1 多项式

第一章

多项式

一、整除理论1、带余除法()()()()

f x

g x

h x r x =+若(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 首1，则(),()[]h x r x Z x ∈。

事实上，设11011(), ()n n m m n m f x a x a x a g x x b x b ??=+++=+++??，m n ≤，01()()()n m f x a x g x r x ?=?+，则1()[]r x Z x ∈。

例1设(),()f x g x 是整系数多项式，()g x 非零且首项系数为1，证明：()|()g x f x 的充分必要条件是存在无限多个整数n ，使得()|()g n f n 。

证明必要性显然，下证充分性。

由于()g x 首项系数为1，故存在整系数多项式()h x 和()r x ，使

()()()()f x g x h x r x =+（*）

其中(())(())r x g x ?

r n f n h n g n g n =?为整数，矛盾。故()0r x =，从而()|()g x f x 。2、整除()()()

f x

g x

h x =设F 和1F 是数域，且1F F ?，(),()[]f x g x F x ∈，则

（1）在[]F x 中()|()g x f x 当且仅当在1[]F x 中()|()g x f x ；

（2）()f x 与()g x 在[]F x 中互素当且仅当()f x 与()g x 在1F [x]中互素。

事实上，（1）设10()[]n n g x b x b x x b F ∈=++?，110[()]m

m h x c x c F x c x ∈=++?，10()[]n m n m f x a x a x a F x ++=++∈?，()()()f x g x h x =，k c 是下标最小的1F 中的数，由于101010()()n m m m n m n m a x a x a b x b x b c x c x c ++++=++++???，考察等式两边的k n

x +

项，有11220()k n k n k n m n k m k n k n c b c b c b c b c b a +?+?+?++++++=?，此式除k c 外都是F 中的数，矛盾。

（2）若()f x 与()g x 在[]F x 中互素，则[](),()u x v x F x ?∈，使得1uf vg +=，此式在[]1F x 中也成立，故(),()f x g x 在[]1F x 中也互素。反之，因为()f x 与()g x 在[]F x 中的公因式也是(),()f x g x 在[]1F x 的公因式，所以当()f x 与()g x 在1F [x]中互素时，()f x 与()g x 在[]F x 中也互素。

例2假设1()f x 与2()f x 为次数不越过3的首项系数为１的互异多项式，假设

421x x ++整除34312()()f x x f x +，试求1()f x 与2()f x 的最大公因式。

解

易知421x x ++的根为cos sin 33k k k i ππε=+，1,2,4,5k =，由于421x x ++整除34312()()f x x f x +，有

112122132142(1)(1)0, (1)(1)0, (1)(1)0, (1)(1)0f f f f f f f f εεεε???=+=?+?=?=，解之得1212(1)(1)0,(1)(1)0f f f f ==－＝－＝，又1()f x 与2()f x 为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，从而1()f x 与2()f x 的最大公因式为1(1)x x ?+（）。

3、贝袓等式()()()()()u x f x v x g x d x +=。

若上式成立，且()d x 是()f x 和()g x 的公因式，则()d x 是最大公因式。

例3设{|,,}F a a b c Q =++∈，证明：F 是数域。

证明显然F 对加减法和乘法封闭，下证F 对除法封闭。令x =，则

2{|,,}F a bx cx a b c Q =++∈，

取3()2f x x =?，可证()f x 在有理数域上不可约，于是对于任意有理数域上的非零多项式2()g x a bx cx =++，有((),())1f x g x =，所以存在有理数域上的多项式(), ()u x v x ，

使得()()()()1u x f x v x g x +=，当x =时，有()()1v x g x =，而()[]v x Q x ∈可以表示成2111()v x a b x c x =++，这说明是2()g x a bx cx =++的逆，F 对除法封闭。F 是数域。

二、因式分解理论

1、因式分解

在P 上，11()()()s r r s f x ap x p x =?；

在C 上，11()()()n n r r f x a x a x a =???；

在R 上，1122111()()()()()s t r k

r k s t t f x a x a x a x b x c x b x c =??++++??；

在Q 上，不确定。因2n x +对任意n 都在[]Q x 上不可约。例4若实系数多项式()f x 对x 的一切值都不小于零，则()f x 必可表示成

2212()()()f x g x g x =+，其中12(),()g x g x 是实系数多项式。

证明设1,,r x x …是()f x 的全部不同实根，11()()()()r k k

r f x a x x x x x ?=???，其中0a ≥，()x ?没有实根，由于()f x 不变号，所以1,,r k k …为偶数，从而

21()()()f x f x x ?=。又11()()()()()

s s x x b x b x b x b ?=??????1111001100[()()][()()]

s m s m m m m m x c d i x c d i x c d i x c d i ??????=++++++?++???1212[()()][()()]x i x x i x ????=+?2212()()x x ??=+，

所以2222

112212()[()()][()()]()()f x f x x f x x g x g x ??=+=+，其中12(),()g x g x 是实系数多项式。2、多项式的根a 是()f x 的根()|()x a f x ??。

设()f x 是数域P 上的不可约多项式，若()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，则有()|()f x g x 。

事实上，因为()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有两种情形，或()|()f x g x ，或((),())1f x g x =。

若((),())1f x g x =，则存在(),()[]u x v x P x ∈，使得()()()()1u x f x v x g x +=。由已知条件：()f x 与()g x 有一公共复根（设为a ），即()()0f a g a ==，将a 代入上式中得到10=的矛盾，故假设不正确。从而有()|()f x g x 。

另证：设()f x 有一公共复根c ，()g x 是以c 为根的次数最低的多项式，由带余除法有()()()()f x g x h x r x =+，其中(())(())r x g x ?

例5若c 及1c 都是不可约多项式()f x 的复根，b 是()f x 的任一复根，证明：1b 也是()f x 的复根。

证明已知()f x 不可约，所以()f x 的常数项不为零，因此0b ≠。设1

()()n g x x f x

=，如果()f x 是n 次多项式，从而()g x 也是n 次多项式。由于c 及1c

都是()f x 的根，所以1()()0n g c c f c

==，即c 是()g x 的根，()f x 与()g x 有相同的根，从而有()|()f x g x 。而()g x 也是n 次多项式，所以()()g x df x =，于是若b 是()f x 的任一根，由上可知

()0g b =，从而1()0f b =，即1b

也是()f x 的根。3、整系数多项式的因式分解

本原多项式的乘积还是本原多项式。

如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积。

若)()()(x h x g x f =，其中()f x 是整系数多项式，)(x g 是本原多项式，)(x h 是有理系数多项式，则()h x 一定是整系数多项式。

例6、设1)()()()(2

2221+??????=n a x a x a x x f ,其中n a a a ,...,,21是互不相同的整数，证明：()f x 是有理数域上的不可约多项式。

证明：用反证法。假设()f x 在有理数域上是可约的，由于()f x 是整系数多项式，所以有，次数较低的整系数多项式(),()g x h x 使得()()()f x g x h x =，于是()()1, 1,,i i g a h a i n ==?。由于()f x 在实数域上没有根，所以(),()g x h x 在实数域上也没有根，故或者()()1i i g a h a ==， 1,,i n =?，或者()()1, 1,,i i g a h a i n ==?=?，不妨设()()1, 1,,i i g a h a i n ===?，这说明n a a a ,...,,21是()1,()1g x h x ??的n 个根，(()),(())g x h x n ??≥，而(())(())2g x h x n ?+?=，所以(())(())g x h x n ?=?=，于是可得

12()()()()()1n g x h x x a x a x a ==??????+，但是此时

2221212()()()()()()2()()()1n n f x g x h x x a x a x a x a x a x a ==??????+??????+，得到12()()()0n x a x a x a ??????=，矛盾。所以()f x 是有理数域上的不可约多项式。

例7设1110()[]n n n n f x a x a x a x a Z x ??=++++∈?，若0,n a a 为奇数(1),(1)f f ?中至少有一个是奇数，或0,n a a 和(1),(1)f f ?都不能被3整除，证明：()f x 没有有理根。证明：用反证法。假设r s

是()f x 的有理根，(,)1r s =，则()(()()()r f x x x sx r g x s

?=?=?，其中()g x 是有理系数多项式，由于sx r ?是本原多项式，所以()g x 是整系数多项式。由根与系数地关系有|n s a ，0|r a ，取1x =和1?，得|(1)s r f ?且|(1)s r f +?。

如果0,n a a 为奇数，则s 和r 也是奇数，从而s r ?和s r +都是偶数，这与(1),(1)f f ?中至少有一个是奇数矛盾。

如果0,n a a 不能被3整除，则,s r 不能被3除尽，从而s r ?和s r +至少有一个被3除尽，从而(1),(1)f f ?至少有一个被3除尽，矛盾。

4、2n x ±在有理数域上是不可约的。

例8把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，32

b p q r =，这里的,,p q r Q ∈是互

不相同的素数，判断向量组1,?是否线性相关？说明理由。

解向量组1,?是线性无关的。若不然，则存在不全为零的011,,,n k k k Q ?∈?，使得

010n k k k k ?+++=，

这就是说，B =是非零的有理系数多项式1011()n n f x k k x k x ??=+++?的根，即1001()0n n f B k k B k B ??=+++=?。

另一方面，对于整系数多项式()n

g x x b =?，显然有()0g B =，即B 是多项式()g x 的

g x在有理数域Q上不可约。于是有根。取素数r，利用Eisenstein判别法，易知()

g x f x，矛盾。因此，向量组1,?是线性无关的。

()|()