《自动控制原理》第三章 3-5 稳态误差计算
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自动控制原理课程中稳态误差求取方法之探索
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…一…～ ～ 置 姜… ～
２ ０ 年 一季度 部分食 黯价格 调蠢袭 ０８
过 程 中 以学 生学 为 主 ，他 们 不会 一碰 到 问题 就 问老 师 ，学生 之 问会 相互 讨论 ， 学生有 了主动探 究 知识 的苗 头 。笔者 发现 上课不 需要 讲得 面面 俱 到 ，教得 过精 过细 ，这 样 反而 限制学 生的学 习主 动性 。适 当留些 空 白给 学 生 ，教师 只要 给予 适当
还 需 要 完 善 ， 还 需要 吸取 更 多 的经 验 ，在 实 践 中 不 断地 探
４效果分析
学生有 了学 案 ，可 以免去 预 习时漫 无边 际 的浏览 ，容 易 索创 新 。 因 ） （的极点在虚轴上 ， ５ 不满足第二种计算方法的约束条件， 故 不可用。 更 为了ｆ 于计算， 将所学知识前后贯通， 运用频率响应法， 可得
的点拨 即可 ，把 课 堂还 给学 生 ，让学 生成 为课 堂 的主体 。在
图９
复习 时学 生有 了学 案 ，有纲 可循 ，不 会再 对课 本 内容眉 毛胡 子一把 抓或 走弯 路 。
七、 学习笔记
当然 ，并不是所有 的教学 内容都适合使用 学案 ，教师 应 该 有 所 选 取 。此外 ，在 学 案 的教 学 应 用 中， 有很 多环 节
Ｉ ７８ ｌ ９ ９ ％ ｌ ６ ８ ．２ １ ４ ．５ ｌ ８ １ Ｉ ２ ８ ， ７ ０ ８ ２， ２ ‘ｌ ．９ ｝ ｆ ．３ ６《 １ ０ ｆ ． ｝ ６． Ｉ ｆ６ １ ９ Ｉ １ １ ．２ ｌｉ７ ０ １６ ％ ｌ １ ５５
Ａｓ （ ｔ 、 ｉ ｏ＋ ｎ）
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２ ０ 年 一季度 部分食 黯价格 调蠢袭 ０８
过 程 中 以学 生学 为 主 ，他 们 不会 一碰 到 问题 就 问老 师 ，学生 之 问会 相互 讨论 ， 学生有 了主动探 究 知识 的苗 头 。笔者 发现 上课不 需要 讲得 面面 俱 到 ，教得 过精 过细 ，这 样 反而 限制学 生的学 习主 动性 。适 当留些 空 白给 学 生 ，教师 只要 给予 适当
还 需 要 完 善 ， 还 需要 吸取 更 多 的经 验 ，在 实 践 中 不 断地 探
４效果分析
学生有 了学 案 ，可 以免去 预 习时漫 无边 际 的浏览 ，容 易 索创 新 。 因 ） （的极点在虚轴上 ， ５ 不满足第二种计算方法的约束条件， 故 不可用。 更 为了ｆ 于计算， 将所学知识前后贯通， 运用频率响应法， 可得
的点拨 即可 ，把 课 堂还 给学 生 ，让学 生成 为课 堂 的主体 。在
图９
复习 时学 生有 了学 案 ，有纲 可循 ，不 会再 对课 本 内容眉 毛胡 子一把 抓或 走弯 路 。
七、 学习笔记
当然 ，并不是所有 的教学 内容都适合使用 学案 ，教师 应 该 有 所 选 取 。此外 ，在 学 案 的教 学 应 用 中， 有很 多环 节
Ｉ ７８ ｌ ９ ９ ％ ｌ ６ ８ ．２ １ ４ ．５ ｌ ８ １ Ｉ ２ ８ ， ７ ０ ８ ２， ２ ‘ｌ ．９ ｝ ｆ ．３ ６《 １ ０ ｆ ． ｝ ６． Ｉ ｆ６ １ ９ Ｉ １ １ ．２ ｌｉ７ ０ １６ ％ ｌ １ ５５
Ａｓ （ ｔ 、 ｉ ｏ＋ ｎ）
稳态误差的计算范文
稳态误差的计算范文稳态误差是指在系统达到稳定状态后，输出量与输入量之间的差异。
在控制系统中，我们希望输出与输入尽可能接近，因此稳态误差需要尽量减小。
计算稳态误差的步骤如下：1.确定控制系统类型控制系统的类型决定了稳态误差的计算方法。
常见的控制系统类型有比例控制系统、比例积分控制系统和比例积分微分控制系统。
2.给定输入信号选择适当的输入信号作为参考输入。
3.确定误差函数根据控制系统的类型，确定误差函数。
对于比例控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，其中e(t)为误差，r(t)为参考输入，y(t)为输出。
对于比例积分控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，且e(t)要累加积分。
4.计算稳态误差根据误差函数，计算系统的稳态误差。
常见的稳态误差包括静态误差、静态偏差和静态增益。
- 静态误差：在系统稳定状态下，输出值与参考输入值之间的差异。
常用符号e_ss表示。
静态误差是稳态误差的一个综合指标，不仅与系统类型有关，还与具体的输入信号有关。
- 静态偏差：系统稳定状态下的误差值，即e_ss = lim(t→∞)e(t)。
-静态增益：系统稳定状态下，输出与参考输入之比的比值。
常用符号K_p表示。
静态增益是稳态误差与参考输入之间的线性关系。
5.误差补偿如果稳态误差过大，可以通过引入补偿措施来减小误差。
常见的误差补偿方法有增益补偿、积分补偿、微分补偿和前馈补偿等。
计算稳态误差的方法根据具体的控制系统类型有所不同，下面将介绍常见的三种控制系统类型及其稳态误差的计算方法：1.比例控制系统的稳态误差计算对于比例控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)。
当输入信号为阶跃信号时，稳态误差为静态偏差，可以通过以下公式计算：e_ss = lim(t→∞)e(t) = lim(t→∞)(r(t) - y(t))2.比例积分控制系统的稳态误差计算对于比例积分控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，且e(t)要累加积分。
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—5稳态误差
2020年9月6日6时59分
2
一、稳态误差的定义
系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与 实际值之差。系统误差的定义有两种形式： （1）系统误差（从输出端定义） (s) Cr (s) C(s)
Cr(s)为系统输出量的希望值，其定义为E(s)=0时系 统的输出，C(s)为输出量的实际值。
（2）作用误差（从输入端定义）E(s) R(s) B(s) 作用误差就是给定输入R(s)与主反馈信号B(s)之差。
§ 3-6 控制系统的稳态误差
系统的稳态分量反映系统跟踪输入信号的准 确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差描述。在 系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能 指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形式 有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种 传动机械的间隙、摩擦等因素有关。
本章只讨论由于系统结构、参数及外作用等因 素所引起的稳态误差。 ➢ 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） ➢ 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）
式中
1 er (s) 1 G(s)H (s)
称为给定输入作用下系统的误差传递函数。
应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系 统的稳态误差。
2020年9月6日6时59分
9
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
R(s)
1
lim s
R(s)
s0 1 G开 (s)
稳态误差可表示为ess1 1 Kp因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差取决于
系统的稳态位置误差系数。
2020年9月6日6时59分
12
对于0型系统，v=0
自动控制原理第三章课后习题 答案()
3-1 设系统的微分方程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C `闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK ！用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T sTs Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 203-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
自动控制原理 自动控制原理 第三章3：线性定常系统的稳定误差计算P
∞ v R00 ess = K 0
ν =0 ν =1 ν ≥2
13
e ss
∞ R v 00 = K 0
ν = 0 ν = 1 ν ≥ 2
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入 Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入,但存在一个稳态位置误差 型系统能跟踪斜坡输入, Ⅱ 型及 Ⅱ 型以上系统 , 稳态时能准确跟踪斜坡输入 型及Ⅱ型以上系统, 信号,不存在位置误差. 信号,不存在位置误差.
( 3 66 )
K p : 静态位置误差系数
K G (s)H (s) = s
20102010-7-11
ν
∏1 i= ∏1 j=
n ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K
p
K ,ν = 0 = ∞ ,ν ≥ 1
10
第三章 线性系统的时域分析法
K
p
K ,ν = 0 = ∞ ,ν ≥ 1
2 s→ 0
K s v2
s→ 0
20102010-7-11
第三章 线性系统的时域分析法
17
误差系数 类型
静态位置误 差系数
Kp
静态速度误差 系数
Kv
静态加速度误 差系数
K
a
0型
K
∞ ∞
0
0
Ⅰ型
K
∞
0 K
Ⅱ型
20102010-7-11
第三章 线性系统的时域分析法
18
输入
类型
r(t ) = R0
R0 1+ K
e
ss
ν 与 K R (s)
系统型别 开环增益有关 输入信号
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第三章
e - 由σ%= h(tp) －h(∞)100
S得1,2σ=%
ξωn11-0ξ02%
e sin( ) （0 ﹤ ξh≤(0t.8)）=h1(∞－t)s √31.%5-nξ2(1取5％误 -ξ差 ωnt带） ts 4ω.5nd(取 t+2％ β误差 11带）
特征方程的两个根（闭环极点） S1,2 nn 21
2
课程回顾（2）
① ξ＞1时，（过阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。
j
j
h(t)1
1
1t
eT 1
1
1t
eT 2,(t0)
T 2/T 11 T 1/T 21
S1 S2
ts ~ f ( T1 )
0
T1
T2
0
t T1/2T4(1 . 2ts5 3) .3T1 ,
ddh峰t(值t时)间11tζ 2p：(为ζc(nω t))eζnω ts i nd(tω β)ω deζnω tc o sd(tω β)
dd根h第t据(一t极次ω )值出n1e现定ζ ζ 峰2理nω t值有ζ 时：间s。idnt(β ω )1ζ 2c o sd(tω β )
h ( )
即σ%完 决全 定 由 ,σ , 8 %；
4.调节时间 t s
写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统 十，经常采用下列近似公式。
当阻尼比 00.8时
ts
3.5(取5％误差带）
n
ts
4.5(取2％误差带）
n
9
除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工 作在ξ=0.4～0.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振 荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此有关性能 指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻 尼工作状态进行的。
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
北京科技大学《自动控制原理》课件-稳定性与稳态误差
1)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的平 衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。 2) 对于线性定常系统当A为非奇异矩阵式，平衡 状态唯一，当A为奇异时，则会有无穷多个。
3) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
4) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡
a
点处系统的稳定性可能是不同的。
4.2 线性系统稳定性的基本概念
行。从而完成劳斯表的排列。
①关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到， 而且其根的数目总是偶数的。
②若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就 论 结 等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有 共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。
系统稳态 误差定义
第一 方法
第二 方法
线性 非线性
系统稳态 误差计算
4.1 引子
A.Lyapunov(1857-1918)，俄国 数学家（Chebyshev 的学生， Markov的同学），在他的博 士论文中，Lyapunov系统地研 究了由微分方程描述的一般运 动的稳定性问题，建立了著名 的Laypunov方法，他的工作 为现代控制及非线性控制奠定 基础。
如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表
示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳 定。
4.3线性定常系统稳定性的代数判据
例4.3-2 已知系统的闭环特征方程式为
S 3 2S 2 S 2 0
试判别相应系统的稳定性。
解： 列劳斯表 S 3
1
1
S2
2
2
S1
0( )
S0
2
由于表中第一列 上面元素的符号与其下面元素的符号相同，
3) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
4) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡
a
点处系统的稳定性可能是不同的。
4.2 线性系统稳定性的基本概念
行。从而完成劳斯表的排列。
①关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到， 而且其根的数目总是偶数的。
②若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就 论 结 等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有 共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。
系统稳态 误差定义
第一 方法
第二 方法
线性 非线性
系统稳态 误差计算
4.1 引子
A.Lyapunov(1857-1918)，俄国 数学家（Chebyshev 的学生， Markov的同学），在他的博 士论文中，Lyapunov系统地研 究了由微分方程描述的一般运 动的稳定性问题，建立了著名 的Laypunov方法，他的工作 为现代控制及非线性控制奠定 基础。
如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表
示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳 定。
4.3线性定常系统稳定性的代数判据
例4.3-2 已知系统的闭环特征方程式为
S 3 2S 2 S 2 0
试判别相应系统的稳定性。
解： 列劳斯表 S 3
1
1
S2
2
2
S1
0( )
S0
2
由于表中第一列 上面元素的符号与其下面元素的符号相同，
自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差
ans=
2.0000
-2.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i -0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i
由于有1个正实部根的特征根， 所以，系统不稳定。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
3.4.2 MATLAB求控制系统的单位阶跃响应
有差系统 无差系统
准确跟踪 系统
§3-3 控制系统的稳态误差
2.单位斜坡输入 xr (t) t
Xr
(s)
1 s2
e lim s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
lim
s0
1
s WK
s
1 s2
1
lim
s0
sWK
s
若令
Kv
lim
s0
sWK
s
则 e 1
Kv
速度 误差系数
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型以上系统
当输入r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的 静态误差为零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
lim
s0
sN1X r s
sN K
稳态误差取决于Kk与N，而N越高稳态精度（准 确性）越高，稳定性越差。
二、典型输入情况下系统的给定稳态误差及误差系数
1.单位阶跃输入
xr
t
1 0
t0 t0
1 X r (s) s
§3-3 控制系统的稳态误差
e
lim
s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
自动控制原理第3章
例1. 系统特征方程式为
s 6 s 12 s 11 s 6 0
4 3 2
例2. 系统特征方程式为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
5 4 3 2
特殊情况:
1) 劳斯行列表中某一行左边第一个数为零,其余 不为零或没有. 例: 例:
s 4 3s 3 s 2 3S 1 0
-
1/s
k/(s+5)(s+1)
例:系统特征方程式:
2 s 3 T s 2 10 s 100 0 s
4
按稳定要求确定T的临界值.
六.系统的相对稳定性
§3-3 控制系统的稳态误差
一.误差及稳态误差的定义 系统的误差为 e(t)=被控量的希望值－被控量的实际值 常用的误差定义有两种
二.线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统微分方程为:
a0
d dt
n 1
n
n
c (t )
d a dt
1
n 1
c (t ) n 1
d a dt
2
n2 n2
c (t )
d a dt
3
n3 n3
c ( t ) ........
a
d dt
m m
c (t )
a
n
c (t )
第三章 控制系统的时域分析法
§3-1 引言
一. 典型输入信号 1、阶跃函数
r(t)
r (t ) {
0 A
t0 t0
A
t
2、斜坡函数
r(t) {
r(t)
0 At
t0 t0
斜率＝A
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
03 自动控制原理—第三章(2)
一,稳态误差的定义
1. 系统误差ε(t)定义为:系统响应的期望值c0(t)与实际值c (t)之差,即: ε (t ) = co (t ) c (t ) ε (s ) = co (s ) c(s ) 通常以偏差信号 R ( s ) H ( s ) C ( s ) 为零来确定希望值,即:
R (s ) H (s )CO (s ) = 0
3.6 系统稳态性能分析
评价一个控制系统的性能时,应在系统稳定的前提 下,对系统的动态性能与稳态性能进行分析.如前所 述,系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标 来评价.而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价, 即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价. 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑 制扰动信号的能力和准确度.稳态误差主要与系统的 结构,参数和输入信号的形式有关.
上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号 种类和大小之间的关系,统称为系统静态误差系数. 4.控制系统的型别与无差度阶数 系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成,即:
G K (s) = K sν
∏ (τ s + 1)∏ (τ
i =1 n1 i k =1 n2 j j =1 l =1
2.传递函数: Gc(s)=Kp(1+τds) 若偏差正处于下降状态,则 d τ d e (t ) < 0 dt 说明比例微分控制器预见到偏差在减小,将产生一个适当大小的控制 信号,在振荡相对较小的情况下将系统输出调整到期望值. 因此,利用微分控制反映信号的变化率(即变化趋势)的"预报"作 用,在偏差信号变化前给出校正信号,防止系统过大地偏离期望值和 出现剧烈振荡的倾向,有效地增强系统的相对稳定性,而比例部分则 保证了在偏差恒定时的控制作用. 可见,比例—微分控制同时具有比例控制和微分控制的优点,可以根 据偏差的实际大小与变化趋势给出恰当的控制作用. PD调节器主要用于在基本不影响系统稳态精度的前提下提高系统的相 对稳定性,改善系统的动态性能.
3-5线性系统的稳态误差计算
er (t ) L1 ER ( s)
en (t ) EN (s) EN ( s) N (s)
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
EN ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1
ess essr essn 3
（2）r(t ) 1(t ), n(t ) sin 4t，求ess
es (t ) essr
1 s 1 1 1 = lim s s 0 1 1 2 1 s 3 s 1
1 1 3 essn (t ) sin(4t 1800 cos 1 ) 3 5 5
则：essnຫໍສະໝຸດ 1 s N 1 lim s N ( s ) lim N (s) s 0 s 0 K KN N N s
注意：当系统开环传递 函数G1 ( s)G2 ( s) H (s)含有积分环节 (1型及以上系统 )时， 上述计算式成立。
四、改善系统稳态性能的措施
• 增加开环传函Gk(s)的型别：有利于消除ess，增加G1(s)的 型别； • 增加开环传函Gk(s)的增益：有利于减小ess，增加G1(s)的 增益； • 为了减小扰动误差，可以增加偏差点到扰动作用点之间积 分环节个数或放大系数 • 放大系数不能任意放大，积分环节也不能太多（一般2个 ），否则系统将会不稳定。
s0
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
essn lim en (t ) lim sEN ( s) lim s EN ( s) N ( s)
t s0 s0
G2 ( s) H ( s) EN ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
en (t ) EN (s) EN ( s) N (s)
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
EN ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1
ess essr essn 3
（2）r(t ) 1(t ), n(t ) sin 4t，求ess
es (t ) essr
1 s 1 1 1 = lim s s 0 1 1 2 1 s 3 s 1
1 1 3 essn (t ) sin(4t 1800 cos 1 ) 3 5 5
则：essnຫໍສະໝຸດ 1 s N 1 lim s N ( s ) lim N (s) s 0 s 0 K KN N N s
注意：当系统开环传递 函数G1 ( s)G2 ( s) H (s)含有积分环节 (1型及以上系统 )时， 上述计算式成立。
四、改善系统稳态性能的措施
• 增加开环传函Gk(s)的型别：有利于消除ess，增加G1(s)的 型别； • 增加开环传函Gk(s)的增益：有利于减小ess，增加G1(s)的 增益； • 为了减小扰动误差，可以增加偏差点到扰动作用点之间积 分环节个数或放大系数 • 放大系数不能任意放大，积分环节也不能太多（一般2个 ），否则系统将会不稳定。
s0
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
essn lim en (t ) lim sEN ( s) lim s EN ( s) N ( s)
t s0 s0
G2 ( s) H ( s) EN ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
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能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
26
二、系统的闭环特征方程为， s3 3s 2 2s k 0
试确定使系统稳定的k值范围以及系统产生等幅振荡的 频率。
(0 K 6,当k 6时系统产生等幅振荡， 频率 2)
三、系统的闭环特征方程为：
s5 3s4 12s3 20s2 35s 25 0
间 和超调量% (;n 3, 1/ 3,ts 3.5, % 32.932 %)
（2）若要求阶跃响应的峰值时t间p 0.5 秒，单位斜
坡响应的稳态误差ess 0.1 ，求k，kt 。
R(s) E(s)
k
C(s)
--
s(s 2)
（参考答案：
kt s
k 355.6, kt 0.094; k 44.4, kt 0.055;）
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
R Lims2G(s)H (s)
Lim s2R
s0
K Lim s
s0
s0
ka
Lims2G(s)H (s),
s0
ess
R ka
系统 静态加速度 加速度误差
型别 误差系数
ka
ess
R ka
0
0
I
0
II
K
R
K
III
0
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
解：En
T1T2s3
k2Ti s Ti s2 k1k2Ti s
k1k2
N s
n(t) n01(t),ess 0;
n(t )
n1t, ess
n1Ti k1
扰动作用下稳态误差的物理意义。
习题： 3-18
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
18
第三章：重点回顾
重要概念：系统动态性能指标(td,tr,tp,ts,%)的定义，主导极 点，稳定性，系统型别。
开环传递函数：G(s)H (s)
i 1 n
s (Tjs 1)
0 0型系统 1 I型系统 2 II 型系统
j 1
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
H s
......
ess
sR(s) Lim s0 1 G(s)H (s)
Li m s 1R(s)
s0
K Lims
s0
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3. 输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
2
1. 误差与稳态误差的定义
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
H s
R(s) 1
E'(s)
C(s)
H(s)
G(s)H (s)
输入端定义的稳态误差 e(t) 输出端定义的稳态误差 e’(t)=希望输出-c(t)
ess
R 1 kp
0 k0 0
R
1 k
I k 0
0
II k
0
III
0
斜坡输入 r(t)=Rt
速度误差
R ess kv
R k
0
0
加速度输入
r(t)= 1 Rt 2 2
加速度误差
ess
R ka
R k
0
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
13
3. 输入作用下稳态误差计算…
稳态误差的物理意义（单位反馈系统）
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
R Lim sG(s)H (s)
Lim s1R
s0
K Lim s
s0
s0
kv
LimsG(s)H (s),
s0
ess
R kv
系统型 别
静态速度 误差系数
kv
速度误差
ess
R kv
0
0
I
K
R
K
II
0
III
0
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
9
3. 输入作用下稳态误差计算…
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能结原(附构理加稳性性态误误误差差差）死 摩 系输区 擦 统入等 ， 结类非 间 构型线 隙、性形式
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
C1 ( s)
H 2 (s)
H1(s)
主回路/副回路；主调节器/副调节器 串级控制；一次扰动/二次扰动；
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
17
5. 减小或消除稳态误差的措施…
N(s)
例3
R(s)
E(s) k(1
1)
-
Ti s
k2
C(s)
s(T2s 1)
求n(t) n01(t)和n(t) n1t的稳态误差
11
3. 输入作用下稳态误差计算…
（3）加速度作用下的稳态误差…
r (t )
R ess Ka
c (t )
0
t
加速度误差不是加速度上存在稳态误差
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
12
3. 输入作用下稳态误差计算…
系统 型别
静态误差系数
阶跃输入 r(t)=R1(t)
位置误差
k p kv ka
15
4. 扰动作用下稳态误差…
R(s)
-
E(s)
K1
N(s)
K2 C(s) s(T2s 1)
R(s)
R0 s
,
1, ess
0
N (s)
n0 s
,
En (s)
Cn (s)
K2 N (s) s(T2s 1) K1K2
essn
Lim
s0
sE
n
(
s)
n0 K1
物理意义
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
G1(s)
N(s)
C(s)
G2 ( s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn ( s )
G2 (s)
1 G1(s)G2 (s)H (s)
N (s)
输入端误差定义
En
(s)
Cn
(
s)
H
(s)
1
G2 (s)H (S) G1(s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
ess
()
Lim
s0
sE
(s)
Lim
s0
1
sR(s) G(s)H
(s)
ess () : 终值误差 条件：sE(s)在右半平面及虚轴上解析（原点除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
1 Ts
C(s)
r(t) sin t 求ess
E(s) R(s)
22
m
K(is 1)
开环传递函数：G(s)H (s)
i 1
n
s (Tjs 1)
j 1
0 0型系统
1 I型系统
2 II 型系统
......
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
23
欠阻尼 0<<1 响应振荡收敛，系统有两个负实部复根 临界阻尼 ＝1 响应直接收敛，系统有两个相等的负实根 过阻尼 >1 响应直接收敛，系统有两个不等的负实根 稳定的充分必要条件：
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
21
渐进稳定：若线性控制系统在初始扰动的影响下， 其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡 工作点)。 不稳定：若在初始扰动影响下，系统的动态过程随 时间的推移而发散。
临界稳定：若系统的响应随时间的推移而趋于常值 或等幅正弦振荡
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
1. 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部或闭环极点 均位于左半S平面
2. 系统单位脉冲零状态响应随时间t->无穷，而->0，则 系统稳定
3. 稳定 劳思表中第一列各值>0
稳定的必要条件:闭环特征方程的系数同号并不缺项
能源与动力学院 第三章 (s) Ts 1
td 0.69T tr 2.2T ts 3T
K1K 2
E(s) R(s) C(s) 1 (s)R(s)
T1T2s3 (T1 T2 )S 2 T1T2s3 (T1 T2 )s 2
6
单位负反馈系统开环传递函数如下，试指出其型
别
G(s) 2(s 2)
(s 0.5)(s 1)
(1)
G(s)
2(s 2) s2 (s 0.5)(s 1)
(2)
0 2
(3)
G(s)
2(s 8)( s s 4 (s 1)