关于求解行列式的几种特殊的方法

…
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例： 计算 + $
(% … ,’ ’
$ （ ,% ( ,& ） （ ,) ( ,& ） … （ , ’ ( ,& ） +’ ( & 类似地， 则 +’ ( & $ （ ,) ( ,% ） （ ,/ ( ,% ） … （ , ’ ( ,% ） +’ ( % 依此下去， 并注意到 +’ ( & $ & ,’ ( & & ,’ $ ,’ ( ,’ ( &
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当 " # " .! 时* 有 9 ( 2# 9 !
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上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式* & ) : < % / ; = ! & ! 计算 & 解法 & ： 原式 $ ! & ! & ! & ! & ! & ) : < % / ; = : $ & ! ! ! ; ! & ! ! & ) / / & % / / / ! $!
福建商业高等专科学校学报@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ %!!< 年 % 月 过分 块 若 能 转 化 为 对 角 矩 阵 或 下 （ 上 ）三 角 矩 阵
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Βιβλιοθήκη Baidu
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， 那么行列式
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$ "#"・"1"，
1 分别是 3， 4 阶可逆矩阵， 2 是 4 5 3 阶矩阵， ! 其中 #， 是 3 5 4 阶矩阵* 可以看出， 这样可以把 3 . 4 阶行列式 的计算问题， 通过矩阵分块转化为较低阶的 3 阶和 4 阶行列式计算问题， 下面先根据上面的途径给出计算 公式* ,&& … ,3& 设矩阵 6 $ 8&& … 84& … ,&3 … … … ,33 … 8&3 … … … 843 7&& … 73& 7&& … 74& 7&4 … … 734 # + $ … 7&4 2 1 … … … 744 …
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1 （ 1 + %） ） & 1 （ 1 + %） ） &
%
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" $ &
… … … 1
1 $ $ … 2 1 +%
（ + %） 0
（ 1 + %） ！
&’ 降阶法 利用按一行 （ 列） 展开定理或 2345367 展开定理将 1 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行 列式的方法称为降阶法’ 例： 计算 % & & … & & & & … & & & " … & … … … … … & & & … 1
)* 递推法 通过降阶等途径， 建立所求 ’ 阶行列式 " # " 和比 它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系， 并求得 # 的方法叫递推法* 例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递 推法* 例： 计算范得蒙行列式 & ,& +’ $ ,% & …
’ (& ,&
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… … … …
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其中 #， 1 分别是 3 阶和 4 阶的可逆矩阵， 2是45 3 阶矩阵， + 是 3 5 4 阶矩阵， 则有下面公式成立* " 6 " $ # + 2 1 ・ " 1 ( +# ( & 2 " $ " 1 " ・ " # ( +1 ( & 2 " 或 " 6 " $ # 2 + 1 $ "#"
( 7. 7. . … 7
6 ’. .
… … … … …
( 76 7. 6 …
’. 76 6
6 7.
76 6
本题用常规方法解如下： ) 4 3 ) 4 3 3 4 4 ) 2 4 ) 2 ) 2 ］5 3 3 ) ’ 2
如果使用常规的方法， 解这道题是非常复杂的， 而 且困难的是因为 # 6 不是范得蒙行列式， 若我们用刚 刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易 我们构造一个 6 阶 了， 因为 # 6 类似于范得蒙行列式， 的范得蒙行列式 ( 7( #! 7. ( … 7
这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行
则 +’ ( & $
& 4-404’
， 其中3是连乘号* 3 （ ,0 ( ,- ）
若用前面的介绍的公式则可以直接得出结果* 解法 % ： 令#$ +$ ! & ， 1$ < = ， 2$ ! &
以上几种方法是我们平常计算行列式时所常用 的， 也是课本介绍过的常规方法， 下面介绍几种非常规 的解法* &） 分块矩阵法 # 我们学习了矩阵的分块， 知道一个矩阵 万方数据 !
，
1
因为 " ! $ ， 所以原行列式 ! & "% ’ $# & !
!
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) * + , ’ ) ( ’ ) ( ( . , / 0 !) .） 分离线性因子法 这种方法是把行列式看成含有其中的一个或一些
字母的多项式， 经过变换后， 发现它可被一些线性因子 整除， 这意味着它也可被这些因子的积所整除， 利用这 一特性， 可求得行列式的值1 ) 计算行列式 # ! 2 3 4 ) # ! 2 3 4 2 3 4 4 ) 2 3 ) 2 ) 4 3 2 4 3 4 ) 2 ) 4 3 2 ) 4 3 4 3 2 ) 3 ) 2 ) 2 4 2 ’4 3 ! ) 3 4 ) 2 4 3 2 )
上式仍然不是上 （ 下） 三角行列式， 这时我们可以 用降阶法， 注意第二行除了第一项是 % ， 后面的项都是
收稿日期： &$$8 ! + $8 + %&
万方数据 作者简介： 陈黎钦 （ %-." + ! ） ， 女， 福建商业高等专科学校讲师
?; !， 我们按第二行展开， 得 % "#" $ % & … … 1 % 2 2 ’ (%
解： 首先我们应先考虑 / ) / 能不能化为上 （ 下） 三 角形式， 若将第一行乘以 （ + &） 加到第 & ， "， …， 1 行， 数字反而复杂了， 要使行列式尽可能多的出现 “$” 项， 将 / ) / 的第一行乘以 （ + %） 加到第 & ， "， …1 行， 得 % % /)/ 0 % … % & $ $ … $ & $ % … $ … … … … … & $ $ … 1 +&
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6 ’. ( 6 7(
这道题还有个特点， 那就是 " ! $ ， 如果我们把公 式变形， 即 " $
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关于求解行列式的几种特殊的方法
陈黎钦
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（ 福建商业高等专科学校! 基础部， 福建 福州! "#$$%& ）
〔 摘! ! 要〕 ! 行列式的求解是高等代数中的非常重要的内容， 常规作法是用行列式的性质和相关定理来求 解， 本人给出了几种特殊的求解方法’ 〔 关 键 词〕 ! 矩阵； 行列式； 函数； 方程 中图分类号： (%#%’ &&! 文献标识码： )! 文章编号： %$$* + ,-,$ （ &$$. ） $% + $$-# + $$, ! ! 行列式的计算方法有好几种， 通常都是用性质、 展 开式等方法进行计算的， 在进行四阶以上的行列式的 计算时， 这些方法过于繁琐， 本文通过研究了几种特殊 的方法， 通过对比的方式， 说明在数学学习中拓宽思路 的重要性’ 一、 行列式计算的一般方法 %’ 三角化法 利用行列式的性质把原来的行列式化为上 （ 下） 三角行列式’ 根本性质’ 上 （ 下） 三角行列式的值就是 对角线各项的积’ 例： 计算行列式 1 1 /)/ 0 1 … 1 &1 + % 1 +% 1 +% 1 +% … &1 + " 1 +% … … … … … … " " # … " " & " & … & & % % % … % % /)/ 0 （ + %） 0
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$"" # & ! & "% ’ $# & 1 所 以 当 " ! $ 时， 我们有 ! & "% ’ $# & ， 这样例题就可以直接写出答案
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( ) ) ( ， %! * + , ， $! ( ) ) ( ( ) ( . / 0
解： + ’ 的第 - 行乘以 （ ( ,& ） 加到第 - . & 行， -$’ ’ ( %， …， & 则得 ( &，
& ! ! … ! & ,% (,& , （ % ,% (,& ） … & ,) (,& … … … & ,’ (,& ,（ ’ ,’ (,& ） …
下面推导公式， 事实上
+’ $
解： 本题可以用三角化的方法， 将的第一行乘以 （ + %） 加到第 & ， "， …， 1 行， 再将其第 1， 1 + %， …， &， % 列通过相邻两列互换依次调为第 % ， &， …， 1 列， 则得 1 $ /)/ 0 $ … $ 1 +% 1 +% $ $ … 1 +& $ … … … … … … " $ & … $ $ & % $ … $ $ % $ $ … $ $