《定积分及应用习题》PPT课件

1
tf3
( .x
2
)
dx1 a
6、下列积分中，值为零的是（ D）
（A） 1 x 2dx； 1
（C） 1 dx； 1
(B） 2 x 3dx； 1
（D） 1 x 2 sin xdx . 1
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15
7、 已知 f (0) 1 , f (2) 3 , f ' (2) 5,则 2 xf '' ( x)dx （B） 0
adx f
( t ) dt ,令
1 xsin 3 x
x
x 3 a1 f x(2td)xd，t 令
f (t) arctan
fx (xsi)n
t； t；
0
( （C C)）ddx21
x
lbn(f1 a1
( x
tx)2d)t
2
dx，
令f
(
1x)
x
2
u；
( D（D)）d 1
x2
1
xf2 d(xt，) d令t x
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例8. 设非负函数
曲线
与直线 及坐标轴所围图形
面积为 2 , (1) 求函数
(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
体积最小 ?
解: (1)
由方程得
即
故得
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11
又
(2) 旋转体体积
又 为唯一极小点, 因此
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y
o
1x
时 V 取最小值 .
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训练题
11
1. 1 x2 dx ( C )
a
a
证 令 abxt,则 xabt,dxdt
xat b, x bt a,
b
a
af(abx)d xbf(t) (d),t
b
b
a f(t)dta f(x)d,x
证毕
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8
例6. 求 d ax sint2dt.
dx lnx
解 原式= csin t2d t axsin t2dt
lnx
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4
例2.计算定积分
2
x dx
1 1 x2
解 原式= 0
x
2
dx
x
dx
1 1 x2
0 1 x2
注:被积函数 中含绝对值 符号的定积 分方法
1d(1x2) 1d(1x2)
0
2
22
1 1x2
0 1x2
1
2
1
1
1 (1 x2)2 1 (1 x2)2
21
21
20
20
2 1 5 125 2
第五章 定积分及其应用
习题课
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1
一.本章提要
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分
广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
af(x)d xF (b)F (a)
定积分精选的课件应ppt用
计 算 法
定 积 分 的
2
二.本章解题类型
1.利用牛-莱直接积分 2.利用换元积分法积分.注意:换元必换限;不换元 不换限 3.比较两个定积分的大小
（A）12；
（B）8；
（C）7；
（D）6.
8、设
f (x)
1 1
1 ,
x 1 ex
x0 ，则定积分
,x0
2 0
f ( x 1)dx=（A）
（A）1 ln(1 1)； e
（B）2 ln(1 e 2 ) ln 3；
的,求: (1)平面图形D的面积
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 (1)平面图形D的图形如图所示
y
ye
S 01(eex)dx(exex)|10 1
y ex
(2)
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e x2dy e(lny)2dy
1
1
o
x
令t lny 1 t 2etdt e2 0
e
另解(1)平面图形 A ln ydy 精选1课件ppt
ax3f(x2)dx1
a2
x(fx)d
x
0
20
证 令 x2t(x0)则 ,xt,d x1t1 2dtx 0 a
2
ax3f(x2)d
a2 3
1 1
x t2f(t) t 2d
t
t
0
0
2
0 a2
1
a2
1
tf (t)dt
a2
xf(x)dx
20
20
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7
例5 证明
b
b
f(x)dx f(abx)dx
4.证明定积分恒等式(可作为结论掌握,如被积函 数为奇偶时的积分等.) 5.变上限积分的导数 6.求平面几何图形的面积,求旋转体的体积 7.两类广义积分求解题
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3
例1.计算定积分 2 1 dx 2 x x2 1
x 22
解法一 令x=secu,则 dx=secu tanu du. u
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5
例3.比较
2
ln xdx
与
2
(1
x)dx
的大小
1
1
解一 令f(x)=1+x-lnx, 因为 f(x)11x1
∴当1<x<2时, f (x)>0.
xx
又因为f(x)在[1,2]上连续,∴f(x)在[1,2]上单增.
则, 当x>1时,f(x)>f(1)=2, 即 1+x>ln x
2
x3
=( C )
（A） 0 ；
（B）1；
（C）1 ； 3
（D） .
4.、定积分
1
e
x dx的值是（ D
）
0
（A）e ；
（B）1 ； 2
1
（C）e 2；
（D）2 .
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5 .下列式子中正确的是
(B )
5、下列积d 分中x ，使用变换正确的是 （ ）
(A)
（A）dx d0
(（BB)）dx3
c
x
cl n xsit2 n d tx caxsit2 n d tx
ln xsit2 n dt
c
ln x
l
n xx
ax
s
c
in t2dt ax
ax
x
sin(lxn)2 1 sian 2xaxln a x
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例7. 平面图形D是由曲线 y e x 及直线y = e 所围成
原式=
43sesecucustaenc2uudu1
3
du
4
u
3
4
3
4
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解法二
原式=
令 xu 1,则 dxu 12du ,
1
2 1
2
1 u2
du
1 ( 1 )2 1
uu
1
2 1
2
du 1 u2
x 22
u
11 22
1
arccosu
2 1
2
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解法三 令x21u ,则 x2u21(以下同学们自已完成).
( A) 2
(B) 2
(C) 发散
(D) 1 2
2、 d x ln(t 2 1) dt =（ A ）
dx 0
（A）ln( x 2 1)；
（B）ln(t 2 1)；
（C）2x ln( x 2 1)； （D）2t ln(t 2 1) .
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x sin t 2dt
3、lim 0 x0
2
故 1 ln xdx < 1 (1 x)dx
解二 因为 1 2 lx n d x lx n |1 2 1 2 d 2 x l2 n x |1 2 2 l2 n 1
2
(1x)d
x(1x)22925
1
2 22
1
2
2
故 1 ln xdx < 1 (1 x)dx
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例4. 证明