非线性光纤光学 第五章-光孤子
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峰值功率 L D
T02 | 2 |
输入脉冲宽度
色散长度
归一化的方程为：
U 1 2U 2 2 i sgn( 2 ) N U U 2 2 L
N
2
D
LNL
2 PT 0 0 2
±1，取决于GVD的正负 通过引入
孤子阶数，无量纲的量
u NU LD A ，可以消去方程中的参量N，
光孤子的数学描述
非线性薛定谔方程(NLS)
从数学上描述光孤子需要用到前面介绍的NLS，
A i 2 A 1 3 A 2 2 3 3 i | A |2 A A z 2 T 6 T 2
为了简化孤子解，首先忽略光纤损耗和三阶色散，并引入归一化参量
U
A
z T , , LD T0 P0
第五章 光孤子
1.调制不稳定性
2.光孤子
3.其他类型孤子
4.孤子微扰
5.高阶效应
1.调制不稳定性
许多非线性系统都表现出一种不稳定性，它是由非线性和色散效应之 间的互作用导致的对稳态的调制。这种现象被称为调制不稳定性，在 流体力学、非线性光学和等离子体物理学等领域已早有研究。 光纤中的调制不稳定性需要反常色散条件，这种不稳定性表现为将连 续或准连续的辐射分裂成一列超短脉冲。
的扰动该稳态仍是稳定的。
微扰a(z,T)随z指数增长，结果连续波解 调制，并将连续波转变成脉冲序列。
A P0 exp(i NL 在 β) 2<0时具有固有的
不稳定性。这种不稳定性称为调制不稳定性，因为它导致连续波的自发时域
其他许多非线性系统中也产生类似的不稳定性，并通常称之为自脉冲不稳
定性。
线性稳定性分析
稳态解 忽略损耗，考虑稳态情况下连续波在光纤中的传输情况：
A 1 2 A 2 i 2 | A | A 2 z 2 T
对于连续波，入射端振幅与T无关，并认为在光纤内传输时仍保 持与时间无关，可以得到方程的稳态解为
A P0 exp(iNL )
入射功率
NL P0 z SPM感应的非线性相移
基阶孤子
由逆散射法可得到基阶孤子的标准形式为
u( , ) sech( )exp(i 2)
之所以称为基阶孤子是因为其形状在传输过程保持不变。 不用逆散射法，通过直接求解 NLS 方程也可以得到上式给出的基阶孤子 解。这种方法假定NLS方程存在一个形状可保持的解，其形式为
u( , ) V ( ) exp[i ( , )]
调制不稳定性用于超短脉冲产生
通过用时域方法求解NLS方程，发现当输入的连续波有周期调制时， 此连续波逐渐演化为以原有调制周期为间隔的短脉冲序列。从实用的 角度考虑，调制不稳定性可用于产生短光脉冲序列，其重复频率可由 外部控制。 早在1989年，利用调制不稳定性就产生了重复频率为2THz的的130fs 脉冲，从此，这项技术就用于产生周期性超短脉冲序列，其重复频率 比从锁模激光器所得脉冲的重复频率要高得多。
在一个实验中，利用光纤放大器将由两 台DFB激光器得到的拍信号放大到约0.8W， 然后在 1.6km 长的 DDF中传输，其中 DDF 的GVD从10ps/(km· nm)减至0.5 ps/(km· nm)。左图给出了重复频率为 114GHz 的输出脉冲序列和对应的频谱，
由图可见频谱因脉冲内喇曼散射发生红移。
2 3.11 2 P0 2 2 T0 TFWHM
为了让该解能表示在传输中能保持形状不变的基态孤子，要求式中 V与ξ无 关。相位φ与ξ和τ有关。将其代入NLS方程得
2 1 2V i V i V i i i i Ve 2e e i e i Ve i i Ve i 2 V 2 Ve i 0 2 2 i
调制不稳定的增益谱
令sgn(β2)=-1，g(Ω)=2Im(K)，可以得到调制不稳定的增益谱（式中系 增益仅在 c 时存在，并由下式给出。 数取2是考虑到g为功率增益）。
2 g () | 2 | (c 2 )1 2
增益谱的特点：
增益谱关于Ω=0对称，并在Ω=0处为零。增益在由下式给出的两频 率处具有最大值
方程的通解应有以下形式：
a( z, T ) a1 exp[i( Kz T )] a2 exp[i( Kz T )]
微扰的波数 非平凡解： 微扰频率 仅当K和Ω满足下面的色散关系时，关于a1和a2的齐次方程才有
1 2 2 12 K 2 sgn( 2 )c 2
1895年柯特维格（D. J. Koteweg）和德弗累斯（G. DeVries）罗素观察 到的孤立波是波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果，他 们建立了KdV方程，并给出孤立波解，从理论上说明了孤立波的存在。
20世纪60年代，电子计算机用于科学研究。1965年克鲁斯卡尔（M. D. Kruskal）和萨布斯基（N. J. Zabusky）用数值模拟方法证明了两个孤 立波碰撞前后波形和速度都不变，孤立波有明显的粒子性，他们称孤 立波为孤立子。 光纤中的光孤子
u 1 u 2 i u u0 2 2
并取GVD为负的情况，sgn＝-1，得到非线性薛定谔方程的标 准化形式： 2
该方程可以用逆散射方法求解，主要的结果如下： 设入射脉冲的初始形式满足
u(0, ) N sec h( )
那么当N＝1时，其脉冲形状在传输过程中保持不变；对于大于1的整数 N，输入脉冲形式以ξ=mπ/2 为周期变化，m为整数。
2.光孤子
光孤子概述
孤子的历史 一个奇特的水波 约170年前，苏格兰海军工程师罗素 (J.Scott Russell)在一次偶然中观察 到一种奇特的水波。 1844 年，他的报告：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。 当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈 地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。 一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进 在行进过程中其形状与速度没有明显变化。 我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约 30 英尺长，1-1.5 英尺高的浪头 ，约以每小时8-9英里的速度前进后来，在运河的拐弯处消失了”。 罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
上式表明，连续波在光纤中传输时除了获得一个与功率有关的相移 （和由于光纤损耗引起的功率减小）外，其他参量保持不变。
微扰的影响 稳态解在很小的扰动下是否仍然是稳定的？为此，通过下式对该 稳态引入微扰。
A ( P0 a)e
i NL
微扰项
将上式代入稳态方程，并使a线性化，得到
a 1 2a * i 2 P ( a a ) 0 2 z 2 T
d 2V 2 2 V ( K V ). 2 d
在方程两边乘以2(dV/dτ)，并对τ积分可得
dV d 2 KV 2 V 4 C
2
积分常数 最终可以得到利用逆散射方法得出的同样的解，即
u( , ) sec h( )exp(i 2)
可以看出，输入脉冲在光纤的传输过程中得到了ξ/2的相移，但是其振 幅保持不变。正是基态孤子的这个特性，使它成为光通信系统的理想脉 冲。 当输入脉冲为sech形时光纤色散被光纤非线性精确补偿，其脉宽和峰值 功率由N＝1时的关系给出。
三阶色散（或任意奇数阶色散项）并不影响调制不稳定性的增益谱； 自陡峭的主要影响是减小增长率并使产生增益的频率范围减小。
如何从物理上理解调制不稳定性？ 调制不稳定性可以解释为由SPM实现相位匹配的四波混频过程。如果 一束频率为ω1=ω0+Ω的探测波与频率为的连续波同时在光纤中传输， 只要 c ，探测波将获得一个净功率增益。从物理上讲，由频率为 ω0的强泵浦波的两个光子产生另外两个不同的光子，其中一个是频率 为ω1=ω0+Ω的探测光子，另一个是频率为2 ω0 -ω1=ω0-Ω的闲频光子。 这种探测波与强泵浦波一起入射的情形有时称为感应调制不稳定性。 即使只有泵浦波本身在光纤中传输时，调制不稳定性也能导致连续波 自发分裂成周期性的脉冲序列。在这种情况下，噪声光子（真空涨落） 起到探测波的作用，并被调制不稳定性提供的增益放大。由于最大的 增益发生在频率ω0±Ωmax处，由式（5.1.9）给出，这些频率分量得到 最大的放大，所以自发调制不稳定性的一个明显的特征是，在中心频 率ω0两边的±Ωmax处产生两个对称的频谱边带。在时域中，连续波转 变为一个周期性的脉冲序列，其周期为T=2π/Ωmax。
max
最大值为
2 P0 2 2 c
12
g max
1 2 g ( max ) 2 c 2 P0 2
峰值增益与GVD参量β2无关，随入射功率线性增加；
光纤损耗的主要影响是，由于功率沿光纤逐渐减小，增益也逐渐减小；
调制不稳定性对光波系统的影响
调制不稳定性会影响用光放大器对光纤损耗进行周期性补偿的光通信系统的性 能。物理上讲，放大器的自发辐射能提供种子光，进而通过感应调制不稳定性 形成频谱边带，结果信号频谱被充分展宽，由于GVD感应的光脉冲展宽与其带宽 有关，这种效应将使系统性能劣化。当利用色散补偿光纤（DCF）对GVD进行部 分补偿时，系统性能得到了改善。 随着波分复用技术的出现，色散管理技术被普遍采用，它通过周期性色散图从 总体上降低GVD，而在局部GVD则保持较高值。β2的周期性变化形成另一个光栅， 可以显著影响调制不稳定性。在强色散管理情况下（相对大的GVD变化），调制 不稳定性增益的峰值和带宽均减小。 调制不稳定性在几个方面影响WDM系统的性能。研究表明，四波混频的共振增强 对WDM系统有害，特别是当信道间隔接近调制不稳定性增益最强的频率时，使系 统性能明显劣化。积极的一面是，这种共振增强能用于低功率、高效的波长变 换 调制不稳定性还可以用来推算非线性参量的值。
满足一定条件的非线性波包，它传输长距离或相互磁撞后，形状、 振幅和传播速度均保持不变。
孤子的物理理解：
光孤子由色度色散和自相位调制的结合而形成。
通过选择适当的波长和脉冲形状，激光产生孤子波形， 孤子波形通过 自相位调制抵消掉色度色散，从而保持波形不变。 色度色散和啁啾(chirp)彼此抵消，从而产生孤子。
将实部和虚部分离，可以得到关于V和φ的两个方程，
1 2V 1 3 V V V 0 2 2 2
2
V 1 2 V 2 0 2 可以设相位φ与τ无关，因此式中∂φ/∂τ有关的项为零，且∂φ/∂τ变成dV/ dτ 。从第一个式子看出，要满足V与ξ无关的条件，∂φ/∂ξ必须等于常数， 因此φ=Kξ的形式，式中K是常数。因此V满足
2 sgn(β2)=±1，取决于β2的符 c
4 P0
号
2
4 2 LNL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
稳态解的稳定性
色散关系表明，稳态的稳定性主要取决于光纤中传输的光波是处于光纤的
正常群速度色散区还是反常群速度色散区。
对于正常群速度色散的情形（β2>0），波数对所有的都为实数，并且对小 相反，对于反常群速度色散的情形（ β2<0 ），K在 时变为虚数， c
下图给出了色散补偿对调制不稳定性增益谱的影响。在每段链路的末端 用放大器补偿该段链路的总损耗，当未对色散进行补偿时，频谱呈现出 多条边带；当在每段链路后对95％的色散进行补偿时（曲线（a））， 链路平均色散为0.8ps/（nm· km），此时这些边带得到抑制，而且峰值 增益显著减小，如曲线（b）所示；当光波系统链路由=0.8ps/（nm· km） 的均匀色散光纤构成时，调制不稳定性增益要大得多。
T02 | 2 |
输入脉冲宽度
色散长度
归一化的方程为：
U 1 2U 2 2 i sgn( 2 ) N U U 2 2 L
N
2
D
LNL
2 PT 0 0 2
±1，取决于GVD的正负 通过引入
孤子阶数，无量纲的量
u NU LD A ，可以消去方程中的参量N，
光孤子的数学描述
非线性薛定谔方程(NLS)
从数学上描述光孤子需要用到前面介绍的NLS，
A i 2 A 1 3 A 2 2 3 3 i | A |2 A A z 2 T 6 T 2
为了简化孤子解，首先忽略光纤损耗和三阶色散，并引入归一化参量
U
A
z T , , LD T0 P0
第五章 光孤子
1.调制不稳定性
2.光孤子
3.其他类型孤子
4.孤子微扰
5.高阶效应
1.调制不稳定性
许多非线性系统都表现出一种不稳定性，它是由非线性和色散效应之 间的互作用导致的对稳态的调制。这种现象被称为调制不稳定性，在 流体力学、非线性光学和等离子体物理学等领域已早有研究。 光纤中的调制不稳定性需要反常色散条件，这种不稳定性表现为将连 续或准连续的辐射分裂成一列超短脉冲。
的扰动该稳态仍是稳定的。
微扰a(z,T)随z指数增长，结果连续波解 调制，并将连续波转变成脉冲序列。
A P0 exp(i NL 在 β) 2<0时具有固有的
不稳定性。这种不稳定性称为调制不稳定性，因为它导致连续波的自发时域
其他许多非线性系统中也产生类似的不稳定性，并通常称之为自脉冲不稳
定性。
线性稳定性分析
稳态解 忽略损耗，考虑稳态情况下连续波在光纤中的传输情况：
A 1 2 A 2 i 2 | A | A 2 z 2 T
对于连续波，入射端振幅与T无关，并认为在光纤内传输时仍保 持与时间无关，可以得到方程的稳态解为
A P0 exp(iNL )
入射功率
NL P0 z SPM感应的非线性相移
基阶孤子
由逆散射法可得到基阶孤子的标准形式为
u( , ) sech( )exp(i 2)
之所以称为基阶孤子是因为其形状在传输过程保持不变。 不用逆散射法，通过直接求解 NLS 方程也可以得到上式给出的基阶孤子 解。这种方法假定NLS方程存在一个形状可保持的解，其形式为
u( , ) V ( ) exp[i ( , )]
调制不稳定性用于超短脉冲产生
通过用时域方法求解NLS方程，发现当输入的连续波有周期调制时， 此连续波逐渐演化为以原有调制周期为间隔的短脉冲序列。从实用的 角度考虑，调制不稳定性可用于产生短光脉冲序列，其重复频率可由 外部控制。 早在1989年，利用调制不稳定性就产生了重复频率为2THz的的130fs 脉冲，从此，这项技术就用于产生周期性超短脉冲序列，其重复频率 比从锁模激光器所得脉冲的重复频率要高得多。
在一个实验中，利用光纤放大器将由两 台DFB激光器得到的拍信号放大到约0.8W， 然后在 1.6km 长的 DDF中传输，其中 DDF 的GVD从10ps/(km· nm)减至0.5 ps/(km· nm)。左图给出了重复频率为 114GHz 的输出脉冲序列和对应的频谱，
由图可见频谱因脉冲内喇曼散射发生红移。
2 3.11 2 P0 2 2 T0 TFWHM
为了让该解能表示在传输中能保持形状不变的基态孤子，要求式中 V与ξ无 关。相位φ与ξ和τ有关。将其代入NLS方程得
2 1 2V i V i V i i i i Ve 2e e i e i Ve i i Ve i 2 V 2 Ve i 0 2 2 i
调制不稳定的增益谱
令sgn(β2)=-1，g(Ω)=2Im(K)，可以得到调制不稳定的增益谱（式中系 增益仅在 c 时存在，并由下式给出。 数取2是考虑到g为功率增益）。
2 g () | 2 | (c 2 )1 2
增益谱的特点：
增益谱关于Ω=0对称，并在Ω=0处为零。增益在由下式给出的两频 率处具有最大值
方程的通解应有以下形式：
a( z, T ) a1 exp[i( Kz T )] a2 exp[i( Kz T )]
微扰的波数 非平凡解： 微扰频率 仅当K和Ω满足下面的色散关系时，关于a1和a2的齐次方程才有
1 2 2 12 K 2 sgn( 2 )c 2
1895年柯特维格（D. J. Koteweg）和德弗累斯（G. DeVries）罗素观察 到的孤立波是波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果，他 们建立了KdV方程，并给出孤立波解，从理论上说明了孤立波的存在。
20世纪60年代，电子计算机用于科学研究。1965年克鲁斯卡尔（M. D. Kruskal）和萨布斯基（N. J. Zabusky）用数值模拟方法证明了两个孤 立波碰撞前后波形和速度都不变，孤立波有明显的粒子性，他们称孤 立波为孤立子。 光纤中的光孤子
u 1 u 2 i u u0 2 2
并取GVD为负的情况，sgn＝-1，得到非线性薛定谔方程的标 准化形式： 2
该方程可以用逆散射方法求解，主要的结果如下： 设入射脉冲的初始形式满足
u(0, ) N sec h( )
那么当N＝1时，其脉冲形状在传输过程中保持不变；对于大于1的整数 N，输入脉冲形式以ξ=mπ/2 为周期变化，m为整数。
2.光孤子
光孤子概述
孤子的历史 一个奇特的水波 约170年前，苏格兰海军工程师罗素 (J.Scott Russell)在一次偶然中观察 到一种奇特的水波。 1844 年，他的报告：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。 当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈 地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。 一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进 在行进过程中其形状与速度没有明显变化。 我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约 30 英尺长，1-1.5 英尺高的浪头 ，约以每小时8-9英里的速度前进后来，在运河的拐弯处消失了”。 罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
上式表明，连续波在光纤中传输时除了获得一个与功率有关的相移 （和由于光纤损耗引起的功率减小）外，其他参量保持不变。
微扰的影响 稳态解在很小的扰动下是否仍然是稳定的？为此，通过下式对该 稳态引入微扰。
A ( P0 a)e
i NL
微扰项
将上式代入稳态方程，并使a线性化，得到
a 1 2a * i 2 P ( a a ) 0 2 z 2 T
d 2V 2 2 V ( K V ). 2 d
在方程两边乘以2(dV/dτ)，并对τ积分可得
dV d 2 KV 2 V 4 C
2
积分常数 最终可以得到利用逆散射方法得出的同样的解，即
u( , ) sec h( )exp(i 2)
可以看出，输入脉冲在光纤的传输过程中得到了ξ/2的相移，但是其振 幅保持不变。正是基态孤子的这个特性，使它成为光通信系统的理想脉 冲。 当输入脉冲为sech形时光纤色散被光纤非线性精确补偿，其脉宽和峰值 功率由N＝1时的关系给出。
三阶色散（或任意奇数阶色散项）并不影响调制不稳定性的增益谱； 自陡峭的主要影响是减小增长率并使产生增益的频率范围减小。
如何从物理上理解调制不稳定性？ 调制不稳定性可以解释为由SPM实现相位匹配的四波混频过程。如果 一束频率为ω1=ω0+Ω的探测波与频率为的连续波同时在光纤中传输， 只要 c ，探测波将获得一个净功率增益。从物理上讲，由频率为 ω0的强泵浦波的两个光子产生另外两个不同的光子，其中一个是频率 为ω1=ω0+Ω的探测光子，另一个是频率为2 ω0 -ω1=ω0-Ω的闲频光子。 这种探测波与强泵浦波一起入射的情形有时称为感应调制不稳定性。 即使只有泵浦波本身在光纤中传输时，调制不稳定性也能导致连续波 自发分裂成周期性的脉冲序列。在这种情况下，噪声光子（真空涨落） 起到探测波的作用，并被调制不稳定性提供的增益放大。由于最大的 增益发生在频率ω0±Ωmax处，由式（5.1.9）给出，这些频率分量得到 最大的放大，所以自发调制不稳定性的一个明显的特征是，在中心频 率ω0两边的±Ωmax处产生两个对称的频谱边带。在时域中，连续波转 变为一个周期性的脉冲序列，其周期为T=2π/Ωmax。
max
最大值为
2 P0 2 2 c
12
g max
1 2 g ( max ) 2 c 2 P0 2
峰值增益与GVD参量β2无关，随入射功率线性增加；
光纤损耗的主要影响是，由于功率沿光纤逐渐减小，增益也逐渐减小；
调制不稳定性对光波系统的影响
调制不稳定性会影响用光放大器对光纤损耗进行周期性补偿的光通信系统的性 能。物理上讲，放大器的自发辐射能提供种子光，进而通过感应调制不稳定性 形成频谱边带，结果信号频谱被充分展宽，由于GVD感应的光脉冲展宽与其带宽 有关，这种效应将使系统性能劣化。当利用色散补偿光纤（DCF）对GVD进行部 分补偿时，系统性能得到了改善。 随着波分复用技术的出现，色散管理技术被普遍采用，它通过周期性色散图从 总体上降低GVD，而在局部GVD则保持较高值。β2的周期性变化形成另一个光栅， 可以显著影响调制不稳定性。在强色散管理情况下（相对大的GVD变化），调制 不稳定性增益的峰值和带宽均减小。 调制不稳定性在几个方面影响WDM系统的性能。研究表明，四波混频的共振增强 对WDM系统有害，特别是当信道间隔接近调制不稳定性增益最强的频率时，使系 统性能明显劣化。积极的一面是，这种共振增强能用于低功率、高效的波长变 换 调制不稳定性还可以用来推算非线性参量的值。
满足一定条件的非线性波包，它传输长距离或相互磁撞后，形状、 振幅和传播速度均保持不变。
孤子的物理理解：
光孤子由色度色散和自相位调制的结合而形成。
通过选择适当的波长和脉冲形状，激光产生孤子波形， 孤子波形通过 自相位调制抵消掉色度色散，从而保持波形不变。 色度色散和啁啾(chirp)彼此抵消，从而产生孤子。
将实部和虚部分离，可以得到关于V和φ的两个方程，
1 2V 1 3 V V V 0 2 2 2
2
V 1 2 V 2 0 2 可以设相位φ与τ无关，因此式中∂φ/∂τ有关的项为零，且∂φ/∂τ变成dV/ dτ 。从第一个式子看出，要满足V与ξ无关的条件，∂φ/∂ξ必须等于常数， 因此φ=Kξ的形式，式中K是常数。因此V满足
2 sgn(β2)=±1，取决于β2的符 c
4 P0
号
2
4 2 LNL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
稳态解的稳定性
色散关系表明，稳态的稳定性主要取决于光纤中传输的光波是处于光纤的
正常群速度色散区还是反常群速度色散区。
对于正常群速度色散的情形（β2>0），波数对所有的都为实数，并且对小 相反，对于反常群速度色散的情形（ β2<0 ），K在 时变为虚数， c
下图给出了色散补偿对调制不稳定性增益谱的影响。在每段链路的末端 用放大器补偿该段链路的总损耗，当未对色散进行补偿时，频谱呈现出 多条边带；当在每段链路后对95％的色散进行补偿时（曲线（a））， 链路平均色散为0.8ps/（nm· km），此时这些边带得到抑制，而且峰值 增益显著减小，如曲线（b）所示；当光波系统链路由=0.8ps/（nm· km） 的均匀色散光纤构成时，调制不稳定性增益要大得多。