分类汇编——排列组合与二项式定理

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35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

排列组合二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。

在排列中，每个元素只能使用一次。

例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。

排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。

排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。

与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。

例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。

组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。

组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。

二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。

a和b表示两个变量，n表示幂。

在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。

二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。

二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。

排列组合二项式定理

排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。

排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。

排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。

对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。

排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。

此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。

此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。

对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。

组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。

它用于展开一个二项式的幂。

二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。

三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。

在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。

举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。

二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。

2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析

产党成立 100 周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛
主席派人来》4 首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2 首合唱歌曲
中共选出 4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（
A．14
B．48
C．72
）
D．120
【答案】D．
【解析】根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选 1 首，安排在最后，有 2 种安排方法，
专题 13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理 T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、
下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安
令 x＝﹣1，则 f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得 a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理 T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、
排方案的种数为（
A．126
）
B．360
C．600
D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排 4 个活动（上午 2 个，下午 2 个）分配给甲，乙，故有 A62A42
＝360 种，
第二类，上下午共安排 3 个活动，（上午 2 个下午 1 个，或上午 1 个下午 2 个）分配给甲，

(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档

n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结一．直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个CC（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。

分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理：5 4A2 A2 =2405 42．特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下5 4 4的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个，其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法292928 113 二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。

排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。

全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---排列组合二项式定理

2019年全国高考理科数学分类汇编——排列组合二项式定理1.（2019全国1卷理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. 516B. 1132C. 2132D. 1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．2.（2019全国3卷理科）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．3.（2019江苏卷）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【答案】（1）5n =；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.4.（2019天津卷理科）83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。

高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理

高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将对这两个知识点进行总结和说明。

1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。

组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。

排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。

1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。

二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。

二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。

其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。

二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。

它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。

3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。

例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。

高三数学高考知识点汇编——排列、组合、二项式定理

2010届高考数学知识点汇编（全套）排列、组合、二项式定理一、复习内容1. 掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题．2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题．3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．二、主要内容及典型题例(一)本来的主要内容结构(二)加法原理与乘法原理这是两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关，与元素的顺序有关；后者与分步有关，与元素的顺序无关；．例１ (1)有红、黄、白色旗子各n面（n＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？(1) 解因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3种信号；③升三面旗，有3×3×3种信号．所以共有39种信号．(2) 解法计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有＝15(种)评析 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．（三）排列应用题例２ 4位学生与2位教师并坐合影留念．(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．各有多少种不同的坐法？（1）22A ；（2）22A 44A ；（3）144 评析 (1) “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．(2) 对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．(3) 关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的．例３用0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：(1)首数是奇数的五位偶数？(2) 五位奇数？(3)五位偶数？（四）排列、组合的混合问题排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题. 例6 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?(1) 分为三堆,每堆2本；(2) 分为三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；(3) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；(4) 分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本.评析本例属分配问题，解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均分组的数目）的阶乘．例６ (1)分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有多少种不同的选法？(2) 将6名报告员分配到4所学校去做报告，每校至少1人，有多少种不同的分配方法？评析两小题看以类似，但第(1)小题的选取元素为学校；第(2)小题的选取元素为报告员，解题时要注意区分分组时，组合的对象——即元素是什么．（六）二项式定理内容：1 n b a )( 的展开式、项数、b a ,的指数。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题13 排列组合与二项式定理含解析

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题13 排列组合与二项式定理一、选择题1.(2019·全国3·理T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为+2=4+8=12.故选A.2.(2018·全国3·理T5) 的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由展开式知T r+1=(x2)5-r(2x-1)r=2r x10-3r.当r=2时,x4的系数为22=40.3.(2017·全国1·理T6)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】(1+x)6的二项展开式通项为T r+1=x r,(1+x)6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×x2=15x2,另一部分是x4=15x2,故(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】(2x-y)5的展开式的通项公式T r+1=(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】D【解析】先把4项工作分成3份有种情况,再把3名志愿者排列有种情况,故不同的安排方式共有=36种,故选D.6.(2016·四川·理T2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4【答案】A【解析】二项式(x+i)6展开的通项T r+1=x6-r i r,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为x4i2=-15x4,故选A.7.(2016·全国2·理T5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【答案】C【解析】由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.9.(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【答案】D【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个,其他位置共有种排法,所以其中奇数的个数为3=72,故选D.10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有个.故满足条件的五位数共有=(2+3)=5×4×3×2×1=120个.故选B.11.(2015·全国1·理T10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】C【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式通项为T r+1=(x2+x)5-r y r(r=0,1,2,…,5).由题意,y的幂指数为2,故r=2.对应的项为(x2+x)3y2=10(x2+x)3y2.记(x2+x)3的展开式通项为T s+1=(x2)3-s x s=x6-s(s=0,1,2,3),由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为10=30.12.(2015·陕西·理T4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】(x+1)n的展开式通项为T r+1=x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为=15,解得n=6,故选B.13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29【答案】D【解析】由条件知,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.14.(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,故共有×5=75种选法,选C.15.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】D【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D.16.(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】B【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为.因此不同的排法的种数为=120+96=216.17.(2014·重庆·理T9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【答案】B【解析】第1步,先排歌舞类节目,有=6种排法,排好后有4个空位.第2步,排另3个节目,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分两类情况:①中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目,有=4种排法,最后一个小品类节目排两端,有2种方法.共有6×4×2=48种排法.②中间两个空位安排2个小品类节目,有=2种排法,排好后有6个空位,选1个将相声类节目排上,有6种排法.共有6×2×6=72种排法.所以一共有48+72=120种排法.18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10【答案】C【解析】含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15, 故含x3项的系数是15.19.(2014·湖南·理T4) 的展开式中x2y3的系数是( )A.-20B.-5C.5D.20【答案】A【解析】由已知,得T r+1=(-2y)r=(-2)r x5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.20.(2014·浙江·理T5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项公式为T h+1=y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h.∴f(m,n)=.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.21.(2013·全国1·理T9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】由题意可知,a=,b=,∵13a=7b,∴13·=7·,即,解得m=6.故选B.22.(2013·山东·理T10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【答案】B【解析】构成所有的三位数的个数为=900,而无重复数字的三位数的个数为=648,故所求个数为900-648=252,应选B.23.(2013·全国2·理T5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】D【解析】因为(1+x)5的二项展开式的通项为x r(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为x2+ax·x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.24.(2013·辽宁·理T7)使 (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】展开式中的第r+1项为(3x)n-r3n-r,若展开式中含常数项,则存在n∈N*,r∈N,使n-r=0,故最小的n值为5,故选B.25.(2013·大纲全国·理T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.56B.84C.112D.168【答案】D【解析】因为(1+x)8的展开式中x2的系数为,(1+y)4的展开式中y2的系数为,所以x2y2的系数为=168.故选D.26.(2012·湖北·理T5)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=( )A.0B.1C.11D.12【答案】D【解析】∵512 012可化为(52-1)2 012,其二项式系数为T r+1=522 012-r·(-1)r.故(52-1)2 012被13除余数为·(-1)2 012=1,则当a=12时,512 012+12被13整除.27.(2012·安徽·理T7)(x2+2) 的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3【答案】D【解析】通项为T r+1=(-1)r=(-1)r.令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)的展开式的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3.28.(2012·全国·理T2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种【答案】A【解析】将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.29.(2012·辽宁·理T5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!【答案】C【解析】完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有,故选C.30.(2012·安徽·理T10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4【答案】D【解析】6人之间互相交换,总共有=15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D.31.(2011·全国·理T8) 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】令x=1得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.原式=x·,故常数项为x·(2x)2(2x)3=-40+80=40.32.(2010·山东·理T8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.36种B.42种C.48种D.54种【答案】B【解析】若乙排在第二位,则有种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、四、五位,此时共有种方案,故共有=42(种).二、填空题1.(2019·天津·理T10)（2x-8的展开式中的常数项为【答案】28【解析】T r+1=(2x)8-r（r=·28-r·（-r·x8-4r.需8-4r=0,r=2.常数项为26（-2=26=28.2.(2018·天津·理T10)在的展开式中,x2的系数为.【答案】【解析】展开式的通项为T r+1=x5-r.令5-=2,可得r=2.所以的展开式中的x2的系数为.3.(2018·浙江·T14)二项式的展开式的常数项是.【答案】7【解析】通项为T r+1=,当r=2时,=0.故展开式的常数项为=7.4.(2018·上海·T3)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).【答案】21【解析】由(1+x)7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的x2项的系数为=21.5.(2018·全国1·理T15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)【答案】16【解析】方法一:①恰有1位女生时,有=12种选法.②恰有2位女生时,有=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有种选法,3人全是男生时有种选法,所以至少有1位女生入选时有=16种选法.6.(2018·浙江·T16)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分两类:第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260种.7.(2017·山东·理T11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .【答案】4【解析】二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r··x r,令r=2,得32·=54,解得n=4.8.(2017·浙江·T13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .【答案】16 4【解析】由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.9.(2017·天津·理T14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)【答案】1080【解析】①没有一个数字是偶数的四位数有=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.10.(2017·浙江·T16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)【答案】660【解析】由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有=660种.11.(2016·全国1·理T14)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)【答案】10【解析】二项式的通项公式T r+1=(2x)5-r25-r,令5-=3,解得r=4,故x3的系数为×25-4=10.12.(2016·天津·理T10) 的展开式中x7的系数为.(用数字作答)【答案】-56【解析】展开式通项为T r+1=(x2)8-r=(-1)r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以展开式中x7的系数为(-1)3=-56.13.(2015·广东·理T12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)【答案】1560【解析】共有=40×39=1 560条毕业留言.14.(2015·天津·理T12)在的展开式中,x2的系数为.【答案】【解析】由题意知T r+1=x6-r··x6-2r·.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系数为.15.(2015·重庆·理T12)的展开式中x8的系数是(用数字作答).【答案】【解析】展开式的通项公式T r+1=·(x3)5-r··2-r·(r=0,1,2,…,5).令15-r=8,得r=2,于是展开式中x8项的系数是·2-2=.16.(2015·全国2·理T15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .【答案】3【解析】∵(1+x)4=x4+x3+x2+x+x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.17.(2014·安徽·理T13)设a≠0,n是大于1的自然数, 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .【答案】3【解析】由题意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.18.(2014·北京·理T13)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.【答案】36【解析】产品A,B相邻时,不同的摆法有=48种.而A,B相邻,A,C也相邻时的摆法为A在中间,C,B在A的两侧,不同的摆法共有=12(种).故产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-12=36(种).19.(2014·全国1·理T13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)【答案】-20【解析】(x+y)8的通项公式为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.20.(2014·全国2·理T13)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)【答案】【解析】设展开式的通项为T r+1=x10-r a r,令r=3,得T4=x7a3,即a3=15,得a=.21.(2013·浙江·理T11)设二项式的展开式中常数项为A,则A= .【答案】-10【解析】T r+1=)5-r··(-1)r·=(-1)r=(-1)r.令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3=-=-10.22.(2013·北京·理T12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.【答案】96【解析】分给同一人的2张参观券连号的情况共有12,23,34,45四种情况,从4人中选一人得到连号参观券,有4种方法.其余3张分给3人可以全排列,有种方法,所以不同的分法有4=96种.23.(2013·大纲全国·理T14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人,方法有种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有=480(种).24.(2013·浙江·理T14)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).【答案】480【解析】按C的位置分三类情况:①当C在第一或第六位时,有=120种排法;②当C在第二或第五位时,有=72种排法;③当C在第三或第四位时,有=48种排法.所以共有2×(120+72+48)=480种排法.25.(2012·福建·理T11)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= .【答案】2【解析】∵T r+1=a r x4-r,∴当4-r=3,即r=1时,T2=·a·x3=4ax3=8x3.故a=2.26.(2012·浙江·理T14)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= .【答案】10【解析】由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,可解得27.(2012·大纲·理T15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.【答案】56【解析】∵,∴n=8.T r+1=x8-r x8-2r,当8-2r=-2时,r=5.∴系数为=56.28.(2011·北京·理T12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)【答案】14【解析】可用排除法,这个四位数每一位上的数字只能是2或3,则共有24个,而这其中要求数字2或3至少出现一次,所以全是2和全是3不满足,即满足要求的四位数有24-2=14个.。

排列组合、二项式定理

排列组合、二项式定理知识梳理一、两个基本计数原理：1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

（加法原理）2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

（乘法原理）二、排列排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

注意：1、排列的定义中包含两个基本内容：①“取出元素”；②“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。

2、根据排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A mn-=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅= !12)2()1(n n n n A n n =⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅=三、组合组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合。

组合数公式：（组合数公式1—适用于计算）（组合数公式2—适用于化简证明）组合数公式性质：性质1: m n n m nC C -= 性质2:111+++=+k n k n k n C C C四、二项式定理：1、二项式定理 ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n Cm n -=011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b---+=++++++右边的多项式叫做(a +b )n 的二项展开式,其中 C n r a n-r b r 叫做二项展开式的通项，记作T r +1 ,C n r 叫做二项式系数.2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二、基础自测 1、 8个人排两排，第一排3人，第二排5人，共有___种排法2、设n 为自然数，则=-++-++---n n n k n k n k n n n n C C C C ）（）（12122110 . 3、已知92007200820092009⨯⨯⨯⨯= m A ，则m 的值为3、1211除以100的余数是 .三、典题精析例1（1）三边长分别为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为______（2）在一块并排10垄的田地中选择2龙分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，要求两种作物之间间隔不得小于6垄，则不同的种植方法有_______种小结：按元素的性质进行分类，按事件发生的过程分步正确使用两个基本计数原理的前提是要清楚俩个基本计数原理的使用条件，合理进行分类和分步。

二项式定理与排列组合的知识点总结

二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。

本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。

一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。

排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。

1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。

主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。

有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。

而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。

同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。

二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。

它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。

C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。

具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。

1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。

这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。

2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。

比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。

四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。

排列组合与二项式定理

B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法，共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
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1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式定理、概率与统计
1．计数原理分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法．分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．

排列组合和二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列数1.全排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。

特别地，时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。

2.排列数:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A n m(m,n都是正整数)表示。

所谓排成一列是指与顺序有关。

3.排列数公式:A n m=n(n−1)(n−2)⋯(n−(m−1))m个数=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1).(应用公式时，要注意最后一项)4.阶乘:n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1.规定：0!=1.因此，排列数公式可改写为：A n m=n!(n−m)!.5.公式：A n m+mA n m−1=A n+1m,证明如下：A n m+mA n m−1=n!(n−m)!+m n!(n−m+1)!=n! (n−m)!×[1+mn−(m−1)]=n!(n−m)!×n+1n−(m−1)=(n+1)![(n+1)−m]!=A n+1m.二、组合数1.组合:从n个不同对象中取出m个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.2.组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C n m(m,n都是正整数)表示.所谓并成一组是指与顺序无关。

3. 组合数公式：C n m =(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m×(m−1)×⋯×2×1=n!(n−m )!m!. 4. 公式1:C n m =C n n−m .5. 公式2:C n m +C n m−1=C n+1m .6. 公式3：A m m +A m+1m +⋯+A 2m m =A 2m+1m （排列数和组合数的关系，结合C n m +C n m−1=C n+1m 和A n m =m!C n m 可证得。

排列、组合与二项式定理公式

排列、组合与二项式定理公式排列与组合定义排列组合从n 个不同的元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中，任取m （m ≤n ）个元素并称一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

计算公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==性质（1）0！=1（2）m nA =!()!n n m -（1）mn nm n C C -=．规定：10=n C ；（2）m n C 1+＝m n C +1-m n C(3) C n 0+C n 1+…+C n n =2n特征排列：即取且排，与顺序有关相同的排列：元素相同且顺序一致组合：即取不排，与顺序无关相同的组合：元素相同，不计顺序二项式定理(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n（1）（a+b ）n 的项数：展开式共有n+1项（2）（a+b ）n 的通项公式：T k+1=C nk a n-k b k（3）（a+b ）n 的二项式系数：n nn n C C C 10, （4）（a+b ）n的最大系数项：当n 是偶数时，中间的一项 2nnC 取得最大时；当n 是奇数时，中间的两项21-n nC ，21+n nC相等，且同时取得最大值。

排列组合二项式定理

1 2 3 4 5 (2)证明： 39 C10 38 C10 37 C10 36 C10 35 C10 310
3 C 3 C 3 C 3C 1024
4 6 10 3 7 10 2 8 10 9 10
⑶求证： 3 2
n
n 1
(n 2)(n N , n 2)
例、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处 5 理. C29 4095 解:采用“隔板法” 得:
混合问题，先“组”后“排”
例：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 次测试是次品。故有： 3C 1 A4 576 种可能。 C
1.3：二项式定理
奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和： C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n n 1
赋值法
x 2 5 1.求： ( ) 的有理项 2 x
4 3 2 ( 2.化简：x 1) 4( x 1) 6( x 1) 4( x 1) 1
A 6(种)
3 3
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？
1.3：二项式定理
1、二项定理: 一般地，对于n N*有

福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编：排列组合二项式定理

福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编排列组合二项式定理一、二项式定理1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ 2、（三明市B 片区高中联盟校2015届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a =▲▲▲▲▲3、（漳州市八校2015届高三第二次联考）设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为（） A .20-B. 20C.160-D. 1604、（龙海二中2015届高三上学期期末）在二项式1()nx x-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是___参考答案1、322、9253、C4、－565、6、7、8、9、 10、 11、 12、 13、二、排列组合1、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（） A ．48对 B ．24对 C ．12对 D ．66对2、（厦门市2015届高三上学期质检检）设函数)],1,0[(,)!12()1(...!5!3)(*12153N n x n x x x x x f n n n ∈∈--+-+-=--，则（）.A .)(sin )(32x f x x f ≤≤B . )(sin )(23x f x x f ≤≤C .)()(sin 32x f x f x ≤≤D .x x f x f sin )()(32≤≤3、（宁化一中2015届高三第四次阶段考）甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙相邻的排法种数是（）A．6 B．8 C．12 D．244、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有种.参考答案1、B2、A3、C4、1005、6、7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（） A ．120B ．60C ．30D ．203．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．234．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．238．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.810．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．4511．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（） A ．6B ．6-C ．12D ．12-2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24参考答案考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【详细分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（） A ．120B ．60C ．30D ．20【详细分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【答案详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（） A ．30种 B ．60种 C ．120种 D ．240种【答案】C【详细分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【答案详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种【详细分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【答案详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选：D.6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【详细分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【答案详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==. 故选：D.8．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【详细分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【答案详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【名师点评】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【答案详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为102 5103=+.故选：C.11．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【详细分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【答案详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【名师点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【详细分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【答案详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【名师点评】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【详细分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【答案详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【名师点评】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要详细分析元素是否可重复，其次要详细分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（） A ．6 B ．6- C ．12 D ．12-【答案】A【详细分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【答案详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=. 故选：A.2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【详细分析】利用赋值法可求024a a a ++的值. 【答案详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【详细分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【答案详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【名师点评】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【详细分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【答案详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【名师点评】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及详细分析能力，属于中档题.5．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【详细分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【答案详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【名师点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．。

排列组合与二项式定理精华总结可用

排列组合知识点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。

二、排列：元素是有顺序的（1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--= 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1 111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C（3）：含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.三、组合：元素没有顺序之分（1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）：组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmmn mn -=+--==（3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②mn m n m n C C C 11+-=+（4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合（1）直接法（2）间接法（3）捆绑法（4）插空法（5）占位法（6）调序法（7）平均法（8）隔板法（9）定位问题（10）指定元素排列组合问题五、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：项数：共有1+n 项；系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，二项式系数2121+-=n nn nCC 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n nn n n n n n n n n C C C C C C C C例题释疑1：由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）1442：现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ． 152 B. 126 C. 90 D. 543：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 A.18 B.24 C.30 D.364：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36 5：名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C6：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 7：平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将20名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？:（!2/102022818C C C P =）8：隔板法：常用于解正整数解组数的问题.（即共有多少组解）例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x 反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C9：定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.10：组合问题中分组问题和分配问题（1）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r r A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以k kA . 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/A A C C C C C C ⋅ （2）均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为m mr r A A A ⋅/. 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210A A C C C ⋅ （3）非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1m n C A =21m m -n C …k m )m ...m (m -n 1-k 21C +++例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210=C C C 若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110=C C C .（4）非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m mA A ⋅ 例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210A C C C ⋅⋅⋅种.一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n rn C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为qp q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q rn r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n qr n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!.1：设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中奇数的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．52：在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）2743：nnn n n n C C C C 1321393-++++ 等于（） A.n4 B.n43⋅ C.134-n D.314-n 4：若n 为奇数，则777712211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是（）A. 0B. 2C. 7D. 81．（2010全国一）如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482.（2011安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A3.（2008湖北）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A. 540B. 300C. 180D. 1504.（2009福建）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 5．（2007福建）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．83206．（2011山东）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 7．（2006天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种8.(湖北省八校高2008第二次联考)某电视台连续播放6个广告，其中有三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告. 要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有（） A ．48种 B ．98种 C ．108种 D ．120种9.(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，现在从10人中选派4人承担这项任务，不同的选派方法共有( ) A ．1260种 B ．2025种 C ．2520种 D ．5040种10.已知（2i x +21x）n ,i 是虚数单位，x ∈R,n ∈N 。

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