1 多项式

第一章

多项式

一、整除理论1、带余除法()()()()

f x

g x

h x r x =+若(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 首1，则(),()[]h x r x Z x ∈。

事实上，设11011(), ()n n m m n m f x a x a x a g x x b x b −−=+++=+++⋯⋯，m n ≤，01()()()n m f x a x g x r x −=⋅+，则1()[]r x Z x ∈。

例1设(),()f x g x 是整系数多项式，()g x 非零且首项系数为1，证明：()|()g x f x 的充分必要条件是存在无限多个整数n ，使得()|()g n f n 。

证明必要性显然，下证充分性。

由于()g x 首项系数为1，故存在整系数多项式()h x 和()r x ，使

()()()()f x g x h x r x =+（*）

其中(())(())r x g x ∂<∂或()0r x =。若()0r x ≠，则(())(())r x g x ∂<∂，于是对绝对值充分大的x ，有|()||()|r x g x <。取绝对值充分大的整数n ，使()|()g n f n ，且|()||()|r n g n <，但由（*）式有()()()()()

r n f n h n g n g n =−为整数，矛盾。故()0r x =，从而()|()g x f x 。2、整除()()()

f x

g x

h x =设F 和1F 是数域，且1F F ⊆，(),()[]f x g x F x ∈，则

（1）在[]F x 中()|()g x f x 当且仅当在1[]F x 中()|()g x f x ；

（2）()f x 与()g x 在[]F x 中互素当且仅当()f x 与()g x 在1F [x]中互素。

事实上，（1）设10()[]n n g x b x b x x b F ∈=++⋯，110[()]m

m h x c x c F x c x ∈=++⋯，10()[]n m n m f x a x a x a F x ++=++∈⋯，()()()f x g x h x =，k c 是下标最小的1F 中的数，由于101010()()n m m m n m n m a x a x a b x b x b c x c x c ++++=++++⋯⋯⋯，考察等式两边的k n

x +

项，有11220()k n k n k n m n k m k n k n c b c b c b c b c b a +−+−+−++++++=⋯，此式除k c 外都是F 中的数，矛盾。

（2）若()f x 与()g x 在[]F x 中互素，则[](),()u x v x F x ∃∈，使得1uf vg +=，此式在[]1F x 中也成立，故(),()f x g x 在[]1F x 中也互素。反之，因为()f x 与()g x 在[]F x 中的公因式也是(),()f x g x 在[]1F x 的公因式，所以当()f x 与()g x 在1F [x]中互素时，()f x 与()g x 在[]F x 中也互素。

例2假设1()f x 与2()f x 为次数不越过3的首项系数为１的互异多项式，假设

421x x ++整除34312()()f x x f x +，试求1()f x 与2()f x 的最大公因式。

解

易知421x x ++的根为cos sin 33k k k i ππε=+，1,2,4,5k =，由于421x x ++整除34312()()f x x f x +，有

112122132142(1)(1)0, (1)(1)0, (1)(1)0, (1)(1)0f f f f f f f f εεεε−−−=+=−+−=−=，解之得1212(1)(1)0,(1)(1)0f f f f ==－＝－＝，又1()f x 与2()f x 为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，从而1()f x 与2()f x 的最大公因式为1(1)x x −+（）。

3、贝袓等式()()()()()u x f x v x g x d x +=。

若上式成立，且()d x 是()f x 和()g x 的公因式，则()d x 是最大公因式。

例3设{|,,}F a a b c Q =++∈，证明：F 是数域。

证明显然F 对加减法和乘法封闭，下证F 对除法封闭。令x =，则

2{|,,}F a bx cx a b c Q =++∈，

取3()2f x x =−，可证()f x 在有理数域上不可约，于是对于任意有理数域上的非零多项式2()g x a bx cx =++，有((),())1f x g x =，所以存在有理数域上的多项式(), ()u x v x ，

使得()()()()1u x f x v x g x +=，当x =时，有()()1v x g x =，而()[]v x Q x ∈可以表示成2111()v x a b x c x =++，这说明是2()g x a bx cx =++的逆，F 对除法封闭。F 是数域。

二、因式分解理论

1、因式分解

在P 上，11()()()s r r s f x ap x p x =⋯；

在C 上，11()()()n n r r f x a x a x a =−−⋯；

在R 上，1122111()()()()()s t r k

r k s t t f x a x a x a x b x c x b x c =−−++++⋯⋯；

在Q 上，不确定。因2n x +对任意n 都在[]Q x 上不可约。例4若实系数多项式()f x 对x 的一切值都不小于零，则()f x 必可表示成

2212()()()f x g x g x =+，其中12(),()g x g x 是实系数多项式。

证明设1,,r x x …是()f x 的全部不同实根，11()()()()r k k

r f x a x x x x x ϕ=−−⋯，其中0a ≥，()x ϕ没有实根，由于()f x 不变号，所以1,,r k k …为偶数，从而

21()()()f x f x x ϕ=。又11()()()()()

s s x x b x b x b x b ϕ=−−−−⋯⋯1111001100[()()][()()]

s m s m m m m m x c d i x c d i x c d i x c d i −−−−−−=++++++−++−⋯⋯1212[()()][()()]x i x x i x ϕϕϕϕ=+−2212()()x x ϕϕ=+，

所以2222

112212()[()()][()()]()()f x f x x f x x g x g x ϕϕ=+=+，其中12(),()g x g x 是实系数多项式。2、多项式的根a 是()f x 的根()|()x a f x ⇔−。

设()f x 是数域P 上的不可约多项式，若()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，则有()|()f x g x 。

事实上，因为()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有两种情形，或()|()f x g x ，或((),())1f x g x =。

若((),())1f x g x =，则存在(),()[]u x v x P x ∈，使得()()()()1u x f x v x g x +=。由已知条件：()f x 与()g x 有一公共复根（设为a ），即()()0f a g a ==，将a 代入上式中得到10=的矛盾，故假设不正确。从而有()|()f x g x 。