2021届浙江省高三第一次五校联考文科数学试卷

2021年浙江省高三第一次五校联考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集为R ，集合{}|21x A x =≥，{}2|680B x x x =-+≤，则()R A B =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤或D ．{}|24x x x 或2．在等差数列{a n }中，a 5=3,a 6=−2，则a 3+a 4+⋯a 8等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43． 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B. 若l α⊥，l m //，则m α⊥ C. 若l α//，m α⊂，则l m // D. 若l α//，m α//，则l m //4．设,a b 是实数，则“1a b >>”是“11a b a b+>+”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知函数y=f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （﹣2）=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．56．已知函数()cos (,0)4f x x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移34π个单位长度 B. 向右平移34π个单位长度 C. 向左平移38π个单位长度 D. 向右平移38π个单位长度7．设实数x ，y 满足24y x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则4z y x =-的取值范围是（ ）A ．[-8,-6]B ．[-8,4]C ．[-8,0]D ．[-6,0]8．如图，在正四棱锥ABCD S -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④9．设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()n a f n n N *=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A ． 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ． 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ． 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数f(x)= {2x−2−1,x ≥0x +2,x <0，g(x)=，则函数f[g(x)]的所有零点之和是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．函数的定义域为 ．12．已知1sin()43πθ+=，2πθπ<<，则cos θ= ． 13．已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 ．14．已知偶函数y =f(x)的图象关于直线x =1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x −1，则f(−32)= ．15．设1a ，2a ，…，n a ，…是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)a =-，且1(1,1)n n a a --=，则其中模最小的一个向量的序号n = ______．16．设a ，b ∈R ，关于x 的方程（x 2﹣ax +1）（x 2﹣bx +1）＝0的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若q ∈[13，2]，则ab 的取值范围为______． 17．已知正四棱锥V ABCD -可绕着AB 任意旋转，//CD 平面α，若2AB =，5VA =，则正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是________．三、解答题18．（本题满分14分）锐角ΔABC 的内角，，，的对边分别为，，，已知cos(B −A)=2sin 2C2. （1）求sinAsinB 的值； （2）若，，求ΔABC 的面积.19．（本题满分14分）如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠=，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求tan θ的最大值．20．（本题满分15分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(t −1)S n =t(a n −2)，（为常数，且）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =S n −1，且数列{b n }为等比数列． ①求t 的值；②若c n =(−a n )⋅log 3(−b n )，求数列{c n }的前n 和T n ． 21．设向量2(2,32)a λλα=+，(,sin cos )2mb m αα=+，其中λ，m ，α为实数． （1）若12πα=，求||b 的最小值；（2）若2a b =，求mλ的取值范围． 22．（本题满分15分） 已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈ （1）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值；（2）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()2f x ≤，试求出这个正数()M a ，并求它的取值范围.参考答案1．C 【解析】试题分析：因为{|21}{|0}xA x A x x =≥⇒=≥，2{|680}{|24}B x x x B x x =-+≤⇒=≤≤，所以{|24}R B C B x x x ==或，所以()R A B ⋂= {|024}x x x ≤或，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集与补集运算． 2．C 【解析】试题分析：因为a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=1，所以a 3+a 4+⋯+a 8=3(a 5+a 6)=3，故选C ．考点：等差数列的性质． 3．B. 【解析】试题分析：A ：根据线面垂直的判定可知A 错误；B ：根据线面垂直的判定可知B 正确；C ：l 与m 可能平行，可能异面，∴C 错误；D ：l 与m 可能平行，可能相交，可能异面，∴D 错误，故选B.考点：空间中直线与平面的位置关系. 4．A 【详解】 设1()f a a a =+，1()f b b b =+，由于 1()f x x x=+图象如下图．∴根据函数的单调性可判断：若“a ＞b ＞1”则“11a b a b+>+”成立， 反之若“11a b a b+>+”则“a＞b ＞1”不一定成立． 根据充分必要条件的定义可判断：“a ＞b ＞1”是“11a b a b+>+”的充分不必要条件，故选：A 5．D 【解析】试题分析：根据函数y=f （x ）+x 是偶函数，可知f （﹣2）+（﹣2）=f （2）+2，而f （2）=1，从而可求出f （﹣2）的值． 解：令y=g （x ）=f （x ）+x ， ∵f （2）=1，∴g （2）=f （2）+2=1+2=3， ∵函数g （x ）=f （x ）+x 是偶函数，∴g （﹣2）=3=f （﹣2）+（﹣2），解得f （﹣2）=5． 故选D ．考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用． 6．D. 【解析】试题分析：∵最小正周期为π，∴22ππωω=⇒=，∴()cos(2)sin(2)442f x x x πππ=+=++3sin(2)4x π=+，故()g x 向右平移38π个单位，即可得()g x 的图象. 考点：三角函数的图象和性质. 7．B 【分析】先画出满足不等式组24y xy x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩的可行域，并求出可行域各角点的坐标，y ﹣4|x |代入角点坐标，可得答案． 【详解】解：满足不等式组24y x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩的可行域如下图所示：由题意可知A 的坐标由4y x y x +=⎧⎨=⎩，A （2，2），此时y ﹣4|x |＝﹣6；B 的坐标由24y xy x =-⎧⎨+=⎩得B （﹣4，8）．y ﹣4|x |＝﹣8，O （0，0）此时y ﹣4|x |＝0， D （0，4），此时y ﹣4|x |＝4， y ﹣4|x |的取值范围是[﹣8，4]． 故选B ．【点晴】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中画出可行域，并分析目标函数的几何意义是解答的关键． 8．A. 【解析】试题分析：如下图所示，连结NE ，ME ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴//EN SB ，//MN SD ，∴平面//SBD 平面NEM ，∴//EP 平面SBD ，故③正确，又由正四棱锥S ABCD -，∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥平面NEM ，∴AC EP ⊥，故①正确，②④对于线段MN 上的任意一点P 不一定成立，故正确的结论为①③.考点：1.面面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质. 9．C. 【解析】试题分析：∵112a =，()n a f n =，∴1(1)2f =，又∵()()()f x f y f x y ⋅=+，令1y =，则1(1)(1)()()2f x f f x f x +=⋅=，∴112n n a a +=，∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，∴1()2n n a =，∴11(1)11221[,1)12212n n nS -==-∈-. 考点：1.函数与方程；2.等比数列的通项公式以及前n 项和. 10．B 【解析】 试题分析：由得或，由得x =1+√3，由，得x =−12，∴函数的所有零点之和是−12+1+√3=12+√3，则选B.考点：函数的零点. 11．{x|x >2且x ≠3}. 【解析】试题分析：∵{x −2>0x −2≠1 ⇒x >2且x ≠3，故定义域为{x|x >2且x ≠3}.考点：函数的定义域. 12．246. 【解析】试题分析：∵1sin()43πθ+=，2πθπ<<，∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14cos cos 4432326ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：三角恒等变形. 13．1603. 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体由一个倒放的直三棱柱和一个四棱锥组成，∴其体积为21116044444233⨯⨯⨯+⨯⨯=. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积. 14．−12.【解析】 试题分析：∵函数为偶函数且图象关于直线x =1对称，∴f(−32)=f(32)=f(12)=12−1=−12.考点：偶函数的性质. 15．1001或1002. 【解析】试题分析：设(,)n n n a x y =，∵1(2014,13)a =-，且1(1,1)n n a a --=，∴数列{}n x 是首项为2014-，公差为1的等差数列，数列{}n y 是首项为13，公差为1的等差数列，∴2015n x n =-，12n y n =+，∴222222||(2015)(12)24006201512n a n n n n =-++=-++，∴可知当1001n =或1002时，||n a 取到最小值.考点：1.向量的坐标运算；2.等差数列的通项公式；3.二次函数的性质. 16．1124,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab ，再利用换元法转化为二次函数，根据q 的范围和二次函数的性质，确定ab 的最值即可求出ab 的取值范围． 【详解】解：设方程（x 2﹣ax +1）（x 2﹣bx +1）＝0的4个实数根依次为m ，mq ，mq 2，mq 3， 由等比数列性质，不妨设m ，mq 3为x 2﹣ax +1＝0的两个实数根，则mq ，mq 2为方程x 2﹣bx +1＝0的两个根，由韦达定理得，m 2q 3＝1，m +mq 3＝a ，mq +mq 2＝b ，则231m q = 故ab ＝（m +mq 3）（mq +mq 2）＝m 2（1+q 3）（q +q 2）31q =（1+q 3）（q +q 2）2211q q q q =+++， 设t 1q q =+，则221q q+=t 2﹣2， 因为q ∈[13，2]，且t 1q q =+在[13，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t ∈[2，103]， 则ab ＝t 2+t ﹣221924t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以当t ＝2时，ab 取到最小值是4， 当t 103=时，ab 取到最大值是1129， 所以ab 的取值范围是：11249⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．17．4⎤⎦.【解析】试题分析：由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为3π，侧面上的高为，设正四棱锥的底面与平面所成角为，当06πθ≤≤时投影为矩形，其面积为22cos 4cos 23,4θθ⎡⎤⨯=∈⎣⎦，当26ππθ≥>时，投影为一个矩形和一个三角形，此时与平面所成角为23πθ-，正四棱锥在平面上的投影面积为 )124cos 22cos 3sin 3cos 23sin 3,23233ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎡+⨯⨯-=+=+∈ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭，当232ππθ≥≥时投影面积为12222cos 2cos 3,2233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⨯⨯-=-∈ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，综上，正四棱锥V ABCD -在面内的投影面积的取值范围是3,4⎡⎤⎣⎦.考点：立体几何中的旋转与投影问题.18．（1）；（2）3√2+√32. 【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变形将已知条件中的式子作等价变形，即可求解；（2）利用正弦定理结合sinAsinB =12可求得sinA =√32，sinB =√33，从而可进一步求得的值，即可求解.试题解析：（1）由条件cos(B −A)=1−cosC =1+cos(B +A)，∴cosBcosA +sinBsinA =1+cosBcosA −sinBsinA ，即sinAsinB =12；（2）∵，又∵sinAsinB =12，解得sinA =√32，sinB =√33，∵是锐角三角形，∴cosA =12，cosB =√63，sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =3√2+√36， S Δ=12absinC =12×3×2×3√2+√36=3√2+√32. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形.19．（1）详见解析；（2【解析】试题分析：（1）连接AC ，根据条件可证得CE FH //，再由线面平行的判定即可得证；（2）作FIAB ⊥垂足为I ，有FI AD ⊥，得FI ⊥面ABCD ，∴FIH ∠是直线FH 与平面ABCD 所成的角，而3tan FI FHI IH ∠==，因此问题等价转化为求IH 的最小值，即可求解.试题解析：（1）连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴H 是AC 的中点，有F 是AE 的中点，∴FH 是ACE ∆的中位线，∴CE FH //，而⊄FH 面CDE ，⊂CE 面CDE ，∴//FH 面CDE ；（2）∵面⊥ABCE 面ABE ，交线为AB ，而AB DA ⊥，∴⊥DA 面ABE ，作FI AB ⊥垂足为I ，有FI AD ⊥，得FI ⊥面ABCD ，∴FIH ∠是直线FH 与平面ABCD 所成的角，sin 603FI AF ==，∴3tan FI FHI IH ∠==，当BD IH ⊥时，IH 取到最小值522，从而max 6(tan )FHI ∠=.考点：1.线面平行的判定；2.线面角的求解. 20．（1）a n =2t n ；（2）①t =13，②T n =32−2n+32⋅3.【解析】试题分析：（1）考虑到，因此可将条件中的式子转化为数列的一个递推公式，从而求解；（2）①以b 22=b 1b 3为出发点可以求得t =13，再验证数列是否为等比数列即可；②可得c n =(−a n )⋅log 3(−b n )=2n3n 可看成一个等比数列与一个等差数列的乘积，故考虑采用错位相减法求解即可.试题解析：（1）由(t −1)S n =t(a n −2)，及(t −1)S n+1=t(a n+1−2)，作差得a n+1=ta n ， 即数列{a n }成等比，a n =a 1t n−1，∵a 1=2t ，故a n =2t n ；（2）①∵数列{b n }为等比数列，∴b 22=b 1b 3，代入得(2t +2t 2−1)2=(2t −1)(2t +2t 2+2t 3−1)，整理得6t 3=2t 2解得t =13或t =0（舍），故t =13当t =13时，b n =S n −1=−13n 显然数列{b n }为等比数列，②c n =(−a n )⋅log 3(−b n )=2n3n ， ∴T n =231+432+633+⋯+2n 3n ，则13Tn =232+433+634+⋯+2n 3n+1， 作差得23T n=23+232+233+⋯+23n −2n3n+1=1−13n −2n 3n+1=1−2n+33n+1，故T n =32−2n+32⋅3n.考点：1.数列的通项公式；2.等比数列的性质；3.错位相减法求数列的和. 21．（1）min 5||b =；（2）[]6,1m λ∈-．【解析】试题分析：（1）首先根据条件求得b ，从而求得2||b 的表达式，然后根据二次函数的性质求得||b 的最小值；（2）首先利用向量相等的条件求得,m λ的关系式，然后利用两角和的正弦公式求得m 的范围，从而求得mλ的取值范围． 试题解析：（1）当12πα=时，，2251||4416m b m =++，min 5||b =． （2）由题知：22m λ+=，22sin 2m λαα=+，2494sin 222sin(2)3m m πααα-+==+，解得124m ≤≤，而22mmλ=-，所以[]6,1m λ∈-．考点：1、平面向量的模；2、两角和的正弦公式． 22．（1）1x =；（2）()max,011,1252,23a a f x a a a <≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤<⎩；（3）()22a M a a a ≥⎪⎪=⎨+⎪<<⎪⎩，()(M a ∈.【解析】试题分析：（1）将1=a 代入，解方程即可求解；（2）()()()2211x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥⎪=⎨-+<⎪⎩，注意到几个关键点的值：a f =)1(，a f 25)2(-=，1)(=a f ，(0)()=1f f a =，2()124a a f =-，最大值在)1(f ，)2(f ，)(a f 中取，对a 的取值分类讨论，判断其单调性即可；（3）分析题意可知问题等价于给定区间内2)(-≥x f 恒成立，，)(a M 是方程212x ax -+=-的其中一个根，对a 的取值进行分类讨论即可求解.试题解析：（1）当1a =时，由()f x x =得11x x x --+=，解得1x =；（2）当10≤<a 时，)(x f 在]2,1[上递减，故1)()(max ==a f x f ；当21<<a 时，)(x f 在],1[a 上递增，]2,[a 上递减，故()()max 1f x f a ==；当32<≤a 时，)(x f 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且2ax =是函数的对称轴，由于213022a a a ⎛⎫⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()max 252f x f a ==-，综上()max,011,1252,23a a f x a a a <≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤<⎩；（3）∵当),0(+∞∈x 时，()max 1f x =，故问题只需在给定区间内2)(-≥x f 恒成立，由2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2124a -≤-时，)(a M 是方程212x ax -+=-的较小根，即a ≥()(2a M a ==，当2124a->-时，)(a M 是方程212x ax --+=-的较大根，即320<<a 时，()2a M a =，综上，(),22a M a a a ≥⎪⎪=⎨+⎪<<⎪⎩，()(M a ∈.考点：1.二次函数综合题；2.分类讨论的数学思想.。