材料力学第十四章超静定结构

∆1P
=
−
EI
⎜⎜ ⎝
8
⋅1⎟⎟ ⎠
=
−
8EI
P2
由δ11 X 1 + ∆1P = 0
得X 1
=
Pl 8
( ) ∴wC
=
Pl 3 48EI
Pl l2 −2× 8
16EI
Pl 3 =
192EI
↓
1
Pl 4
Pl 8
A
l2 目录
P
Pl 8
B
C
l2
例14.3：求图示刚架的支反力。
q
q
C
a
B
C
B
a
解：
2 ⎛ a2 2a ⎞ 2a3
目录
例14.4:平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及
q
A、B处的支座反力。 a2 C a2
解： δ11
=
1 EI
⎛ a2 ⎜⎜⎝ 2
⋅
2a 3
⎞ ⎟⎟⎠
=
a3 3EI
∆ 1P
=
−
1 EI
⎛ ⎜⎜ ⎝
a2 2
⋅
qa 2 8
⎞ ⎟⎟ ⎠
qa 4 =−
16EI
由力法正则方程 :
δ11 X 1
目录
力法正则方程： 矩阵形式：
⎧δ11X1 + δ12 X 2 + ⋯ + δ1n X n + ∆1F = 0
⎪⎪δ21X1 + δ22 X 2 + ⋯ + δ2n X n + ∆2F = 0
⎨ ⎪
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⎪⎩δn1X1 + δn2 X 2 + ⋯ + δnn X n + ∆nF = 0
⎡δ11 δ12 ⋯ δ1n ⎤⎧ X1 ⎫ ⎧∆1F ⎫
目录
例如
P
Pl
A
B
C
C
P
a
B
a
A
目录
我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 求解超静定系统的基本方法是：
解除多余约束，代之以多余约束反力然后 根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程 进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 超静定系统的基本静定系统或相当系统。
（本章主要学习用力法解超静定结构）
B
a
q
C aD
δ11
=
1 EI
⎛ ⎜⎜⎝
a2 2
⋅
2a 3
+
a2
⎞ ⋅ a ⎟⎟⎠
=
4a 3 3EI
∆1P
=
−
1 EI
⎜⎜⎛ ⎝
qa 2
3
⋅ a ⎟⎟⎞ ⎠
=
−
qa 4 2EI
X1
B
a
1
a
A
q C aD a
由δ11 X 1 + ∆1P = 0
得
X1
=
3qa 8
A
a
( ) 3qa
∴ X B = 0, YB = 8 ↓
目录
对称结构在反对称载荷作用下的情况：
F
F
F
X3
X2
F
X1
X3 X2
P
P
P
P
同样用图乘法可证明
当对称结构上受反对称载荷作用时，
在对称面上对称内力等于零。
可得： δ12 = δ 21 = δ 23 = δ 32 = 0
于是正则方程可化为
δ 11 X 1 + δ 13 X 3 = 0 δ 31 X 1 + δ 33 X 3 = 0 δ 22 X 2 = − ∆ 2 F
第十四章
超静定结构
第十四章 超静定结构
14-1 超静定结构概念 14-2 用力法解超静定结构 14-3 对称及反对称性质的利用
目录
14-1 超静定（静不定）结构概述
在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为：
外力超静定系统和内力超静定系统。
外力超静定： 支座反力不能全由平衡方程求出；
内力超静定： 支座反力可由平衡方程求出，但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出.
∆1 = ∆1X1 + ∆1X 2 + ∆1X3 + ∆1P = 0
∆1 = δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1P = 0 同理 ∆ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2P = 0
∆3 = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆3P = 0
⎢⎢δ 21 ⎢⋯ ⎢⎣δ n1
δ 22 ⋯
δn2
⋯ ⋯ ⋯
δ2n ⋯
δ nn
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
X2 ⋯
Xn
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
+
⎪⎪∆ 2 F
⎨ ⎪
⋯
⎪⎩∆nF
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
=
0
δ 表示沿着 ii
方X向i
X单i独=作1用时所产生的位移
δ 表示沿着 ij
方X向i
X单j独=作1用时所产生的位移
对称性质的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。
目录
对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完 全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的 大小也相等）。
P2
P2
P1
P1
目录
反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷 作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。
其作用位置。
P
A
B
解：载荷关于对角线AC和BD反对称
a
由平衡条件可得：
P D
P a
C
Q = P cos 45° = 2 P 2
P
a
a
Q
A
P B
Pa M max = 2
(M max 发生在外载荷 P作用点处 )
P
C
Q
X1
A
C
B
a
F
l
若以 ∆1表示B端沿竖直方向的位移，则：
∆1 F
A
C
B
F
∆1 =∆1F +∆1X1 =0 (*)
X1
A
C
B ∆1X1
∆1F 是在F单独作用下引起的位移
∆1X1 是在X1单独作用下引起的位移
目录
1
A
C
B δ11
对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故 ∆1X1 也是δ11
+
∆1P
=
0得：
X1
=
3qa 16
∴X C
=
3qa 16
，YC
= 0， M C
=0
X
A (→)
=
X
B (←)
=
3qa , 16
( ) qa
YA = YB = 2 ↑
a
a
A
B
q
a2
a
A
qa2 8
qa2 8
M
A (顺时针)
=
M
B (逆时针)
=
qa 2 16
a
例14.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及
a
a
δ11 = EI ⎜⎜⎝ 2 ⋅ 3 ⎟⎟⎠ = 3EI
A
A
1 ⎛ 2 qa 2 a ⎞ qa 4
∆1P = − EI ⎜⎜⎝ 3 8 a ⋅ 2 ⎟⎟⎠ = − 24EI
a
qa2 8
a
qa 2
由δ11 X 1 + ∆1P = 0
qa
得X1 = 16
qa 2
( ) ∴
XB
=
qa 16
(←),YB
目录
§14-2 用力法解超静定结构
在求解超静定结构时， 一般先解除多余约束，
代之以多余约束力，
得到基本静定系，
再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。
我们把这种以“力”为未知量，求解超静定的方法 称为“力法”。
目录
例如：
该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁
A
C
B
a F
l
解除多余支座B，并以多余约束X1代替
∆ 表示沿着 iF
方X向i 载荷F单独作用时所产生的位移
目录
⎧X i = 1引起的弯矩为 ⎪⎨ 设： X j = 1引起的弯矩为
⎪⎩载荷F引起的弯矩为
Mi Mj MF
则：
∫ δii
=
l
Mi Mi EI
dx
∫ δij
=
l
Mi M j EI
dx
∫ ∆i F
=
l
Mi MF EI
dx
目录
14-3 对称及反对称性质的利用
=
9qa 16
↑
X
A
=
qa 16
(→),
YA
=
7qa 16
(↑)
目录
上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？
P2
P2
P1
P1
P3
P3
X3
X1
X2Βιβλιοθήκη Baidu
目录
变形协调条件 ：
∆1 = ∆2 = ∆3 = 0
∆i 表示 X作i 用点沿着 方向X的i位移
由叠加原理：
P2
P2
P1
P1
目录
P
P2
P2
P
P2
P2
目录
� 对称结构在对称载荷作用下的情况：
F
F
F
X3
X2
F
X1
X3 X2
P
P
P
P
用图乘法可证明
当对称结构上受对称载荷作用时，
在对称面上反对称内力等于零。
可得：
δ12 = δ 21 = δ 23 = δ 32 = 0
于是正则方程可化为
δ11 X 1 + δ13 X 3 = −∆1F δ 31 X 1 + δ 33 X 3 = −∆ 3F δ 22 X 2 = 0
的X1倍，即有
∆ 1X1 = δ 11 X 1
所以（*）式可变为： δ 11 X 1 + ∆ 1F = 0
l3 若： δ11 = 3EI
于是可求得
∆1F
=
−
Fa 2 6EI
(3l − a)
Fa2 X1 = 2l3 (3l − a)
目录
例14.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
解：
a
( ) 11qa
X A = 0, YA = 8
qa 2 ↑, MA = 8
(逆时针)
qa 2
2
qa2
2
目录
例14.2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯刚度
为EI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。 A
P
B C
解：
δ11
=
1 EI
(l
⋅1) =
l EI
l2
l2
P
X1
1 ⎛ Pl 2 ⎞ Pl 2