北京市海淀区高三数学上学期期中试题理

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2021年海淀高三数学(理科) 年第一学期期中练习答案 doc

2021年海淀高三数学（理科）年第一学期期中练习答案 doc2021年海淀高三数学（理科）-年第一学期期中练习答案doc海淀区高三第一学期期中练习数学（理）参考答案和评分标准2022.11说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）问题编号答案二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．e?110.a？BC11．[2,]1b2c3b4d5c6a7d8b5212.1π13．314．10；{t|t?11或t?,n?n*且n?2}n?1ln2ln()n三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（i）设{an}的公差为d，根据标题的意思，有A2吗？a1？D5，s5？5a1？10天？？20 (2)分a1d5联立得?5a？10天？？20? 1.a1？？6.解决方案5分d?1?所以an??6?(n?1)?1?n?7………………7分（ii）因为an?n?7，所以sn?a1?ann(n?13)n?………………9分22数学参考答案第1页，共7页顺序n(n?13)?n?7，即n2?15n?14?0………………11分2解得n?1或n?14又n?n*，所以n?14因此，n的最小值是15。

13分16.（本小题满分13分）解决方案：（I）因为f（x）？2cos2x？cos（2x？π2）？2cos2x？sin2x？1.cos2x？sin2x?2sin(2x?π4)?1所以f(π8)?2sin(ππ4?4)?1?2?1（ⅱ）因为f(x)?2sin(2x?π4)?1那么，t？2π2? 圆周率和圆周率？SiNx的单调递减区间为（2kπ?π2,2kπ?3π2），(k?z)所以令2kπ?π2?2x?π4?2kπ?3π2解得kπ?π5π8?x?kπ?8所以函数f(x)的单调减区间为(kπ+π5π8,kπ?8)，(k?z)17.（本分题满分13分）解：（i）在?abc中，因为a?b?c?π所以t anc?tan[π?(a?b)]??tan(a?b)因为tan(a?b)?7，所以tanc??7数学参考答案第2页，共7页................... 2分………………4分................... 6分………………7分………………9分………………10分………………11分 (12)分。

2024年北京海淀区高三(上)期中数学试题及答案

2024北京海淀高三（上）期中数学2024.11本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b a a b > （D ）2b aa b+> （4）已知sin ()cos x f x x =，则π()4f '= （A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率（C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率（D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京海淀区高三(上)期中数学试题及答案

2022北京海淀高三（上）期中数学2022．11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则UA =（）（A ）(0,2][3,)+∞（B ）(0,2)(3,)+∞（C ）(,2][3,)−∞+∞（D ）(,2)(3,)−∞+∞（2）在同一个坐标系中，函数log a y x =与(0x y a a =>且1)a ≠的图象可能是（）（3）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则⋅=a b （）A ．4B ．C ．4−D ．−（4）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）（A ）2（B ）2−（C ）4（D ）4−（5）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（）（A ）||a b >（B ）||a b >（C ）2a ab >（D ）2ab b >（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）（A ）45−（B ）45 （C ）35−（D ）35（7）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（）（A ）12()log f x x =（B ）2()log f x x =（C ）()2xf x =（D ）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（8）已知函数()e e (0)x x f x a b ab −=+≠，则"0a b +="是"()f x 为奇函数"的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）若P 是ABC ∆内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（）（A ）14（B ）12（C ）1 （D ）2（10）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（）（参考数据：1g20.301,1g30.477≈≈）（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若复数12i z =−，则z =____．（12）函数1()ln 1f x x x =+−的定义域是____．（13）已知向量(1,1)=a ，(,2)x tx =+b ．若存在实数x ，使得a 与b 的方向相同，则t 的一个取值为____．（14）若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____；π6g ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．（15）已知函数21,1,(),1.x ax x f x ax x ⎧−++≤=⎨>⎩（1）当1a =时，()f x 的极值点个数为____；（2）若()f x 恰有两个极值点，则a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为(1,2,)n S n =，且23a =，525S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，在下列三个条件中选择一个，使得{}n b 的每一项都是{}n a 中的项．若*(),k m b a k m =∈N ，求m ．（用含k 的式子表示）条件①：1q =−；条件②：2q =；条件③：3q =．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分．（17）（本小题14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+−．（Ⅰ）求π4f ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（18）（本小题14分）已知函值321()3f x x x =−．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(1,]m −上的取值范围是4,03⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．（19）（本小题14分）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在,A B 处观测该动物种群，如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC =︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒45ABD ∠=︒．（注：点,,,A B C D 在同一平面内）（Ⅰ）求ABD ∆的面积；（Ⅱ）求点,C D 之问的距离．（20）（本小题15分）已知函数s (n)iexx a f x −=．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =时，证明：函数()2y f x =−在区间(0,π)上有且仅有一个零点；（Ⅲ）若对任意[0,π]x ∈，不等式()2cos f x x ≥−恒成立，求a 的取值范围．（21）（本小题15分）对于一个m 行n 列的数表(2,3)m n A m n ⨯≥≥，用,i j a 表示数表中第i 行第j 列的数，{},0,1i j a ∈(1,2,,;i m =1,2,,)j n =．对于给定的正整数t ，若数表m n A ⨯满足以下两个条件，则称数表 m n A ⨯具有性质()p t ：①1,1j a =，,0(1,2,,)m j a j n ==；②,11,1,21,2,1,(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a t i m +++−+−++−==−．（Ⅰ）以下给出数表1和数表2．（ⅰ）数表1是否具有性质(2)p ？说明理由；（ⅱ）是否存在正整数t ，使得数表2具有性质()p t ？若存在，直接写出t 的值，若不存在，说明理由；（Ⅱ）是否存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p ？若存在，求出m 的最小值，若不存在，说明理由；（Ⅲ）给定偶数(3)n n >，对每一个{}2,3,,1t n ∈−，将集合{m n m A ⨯具有性质}()p t 中的最小元素记为()f t ．求()f t 的最大值．海淀区2022—2023学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11 （12）(0,1)(1,)+∞ （13）答案不唯一，小于1的实数均可（14）2；1−或1 （15）2；(0,2)三、解答题（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==, 所以113,54525.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =−. （Ⅱ）选择条件③.因为11,3b q ==，所以13n n b −=. 因为m k a b =, 即1213k m −−= .得1312k m −+=.因为*k ∈N ,13k −为奇数，131k −+为偶数，所以*m ∈N .可得1312k m −+=.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）2()2sin()cos()2cos ()14444f ππππ−=−−+−−22(2(1222=⋅+− 1=−.（Ⅱ）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+.所以()f x 的最小正周期为22T π==π. （Ⅲ）因为0,2x π≤≤所以52,444x πππ≤+≤当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 取得最大值，所以()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()8f π=；当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值，所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值为()12f π=−.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .2'()2f x x x =−，令'()0f x =，120,2x x ==.由表可得，()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)−∞+∞；单调递减区间为(0,2). （Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知44(1),(0)0,(2),(3)033f f f f −=−==−=.①当(1,2)m ∈−时，4(1,],()3x m f x ∀∈−≠−，不符合题意；②当[2,3]m ∈时，()f x 在区间[1,]m −上的取值范围是4[,0]3−，符合题意；③当3m >时，由()f x 在区间(2,)+∞上单调递增可知()(3)0f m f >=，不符合题意. 综合上述，[2,3]m ∈（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒,所以60ADB ∠=︒.由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，得sin 45sin 60AD AB=︒︒，所以，sin4512sin60AD AB︒=⋅==︒(km).1sin sin75sin(4530))2BAD∠=︒=︒+︒=+=,所以ABD△的面积为11sin123622ABDS AB AD BAD=⋅⋅∠=⨯⨯=+△(2km).（Ⅱ）由30BAC∠=︒，60ABC∠=︒, 得45CAD∠=︒,AC=在ACD△中由余弦定理，得2222cos363166260 CD AC AD AC AD CAD=+−⋅⋅∠=⨯+⨯−⨯=.所以，CD=(km).即点C, D之间的距离为km.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当2a=时，()e2sinxf x x=−，则(0)1f=.'()e2cosxf x x=−，则'(0)1f=−.曲线()f x在(0,(0))f处的切线方程为1y x=−+.（Ⅱ）当1a=时，记()()2e sin2xg x f x x=−=−−，则'()e cosxg x x=−.当(0,x∈π)时，0e e1,cos1x x>=<,所以'()'(0)0g x g>=.所以()g x在(0,)π上单调递增.因为(0)10,()e20g gπ=−<π=−>,所以函数()2y f x=−在区间(0,π)上有且仅有一个零点.（Ⅲ）设()()cos2h x f x x=+−e sin cos2x a x x=−+−.则'()e cos sinxh x a x x=−−.设()e cos sinxs x a x x=−−.则'()e cos sinxs x x a x=−+.因为当[0,]x ∈π时，0e e 1,cos 1,sin 0x x x ≥=, 所以当0a ≥时，[0,]x ∈π时，'()0s x ≥，所以'()h x 在区间[0,]π上单调递增()*.（1）当1a >时，'(0)10h a =−<，'()e 0h a ππ=+>, 且'()h x 在区间[0,]π上单调递增，所以存在唯一0(0,)x ∈π，使得0'()0h x =. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x <，所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减. 可得0()(0)0h x h <=，所以与题意不符.（2）当1a =时,()e sin cos 2x h x x x =−+−. '()e cos sin x h x x x =−−由()*可知：'()h x 在区间[0,]π上单调递增, 所以当[0,]x ∈π时，'()'(0)0h x h ≥=. 所以()h x 在区间[0,]π上单调递增. 所以()(0)0h x h =区间[0,]π上恒成立. 符合题意. （3）当1a <时,()e sin cos 2e sin cos 2x x h x a x x x x =−+−>−+−.由（2）可知，此时()0h x >在区间[0,]π上恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]−∞. （21）（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）数表1不具有性质(2)p .理由：2,13,12,23,22,33,3||||||12a a a a a a −+−+−=≠.（ⅱ）存在. 3t =时，数表2具有性质()p t .（Ⅱ）不存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p .假设存在m 使得数表2023m A ⨯具有性质(6)p ，则,11,1,21,2,1,||||||6(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a i m +++−+−++−==−.即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k 列是第i 行的数为1，第1i +行的数为0，则有6k −列是第i 行的数为0，第1i +行的数为1.所以，从第i 行到第1i +行，一共增加了62k −个1，1的个数的奇偶性不变. ……7分所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同.与数表2023m A ⨯第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾. 所以，不存在具有性质(6)p 的数表2023m A ⨯.（Ⅲ）()f t 的最大值的为1n +.定义1m −行n 列的数表(1)m n B −⨯：其第i 行第j 列为,,1,||1,2,,1(1,2,,)i j i j i j b a a i m j n +=−=−=，.则,{0,1}i j b ∈，且,0i j b =表示,1,,i j i j a a +两数相同，,1i j b =表示,1,,i j i j a a +两数不同. 因为数表m n A ⨯的第1行确定，所以给定数表(1)m n B −⨯后，数表m n A ⨯唯一确定. ①先证()1f t n ≤+.我们按照如下方式，构造数表n n B ⨯：对于第21s −行和第2s 行，1,2,,2n s =，令21,2121,21,0s s s s b b −−−==，2,212,20,1s s s s b b −==，且在这两行其余的2n −列中，任选相同的1t −列都为1，其他列都为0. 于是可得到具有性质()p t 的数表(1)n n A +⨯如下：第1列第2列第3列第4列第n -1列第n 列第1行第3行第5行 … 第n +1行即对于每个{2,3,,1}t n ∈−，当1m n =+时，都存在数表m n A ⨯具有性质()p t .所以()1f t n ≤+.②再证1t n =−时，()1f t n ≥+. 记,1,2,...(1,2,,)i i i i n S a a a i m =+++=.因为1t n =−是奇数，所以i S 与+1i S 的奇偶性不相同(1,2,,1i m =−).因为10m S n S ==，，所以m 是奇数.我们考虑(1)m n B −⨯的第i 行和1i +行，因为1t n =−，所以这两行中都有1n −列为1，1列为0. 若这两行相同，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行相同，2i i S S +=.若这两行不同，设其分别在第,p q 列为0()p q ≠，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行只在第,p q 列上不同，其他列都相同，2||2i i S S +−≤. 因为1,0m S n S ==，其中n 是偶数. 所以1224311||||22m m m m m m n S S S S S S S S −−−−=−=−+−++−≤⨯. 所以1m n ≥+，即(1)1f n n −≥+. 结合①，(1)1f n n −=+.综上所述，()f t 的最大值的为1n +.。

北京市海淀区高三数学上学期期中试题理

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x x y =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案

北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数学理科2011.11选择题共4O 分一、选择题：本大题共8小题;每小题5分;共40分.在每小题列出的四个选项中;选出符合题目要求的一项.1. 设集合{}|(21)(3)0A x x x =--<;{}|14B x x =≤≤;则A B =A. 1; +∞B.0;1(1,)+∞C. (,1)(1,0)-∞-- D. (,0)(0,1)-∞3. 已知等差数列{}n a 中;11a =;33a =-;则12345a a a a a ----= A. 15B. 17C. -15D. 164. 已知非零向量，a b ;那么“⋅>0a b ”是“向量，a b 方向相同”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 函数||()1x f x e =-的图象大致是7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象;只需将函数cos sin y x x =-的图象A.3B. 2C.1D. O非选择题共110分二、填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分. 9. 曲线1y x=在x =2处的切线的斜率为__________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中;若22a =;则132a a +的最小值是_________11.点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点如图所示.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积;那么边AB 的长等于_________.12. 已知点A1;1;B5;3;向量AB 绕点A 逆时针旋转32π到AC 的位置;那么点C 的坐标是________ 13. 在△ABC 中;角A;B;C 的对边分别是,,a b c ;a =8; b = 10;ΔABC 的面积为203;则△ABC 中最大角的正切值是_________. 14. 已知数列123:,,,,(3)n A a a a a n ≥;令{|,1}A i j T x x a a i j n ==+≤<≤ ; ()A card T 表示集合AT 中元素的个数.①若A:2;4;8;16;则()A card T =_________；②若1i i a a c +-=c 为常数. 11i n ≤≤-;则()A card T =_________.三、解答题：本大题共6小题;共80分.解答应写出文字说明;演算步骤或证明过程. 15. 本小题共13分已知函数2()sin 2cos 23sin 2f x x x x =-.I 求()f x 的最小正周期； I I 求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.16. 本小题共13分已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列; 23a =;且5a 是4a ; 8a 的等比中项. I 求数列{}n a 的通项公式；I I 设n S 为数列{}n a 的前n 项和;求使n n a S =成立的所有n 的值. 17. 本小题共13分某工厂生产某种产品;每日的成本C 单位：元与日产量x 单位:吨满足函数关系式C=10000+20x ;每日的销售额R 单位:元与日产量x 满足函数关系式已知每日的利润y = R - C;且当x =30时y =-100. I 求a 的值；II 当日产量为多少吨时;毎日的利润可以达到最大;并求出最大值 18. 本小题共13分已知函数22()ln ()f x x ax a x a R =+-∈. I 若x =1是函数()y f x =的极值点;求a 的值； II 求函数()f x 的单调区间. 19. 本小题共14分设n S 为数列{}n a 的前n 项和;1n n S a λ=-λ为常数;1,2,3,n =.I 若232a a =;求λ的值；I I 是否存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列若存在;求出λ的值；若不存在.请说明理由 1,2,3,;且1b =前n 项和n T20. 本小题共14分已知函数2||,()2,x x Pf x x x x M∈⎧=⎨-+∈⎩其中P;M 是非空数集;且P M =∅;设(){|(),}f P y y f x x P ==∈. I 若(,0)P =-∞;[0,4]M =;求 ()()f P f M ；I I 是否存在实数3a >-;使得[3,]PM a =-;且()()[3,23]f P f M a =-- 若存在;请求出满足条件的实数a ;若不存在;请说明理由； I I I 若PM R =;且0M ∈;1P ∈;()f x 是单调递增函数;求集合P;M北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数学理科2011.11参考答案一、选择题1、A ；2、D ；3B 、；4、B ；5、D ；6、A ；7、C ；8、B ；二、填空题9、14-；10、11、2π；12、(3,3)-；13、3或14、106,23,0c n c =⎧⎨-≠⎩，；三、解答题15、解：1∵2()sin 2cos 22f x x x x =-=11cos 4sin 422xx -……4分=1sin 4cos 4222x x +-=sin(4)32x π+-……6分∴函数()f x 的最小正周期为π……7分2由1知：()f x=1sin(2)232x π+-;因为04x π≤≤;所以44333x πππ≤+≤所以sin(4)123x π-≤+≤……10分所以sin(4)1322x π≤+-≤-所以()f x 在区间[0,]4π上的取值范围是[2-……13分 16、解：1因为5a 是4a ; 8a 的等比中项;所以2548a a a =.……2分设等差数列{}n a 的公差为d ;则2222(3)(2)(6)a d a d a d +=++;……4分因为23a =;所以220d d +=;因为0d ≠所以2d =-;……6分所以27n a n =-+……7分 2由27n a n =-+可知;15a =;所以1()2n n a a n S +=…9分(572)2n n+-=26n n =-…11分由n n a S =可得：2276n n n -+=-所以1n =或7n =……13分17、解：1由题意可得：32127010000,0120301040020,120x ax x x y x x ⎧-++-<<⎪=⎨⎪-≥⎩……2分因为x =30时y =-100;所以3211003030270301000030a -=-⨯+⨯+⨯-..……4分所以3a =……5分 2当0120x <<时;32132701000030y x x x =-++-;……6分21627010y x x '=-++……8分由216270010y x x '=-++=可得：190x =;230x =-舍……9分所以当(0,90)x ∈时;原函数是增函数;当(90,120)x ∈时;原函数是减函数;所以当90x =时;y 取得最大值14300. ……11分当120x ≥时;10400208000y x =-≤..……12分所以当日产量为90吨时;每日的利润可以达到最大值14300元..……13分18、解：1函数()f x 的定义域为(0,)+∞……1分 21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=因为x =1是函数()y f x =的极值点;所以2(1)120f a a '=+-=……5分所以12a =-或1a =;经检验;12a =-或1a =时;x =1是函数()y f x =的极值点..所以a 的值是12-或1. ……6分2由1知：21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=若0a =;1()0f x x'=>.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞……8分若0a ≠;令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==解得112x a =-;21x a =……9分当0a >时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)a ;单调递减区间是1(,)a +∞；……11分当0a <时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)2a -;单调递减区间是1(,)2a-+∞；……13分 19、1因为1n n S a λ=-;所以111a a λ=-;1221a a a λ+=-;12331a a a a λ++=-……1分由111a a λ=-可知：1λ≠. 所以111a λ=-;22(1)a λλ=-;233(1)a λλ=-因为232a a =;所以2234(1)(1)λλλλ=--;所以0λ=或2λ=……3分2假设存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列;则2132a a a =+……4分由1可得：22321(1)1(1)λλλλλ=+---.所以2232221(1)(1)λλλλλ-+=--;即10=;矛盾. 所以不存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列. ……6分3当2λ=时;21n n S a =- 所以1121(2)n n S a n --=-≥;且11a =.所以122n n n a a a -=- 即12(2)n n a a n -=≥ 所以;0n a ≠*n N ∈;且12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首相;以2为公比的等比数列. 所以12n n a -=*n N ∈……8分因为1n n n b a b +=+1,2,3,n =且1b =11n n n a b --=+ 122n n n a a b ---=++=当1n =时;上式仍然成立. 所以212n n b +=*n N ∈…10分因为(1)nn n na c ab =+所以111122221(21)(21)(21)2n n n n n nn c ----⋅==++++⋅…11分 111211(21)(21)2121n n n n n---=-+⋅+++…12分所以12n n T c c c =+++=211111112()22121212121n n --+-++-+++++=1121n-+=2121n n -+…14分 20、解：1因为(,0)P =-∞;[0,4]M =;所以()(0,)f P =+∞;()[8,1]f M =- 所以 ()()f P f M =[8,)-+∞…3分2若3M -∈;则(3)15[3,23]f a -=-∉--;不符合题意..所以3P -∈;从而(3)3f -=. 因为(3)3f -=[3,23]a ∈--;所以233a -≥;得3a ≥. 若3a >;则22233(1)12a x x x ->>--+=-+.因为P M =∅;所以23a -的原象0x P ∈且03x a <≤ 所以023x a =-a ≤得3a ≤;矛盾.. 所以3a =. 此时可取[3,1)[0,3]P =--;[1,0)M =-;满足题意. …8分3因为()f x 是单调递增函数;所以对任意0x <;有()(0)0f x f <=;所以x M ∈. 所以(,0)M -∞⊆.同理可证：(1,)+P ∞⊆.若存在001x <<;使得0x M ∈;则200001()2f x x x x >=-+> 于是2000[,2]x x x M -+⊆. 记21002x x x =-+(0,1)∈;22112x x x =-+;… 所以01[,]x x M ⊆. 同理可知12[,]x x M ⊆;… 由212n nn x x x +=-+得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=- 所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x +--=-=-==-对于0[,1)x x ∀∈;取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----中的自然数x n ;则1[,]x x n n x x x +∈M ⊆ 所以0[,1)x M ⊆. 综上所述;满足要求的P;M 必有如下表示：(0,)[1,)P t =+∞;(,0][,1)M t =-∞;其中01t <<或者(0,][1,)P t =+∞;(,0](,1)M t =-∞;其中01t <<或者[1,)P =+∞;(,1)M =-∞或者(0,)P =+∞;(,0]M =-∞.…8分注：若直接写出结论;且正确;给2分..。

北京市海淀区2021届高三数学上学期期中练习试题理（含解析）

2021-2021年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年大体一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。

1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。

2.试卷整体难度与去年类似，可是难易程度的散布与去年期中考试不同，更类似于2021年的高考真题的难度散布，即常规大体问题的难度下降，产生了很多“送分题”；可是中档问题考核方向不变，可是考核方式有所改变，增强了知识方式之间的综合和深切明白得知识后的灵活视同；关于难题而言，从命题和设问的角度能够看出，依旧本着考察数学思想、思维方式的方向，同时鼓舞归纳猜想的特点依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方式有明确的熟悉，而不是简单经历。

值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并非是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。

3.由于具有以上特点，本次考试相较之前的考试具有了更好的区分度，靠着关于题目“熟悉”才能入手的考生无法在这次考核中取得较高的分数，加倍强调了知识和概念的明白得，和方式背后隐含的数学思想。

通过以上分析，高三的数学温习，题海战术与高考的要求是相违抗的，是一种低效的温习方式。

应在对基础知识和概念的明白得上多下功夫，试探和总结与做题并重，专门是要注重对重要数学思想和思维方式的训练和体会。

【试卷分析】一、选择题部份1.设集合{}|1A x R x=∈>，{}|12B x R x=∈-≤≤，那么A B=（）A.[)1,-+∞ B.()1,+∞ C.(]1,2 D.[)1,1-【分析】此题考查集合的表示与运算，难度不大，把握表示方式、了解运算概念即可解决。

海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。

北京市海淀区2023~2024学年高三上期中数学参考答案

第 1 页（共 7 页）海淀区2023—2024学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）D（7）C（8）C（9）B （10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）(1,0)(0,)-+∞（12）43（13）1- 1（答案不唯一）（14）3π2 π8（15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q .因为23a =，1310a a +=，所以13a q ⋅=，21110a a q +⋅=．所以13,1,q a =⎧⎨=⎩或11,39.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为n a 均为整数，所以13,1.q a =⎧⎨=⎩所以13n n a -= (1,2,3,)n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，312n n S -=(1,2,3,)n =．所以1113131132323222k k k k k S S +++--+-=⋅-⋅=， 2112131311322222k k k k k S S +++++--+-=-⋅=．第 2 页（共 7 页）所以1121132322k k k k k S S S S +++++-=-=.所以3k S ，12k S +，2k S +是以1132k ++为公差的等差数列．（17）（共14分）解：选择条件①：π()13f =.（Ⅰ）因为()2cos cos()f x x x ϕ=⋅+，所以ππ2cos cos()133ϕ⋅+=，即πcos()13ϕ+=.所以π2π()3k k ϕ=-∈Z .因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：π()2cos cos()3f x x x =⋅-12cos (cos )2x x x =212cos 22x x =⋅11cos2222x x =+ π1cos(2)32x =-+.因为π[,0]2x ∈-，所以4πππ2333x ---≤≤．所以当π2π3x -=-，即π3x =-时，πcos(2)3x -取得最小值1-. 所以()f x 在区间π[,0]2-上的最小值是12-；当ππ233x -=-，即0x =时，πcos(2)3x -取得最大值12．所以()f x 在区间π[,0]2-上的最大值是1．第 3 页（共 7 页）选择条件③：x ∀∈R ，2π()()3f x f ≥. （Ⅰ）由题意得：()2cos cos()f x x x ϕ=⋅+2cos (cos cos sin sin )x x x ϕϕ=⋅-⋅ 22cos cos sin 2sin x x ϕϕ=⋅-⋅cos2cos sin 2sin cos x x ϕϕϕ=⋅-⋅+ cos(2)cos x ϕϕ=++.因为x ∀∈R ，2π()()3f x f ≥，所以()f x 的最小值为2π()3f ，即4πcos()13ϕ+=-.所以4ππ(21)π2π()33k k k ϕ=+-=-∈Z . 因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-．（Ⅱ）同选择条件①的（Ⅱ）.（18）（共12分）解：（Ⅰ）由题意令240x -=得2x =±．所以(2,0)A -，(2,0)B .因为点(,0)P t 在线段AB 上（不与端点重合），所以22t -<<.因为APQ △为等腰直角三角形，所以||||PQ AP =.由题意可知点Q 在x 轴上方，所以(,2)Q t t +．因为点Q 在曲线C 上，所以224t t +=-.所以12t =-（舍），21t =，即(1,3)Q .所以APQ △的面积为119||||33222AP PQ =⨯⨯=．第 4 页（共 7 页）（Ⅱ）由题意可知2(,4)Q t t -，22t -<<.所以23211()(2)(4)(248)22S t t t t t t =+-=--++．所以21'()(344)2S t t t =--+.令23440t t --+=，得12t =-，223t =． ()S t 与'()S t 在区间(2,2)-上的情况如下：因为2()327S =，所以当23t =时，()S t 取得最大值12827．（19）（共13分）解：（Ⅰ）连接AB .因为135ADB ∠=︒，120BDC ∠=︒，所以105ADC ∠=︒．因为45ACD ∠=︒，所以30CAD ∠=︒. 在ACD △中，sin sin CD ADCAD ACD=∠∠．所以AD =．因为30BCD ∠=︒，所以30DBC ∠=︒．所以BD CD =.在ABD △中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅︒25CD =.因为50CD =，第 5 页（共 7 页）所以AB ==，即A ，B两点之间的距离为m . （Ⅱ）CD 与AB 不垂直．理由如下：延长CD 交AB 于点E . 在ABD △中，sin sin AB ADADB ABD=∠∠.所以1sin 2ABD ∠<. 因为090ABD ︒<∠<︒，所以30ABD ∠<︒.所以18090BEC CBE BCD ∠=︒-∠-∠>︒. 所以直线CD 与直线AB 不垂直．（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为1(1)4f =，2(4)19f =，所以11,1422,1619a b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得0,3.a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x =．所以'()f x =2=.令'()0f x =，得1x =．当(0,1)x ∈时，'()0f x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当1x =时，()f x 取得最大值14. ①当14m =时，存在直线14y =是曲线()y f x =在点1(1,)4处的切线，且1()4f x ≤EDCBA第 6 页（共 7 页）对[0,)x ∈+∞恒成立，符合题意． ②当14m >时，设直线y kx m =+为曲线()y f x =的切线，切点为00(,)x y ，则000,1.4x y >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 所以000y mk x -=<．取1mx k=-，则10x >.因为11()03f x x =>+，10kx m +=，所以11()kx m f x +<，即存在1(0,)x ∈+∞，11()kx m f x +<，不符合题意. 综上可知，m 的最大值是14．（21）（共15分）解：（Ⅰ）19A =,235A =．（Ⅱ）由题意知221()332n n S =-⨯-. ①若j 为奇数，则111()02j j j j S S a ++-==-<.所以 j ∉Ω．②若j 为偶数，则当1,2,k j j =++时，211211[()()][()()]0322322j k j k k j S S -=⨯---≥⨯->. 所以 j ∈Ω．所以 {|2,1,2,}x x m m Ω===.（Ⅲ）（1）若Ω为有限集，设其最大元素为m （若Ω为空集，取0m =），则当1,2,j m m =++时，存在k j >满足0k j S S -<.令11i m =+，1min{*|,0}n n n k i i k k i S S +=∈>-<N （1,2,n =），则第 7 页（共 7 页）10n n n i i A S S +=-<. 所以 sgn()1n A =-（1,2,n =）；（2）若Ω为无限集，设12{,,}j j Ω=，其中12j j <<，记1n n n j j B S S +=-，则0n B ≥（1,2,n =）.①若数列{}n B 中只有有限项为正数，记max{*|0}n m n B =∈>N （若{}n B 中没有正数项，取0m =），则0m n B +=（1,2,n =）．令n m n i j +=（1,2,n =），则10n n n i i m n A S S B ++=-==（1,2,n =）.所以 sgn()0n A =（1,2,n =）；②若数列{}n B 中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,,t t B B ，其中12t t <<，则10n t t nnt j j B S S +=->（1,2,n =）.令n n t i j =（1,2,n =），则+1+1+11+++=0tt n n n n n nn j j t t t t A S S B B B B -=-=>.所以 sgn()1n A =（1,2,n =）.综上所述，对任意的无穷数列{}n a 都存在数列{}n i ，使得{sgn()}n A 为常数列.。

北京市海淀区高三年级第一学期期中练习数学理科（有答案）

北京市海淀区⾼三年级第⼀学期期中练习数学理科（有答案）北京市海淀区⾼三年级第⼀学期期中练习数学理科 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考⽣务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆效。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( A ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ?中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m 的值为( C ) A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ） A. 充分⽽不必要条件 B. 必要⽽不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最⼩值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ?∈-?=??++∈+∞?若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的⼀个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称；③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个⼆、填空题:本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分。

市海淀区届高三上学期期中考试数学理试题WORD版

市海淀区届高三上学期期中考试数学理试题W O R D版Last updated on the afternoon of January 3, 2021海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，则集合中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．下列函数中为偶函数的是 3．在△ABC 中，的值为 A ．1B ．－1C ．12 D ．－124．数列的前n 项和为，则的值为A ．1B ．3C ．5D ．6 5．已知函数，下列结论错误的是A ．B ．函数的图象关于直线x ＝0对称 C ．的最小正周期为π D ．的值域为6．“x ＞0”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）．若函数且）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足8．已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0，则n ＝12．已知向量，点A （3,0），点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为．13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．⑴若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为；⑵若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知等比数列的公比，其n前项和为（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn 取得最小值，求a 的值． 20．（本小题满分14分）已知x 为实数，用表示不超过x 的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R 在上的周期函数，其最小正周期为T ，若f(x)不是函数，求T 的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市海淀区高三数学上学期期中练习试题理北师大版

数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合2{|1}A x x =≥，则UA =A ．(,1)-∞B ．(1,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．1()f x x=-B ．()f x =C ．1()2xf x =D ．()tan f x x =3．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA AB ⋅的值为A ．1B 1CD 14．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a =A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-5．sin15cos15︒+︒的值为A ．12B ．4C ．2D 6．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,1]-8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是 A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1e d x x =⎰．10．设0.5a =π，3log 2b =，cos2c =，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为． 11．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP ∥OM ，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则yx= ． 13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称ka 为{}n a 的一个峰值．（Ⅰ）若2311n a n n =-+，则{}n a 的峰值为；（Ⅱ）若ln n a t n n =-，且{}n a 不存在峰值，则实数t 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+．（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，4A π∠=，tan()7A B +=，AC = （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值．BMDF CA19．（本小题满分14分）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值；（Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围；（Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,2)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）求证：122n a a a ≤++…1(2)n a n -+≥；（Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）参考答案及评分标准 2012．11说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．e 1-10．a b c >>11．5[2,]212．113．π314．10；*11{|,2}1ln 2ln()N t t t n n n n≤=∈≥+或且三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分（II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-== ………………9分令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2cos cos(2)2f x x x =-+22cos sin2x x =+………………2分1cos2sin2x x =++………………4分π)14x =++ ………………6分所以πππ()sin()11844f =++=+ ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =++所以2ππ2T == ………………9分又sin y x =的单调递减区间为π3π2π,2π 22k k ++（），()Z k ∈ ………………10分所以令ππ3π2π22π242k x k +<+<+ ………………11分解得π5πππ 88k x k +<<+………………12分所以函数()f x 的单调减区间为π5π(π+,π) 88k k +，()Z k ∈ ………………13分17．（本小题满分13分）解：（I ）在ABC ∆中，因为πA B C ++= ………………1分所以tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+ ………………3分因为tan()7A B +=，所以tan 7C =- ………………4分又22sin tan 7cos sin cos 1C C C C C ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩解得|sin |10C =………………5分因为(0,π),C ∈所以sin 10C =………………6分（II ）因为π4A =，所以1tan tan()71tan BA B B++==- 解得3tan 4B =………………8分因为(0,π),C ∈ 所以3sin 5B =………………9分由正弦定理sin sin b cB C=，代入得到7c = ………………11分所以1sin 2ABC S bc A ∆=1π217sin 242=⨯⨯= ………………13分18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………………2分在EDF ∆中，EQ EFPQ FD= 所以4482x y -=- ………………4分所以1102y x =-+，定义域为|48}{x x ≤≤ ………………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当(4,8)x ∈，()S x 单调递增 ………………11分所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 22()(21)()f x x a x a a '=-+++()[(1)]x a x a =--+………………2分令()0f x '=，得1(1)x a =+，2x a = 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：………………4分所以1a = ………………5分（II ）因为2211()()24a f x x +'=-- ………………6分因为m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线)(x f y =的切线所以2211()()24a f x x k +'=--≠对R x ∈成立 ………………7分只要()f x '的最小值大于k 所以 14k <-………………8分 (III) 因为1,a >-所以10,a +>当1a ≥时，()0f x '≥对[0,1]x ∈成立所以当1x =时，()f x 取得最大值21(1)6f a =- ………………9分当01a <<时，在(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增在(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当x a =时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+ ………………10分当0a =时，在(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当0x =时，()f x 取得最大值(0)0f = ………………11分当10a -<<时，在(0,1)x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减在(1,1)x a ∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增又21(0)0,(1)6f f a ==-，当1a -<<时，()f x 在1x =取得最大值21(1)6f a =-当0a <时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0. ………………14分综上所述，当1a ≥或1a -<<时，()f x 取得最大值21(1)6f a =-当01a <<时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0当0a <≤时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =. 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为 311≠+，所以{1,3,4} 不具有性质P.因为 2=12, 3=1+2, 6=33⨯+，所以{1,2,3,6}具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ：即对任意的(2),k k n ≤≤ , (1)i j i j n ∃≤≤≤，使得=+k i j a a a 成立，又因为121<<<, 2n a a a n =⋅⋅⋅≥，所以,i k j k a a a a << 所以11,i k j k a a a a --≤≤，所以1=+2k i j k a a a a -≤即12n n a a -≤，122332212, 2,..., 2, 2n n n n a a a a a a a a ----≤≤≤≤ ………………6分将上述不等式相加得21121+++2(+++)n n n a a a a a a --⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅所以1212+++n n a a a a -≤⋅⋅⋅………………9分(Ⅲ)最小值为147.首先注意到1=1a ，根据性质P,得到21=2=2a a 所以易知数集A 的元素都是整数.构造={1,2,3,6,9,18,36,72}A 或者={1,2,4,5,9,18,36,72}A ，这两个集合具有性质P, 此时元素和为147.下面，我们证明147是最小的和假设数集1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥，满足=1147nii S a=≤∑最小（存在性显然，因为满足=1147nii a≤∑的数集A 只有有限个）.第一步：首先说明集合1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥中至少有８个元素: 由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a a a ≤≤又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤<，所以8n ≥第二步：证明12336,18,9n n n a a a ---===：若36A ∈，设=36t a ，因为723636n a ==+，为了使得=1nii S a=∑最小，在集合A中一定不含有元素k a ，使得36<72k a <，从而136n a -= ；假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有,i j a a ，使得72n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠, 所以144n i j a a a ++=而此时集合A 中至少还有5个不同于,,n i j a a a 的元素，从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾，所以36A ∈，进而=36t a ，且136n a -=；同理可证：2318,9n n a a --== （同理可以证明：若18A ∈，则218n a -= 假设18A ∉.因为136,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得136n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以1144n n i j a a a a -+++=，而此时集合A 中至少还有４个不同于1,,,n n i j a a a a -的元素从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾，所以18A ∈，且218n a -= 同理可以证明：若9A ∈，则39n a -= 假设9A ∉因为218,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得218n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以12144n n n i j a a a a a --++++= 而此时集合A 中至少还有３个不同于12,,,,n n n i j a a a a a --的元素从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾，所以9A ∈，且39n a -= ）至此，我们得到了12336,18,9n n n a a a ---===. 根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形： ①8,1i j a a ==, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S >；②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则148S >；③6,3i j a a ==，此时集合={1,2,3,6,9,18,36,72}A 的和最小，为147； ④5,4i j a a ==，此时集合={1,2,4,5,9,18,36,72}A 的和最小，为147. (14)分。

北京市海淀区高三上期中考试数学试题(理)含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8．已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0），点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值；（Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案数学（理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

-北京市海淀区第一学期高三数学期中考试试题及答案(理科)

练习题（理工）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4,5A =，集合{}2,3,4B =，那么集合{}1,5等于（）(A) ()UA B (B)()UA B(C)()UA B (D) ()UAB(2) 若a ，∈b R ，则“22b a >”是“a b >”的 ( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3) 已知等比数列}{n a 中，154a a ，那么12345a a a a a 等于（）(A)64 (B) 64 (C) 32 (D) 32(4) 若函数()1x f x a -=的图象经过点（2，4），则()12f -的值是（）（A ）21-（B ）23 （C ）2 （D ）4(5) 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）（A ）50种（B ）60种（C ）120种（D ）210种(6) 已知关于x 的方程230x kx k -++=（k 为实数）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是（）(A)2 (B) 23(C)89(D) 1 (7) 若函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，且1yf x 是奇函数，则下列结论中错误的是（）(A) ()(1)10f x f x -++= (B) ()'()10f x x -≥ (C) ()()10f x x -≥ (D) ()()0lim 0x f x f →=(8) 已知等差数列{}n a 的通项公式()211,2,3n a n n =-=，，记11T a =，1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数（2,3,n =），那么2n T = （）(A) 21n + (B)1162n - (C) 25 436n n n n ⎧⎨-+≠⎩，=1，，1(D) 232n n +二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. (9) 2214lim 24x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭____________. (10) 已知复数1ia bi i=++（,a b R ，i 为虚数单位），那么a b.(11) 62)x的展开式中常数项是 . （用数字作答） (12) 已知等差数列{}n a 中，11S =，1995S =，那么10S = ___________. (13) 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立.若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是_________；若按甲、乙、甲…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是_________.(14) 定义在实数集R 上的函数)(x f ，如果存在函数为常数）B A B Ax x g ,()(+=，使得)()(x g x f ≥对一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 下列说法正确的有： .（写出所有正确说法的序号） ① 对给定的函数)(x f ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ② ex x g =)(为函数xe xf =)(的一个承托函数；③ 函数1)(2++=x x xx f 不存在承托函数； ④ 函数11451)(2+--=x x x f ，若函数)(x g 的图象恰为)(x f 在点)121,1(-P 处的切线，则)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共12分）已知关于x 的不等式组()220, 2330. xx x a x a -⎧>⎪+⎨⎪+--≥⎩，其中0a.（Ⅰ）求不等式①的解集；（Ⅱ）若不等式组的解集为空集，求实数a 的取值范围.(16)（本小题共13分）已知函数2()2f x x ax =-，把函数f x 的图象向左平移一个单位得到函数()g x 的图象，且()y g x 是偶函数. (Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 设函数()()[()1]F x f x g x ，求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值和最小值.(17)（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S (1,2,3,)n .（Ⅰ）证明数列n a 是等比数列并求通项n a ；（Ⅱ）求数列n na 的前n 项和n T .(18)（本小题共14分）某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2名，求他们观看的恰好是同一场比赛的概率；（Ⅱ）从观看比赛的学生中，任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.(19)（本小题共14分）设函数)1ln()(2++-=x b ax x x f ,,2R a ba .(Ⅰ) 当1=b 且函数)(x f 在其定义域上为增函数时，求a 的取值范围； (Ⅱ) 若函数)(x f 在1=x 处取得极值，试用a 表示b ； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，讨论函数)(x f 的单调性.(20)（本小题共14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数()0,1α∈以及D 中的任意两数12,x x ，恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的C 函数.（Ⅰ）试判断函数()21f x x =，()()210f x x x=<中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（Ⅱ）已知()f x 是R 上的C 函数，m 是给定的正整数，设(),0,1,2,,n a f n n m ==，且00,2m a a m ==，记12f m S a a a =+++. 对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值；（Ⅲ）若()f x 是定义域为R 的函数，且最小正周期为T ，试证明()f x 不是R 上的C 函数.练习题答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. ADCBC BBD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）14（10）1 （11）60 （12）30 （13）320 （3分）； 19400（2分）（14）①②三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由202xx ->+得 22x -<<. ……………………………………4分即不等式①的解集是{}22x x -<<. ……………………………………5分（Ⅱ）由()2330x a x a +--≥，0a得3x ≤-或x a ≥. ……………………………………9分 ∵原不等式组的解集为空集，∴不等式①与不等式②的解集的交集为空集.∴2a ≥. ……………………………………12分（注：若答案中少等号，只有2a >，扣1分）（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得()(1)g x f x =+22(1)21x a x a . ………………………………2分∵()yg x 是偶函数，∴10a -=.∴1a =. ……………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()2f x x x =-，2()1g x x =-. ∴43()()[()1]2F x f x g x x x . ……………………………………5分∴322'()462(23)F x x x x x . ……………………………………6分令 22(23)0x x得12330,2x x x . ……………………………………7分方法一：当x 在[]1,3上变化时，()'(),F x F x 的变化情况如下表……………………………………12分∴函数()yF x 在区间[]1,3上的最大值、最小值分别是27、2716-. ……………………………………13分方法二：函数()y F x 在区间[]1,3内只有一个极值点，因此函数()yF x 在区间[]1,3上的最小值是2716-，最大值是(1),(3)F F 中的较大者，即(3)27F .……………………………………13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）2+3=1+n n S S ，132(2,3,)n nS S n .113()n n n n S S S S +-∴-=-. 即132,3,nn a a n. ……………………………………4分∵12S =， ∴12a .又∵132n n S S +=+，∴26a .∴213a a . ……………………………………5分n a 是以2为首项，3为公比的等比数列. ……………………………………6分∴123(1,2,3,)n na n. ……………………………………7分（Ⅱ）∵011121212322323n n n T a a n a n -=⋅+⋅++⋅=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯，∴()21312322312323n n n T n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+⨯⨯. …………………………9分∴2122(1333)23n n n T n --=++++-⨯⨯.∴ ()21312n n n T -+=. ……………………………………13分（18）（本小题满分14分）（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选两名，他们恰好观看同一场比赛的事件为A .则2221064220C C C 33C 95P A. ……………………………………3分答：从观看比赛的学生中任选2名，他们观看的恰好是同一场比赛的概率是9533. （Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有看过足球比赛为事件 B.则310320C 2C 19P B,所以17119P B P B. ……………………………………7分答：从观看比赛的学生中，任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是1917. 解法2：设从观看比赛的学生中，任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的事件为C. 则122131010101010320C C C C C ()C P C 1917. ……………………………………7分答：从观看比赛的学生中，任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是1917. （Ⅲ）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4. ……………………………………8分由题意可知，每位教师观看每场足球比赛的概率均为31.所以 ……………………………………9分 ()811632310404=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()8132323113114=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()2788124323122224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()818323131334=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()811323140444=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. ……………………………………11分随机变量ξ的分布列为：……………………………………12分所以1632248140123481818181813E ξ. ……………………………………14分解法2：由题意可知，每位教师观看每场足球比赛的概率均为31. ……………………………………8分则随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ～)31,4(B .……………………………………10分随机变量ξ的分布列为：……………………………………12分所以14433E np ξ. ……………………………………14分（19）（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1=b 时，函数)1ln()(2++-=x ax x x f ，其定义域为1,.∴112)(++-='x a x x f . ……………………………………1分 ∵函数)(x f 是增函数，∴当1x 时，1()201f x x a x 恒成立. ……………………………………2分即当1x 时，121a xx 恒成立.∵当1->x 时，()112212211x x x x +=++-≥++，且当212x 时取得等号. ……………………………………4分∴a的取值范围为(,2]-∞. ……………………………………5分(Ⅱ) ∵()21bf x x a x '=-++，且函数)(x f 在1=x 处取得极值， ∴ 0)1(='f .∴24b a =-. ……………………………………7分此时24()21a f x x ax 42(1)()21a x xx .当412a ，即6a 时，()0f x '≥恒成立，此时1=x 不是极值点.∴()2462b a a a =-≠≠，且. ……………………………………8分（Ⅲ）由42(1)()2'()1a x xf x x 得① 当2a时，124-≤-a . ∴当11x -<<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. ∴当2a时，)(x f 的单调递减区间为)1,1(-，单调递增区间为),1(+∞.……………………………………10分 ②当62<<a 时，1241<-<-a . ∴当412a x --<<，或1x >时，()0f x '>；当412a x -<<时，()0f x '<. ∴当62<<a 时，)(x f 的单调递减区间为)1,24(-a ，单调递增区间为)24,1(--a ，),1(+∞.……………………………………12分③当6>a 时，124>-a . ∴当11x -<<，或42a x -<时，()0f x '>；当412a x -<<时，()0f x '<. ∴当6>a 时，)(x f 的单调递减区间为)24,1(-a ，单调递增区间为)1,1(-，),24(+∞-a . ……………………………………14分综上所述：当2a时，)(x f 的单调递减区间为)1,1(-，单调递增区间为),1(+∞；当62<<a 时，)(x f 的单调递减区间为)1,24(-a ，单调递增区间为)24,1(--a ，),1(+∞；当6>a 时，)(x f 的单调递减区间为)24,1(-a ，单调递增区间为)1,1(-，),24(+∞-a .（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()21f x x =是C 函数，证明如下：对任意实数12,x x 及()0,1α∈，有()()()()()121211fx x f x f x αααα+----()()()222121211x x x x αααα=+----()()()2212121121x x x x αααααα=----+- ()()21210x x αα=---≤.即()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-.∴()21f x x =是C 函数.()()210f x x x=<不是C 函数，证明如下：取13x =-，21x =-，12α=，则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>．即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-. ∴()()210f x x x=<不是C 函数. ……………………………………4分（Ⅱ）对任意0n m ≤≤，取1x m =，20x =，[]0,1nmα=∈. ()f x 是R 上的C 函数， ()n a f n =，且00,2m a a m ==∴()()()()()()121211n a f n f x x f x f x αααα==+-≤+-22nm n m=⨯=. 那么()212212f m S a a a m m m =+++≤⨯+++=+.可证()2f x x =是C 函数，且使得2n a n =(0,1,2,,)nm 都成立，此时2f S m m =+．综上所述，f S 的最大值为2m m +． ……………………………………9分（Ⅲ）假设()f x 是R 上的C 函数．若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. 若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-．那么()()()()()()121211f n fx x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=这与()()f m f n <矛盾.若()()f m f n >，记1x n =，2x n T =-，1n m Tα-=-也可得到矛盾． ∴()f x 在[)0,T 上是常数函数，又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.所以()f x 不是R 上的C 函数．……………………………………14分。

北京市海淀区2022-2023学年高三上学期期中数学试卷(含答案)

北京市海淀区2022-2023学年第一学期期中练习高三数学本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U C A = A.(0,2][3,)+∞U B.(0,2)(3,)+∞U C.(,2][3,)-∞+∞UD.(,2)(3,)-∞+∞U2. 在同一个坐标系中，函数log a y x =与x y a =(01)a a >≠且的图像可能是A BC D3. 已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ⋅=a bA.4B. C.4-D.-4. 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为 A.2 B.2- C.4 D.4-5. 已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是 A.||a b > B.||a b >C.2a ab >D.2ab b >6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均已Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称. 若3sin 5α=，则cos β= A.45-B.45 C.35-D.357. 已知函数()f x . 甲同学将()f x 的图像向上平移1个单位长度，得到图像1C ；乙同学将 ()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图像2C . 若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是A.12()log f x x =B.2()log f x x =C.()2x f x =D.1()()2x f x =8. 已知函数()e e x x f x a b -=+(0)ab ≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 若P 是ABC △内部或边上的一个动点，且AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的最大值是 A.14B.12C.1D.210. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A.9 B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京海淀区高三年级第一学期期中练习数学试卷(理扫描版)

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