巧用方差解竞赛题

巧用方差解竞赛题 The final edition was revised on December 14th, 2020.

巧用方差解竞赛题

设一组数据1x ，2x ，……，n x 的方差为2s ，平均数为-x ，则有

2

s =2221)()[(1---+-x x x x n +…+])(2--x x n ① 或者2

s =n 1[(21x +22x +…+2n x )-2-x n ]② 由公式①不难得出方差的两条性质：

性质1 任何一组数据的方差都是非负数；

性质2 若一组数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于平均数．

由于-

x =n

1(1x +2x +…+n x )，因此公式②也可以写成2s =n 1[(21x +22x +…+2n x )-n 1(1x +2x +…+n x )2]③ 运用方差的两条性质及公式③可以巧解一类竞赛题． 例1 (江苏省第二十届初中数学竞赛题)设x ，y 是正实数，且1=xy ，当x =__时，44411y

x z +=的最小值为____． 解：视2

1x 、221y 为一组数据，则 2s =])211(21)21()1[(212222222y

x y x +-+

=)1411(412244y x y x -+=0)1411(4144≥-+y

x ． 由性质1，得0)1411(4144≥-+y x ，即4

141144≥+y x ． 故44411y x z +=的最小值是4

1． 当且仅当21x =221y

时取等号，此时2x =22y ． 又∵1=xy ，∴x

y 1=． ∴2x =2)1(2x

，即44=x ． ∴2x =2，2±=x ．

例2 (2005年全国初中数学联赛初赛试卷)已知3=++c b a ，3222=++c b a 则200520052005c b a ++的值是（）

(A)0 (B)3 (C)20052 (D)200523⋅

解：视a 、b 、c 为一组数据，则

2s =])(3

1)[(312222c b a c b a ++-++ =)33

13(312⨯-=0． 由性质2，得a =b =c =1．

∴200520052005c b a ++=200520052005111++=1+1+1=3． 故应选(B)．

例3 (江苏省第二十届初中数学竞赛题)正实数a 、b 、c 、d 满足1=+++d c b a ，设13+=a p +13+b +13+c +13+d ，则（）

(A)5>p (B)5=p (C)5

2s =2222)13()13()13()13[(4

1+++++++d c b a 2)]13131313(4

1+++++++-d c b a =]4

14)(3[412P d c b a -++++ =]41413[412P -+⨯=)4

17(412P - 由性质1，得0)4

17(412≥-P ，282≥P ． ∵0>P ，∴52528=>≥P ．

故应选(A )．

例4 (第十八届江苏省初中数学竞赛试题)：方程

122+--+-y x y xy x =0的实数解是_____.

解：考察数据x 、y ，得

2s =])(2

1[21222y x y x +-+ =])()(2[4

1222y x y x +-+ ∵xy y x y x 2)(222++=+，∴)()(2222y x y x xy +-+=． ∵122+--+-y x y xy x =0，

∴02)(22)(222=++--+y x xy y x ．

∴02)(2)]()[()(222222=++-+-+-+y x y x y x y x ． ∴2)(2)()(3222-+++=+y x y x y x ．

∴2s =

])(3)(32[12

1222y x y x +-+⨯ =])(3)(32[12

1222y x y x +-+⨯ =])(3]2)(2)[(2[12

122y x y x y x +--+++ =]4)(4)([12

12-+++-y x y x =2)2(12

1-+-y x ∴2s +2)2(12

1-+y x =0． 又02≥s ，0)2(1212≥-+y x ，∴2s =0，2)2(121-+y x =0． ∴y x =，2-+y x =0．

∴x =1，1=y ．

例5 (美国第七届中学生数学奥林匹克竞赛题)已知a 、b 、c 、d 、e 是满足e d c b a ++++=8和22222e d c b a ++++=16的实数，试确定e 的最大值．

解：视a 、b 、c 、d 为一组数据，则

2s =])(4

1[4122222d c b a d c b a +++-+++ =])8(4

116[4122e e --- =)44

5(412e e +-

由性质1，得0)445(412≥+-e e ． 解得5

160≤≤e ． ∴e 的最大值是516．