
3. 三角形的角平分线定理三角形内角的平分线所构成的角相等。
4. 三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。
5. 三角形的高定理三角形的高相互垂直。
6. 三角形的面积公式三角形的面积等于底边长乘以高的一半。
7. 三角形的余弦定理对于任意一个三角形ABC，其边长分别为a、b、c，其中角A对应边长a，角B对应边长b，角C对应边长c，则有：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
二、四边形的定理与公式1. 平行四边形的性质平行四边形的对边相等并且平行。
2. 矩形的性质矩形的对角线相等，并且互相垂直。
3. 正方形的性质正方形的四条边相等，并且互相垂直。
4. 菱形的性质菱形的对边相等，并且两条对角线互相垂直。
5. 梯形的性质梯形的两底边平行且不相等，并且两个底角和两个顶角互补。
6. 梯形的面积公式梯形的面积等于上底和下底之和乘以高的一半。
三、圆的定理与公式1. 圆的面积公式圆的面积等于π乘以半径的平方。
2. 圆的周长公式圆的周长等于2π乘以半径。
3. 圆的弧长公式圆的弧长等于圆心角度数与圆的半径的乘积。
4. 切线定理切线与半径垂直，并且切线上的点到圆心的距离等于半径的长度。
以上是高中几何证明中常用的一些定理与公式，通过合理运用这些定理与公式，可以帮助我们更好地解决几何证明问题。
在实际的数学学习中，还需要根据不同的几何问题，综合运用这些定理与公式，灵活进行推理与证明，从而得到准确的结论。
高中数学几何证明公式定理
高中数学几何证明相关定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（1）判定直线在平面内的依据（2）判定点在平面内的方法公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（1）确定一个平面的依据（2）判定若干个点共面的依据推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
（1）判定若干条直线共面的依据（2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线空间直线和平面位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线和平面平行——没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
高中数学几何定理大全
高中数学几何定理大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48 定理四边形的内角和等于360°49 四边形的外角和等于360°50 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51 推论任意多边的外角和等于360°52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷267 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=(a+b)÷2 s=l ×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高中数学的归纳立体几何中的常见定理
高中数学的归纳立体几何中的常见定理在高中数学的学习中，归纳法是非常重要的思考方式。
而在立体几何中，也存在着一些常见的定理，它们帮助我们理解和解决空间中的问题。
本文将介绍一些高中数学归纳立体几何中的常见定理，帮助同学们更好地掌握这一领域的知识。
1. 体积定理体积定理是立体几何中最基本的定理之一，它描述了不同几何体的体积计算方法。
常见的体积定理有：1.1 直方体体积定理：直方体的体积等于底面积乘以高度。
1.2 正方体体积定理：正方体的体积等于边长的立方。
1.3 柱体体积定理：柱体的体积等于底面积乘以高度。
1.4 圆锥体积定理：圆锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。
1.5 球体体积定理：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方。
这些体积定理是计算几何体体积的基础，同学们在解题时可以根据不同几何体的类型运用相应的定理进行计算。
2. 相似立体的比例定理在立体几何中，相似的几何体之间存在着特定的比例关系。
常见的相似立体比例定理有：2.1 体积比例定理：如果两个立体体积相等，且它们的形状相似，则它们的边长比等于1的立方根。
2.2 表面积比例定理：如果两个立体表面积相等，且它们的形状相似，则它们的边长比等于1的平方根。
这些比例定理在解决相似立体之间的比较问题时非常有用，同学们可以利用其中的比例关系进行计算。
3. 正多面体定理正多面体是指所有面都是正多边形且每个顶点都是相等的多面体，它们有一些独特的性质和定理。
3.1 正多面体的顶点、棱和面定理：对于正多面体，顶点数、棱数和面数之间存在着特定的关系，即顶点数+面数=棱数+2。
3.2 正四面体定理：正四面体的体积等于底面积乘以高度再除以3。
3.3 正六面体定理：正六面体的体积等于边长的立方。
3.4 正八面体定理：正八面体的体积等于2乘以底面积乘以高度的三分之一。
3.5 正十二面体定理：正十二面体的体积等于边长的立方乘以(2+根号5)/12。
正多面体的定理帮助我们研究和理解不同形状的多面体之间的关系，同时也提供了计算体积和其他性质的方法。
(完整版)高中数学立体几何定理总结,推荐文档
l
m
l
//
l // m
三、面面平行的判定 1.定义：两个平面没有公共点.
//
2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面 互相平行．
a
a
b b
A
//
a //
b //
3. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.
a //
a AB
4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线
垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
PA A
PB a
a
AB
a PA
二、线面垂直 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. 2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面.
直判定总结 一、线线垂直 1.定义：两直线所成角为 90o. 2.线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直线.
l a
l
a
3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直.
PA A
PB a
a
PA
平行判定总结 一、线线平行的判定 1.定义:在同一平面内,没有公共点的两条直线.
a
b
a
//
b
a b
2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a b
// //
b
c
a
//
c
3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
． 证明：运用面积比可得． 根据等比定理有
， 所以．同理可得，． 三式相乘得． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还 是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有
MDF/ =MQ/F/．
这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM．
因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．
这说明点Q与点Q/重合，即得PM = MQ．
此定理还可用解析法来证明： 想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数． 证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标
பைடு நூலகம்
上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆．
证法2（构造转移法）
延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到
C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命
题获证）
那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也 Image
共圆．
因此，，．
可得 .
另一方面，，即．
3．梅涅劳斯定理及其证明
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、 E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有
．
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
初、高中数学几何定理大全150条
初、高中数学几何定理大全150条1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论°的等腰三角形是等边三角形推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上对称轴上45 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称条直线对称46 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形三角形是直角三角形48 定理定理 四边形的内角和等于360°49 四边形的外角和等于360°50 多边形内角和定理多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°51 推论推论 任意多边的外角和等于360°52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形的对角线相等62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷2 67 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角一组对角71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的关于中心对称的两个图形是全等的72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半×h 83 (1)比例的基本性质比例的基本性质比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质合比性质合比性质 如果a/b=c/d,那么(a ±b)/b=(c ±d)/d 85 (3)等比性质等比性质等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n ≠0),那么那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例角形三边对应成比例90 定理定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas) 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss) 95 定理定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高中数学立体几何定理
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。
公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面。
推论1：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面公理3：如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
推论1 ：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线。
直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直。
推论：如果一组平行线中的一条与一个平面垂直，那么其他平行线也都与这个平面垂直直线与平面垂直的性质定理：垂直于同二个平面的两条直线互相平行.推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直推论2过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直．两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
两个平面非行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的线与另一个平面垂直.。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
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高中数学几何定理高中数学几何定理(一)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a +b =c47 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形48 定理四边形的内角和等于36049 四边形的外角和等于36050 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2) 180高中数学几何定理(二)51 推论任意多边的外角和等于36052 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a b) 267 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=(a+b) 2 s=l h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a b)/b=(c d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d= =m/n(b+d+ +n 0),那么(a+c+ +m)/(b+d+ +n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值高中数学几何定理(三)101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90 的圆周角所对的弦是直径119 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120 定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121 ①直线l和⊙o相交d②直线l和⊙o相切d=r③直线l和⊙o相离d r122 切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127 圆的外切四边形的两组对边的和相等128 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129 推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131 推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133 推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135 ①两圆外离d r+r②两圆外切d=r+r③两圆相交r-rr)④两圆内切d=r-r(r r) ⑤两圆内含dr)136 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137 定理把圆分成n(n 3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139 正n边形的每个内角都等于(n-2) 180 /n140 定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141 正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长142 正三角形面积3a/4 a表示边长143 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360 ，因此k (n-2)180 /n=360 化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式：l=n r/180145 扇形面积公式：s扇形=n r2/360=lr/2146 内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)147 等腰三角形的两个底脚相等148 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合149 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等150三条边都相等的三角形叫做等边三角形。