4.2算符的矩阵表示

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算符的矩阵表示_

例一电子处于态Ψ32m ，测力学量L2，测量值为几？测量值为几？ ∧ Lz可能取哪些值？可能取哪些值？在Lz表象中，表象中，Lz自身的矩阵形式是什么？自身的矩阵形式是什么？
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵厄密算符的矩阵是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行转置矩阵：转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换，的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm

态和力学量的表象

动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中，在动量表象中，动量算符就是动量自身是势能算符，是势能算符，即以坐标算符对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于二阶微分方程在坐标表象中的求解，不能简化求解过程在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符的表示的变换表象中：在 F 表象中：基矢为表象中：在 F' 表象中：基矢为
，算符的矩阵元为，算符的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数湮灭算符和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变，谐振子能量以为单位改变，将这个看作一个粒子即粒子数减一，使体系由态变到态，即粒子数减一，称湮灭算符即粒子数加一，使体系由态变到态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点容易写出边界条件，例如：容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态容易表述常用的势，例如：方势、线性势、容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势动量表象的优点某些势场下的薛定谔方程比较简单，某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解

20力学量算符和量子力学公式的矩阵表示

* m
x
n
dx
1
n
2
m,n1
n
2
1
dx
n dx
ih
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
Hmn
* m
Hˆ
n
dx
Enm,n
n
1 2
h
m,n
所以，它们的矩阵表示分别是
0 1 0 0
1 0 2 0
x
1
2
0 0
20
3
0 3 0
0
1 0 0
(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{g (x)}
(x,t) ag (t)g (x)dg
(x,t) bg (t)g (x)dg
代入到算符方程中，得
bg (t)g (x)dg ag (t)Fˆg (x)dg
上式两端做运算 g*， L得dx
bg (t)
bk (t) Fk1
F12 F22
Fk 2
F1k a1 (t)
F2k a2 (t)
Fkk ak (t)
或简写为 2．本征方程
bm (t) Fmnan (t)
n
Fˆ (x,t) (x,t)
F11 F12 F1k a1 (t) a1 (t)
（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符的Fˆ矩阵元一F定mn 是一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；
（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是该算符的本征值不会改变；
（4）如果的本征值为连续谱，则
Gˆg (x) gg (x)
{g (x构)}成正交归一完备基矢组。

N(四章2讲)算符与公式的矩阵表示

行列式等于零
F11 f F21 Fn1 F12 F22 f Fn 2 F1n 0 Fnn f (2)
久期方程
解久期方程可以得到所有本征值： f1 , f 2 ,..., f n ,...
把 f i 代入方程（1）可得属于本征值 f i 的本征函数
F an (t ) f n
2 n
2.本征值方程
F f
F11 F12 F1n a 1 (t ) a (t ) 2 F21 F22 Fn1 Fn 2 Fnn a n (t ) F11 f F21 Fn1 F12 F22 f Fn 2 Fnn f F1n a 1 (t ) a 2 (t ) f a n (t ) a 1 (t ) a ( t ) 2 0 a n (t )
F a (t )Fmn an (t )
* m m, n
* F am (t )Fmn an (t ) m, n
F11 F12 F21 F12 * * F a1 (t ), , am (t ) Fm1 （续7）
F1n a1 (t ) F1n a2 (t ) Fmn an (t )
F
b1 (t ) a1 (t ) b2 (t ) F? a2 (t ) a (t ) bn (t ) m
1.算符的矩阵表示

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.*ψ一定也是该方程的一个解；B.*ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA. ih∧z lB. ih∧z lC.i∧x l D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA.ψ 一定不是∧B 的本征态； B.ψ一定是 ∧B 的本征态； C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA.)1(21+N N ； B.)2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

第五章量子力学的矩阵形式和表象变换

例题：例题：一维粒子运动的状态是
Axe , x ≥ 0 ψ ( x) = { 0, x ≤ 0
求1）粒子动量的几率分布；）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量）
∞
− λx
∫x
0
ν −1 − µx
e
dx =
1
µ
ν
(ν − 1)! (ν ∈ N 0 )
解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化由于波函数为归一化，
∫
∞
0
( x − λx )e
2
− 2 λx
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为λ 考虑任意力学量本征值为λ1, λ 2,…, λ n…,对应的正交本本征值为对应的正交本则任意波函数ψ ）征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数ψ（x）按Q的的本征函数展开为本征函数展开为
P2 H = T +V = + Fx 2m
在动量表象中，的在动量表象中，x的算符表示为
1 ψ p (x) = e 1/ 2 (2πh)
i px x h
i px x h
d i 1 ψ p ( x) = x e 1/ 2 dp h (2πh )
d i ˆ = xψ p ( x) x = ih dp h
总结
直角坐标系中，矢量的方向由三个单位矢量基直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基三个单位矢量决定，大小由三个分量（基矢的系数）决定。矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。
在量子力学中，选定一个表象表象，在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。看作一组基矢看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。大小由系数决定。系数决定所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（希尔伯特（Hilbert）空间）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象

第四章表象理论1

(4.2-6)
因此算符在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符于表象基矢
在表象中的矩阵元依赖
2. 厄密矩阵对其取复共轭得到根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，用符号表示。即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件写成矩阵形式：对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢在表象基矢上的分量
构成了在表象中的
表示，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元：算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述

第四章矩阵力学基础——表象理论

第四章矩阵力学基础——表象理论部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第四章矩阵力学基础(Ⅱ>——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示(1> 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。

以一维的x 坐标为例。

算符本征方程是(4-1-1>本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得<4.1.2）展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。

(2> 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。

选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。

以动量算符为例，其本征态为：b5E2RGbCAP(4 .1 .3>将量子态按展开(4 .1 .4>C(px>就是动量表象中的波函数。

这正是第二章中已熟知的结果。

动量表象也可以用动量为自变量表示。

在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数p1EanqFDPw<4.1.5）在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2>式的方式给出。

(3> 任意表象设有某一线性厄M算符。

为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。

它的本征方程为(4.1.6>将波函数按算符的正交归一本征函数系展开<4.1.7）展开系数{an(t>}就是波函数必在Q表象中的表示。

它可由的正交归一性推出。

将(4.1.7>式两边分别乘并对空间积分，得DXDiTa9E3d(4 .1 .8>an(t>的物理意义是：当体系处在以(r,t>所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。

因此我们可以用一组系数RTCrpUDGiT{(t>}代替户(,t>来描述该状态。

将数列 a 1(t>，a2(t>，…，an(t>，…写成一个列矩阵，则(r,t>在Q表象的表示为5PCzVD7HxA<4.1.9）它的共轭矩阵是<4.1.10）归一条件是<4.1.10）(4.1.9>式是波函数在Q表象中的表示。

4.2 算符的运算规则

n2
[Aˆ , Bˆ n1] Bˆ s[Aˆ , Bˆ ]Bˆ n1s1
S0
[Aˆ , Bˆ n ] Bˆ [Aˆ , Bˆ n1] [Aˆ , Bˆ ]Bˆ n1
n2
Bˆ s1[Aˆ , Bˆ ]Bˆ n1s1 [Aˆ , Bˆ ]Bˆ n1
50
S0
15
n1Bˆ s[Aˆ , Bˆ ]Bˆ ns1 [Aˆ , Bˆ ]Bˆ n1
3) [Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ [Aˆ, Cˆ ] [Aˆ, Bˆ]Cˆ [Aˆ Bˆ, Cˆ ] Aˆ [Bˆ, Cˆ ] [Aˆ, Cˆ ]Bˆ
50
24
iLˆx Lˆy Lˆz iLˆxLˆz Lˆy iLˆz Lˆy Lˆx iLˆz LˆxLˆy
iLˆz Lˆy Lˆx iLˆy Lˆz Lˆx iLˆy LˆxLˆz iLˆxLˆy Lˆz
4) [Aˆ, [Bˆ, Cˆ]] [Bˆ, [Cˆ, Aˆ]] [Cˆ, [Aˆ, Bˆ]] 0
最后这式称为Jacobi恒等式.
注意对易关系与内积的区别： ( ,) *d
50
14
n 1
[Aˆ , Bˆ n ] Bˆ s[Aˆ , Bˆ ]Bˆ ns1
S0
证：n 1, 成立
设： n-1成立，即
xpˆ y pˆ y x 0 xpˆ z pˆ z x 0
ypˆ x ypˆ z
pˆ x pˆ z
y y
0 0
zpˆ x pˆ xz 0 zpˆ y pˆ y z 0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0 pˆ y pˆ z pˆ z pˆ y 0 pˆ z pˆ x pˆ x pˆ z 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0

第十七讲态的表象和算符的矩阵表示

F12 F22 Fn 2

F1m F2 m Fnm

a1 ( t ) a2 ( t ) am (t )
Φ=FΨ
（二）Q表象中力学量算符 F 的性质
（1）力学量算符用厄密矩阵表示
n
an ( t ) un * ( x )( x .t )dx
a1(t),a2(t),...,an(t), ... 就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。
1 * ( x , t ) ( x .t )dx
[ am ( t )um ( x )] * an ( t )un ( x )dx
ˆ Qun ( x ) Qn un ( x )
结论：
算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。
Q的矩阵形式
ˆ Qnm un * ( x )Qum ( x )dx Qm un * ( x )um ( x )dx Qm nm
Q1 0 Q 0
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。
矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量Ar A A 描述。
Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。
量子力学表象不同表象波函数
坐标系
基本矢量
→
不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
是 Q 表象的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。

第十七讲态的表象和算符的矩阵表示

Q2 0 0 Qn 0
Fnm

ˆ un * ( x ) Fum ( x )dx
ˆ [ un ( x )( Fum ( x )) * dx] * ˆ [ um * ( x ) Fun ( x )dx] *
~ Fmn * Fnm *
( F ) nm
所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵。
（2）力学量算符在自身表象中的形式
( x , t )

C ( p, t ) p ( x )dp

C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp p * ( x ) p ( x )dx
C ( p, t ) p * ( x ) ( x , t )dx

C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp ( p p )
ˆ Qun ( x ) Qn un ( x )
结论：
算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。
Q的矩阵形式
ˆ Qnm un * ( x )Qum ( x )dx Qm un * ( x )um ( x )dx Qm nm
Q1 0 Q 0
a (t )u ( x) a (t )u ( x)dq
q n
归一化则变为：
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
a
n
a1 ( t ) a2 (t ) an (t ) a (t ) q

m
ˆ bm (t ) un * um ( x )dx [ un * F ( x , i x )um ( x )dx]am ( t )

态和力学量的表象

.n n nc ψφ=∑第四章态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。

在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。

在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。

因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。

本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。

之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。

§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如，动量的本征函数表示组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ，展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的，2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。

(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。

我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。

动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。

在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。

这与三维空间中的坐标系类似。

表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。

所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。

线性谐振子与占有数表象

2
4
1 α 2h2 + + 2 + + + + + + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ µω [ a a + a a + a a + a a ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =− [a a + aa − a a − aa ] + 2 4α 4µ
4. a, a+, N 的物理意义
I. a, a+ 的物理意义
= n n|n> = n | n >
n 是N 算符的本征值, 描写粒子的数目，描写粒子的数目，称N为粒子数算符
ˆ 的本征方程对 H
应的本征值是
1 E = n + hω 2
8
Dirac符号
5. 占有数表象
以 |n> 为基矢的表象称为占有数表象为基矢的表象称为占有数表象
湮灭算符 a < n′ | a ˆ | n > =< n′ n | n − 1 >= n < n′ | n −1 > = 的矩阵元
由 a,
a+ 定义式
将算符 x, p 用新算符 a,
a+表示出来
Dirac符号
1 1 + + + + ˆ a ˆ +a ˆa ˆ−a ˆ a ˆ−a ˆa ˆ ] + hω [ a ˆ +a ˆ+ + a ˆa ˆ+a ˆ +a ˆ+a ˆa ˆ+] = − hω [ a 4 4 1 1 1 1 + + + + + ˆ = h ω [ N + ] ˆ a ˆ+a ˆa ˆ ] = hω[a ˆ a ˆ+a ˆ a ˆ + 1] = hω [ a ˆ a ˆ+ ] = hω [ a 2 2 2 2 ˆ =a ˆ +a ˆ 其中 N + + + ˆ = hω [ N ˆ + 1] H ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =1 [ a , a ] = a a − a a 称为粒子数算符

§4 态和力学量的表象

1．平均值公式将 Ψ ( x, t ) 按 Q 的本征函数展开，
Ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x)
n ∗ ∗ Ψ ∗ ( x, t ) = ∑ an ( t )u n (x ) n
(4.3.1a) (4.3.1b)
F = ∫ Ψ ∗ ( x, t ) F ( x,
h ∂ ) Ψ ( x, t ) dx i ∂x ∧ h ∂ ∗ = ∫ ∑ am (t ) u ∗ ( x ) F ( x, ) an (t ) u n ( x )dx m i ∂x mn
或简写为
F = Ψ + FΨ
(4.3.4)
2. 本征值方程
F ( x,
∧
h ∂ ) Ψ( x, t ) = λΨ ( x , t ) i ∂x
矩阵形式可由(4.2.7)式中令Φ = λΨ 得出
FΨ = λΨ
(4.3.5)
显示地写出为
F11 F21 M Fn1 M
F12 L F1n F22 L F2n M M Fn 2 L Fnn M L
(4.2.3)
引进记号
Fnm = ∫ u ∗ n ( x ) F (x ,
∧
h ∂ )u m ( x ) dx i ∂x
(4.2.4)
(4.2.3)可写为
bn ( t ) = ∑ Fnma m (t )
m
(4.2.5)
(4.2.5)就是(4.2.1)在 Q 表象中的表示，将它写为矩阵的形式
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 M =L bn ( t ) Fn1 M L F12 F22 L Fn2 L L F1m L F2m L L L Fnm L L L a1 ( t ) L a 2t ) L M L am ( t ) L M

高等量子力学第四章表象理论

K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组，表象它们的共同本征矢量作为基矢：它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系：完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不的数值。改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明：证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN

量子力学(第四章)

5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不同一个态可以在不同的表象中表示，波函数的形式也不同，但它们完全等价。同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象：动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示二、算符在自身表象中的表示三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量）任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标，动量及哈密顿例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿在能量表象中的矩阵表示。量H在能量表象中的矩阵表示。在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M

么正变换

矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求本征值和本征函数的方案: 2 1)求解本征方程 Q = Q a 即 ∑ n n 2) 使算符对应的矩阵对角化 Chap.4 _ 1st：表象与算符矩阵表示 n
2
§4-4 么(幺)正变换 Unitary transformation
引入：引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。表象取得适当可使得问题的讨论大为简化。表象取得适当可使得问题的讨论大为简化。为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象
n n n
n
n
* m
α
αLeabharlann * mαS11 S12 a1 矩 a 2 S21 S22 阵 = .... .... .... 形 an S S n1 n2 式 ... ..... ..... Chap.4 _ 1st：表象与算符矩阵表示
3
ϕ α ( x) = ∑ S ψ ( x)
∗
ϕ β ( x ) = ∑ Snβψ n ( x )
n
∗ mα ∗ m m
为了找到 Fmn 和 Fαβ 的联系，的联系，将 ϕ ( x ) 按 ψ ( x ) 展开：展开：
(A表象 ⇒ B表象 )
展 S = ψ ∗ ( x)ϕ ( x)dx β 开 nβ ∫ n 系 S ∗ = ψ ( x)ϕ ∗ ( x)dx α 数 mα ∫ m
∗ mα ∗ m m
为了找到 Fmn 和 Fαβ 的联系，的联系，将 ϕ ( x ) 按 ψ ( x ) 展开：展开：
(A表象 ⇒ B表象 )
展 S = ψ ∗ ( x)ϕ ( x)dx β 开 nβ ∫ n 系 S ∗ = ψ ( x)ϕ ∗ ( x)dx α 数 mα ∫ m