第09讲 代数式和代数式求值(解析版)

第九讲 代数式和代数式求值
【课程解读】
————初中课程解读———— 初中课程
1.用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律；
2.了解代数式、单项式、单项 式的系数和次数、多项式、多项式
的次数、整式的概念；
3.正确地进行代数式值的计算；
【知识衔接】
————初中知识与典例链接————
【知识梳理】
1、字母表示数：初中学习阶段，有些量或者结果不一定要准确的数轴进行表示，而引用字母来表示，如小学阶段的公式，部分推理规律。

在数学中，经常需要用字母来表示数．
【公式】如图，如何表示三角形的面积？
【答案】S ＝2
1ah 【典型例题】
1．小明今年n 岁，小明比小丽大2岁，小丽今年____岁．
2．小丽t h 走了s km ，她的平均速度是____km/h ．
3．一件羊毛衫标价a 元，若按标价的8折出售，则这件羊毛衫的售价是__________元．
4．学生剧场的楼上有a 个座位，楼下有b 个座位，楼上、楼下共有座位 个．
5．公共汽车上有40人，到达某站后，下车m 人，上车n 人，这时车上共有 人．
【答案】1.（n －2）；2.t
s ；3. 0.8a ；4.（a ＋b ）；5.（40－m ＋n ） 2、代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子．单独一个数或一个字母也是代数式． 注意：①数与数之间、数与字母之间、字母与字母之间的运算符号是指加、减、乘、除、乘方及以后将学到的开方运算符号，但不包括=、≠、<、>、≤、≥等表示数量之间关系的符号。

代数式书写注意事项：
1．数与字母相乘，可省略乘号，数字写在字母前面，若数字是带分数的应写成假分数。

2．除法运算通常写成分数的形式。

3．结果是和或差的形式时，应将式子用括号括起来，再写上单位名称。

【典型例题】
例1．下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式。

(1) 25
； (2)a ；(3) 26+38； (4) s=v t ； (5) a 2+2ab+b 2 ； (6) 1x y + ； (7) 2+3=5； (8)3a >4b (9) 5n +2 ； (10) 2(x-y )+3
【答案】代数式：（1）（2）（3）（5）（6）（9）（10）
不是代数式：（4）（7）（8）
【解析】数与数之间、数与字母之间、字母与字母之间的运算符号是指加、减、乘、除、乘方及以后将学到的开方运算符号，但不包括=、≠、<、>、≤、≥等表示数量之间关系的符号。

例2．填空：
（1）y ×7用代数式表示一般要写成_________；
（2）长方形的面积是a cm 2，它的宽是b cm ，那么它的长是________cm ，周长是________cm ；
（3）某校同学向希望工程捐献图书，其中有m 个人每人捐献4本书，有n 个人每人捐献a 本书，那么他们一共捐献图书_______本；
（4）一批冰箱原价每台售价m 元，现在八折出售，出售了9台，销售额为_______元。

【答案】（1）7y ；（2）b a ；⎪⎭⎫ ⎝
⎛+b a b 2；（3）（4m ＋an ）；（4）7.2m ； 【解析】1．数与字母相乘，可省略乘号，数字写在字母前面，若数字是带分数的应写成假分数。

2．除法运算通常写成分数的形式。

3．结果是和或差的形式时，应将式子用括号括起来，再写上单位名称。

代数式--单项式：数字与字母的积
表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
代数式--多项式：几个单项式的和叫做多项式
多项式：几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

常数项的次数为0。

【典例分析】
1. 单项式5233a bc -的系数是______，次数是______.
【答案】﹣35；6；
【解析】单项式的系数注意是所有常数的积，并且带符号；次数是所有字母的指数和；
2. 多项式()1362
m x m x --+是关于x 的三次三项式，则m 的值是____________. 【答案】﹣3； 【解析】m ＝3，所以m ＝±3，因为是三项式，所以m －3≠0，m ≠3，综上m ＝﹣3；
3. ﹣x 2+4x －3是 次 项式，它的项分别是 ，其中常数项是 .
【答案】二次三项式；﹣x 2，4x ，﹣3；﹣3
【解析】多项式各项及常数项在书写的时候注意符号
4. 已知:45
13212--
-y x z y x m m 是六次三项式，则m =_______. 【答案】2
【解析】m ＋2m －1＋1＝6；m ＝2；注意一次未知数的指数不要漏； 代数式--整式：单项式和多项式统称整式
根据定义知道单项式和多项式都是代数式．
【典例分析】
把下列式子的序号填入相应的空格内：⑴2.5，⑵－
35，⑶2y ，⑷x
5，⑸2a ＋2b ，⑹y x 3223 ，⑺2x ＞－3，⑻y ＝ax 2＋bx ＋c ，⑼kx ＋b .
单项式：_______________________；多项式：_____________________________；
整式：_________________________；代数式：_____________________________．
【答案】
单项式：（1）（2）（3）
多项式：（4）（5）（9）
整式：（1）（2）（3）（4）（5）（9）
代数式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
注：1．含有等号或不等号的式子一定不是代数式。

2．单独的一个数或字母也是单项式。

3．一般分母含有字母的式子不是整式。

3、代数式求值
用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．
代数式求值的的方法与步骤：
1、用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”.（将相应的字母换成已知给定的数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变）
2、按照代数式值指明的运算，计算出结果，简称为“计算”.（要注意运算顺序，同时考虑运算律）
知识点一：代数式的值的概念（重点）
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式在值.
注意：
（1）代数式中字母的取值要使所求的代数式有意义；
（2）求代数式的值时，字母的取值是负数和分数时，带入要加括号;出现数字和数字相乘时，原来省略的“×”要添上；
（3）“当......时”表示代数式的值是在字母取这个值的情况下求得的；
（4）一般地，代数式的值随着代数式中字母的取值变化而变化；有些特别的代数式的值就不随字母x 的取值变化而变化；
（5）代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形，所以代数式与代数式的值是两个不同的概念.
【典例分析】
例1：（1）当2-=x 时，代数式x x +2
的值是（ ）
A. -6
B. 6
C. -2
D. 2
【答案】D
【解析】（﹣2）2＋（﹣2）＝2
（2）当2,1-=-=y x 时，代数式12-2+y x 的值是（ ）
A.-1
B. -2
C. 6
D. 4
【答案】C
【解析】（﹣1）2－2×（﹣2）＋1＝6
知识点二：程序计算（重点）
根据题目给出的程序，写出代数式，把程序计算题转化成求代数式的值.
注意：
有的程序计算题，对于输出的结果有要求，有时一次不能得出答案，要经过两次或两次以上的计算后，符合输出要求时才能输出答案.
例2：如图是一个简单的数值运算程序，当输入n 的值为3时，则输出的结果为 .
【答案】870；
【解析】当n ＝3时，n 2－n ＝6；6＜30；
当n ＝6时，n 2－n ＝30；30＝30；
当n ＝30时，n 2－n ＝870；870＞30；
所以输出870；
————初中重难点专项链接————
1. 定义新运算求值
我们定义一种运算：ab b a b a +-=*2
（1）求2*（-3）的值；
（2）求（-2）*[2*（-3）]的值.
【答案】（1）1；（2）1；
【解析】（1）2※（﹣3）＝22－（﹣3）＋2×（﹣3）＝1；（2）原式＝（﹣2）※1＝（﹣2）2－1＋（﹣2）×1＝1
2. 整体思想：通过转化将某一部分作为一个整体，从而达到代入求值的目地，这种方法称为“整体代入法” ①已知2,3-=-=b a ，求代数式
)2(3)2(412b a b a -+-的值 【答案】﹣12
【解析】2a －b ＝2×（﹣3）－（﹣2）＝﹣4；所以原式＝
()()434412-+-＝﹣12 ②当42-=+x x 时，求代数式()
722-+x x 的值。

【答案】﹣15
【解析】原式＝2×（﹣4）－7＝﹣15
③已知a ＋b ＝3，求代数式()b a b a ++++62
的值。

【答案】12
【解析】原式＝3＋3＋6＝12
3.如图所示的计算程序，若开始输入的数为-3，则最后输出的结果为 .
【答案】﹣9
【解析】当输入x 为﹣3时，值为﹣5，﹣5＞﹣8；
当x 为﹣5时，值为﹣9，﹣9＜﹣8成立，输出﹣9
4.设01223344555)13(a x a x a x a x a x a x +++++=-，求：
（1）0a 的值.
（2）12345a a a a a ++++的值.
（3）12345a a a a a -+-+-的值.
【答案】（1）﹣1；（2）33；（3）1﹣45；
【解析】（1）当x 为0时，（3×0－1）5＝a 0，所以a 0＝﹣1；
（2）当x ＝1时，（3×1－1）5＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0，所以a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝25；所以a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0－a 0＝25－（﹣1）＝33；
（3）当x ＝﹣1时，【3×（﹣1）－1】5＝﹣a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝﹣45，所以﹣a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＝﹣a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0－a 0＝﹣45－（﹣1）＝1﹣45；
【经典题型】
初中经典题型
1.如果1222
1--n b a 是五次单项式，则n 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
【答案】B
【解析】2＋2n －1＝5，n ＝2
2.多项式4
1232--+y xy x 是（ ）
A 、三次三项式
B 、二次四项式
C 、三次四项式
D 、二次三项式
【答案】B
3.多项式23332--xy y x 的次数和项数分别为（ ）
A 、5,3
B 、5,2
C 、2,3
D 、3,3
【答案】A
【解析】次数：5次；项数：3项
4.对于单项式22r π-的系数、次数分别为（ ）
A 、－2,2
B 、－2,3
C 、2,2π-
D 、3,2π-
【答案】C
【解析】系数：﹣2π；次数：2；注意π是常数，不是未知数；
5.下列说法中正确的是（ ）
A 、－5，a 不是单项式
B 、2
abc -的系数是－2 C 、322y x -的系数是3
1-，次数是4 D 、y x 2的系数为0，次数为2 【答案】C
【解析】A 单独的字母或数字也是单项式，A 错；B 单项式的系数为21-
，B 错；C 正确；D 的系数为1，D 错；
6.已知2-=a ，则代数式1+a 的值为（ ）
A. -3
B. -2
C.-1
D.1
【答案】C
【解析】﹣2＋1＝﹣1
7.若4,3
1=-=y x ，则代数式33-+y x 的值为（ ）
A. -6
B. 0
C. 2
D. 6
【答案】B
【解析】3x ＋y －3＝﹣1＋4－3＝0
8.当21<<a 时，代数式|1||2|a a -+-的值是（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D. -3
【答案】B
【解析】化简绝对值；原式＝2－a ＋a －1＝1
9、填空题：
（1）单项式52ab -的系数是_____，次数是
_____；单项式Rh π2的系数是______，次数是_____． （2）多项式2
2332y y x x -+-是_________、_________、_________三项的和，每一项的系数分别是_________、_________、_________．
（3）如果nxy xy x +-322不含有xy 项，则n =___________
（4）多项式3-231
2y y x +-是 次 项式，它的常数项是 ．
【答案】（1）51
-；3；2π；2；（2）﹣x 3、2x 2y 、﹣3y 2；﹣1、2、﹣3；（3）3；（4）三次三项式；﹣
3；
【解析】（3）﹣3＋n ＝0，n ＝3；
10、若b a n 2102⨯是五次单项式，则n = .
【答案】4
【解析】n ＋1＝5，n ＝4；
11、图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，则第n 层有圆点 个.
【答案】4n
【解析】
层数 圆点数
1 4
2 8
3 12
n 4n
12、图(1)中阴影部分的面积为______________；图(2)中阴影部分的面积为______________．
a
a
h
b 图(1) 图(2)
【答案】（1）()h a b -21；（2）222
141a a -π； 【解析】（1）S ＝()h a b -21；（2） S ＝222
141a a -π； 13. 如果m 是最大的负整数，n 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，那么代数式202120192016c n m ++的值为 .
【答案】0；
【解析】m ＝﹣1，n ＝0，c ＝1，原式＝﹣1＋0＋1＝0
14.根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的y 值为 .
【答案】4；
【解析】当x ＝1时，值为﹣2；﹣2＜0；
当x ＝﹣2时，值为4；4＞0；所以输出4
————真题再现————
1. （2019·江苏江阴第一次月考）如果()0122=-++b a ，那么代数式()2019b a +的值是（ ）
A. ﹣2019
B.2019
C.﹣1
D.1
【答案】C
【解析】a ＝﹣2，b ＝1，原式＝（﹣1）2019＝﹣1；
2. （2019·江苏江阴第一次月考）已知a ＋b ＝5，c －d ＝﹣2，则（b －c ）－（﹣d －a ）的值为（
） A.7 B.﹣7 C.3 D.﹣3
【答案】A
【解析】原式＝b －c ＋d ＋a ＝a ＋b －（c －d ）＝5－（﹣2）＝7
3. （2019·江苏无锡第一次月考）用代数式表示“a 的3倍与b 的差的平方”，正确的是（ ）
A. ()23b a -
B.()23b a -
C.23b a -
D.()23b a -
【答案】A
4. （2019·江苏无锡第一次月考）已知1=a ，b 是2的相反数，则a ＋b 的值为（ ）
A. ﹣1
B.3
C.﹣1或3
D.﹣1或﹣3
【答案】D
【解析】a ＝±1，b ＝﹣2，原式＝1－2＝﹣1或﹣1－2＝﹣3
5. （2019·江苏宜兴第一次月考）当x ＝2时，代数式23
+-bx ax 的值为3，那么当x ＝﹣2时，代数式23+-bx ax 的值是（ ）
A. ﹣3
B.1
C.﹣1
D.2
【答案】B
【解析】当x ＝2时，bx ax -3＝1；当x ＝﹣2时，bx ax -3＝﹣1，所以﹣1＋2＝1
6. （2019·江苏江阴第一次月考）若2122=--x x ，则代数式2422
--x x 的值为 。

【答案】4；
【解析】由题意知322=-x x ，x x 422-＝6,6－2＝4； 7. （2019·江苏宜兴第一次月考）单项式5
23
2bc a -系数为 ；多项式2733232+--xy y x y x 是 次多项式。

【答案】5
2-；五 8. （2019·江苏江阴第一次月考）若关于x 的多项式22123mx x x +--中不含x 2项，则m ＝ 。

【答案】﹣3；
【解析】3＋m ＝0，m ＝﹣3
9. （2019·江苏宜兴第一次月考）若a 与2a －9互为相反数，则a 的值为 。

【答案】3；
【解析】a ＋2a －9＝0，a ＝3；
10. （2019·江苏宜兴第一次月考）已知2a －3b ＝﹣3，则5－4a ＋6b 的值为 。

【答案】11；
【解析】∵2a －3b ＝﹣3，∴4a －6b ＝﹣6，所以5－（﹣6）＝11。