-《步步高学案导学设计》2020版高中数学人教A版必修4【配套备课资源】第1章1.4.1
《步步高 学案导学设计》 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第3章 3.1.3
•15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021
•16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021
3.1.3
练习 2：函数 f(x)＝cos 2x＋4sin x 的值域是_[_－__5_,3_]__．
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
本
课
时 ＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
栏
目 开
当 sin x＝1 时，f(x)max＝3；
解
(1)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
80°
本 课 时
＝2sin
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°
栏 目 开
＝2sin88s0in°·2co0s°80°
关 ＝s8isnin16200°°＝18.
(2)原式＝csoins
70° 70°·cos
本 课 时
原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
栏
目 开
小结
本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题
关
时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根
据这种关系来选择公式．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
本 课
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.3(二)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)一、基础过关1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32 2． 若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C.32D ．－32 3． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( )A ．－13B.13 C ．－223D.2234． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m 3 C ．－3m2D.3m 2 5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 36． 已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B ．23C ．－13D ．－237．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.二、能力提升9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 9．210．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0. 11．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α ＝－sin α.∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.12．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α ＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335.13．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第3章 3.1.2(一)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、基础过关1． sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2． 若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725B.35C.725D.153． 已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 4． 若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 35． 在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6． 化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 7． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______．8． 已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 二、能力提升9． 在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B.3365C ．－6365D.636510．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.cos α 7.137 8.β＝π4 9.B 10. 311．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665.12．解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213， sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－ cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365.13．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。
《步步高 学案导学设计》2020—2021学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.1.2
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 B
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 C
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 C
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
本课时栏目开关
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效 问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
《步步高 学案导学设计 》2020—2021学年 高中 数学 人教A版必修4【配
套备课资源】第1章 1.1.2
2020/9/7
本课时栏目开关
填一填·知识要点、记下疑难点
本课时栏目开关
半径长 rad 弧度
弧度
负数
正数 0
填一填·知识要点、记下疑难点
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
2020920步步高学案导学设计20202021学年高中数学人教a版必修4配套备课资源第1章112本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填知识要点记下疑难点半径长rad弧度弧度正数负数0本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填知识要点记下疑难点本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效00本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研问题探究课堂更高效问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第2章 2.3.2-2.3.3
＝(x1－x2，y1－y2)；
λa＝λ(x1i＋y1j)＝(λx1)i＋(λy1)j＝(λx1，λy1)；
λa＋μb＝λ(x1i＋y1j)＋μ(x2i＋y2j)
＝[(λx1)i＋(λy1)j]＋[(μx2)i＋(μy2)j] ＝(λx1＋μx2)i＋(λy1＋μy2)j＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)．
2.3.2~2.3.3
探究点一 平面向量的坐标表示
关本 课
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个
时 栏
单位向量 i、j 作为基底．对于平面内的任一向量 a，由平面
目
开 向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋
yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，
终点坐标并不是向量的坐标，此时A→B＝(xB－xA，yB－yA)．
3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量
的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.3.2~2.3.3
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 互相垂直 的向
关本 课
课
时 栏
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝(x1－x2，y1－y2) ，
目
开 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量
的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
研一研·问题探究、课堂更高效
量，叫做把向量正交分解．
时 栏
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、
《步步高 学案导学设计》 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.3(一)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13
467π＝tan(6π＋161π)＝tan
11 6π
＝tan(π＋56π)＝tan
56π＝tan(π－6π)＝－tan
6π＝－
3 3.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（一）
小结 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角
本 的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转
§1.3（一）
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin 6π＝12；
目 开 关
(2)cos
269π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cosπ－π6
＝－cos 6π＝－ 23；
(3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
《步步高学案导学设计》2020—2021学年高中数学人教A版选修1-2【配套备课资源】第1章
2020/9/7
本课时栏目开关
填一填·知识要点、记下疑难点
本课时栏目开关
非确定性
Hale Waihona Puke 确定性 相关填一填·知识要点、记下疑难点
随机误差 预报变量
解释变量
本课时栏目开关
残差
填一填·知识要点、记下疑难点
本课时栏目开关
纵坐标 越窄
横坐标 比较均匀
越小
填一填·知识要点、记下疑难点
本课时栏目开关
解释 1
预报
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 C
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 B
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 A
本课时栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实处 C
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
高中数学步步高必修4资料第一章 1.5.1 (一)
学习目标 1.通过“五点法”作图正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象变换规律.2.对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解.3.会用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)以及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象.4.能说出φ，ω，A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.5.能够将y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，并会根据条件求解析式.知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 思考1 通过y ＝f (x )的图象怎样得到y ＝f (x ＋a )的图象. 答 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位.思考2 由y ＝sin x 的图象能得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象吗？ 答 能，向左平移π6个单位即可.知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？答 2π，π，4π.思考2 三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？答 y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12倍，y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍.思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？ 答 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图象即可.知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？答 y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.知识点四 函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系 思考 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的？ 答 正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.类型一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？ 解 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的.反思与感悟 1.已知两函数解析式判断其图象间的平移关系时，要将异名化为同名三角函数. 2.x 的系数不为1，应提系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减. 跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 类型二 ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.跟踪训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 类型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与函数y ＝sin x 的图象关系例3 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RB.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 B解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. 反思与感悟 图象变换有两种途径(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中的变换量也不同，但平移的方向是一致的.跟踪训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为( )A.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 B.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2D.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 答案 C1.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14答案 B2.把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式( ) A.f (x )＝3cos x B.f (x )＝3sin x C.f (x )＝3cos x ＋3D.f (x )＝sin 3x答案 A解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .3.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位. 答案 π3 2π34.将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为________.答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x ) ――――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x . 5.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2―→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4―→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.一、选择题1.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A.y ＝cos 2xB.y ＝1＋cos 2xC.y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D.y ＝cos 2x －1答案 B解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 2.为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度答案 C3.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数 D.偶函数 答案 D解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.4.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只需将y ＝f (x )的图象上所有的点( ) A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度答案 A解析 由T ＝π＝2π得：ω＝2，g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移π8单位， 得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝g (x )的图象. 5.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度.若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A.4 B.6 C.8D.12答案 B解析 对B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)图象向左平移π2个单位得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)图象. 6.给出几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ②横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度.则由函数y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以实施的方案是( ) A.①→③ B.②→③ C.②→④ D.②→⑤ 答案 D解析 y ＝sin x 的图象――→②y ＝sin 2x 的图象――→⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 7.要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( ) A.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度B.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度答案 C解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――――――――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4―――――――――――――――→向左平移π4个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 8.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案 C解析 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象. 二、填空题9.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案22解析 y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin(12x ＋π6)的图象即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，∴f (x )＝sin(12x ＋π6)，f (π6)＝22. 10.为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________. 答案3π2解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是3π2.11.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的. 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上). 答案 ①③ 三、解答题12.已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值. 解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
《步步高 学案导学设计》 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第2章 2.5.2
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13
2.5.2
答 如右图所示，设木块的位移为 s，
则 F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3(J)．
本 将力 F 分解，它在竖直方向上的分力 F1 的大小为
课
时 栏 目
|F1|＝|F|sin 30°＝50×12＝25(N)，
开
关 所以，摩擦力 f 的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此，f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
2.5.2
则帆船的行驶速度 v＝v1＋v2＝(10,10 3)＋(20,0)＝(30,10 3)，
所以|v|＝ 302＋10 32＝20 3(km/h)．
本
课 时 栏
因为
tan
α＝1030 3＝
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角，α
为锐角)，
目
开 关
所以 α＝30°.
所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.
的大小为 100 m，且 F 与 s 的夹角为 60°，则力 F 所做的功
本
课 W＝___3_0_0___ J.
时 栏
目 解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得
本
课 时
y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
栏
目
开
关
几何画板演示
7
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，
x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，
开
关
13
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
跟踪训练 1 利用“五点法”作出函数 y＝－1－cos x(0≤x≤2π)
的简图．
解 (1)取值列表如下：
本 课 时
π
3π
x
0 2 π 2 2π
栏 目
cos x
1 0 －1 0 1
开 关
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
(2)描点连线，如图所示．
x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y＝
本
课 时
sin
x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长
栏
目 开
度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
关
8
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
探究点二 五点法作正弦曲线
在精度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 __(0_,_0_)，___π2_，__1__，__(π_，__0_)_，__3_2π_，__－__1__，__(_2_π_，__0_) __五个关键点，
1．研究函数的性质常常以图象直观为基础，通过观察函数的图
本
象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法．正弦函数
课
时 和余弦函数的学习也是如此．
栏
目 开
2．利用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象是本节的重
关
点，也是进一步通过正弦函数图象和余弦函数图象研究正、余
弦函数性质的基础和前提，“五点法”作图的基本步骤和要领
小结 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观
察得到，同时要注意区间端点的取舍．
15
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
跟踪训练 2 求函数 f(x)＝lg cos x＋ 25－x2的定义域． 解 由题意，x 满足不等式组c2o5s－xx>20≥0 ，即c－os5≤x>x0≤5 ， 本 作出 y＝cos x 的图象，如图所示．
本 再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．坐标系中画出 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
目
开
关
答
9
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
探究点三 五点法作余弦曲线
根据诱导公式 sinx＋π2＝cos x，x∈R.只需把正弦函数 y＝sin x，
x∈R 的图象__向__左__平__移__π2_个__单__位__长__度_____即可得到余弦函数
时
栏 目
sin x 0 1 0 －1 0
开 关
1－sin x 1 0 1 2 1
描点连线，如图所示．
12
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
小结 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作
本 课
图．“五点”即 y＝sin x 或 y＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、
时
栏 目
最低点和与 x 轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
14
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
例 2 求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域．
解 由题意，x 满足不等式组1si6n－x>x02≥0 ，
本 即－4≤x≤4 ，作出 y＝sin x 的图象，如图所示．
课
sin x>0
时
栏
目
开
关
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
本 课
图象．
时
栏
目
开
关 在精度要求不高时，要画出 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可
以通过描出___(0_,_1_)_，__π2_，__0__，__(π_，__－__1_)_，___32_π_，__0_，__(_2_π_，__1_)___
五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余
弦函数的简图．
要熟练掌握.
3
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.1
1．正弦曲线、余弦曲线
本 正弦函数 y＝sin x(x∈R)和余弦函数 y＝cos x(x∈R)的图象分
课 时
别叫 正弦 曲线和 余弦 曲线．
栏
目
开
关
4
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.1
2．“五点法”画图
画正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
本
_(_0_,0_)_，__π2_，__1__，__(_π_，__0_)，___32_π_，__－__1__，__(2_π_，__0_)_______；
课 时
画余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
栏
目 开 关
_(_0_,1_)_，__π2_， __0__，__(_π_，__－__1_)，___32_π_，__0__，__(2_π_，__1_)_______．
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.1
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【学习要求】
本
课 时
1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．
栏
目 2．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用
开
关
“五点法”作出简单的正、余弦曲线．
3．理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
2
1.4.1
【学法指导】
时
栏 ①作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧画单位圆，如图
目
开 关
所示．
②把单位圆分成 12 等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单
位圆上的各分点作 x轴 的垂线，可以得到对应于 0，π6，π3，
π2，…，2π 等角的正弦线．
6
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
③找横坐标：把 x 轴上 从 0 到 2π (2π≈6.28)这一段分成 12 等份． ④找纵坐标：将 正弦 线对应平移，即可得到相应点的纵坐标．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式 cos x＝sinx＋π2，要得到 y＝cos x 的图象，
只需把 y＝sin x 的图象向 左 平移π2个单位长度即可.
5
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
探究点一 几何法作正弦曲线
本 课
利用几何法作正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的过程如下：
10
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
请你在下面所给的坐标系中画出 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象．
本
课
时
栏
目
开 关
答
11
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1
【典型例题】
例 1 利用“五点法”作出函数 y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解 (1)取值列表：
本
π
3π
课
x
0 2 π 2 2π