高等代数课件-§1 仿射坐标系中平面的方程,两平面的相关位置

D1 不妨设 A 0 ，取Байду номын сангаас M 1 , 0, 0 及两个向量： 1 A1
A1x B1 y C1z D1 0
B1 C1 1 ,1, 0 , 2 , 0,1 A1 A1
显然它们不共线。由点M1和1 ，2决定的平面 1的方程为：
x0 , y0 ,0 ,因为（2.7）的第一个方程有无穷多个解，
所以它可以取到另一个解 x x1 , y y1，于是，
点 x1, y1,0 是1上的点，但不是 2上的点，从而两
平面1与 2相交。
由已知条件得，存在一个实数 0，使得 （2）
A2 A1 , B2 B1 , C2 C1 , D2 D1
A 1 B 0 C 0 0,
关于 e 2 或 e 3平行于平面 的情形可类似讨论。
原点O(0,0,0)在平面 上的充要条件是D=0。
5.定理2.2 在空间中取定一个仿射坐标系，则 平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意一 个三元一次方程表示一个平面。 证明：定理的前半部分已经证完。现证后半部分： 任给一个三元一次方程
X2 X1 ,C Z2 Y1
X2 , Y2
D ( Ax 0 By 0 Cz 0 ).
(2.3)称为平面

的普通方程。
3. 定理2.1
则向量 ( r , s, t )平行于平面 的充分必要条件是
Ax By Cz D 0(2.3)
Ar Bs Ct 0.
于是方程组（2.6）成为
A1 x B1 y C1 z D1 0 D2 A1 x B1 y C1 z 0 D2 ，所以此方程组无解，即两平面无 因为 D1
公共点，从而两平面平行。

由已知条件得，存在实数 0，使得 （3）
A2 A1 , B2 B1 , C2 C1 , D2 D1
于是方程组（2.6）成为：
A1 x B1 y C1 z D1 0 A1 x B1 y C1 z D1 0
显然，第一个方程组的解全是第二个方程组的解， 反之亦然，从而两个平面重合。
必要性：利用上述结果，采用反证法即可。
1.3 三平面恰交于一点的条件
（2.1）
该式称为平面 的参数方程， , 称为参数， 它们可取任意实数。
2.又 M 0 M
, v1 ，2 共面的充分必要条件是 v
x x0 y y0 z z0 X1 Y1 Z1 X2 Y 2 0, Z2
（2.3）
即 Ax By Cz D 0,
Y1 其中 A Z1 Y2 X1 ,B Z2 Z1
1. 命题2.1 方程分别为： 设三个平面在仿射坐标系中的
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0, A3 x B3 y C 3 z D3 0.
则这三个平面恰交于一点的充分必要条件是
A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C 2 0. C3
1.2 两平面的相关位置
（1） 1与 2相交的充分必要条件是它们方程 中的一次项系数不成比例； （2） 1与 2平行的充分必要条件是它们方程 中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系数 成比例； （3） 1与 2重合的充分必要条件是它们方程 中所有系数成比例.
A1 x B1 y C1 z D1 0 2.6 A2 x B2 y C2 z D2 0
A1 x B1 y D1 0 (2.7) A2 x B2 y D2 0
因为该方程组的系数行列式不为零，从而有唯一解：
x x0 , y y0
于是x x0 , y y0 , z 0是方程组（2.6）的解，即
1与 2有公共点，且第三个坐标为零的公共点仅有
设平面 的方程为
（2.4）
∥平面 的充分必要条件是 ,v 1 ,v 2 证明 共面，从而 r X1 X 2 s Y1 Y 2 0, t Z1 Z 2 即 Ar Bs Ct 0.
4.推论2.1 设平面 的方程是（2.3）,则平面 平行于x轴（或y轴，或z轴）的充分必要条件是 A 0 (或 B 0，或 C 0 )；平面 通过原点的 充分必要条件是 D 0。 证明 因为 e 1 的坐标是(1,0,0)，所以 e 1∥平 面 的充分必要条件是
证明：充分性： 设 （1） 1与 2 的方程中一次项系数不成比例，则 坐标为 A , B1, C1 的向量1与坐标为 A2 , B2 , C2 1 的向量 2不共线，从而知下述三个行列式
A1 A2
B1
B2 A2
,
A1
C1 B1 C1 , C2 B2 C2
不全为零，不妨设第一个行列式不为零。则在方 程组中令z=0，得到
第二章
空间的平面和直线
§1 仿射坐标系中平面的方程， 两平面的相关位置
1.1 平面的参数方程和普通方程 1. 取定一个仿射标架 O; e1 , e2 , e3 。已知一个
点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,向量 v1 ( X1 , Y1 , Z1 ) 和向 量v2 ( X 2 , Y2 , Z 2 )，其中 v 1 与 v 2不共线,求由v 1 和 v 2，M0 确定的平面的方程。 易知点 M ( x, y, z ) 在平面 上的充分必要
条件是 M0 M与v1 , v2共面。
于是存在唯一的一对实数 ， 使得：
M 0 M v1 v 2 .
用坐标写出即得：
x x 0 X 1 X 2 , y y 0 Y1 Y 2 , z z Z Z . 0 1 2
4 2 x 1 0
7. 练习：证明不共线的三个定点（xi ,yi , zi）, i=1,2,3,确定的平面方程为 x x1 x 2 x 3 y y1 y 2 y 3 0. z z1 z 2 z 3 1 1 1 1
1.定理2.3 取定一个仿射标架，设平面 1 和 2的 方程分别是：
D1 x A1 y0 z 0 B1 A1 1 0 C1 A1 0 1 0
即：
A1x B1 y C1z D1 0
从而原三元一次方程表示一个平面1，它过点 M1且和向量1 ，2平行。
6. 例2.1
画出下列平面
(1) x 2 y z 0, (2) x y z 1 0 (3) y 2 z 2 0