中考数学圆的解题方法归纳总结及例题分析

中考数学圆的解题方法归纳总结及例题分析

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

例1：

例2：

2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

3．遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

例题：如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线

解：（1）作出圆心O，

以点O为圆心，OA长为半径作圆

（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径

连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30°

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.

4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O 的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。

解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°∴∠CAD+∠ADC=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40°

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。

（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

例题：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CP与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，（1）求证：AC=CP．（2）若CP=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）。

解：（1）连结OC,∵AO=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COP=2∠ACO=60°

∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∴∠P=30°,∴∠A=∠P,∴AC=PC。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

7．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。

例题：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________

答案∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA=PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，∴PA=6．

8．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等。

例题：△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．

根据切线长定理，设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zcm．

根据题意，得

x+y=9

y+z=14

x+z=13

解得

x=4

y=5

z=9

即AF=4cm、BD=5cm、CE=9cm．

9．遇到三角形的外接圆时

如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.

如果三角形不是直角三角形

例1：已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径.

解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，

∴AB²＝BC²＋AC²，

∴∠C＝90°，

∴AB为△ABC的外接圆的直径，

∴△ABC的外接圆的半径为6.5.

例2：

10．遇到三角形的外接圆和内切圆时例题：