概率的乘法公式
数学运算 概率公式
数学运算概率公式数学运算是数学中的基本概念之一，它涉及到加法、减法、乘法、除法等操作。
在概率论中，概率公式是用来计算事件发生的可能性的数学公式。
常见的概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。
首先，加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的并集的概率可以用加法法则表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
其次，乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率可以用乘法法则表示为P(A∩B) = P(A) P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式是一个重要的概率公式，用于计算一个事件的概率。
如果B1, B2, ..., Bn是一个样本空间的一个划分，即它们互不相交且并集为整个样本空间，那么事件A的概率可以用全概率公式表示为P(A) = Σ P(A|Bi) P(Bi)，其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
最后，贝叶斯定理是用于计算在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
贝叶斯定理可以表示为P(B|A) = (P(A|B) P(B)) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
综上所述，数学运算涉及到基本的加减乘除等操作，而概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理，它们在概率论中被广泛应用于计算事件发生的可能性。
希望这些信息能够帮助你更好地理解数学运算和概率公式。
20-21版：4.1.2 乘法公式与全概率公式（步步高）
4.1.2 乘法公式与全概率公式学习目标 1.会应用乘法公式计算概率.2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率．知识点一 乘法公式1．公式：P (BA )＝P (A )P (B |A )．2．意义：根据事件A 发生的概率，以及已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，可以求出事件A 与B 同时发生的概率． 知识点二 全概率公式1．全概率公式：一般地，如果样本空间为Ω，A ，B 为事件，则BA 与B A 是互斥的，且B ＝BΩ＝B (A ＋A )＝BA ＋B A ，从而P (B )＝P (BA ＋B A )＝P (BA )＋P (B A )，当P (A )>0且P (A )>0时，有P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )．2．定理1：若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足： (1)任意两个事件互斥，即A i A j ＝∅，i ≠j ，i ，j ＝1,2，…，n ； (2)A 1＋A 2＋…＋A n ＝Ω； (3)P (A i )＞0 ，i ＝1,2，…，n .则对Ω中的任意事件B ，都有B ＝BA 1＋BA 2＋…＋BA n ， 且P (B )＝∑i ＝1nP (BA i )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．思考 在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？ 答案 互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式． 知识点三 贝叶斯公式一般地，当1>P (A )>0且P (B )>0时，有P (A |B )＝P (A )P (B |A )P (B )＝P (A )P (B |A )P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A ).1．P (AB )＝P (A )P (A |B )．( × )2．全概率公式中样本空间Ω中的事件A i 需满足的条件为∑i ＝1nA i ＝Ω.( × )3．贝叶斯公式是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率．( √ )一、乘法公式例1 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 答案 0.4解析 记“射中第一个目标”为事件A ，“射中第二个目标”为事件B ， 则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.5.所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4. 反思感悟 应用乘法公式的关注点(1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式．(2)用途：已知事件A 发生的概率和事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，求事件A 与B 同时发生的概率．(3)拓广：设A ，B ，C 为三个事件，且P (AB )＞0，则有P (ABC )＝P (C |AB )P (AB )＝P (C |AB )P (B |A )·P (A )．跟踪训练1 一批彩电共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取2次，每次抽一台，则第2次才抽到合格品的概率为________． 答案111解析 设A i (i ＝1,2)为第i 次抽到合格品的事件，则有 P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2|A 1)＝10100×9099＝111. 二、全概率公式命题角度1 两个事件的全概率问题例2 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解 如果用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω， 由题意可知，P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，且P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12.(学生)反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A 1，A 2(或A 与A )． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)．跟踪训练2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为350，乙厂每箱装120个，废品率为120，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．解 记事件A ，B 分别为甲、乙两厂的产品，事件C 为废品，则Ω＝A ∪B ，且A ，B 互斥， (1)由题意，得P (A )＝3050＝35，P (B )＝2050＝25，P (C |A )＝350，P (C |B )＝120， 由全概率公式，得P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝7125. (2)P (A )＝30×10030×100＋20×120＝59，P (B )＝20×12030×100＋20×120＝49，P (C |A )＝350，P (C |B )＝120， 由全概率公式，得P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝59×350＋49×120＝118.命题角度2 定理1的应用例3 某射击小组共有20名射手，其中一级射手5人，二级射手8人，三级射手7人．一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率．解 设事件A 表示“射手能通过选拔进入比赛”． 设事件B i 表示“射手是第i 级射手”(i ＝1,2,3)， 显然，Ω＝B 1＋B 2＋B 3.且P (B 1)＝520＝14，P (B 2)＝820＝25，P (B 3)＝720，P (A |B 1)＝0.9，P (A |B 2)＝0.7， P (A |B 3)＝0.5.由全概率公式得到P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3)．＝0.9×14＋0.7×25＋0.5×720＝0.68.反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P (B )＝ i ＝13P (A i )P (B |A i )．(2)已知事件B 的发生有各种可能的情形A i (i ＝1,2，…，n )，事件B 发生的可能性，就是各种可能情形A i 发生的可能性与已知在A i 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和． 跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解 (1)从甲箱中任取2个产品的样本点有C 28＝8×72＝28(个)， 这2个产品都是次品的样本点有C 23＝3(个)， ∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝23，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，∴P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)·P (A |B 3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.三、贝叶斯公式的应用例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．解 记事件A 1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A 2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A 3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B ＝“该产品是次品”．则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3两两互斥，由题设，知P (A 1)＝45%，P (A 2)＝35%，P (A 3)＝20%，P (B |A 1)＝4%，P (B |A 2)＝2%，P (B |A 3)＝5%. (1)由全概率公式得P (B )＝∑i ＝13P (A i )P (B |A i )＝3.5%.(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得 P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)P (B )＝1835. 反思感悟 条件概率的内含(1)公式P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)P (B )反映了P (A 1B )，P (A 1)，P (B )，P (A 1|B )，P (B |A 1)之间的互化关系．(2)P (A 1)称为先验概率，P (A 1|B )称为后验概率，其反映了事情A 1发生的可能在各种可能原因中的比重．跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解 设事件A 表示取到的产品为正品，B 1，B 2，B 3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥， 由已知P (B 1)＝0.2，P (B 2)＝0.3，P (B 3)＝0.5， P (A |B 1)＝0.95，P (A |B 2)＝0.9，P (A |B 3)＝0.8.(1)由全概率公式得P (A )＝∑i ＝13P (B i )P (A |B i )＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由贝叶斯公式得 P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝0.2×0.950.86＝1986，P (B 2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )＝0.3×0.90.86＝2786，P (B 3|A )＝P (B 3)P (A |B 3)P (A )＝0.5×0.80.86＝4086＝2043.由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．1．第一个袋中有黑、白球各2只， 第二个袋中有黑、白球各 3 只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一、二次均取到白球的概率为( )A.17B.27C.12D.47 答案 B2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( ) A.275 B.7300 C.7375 D.9731 000 答案 C解析 设A i ＝“任意取出一个零件是第i 台机床生产的”，i ＝1,2，B ＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，∴P (B )＝ i ＝12P (A i )P (B |A i )＝23(1－0.03)＋13(1－0.02)＝292300＝7375.3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )A ．0.013B ．0.04C ．0.002D ．0.003 答案 A解析 设事件A 为“任取一件为次品”，事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1,2,3，则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥，易知P (B 1)＝0.3，P (B 2)＝0.5，P (B 3)＝0.2，P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.01， P (A |B 3)＝0.01.∴P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)·P (B 3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________． 答案1325解析 设A ＝“从乙袋中取出的是白球”，B i ＝“从甲袋中取出的两球恰有i 个白球”，i ＝0,1,2.由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＝C 22C 25·410＋C 13C 12C 25·12＋C 23C 25·610＝1325.5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．答案 (1)1.47% (2)95294解析 A ＝“呈阳性反应”，B ＝“患有此种病”． (1)P (A )＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.5%×95%1.47%＝95294.1．知识清单： (1)乘法公式及应用． (2)全概率公式及应用． (3)贝叶斯公式及应用．2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．。
乘法原理的意思。
乘法原理的意思。
摘要：
一、乘法原理的概念
二、乘法原理的公式表示
三、乘法原理的应用举例
四、乘法原理在实际生活中的意义和作用
正文：
乘法原理，是概率论中一个重要的基本原理。
它是指，如果一个事件可以分为若干个互斥且独立的子事件，那么这些子事件发生的概率之积等于事件发生的概率。
用数学公式表示，即：P(A) = P(A1) × P(A2) × ...× P(An)。
为了更好地理解乘法原理，我们可以通过一些具体的例子来进行说明。
比如，抛一枚硬币两次，求两次都是正面的概率。
假设每次抛硬币正面的概率是1/2，那么根据乘法原理，两次都是正面的概率就是1/2 × 1/2 = 1/4。
乘法原理在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
比如，我们购买保险就是一种典型的乘法原理的运用。
保险公司会根据各种风险发生的概率来制定保费，每个人可能面临的风险越多，保费也就越高。
这就是把每个风险看作是一个独立的子事件，然后把这些子事件的概率相乘，得到总的风险概率，从而确定保费。
概率论乘法公式
概率论乘法公式
概率论乘法公式是概率论中常用的一条基本公式，它也被称作“马尔可夫公式”，“乘积公式”或“不完全性定理”。
概率论乘法公式是一个统计学概念，用于表达在相互独立或者不相互独立的一组事件发生情况下，满足所有事件发生的条件概率。
具体地说，概率论乘法公式又称为贝叶斯乘积公式，它的本质是说明了一些事
件的发生是由其它几个事件相互作用而最终发生的。
也就是说，概率论乘法公式可以准确地表达一个发生的概率是由一系列的独立事件的发生的概率的乘积得到的。
例如，可以用概率论乘法公式来推导今天的天气是什么，这种现象是由昨天的气候情况和今天的大气环境状况共同影响所导致的。
概率论乘法公式非常重要，它不仅描述了概率的乘积，而且涵盖了概率的概念，它可以用来解释单个事件的发生概率，也可以用来解释多个事件之间的组合发生概率。
在处理统计学中的问题时，概率论乘法公式是非常有用的，可以帮助它准确地记录和预测不同类型的数据之间的关系。
概率论乘法公式还可以用来计算条件概率，这是一种比较复杂的概率计算方法，其原理是它可以准确地表达一系列条件的发生概率，这些条件之间可能存在关联，也可能不存在关联。
它能够估算出不同的事件发生机率，以及不同条件组合的概率，进而作出相应的结论和分析。
总之，概率论乘法公式是概率论中不可缺少的一条基础公式，它提供了一种灵
活精准的方法来表达概率间的相互关系，可以将概率理论应用于多种实际情况，对于研究概率论有特别的重要性。
高中数学 全概率公式
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
——求和符号
二、探读与思考
n
P( Ai ) 1
i 1
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有
P(B)= =
P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(An )P(B | An ) .
由贝叶斯公式得
P(A|B)＝PAPPBB |A＝00..8858×7 51≈0.958.
堂 21 小 结
1.设事件 2.写概率 3.代公式
条件概率 P(B|A)＝PAB―→乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) PA
↓
全概率公式 由因求果
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) 加法公式
易知, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，
且两两互斥，
A4 0.4
四、引导与迁移
由因求果
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到
的概率分别为
由已知得
0.25,0.3,0.1,0.2,
我们称该式为概率的乘法公式.
回顾旧知
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是145,刮风的概率为125,既刮
风又下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( C ) 10
A.2825
B.12
C.38
D.34
条件概率
1
解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
概率论乘法公式
设B={零件是乙厂生产}
300个
A={是标准件} 乙厂生产 所求为P(AB).
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
4
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
乙厂生产
所求为P(AB) .
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
189个是
标准件
甲、乙共生产
优名酒各一瓶,第 三个拿到两瓶国 优名酒
从而： P (A) B 0 .4C 6 0 .57 3 0 .06 6 0 .0 71
20
例 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时 1
打二破 次的 落概 下率破为的概2 率，为若第107 一, 若次前落两下次时落未下打未破打,第 破, 第三次打破的概率为 9
b b c r r c brbrcbr 2 cbr 3 c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.
14
一场精彩的足球赛将要举行，
5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
16
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
17
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
概率的加法定理与乘法定理
概率的加法定理与乘法定理概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性。
在概率的研究中，加法定理和乘法定理是两个基本的规则，它们可以帮助我们计算复杂事件的概率。
本文将详细介绍概率的加法定理和乘法定理的概念、公式及其应用。
一、概率的加法定理概率的加法定理是指当事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 或 B) = P(A) + P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 或 B)表示事件A或事件B发生的概率。
应用概率的加法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是互斥的，即两个事件不可能同时发生；事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
举例来说，假设某班级有30个男生和20个女生，如果从班级中随机选出一个学生，那么选中的学生是男生或女生的概率如何计算呢？解答：由于男生和女生是互斥的，即一个学生不可能既是男生又是女生，因此可以使用概率的加法定理来计算。
设事件A为选中的学生是男生，事件B为选中的学生是女生。
根据题目给出的信息，我们可以得到P(A) = 30/50，P(B) = 20/50。
根据概率的加法定理，我们有P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 30/50 +20/50 = 50/50 = 1。
所以，选中的学生是男生或女生的概率为1，即100%。
二、概率的乘法定理概率的乘法定理是指当事件A和事件B是独立事件（即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然）时，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 且 B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 且 B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
应用概率的乘法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然；事件A和事件B同时发生的可能性大于零，即事件A和事件B不能同时为不可能事件。
条件概率与乘法定理
条件概率与乘法定理
在概率论中，条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它的计算方法可以由乘法定理来表示。
乘法定理是概率论中的基本定理之一，它表明两个事件共同发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以在该事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B)表示已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率；P(A∩B)表示A事件与B事件同时发生的概率；P(B)表示B事件发生的概率。
乘法定理可以表示为：
P(A∩B) = P(A|B) * P(B)
这意味着事件A与事件B同时发生的概率等于已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率乘以B事件发生的概率。
条件概率与乘法定理在实际应用中具有重要的意义。
例如，在医疗诊断中，通过已知某种疾病的患病率以及某种诊断方法的准确率，可以计算出在进行该诊断方法的情况下，某人患病的概率。
在金融风险评估中，可以通过已知某种投资品的风险以及市场情况的变化，来计算在特定市场条件下的投资风险。
此外，条件概率与乘法定理也在统计学中被广泛应用。
在贝叶斯定理中，条件概率是重要的基础，用于根据先验概率和观察到的证据来更新概率分布。
总结起来，条件概率与乘法定理是概率论中重要的概念和工具，它们能够帮助我们计算两个事件共同发生的概率。
在实际应用中，我们可以利用条件概率和乘法定理来进行各种概率计算和预测，从而帮助我们做出更加明智的决策。
乘法原理的意思。
乘法原理的意思。
（原创版）目录1.乘法原理的定义2.乘法原理的公式表示3.乘法原理的实际应用4.乘法原理与加法原理的区别正文乘法原理，又称为分布律，是一种概率论中的基本原理。
它主要用于计算多个事件同时发生的概率。
乘法原理的意思是：如果事件 A 可以分解为若干个互不相交的子事件，事件 B 也可以分解为若干个互不相交的子事件，那么，事件 A 和事件 B 同时发生的概率就等于各子事件概率的乘积。
乘法原理的公式表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A) 或者 P(A∩B) = P(B) * P(A|B)。
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
乘法原理在实际应用中非常广泛。
例如，在统计学中，我们常常用乘法原理计算多个因素同时影响的概率。
例如，假设有一个袋子里有 3 个红球和 2 个绿球，我们先后两次随机从袋子里抽出一个球，抽出后不放回。
那么，抽到两次都是红球的概率就是 3/5 * 2/4 = 3/10。
乘法原理与加法原理是概率论中另外两个基本的原理。
乘法原理描述的是多个事件同时发生的概率，而加法原理描述的是多个事件中至少发生一个的概率。
例如，假设有一个袋子里有 3 个红球和 2 个绿球，我们先后两次随机从袋子里抽出一个球，抽出后不放回。
那么，抽到两次都是红球的概率就是乘法原理；而抽到至少有一次是红球的概率就是加法原理，即 1 - P(两次都是绿球) = 1 - 2/5 * 1/4 = 9/10。
总的来说，乘法原理是一种计算多个事件同时发生概率的基本方法，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
遗传概率中乘法原则和加法原则
加法法则和乘法法则1．乘法法则：概念：两个独立事件共同出现的概率等于它们各自出现的概率之和。
公式：P（AB）=P（A）×P（B）例析：人类的钟摆型眼球震颤是由X染色体上显性基因控制，半乳糖血症是由常染色体上的隐性基因控制。
一个患钟摆型眼球震颤的女性和一正常男性婚配，生了一个患半乳糖血症的男孩(眼球正常)，他们生的第二个孩子是两病皆患的男孩的几率是（ D ）A．1／2 B．1／ 4 C．1／8 D．1／16【解析】此题题干部分已经明确说明了钟摆型眼球震颤是由X染色体上显性基因控制的，半乳糖血症是由常染色体上的隐性基因控制的。
根据第一个孩子可以推断出该女子的基因型为（AaX B X b，设半乳糖血症基因为a，其对应正常基因为A，钟摆型眼球震颤基因为B，其对应正常基因为b），该男子基因型为AaX B Y，生第二个孩子患半乳糖血症病的可能性为1/4，患钟摆型眼球震颤男孩的可能性为1/4，两病均患的男孩的几率是1/4×1/4=1/16。
2．加法法则：概念：设有两个事件（A和B），若A和B事件为互斥事件，则出现事件A或事件B的概率等于它们各自概率之和。
公式：P（A或B）=P（A）＋P（B）例析：一对夫妇，其后代若仅考虑甲病的得病几率，则得病可能性为a，正常的可能性为b，若仅考虑乙病的得病几率，则得病几率为c，正常的可能性为d，则这对夫妻结婚后，要生一个孩子，此孩子只有一种病的可能性的表达式可表示为（ ABCD ）（多选题）A．a+c－2ac B．1－ac－bd C．b＋d－2bd D．ad＋bc【解析】本题考查了遗传概率问题。
这对夫妇，其后代仅得甲病的可能性为a，正常的可能性为b，仅得乙病的几率为c，正常的可能性为d，因此a＝1—b；c＝1—d。
只有一种病的可能性为（a—ac）＋（c—ac）＝a＋c—２ac，其中ac为两病均患的可能性；由于bd表示两病均不患，所以只有一种病的可能性也可表示为1－ac－bd；还可以表示为［b－bd（只患乙病）］＋［d－bd（只患甲病）］＝b＋d－2bd；此外ad表示只患甲病，bc表示只患乙病，因此只有一种病的可能性还可表示为ad＋bc。
第3讲概率的加法公式与乘法公式
第3讲概率的加法公式与乘法公式概率是描述事件发生的可能性的数学工具。
在概率论中，加法公式和乘法公式是两个基本的公式，用于计算复杂事件的概率。
1.加法公式加法公式简要地描述了两个事件同时发生的概率。
设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∪B)，即事件A和事件B至少发生一个的概率。
加法公式可以用以下公式来表示：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B单独发生的概率。
可以看出，加法公式的基本思想是将两个事件单独发生的概率相加，然后减去它们同时发生的概率。
举个例子来说明加法公式的应用：假设一个班级有40个学生，其中30个学生喜欢篮球，20个学生喜欢足球。
问这些学生中至少有一项运动爱好的概率是多少？解：根据加法公式，这个问题可以转化为计算P(篮球∪足球)，即至少有一项运动爱好。
根据已知信息，P(篮球)=30/40，P(足球)=20/40。
同时，我们可以假设P(篮球∩足球)=x，即同时喜欢篮球和足球的学生数目为x。
根据加法公式，P(篮球∪足球)=P(篮球)+P(足球)-P(篮球∩足球)。
带入已知信息，我们有：P(篮球∪足球)=30/40+20/40-x由于问题中明确提到了这个班级共有40个学生，且每个学生只能属于篮球运动和足球运动中的一个或者两个，所以可以得到：x=30+20-40=10将x=10带回到公式中，我们可以计算出P(篮球∪足球)=30/40+20/40-10/40=40/40=1，即这些学生中至少有一项运动爱好的概率为1，也就是100%。
2.乘法公式乘法公式描述的是两个事件同时发生的概率。
设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∩B)。
乘法公式可以用以下公式来表示：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
概率的基本公式
发生, 故P(A|B)= 2×4!/ 5!=2/5.
解二: 用条件概率公式. P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/15)/(1/6)=6/15=2/5. 类似, P(B |A)=2/15. 由条件概率定义的表达式，很容易推导出
P ( AB) P( A) P( B A) P ( B ) P ( A B )
医用高等数学
例6-15 一批小白鼠中, 有30%注射过药物A, 25%注
射过药物B, 两种药物都注射过的占20%. 若取到是1只已知
没有注射过药物B小白鼠的条件下，它也没有注射过药物
A的可能性有多大?
P( AB ) 0.65 P( A | B ) 0.867 P( B ) 1 0.25
可以验证，条件概率具有无条件概率的所有性质. 例如：
概率的乘法公式还可能推广到有限多个事件的情况，即
P( A1 A2 An )=P( A1 )P( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )… P ( An A A A )
1 2 n 1
医用高等数学
例6-17 产妇分娩胎儿的存活率为P(L)=0.98. 又知活
解 根据医学常识，只有O型或B型的人方可给B型的
频率代替概率，有P( E1 )=0.46，P( E2 )=0.15，且 E1 与 E2 互
E1 不相容，而“可给B型病人输血”这一事件是与 E2 的事件
医用高等数学
病人输血，设 E1 =“被检者是O型”， E2 =“被检者是B型”，以
之和，由推论1，所求概率为：
P ( A2 | A1 ) 0.6 , P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 0.4
两次患该病心肌未受损害的概率为
概率乘法公式_
P(AB) P(A)P(B | A)
更一般地：若P(A1A2…An-1)>0，则 P (A1A2…An-1An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1 ) 重要：乘法公式是计算事件积的概率的公式。 使用关键是确定用什么样的事件做条件。
例1 Polya罐子模型: 罐子中放有a个红球和b个 白球，每次从罐中随机抽取一个球，看其颜色 后，连同c个同色球一起放回罐中，如此反复进 行。记Bn={第n次抽得红球}，n=1，2，… 求：P(B1 B2B3 )
1 2
甲机被击落的概率p1；
乙机被击落的概率p2。
解：设A={甲机首次攻击击落乙机}
B={乙机击落甲机}
C={甲机第二次攻击击落乙机}
所以有 P(A)=0.2 P(B A) 0.3，P(C AB) 0.4
（1）甲机被击落的概率
p1 P(AB) P(A)P(B | A) 0.80.3 0.24
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
第1 章
知识点名称：概率乘法公式 主讲人：杨宇明
定义：设A,B是随机试验E的两个随机事件,
且P(B) >0，称 P( A B) P( AB) P(B)
为在事件B 发生的条件下，事件A发生的条件概率。
二. 乘法公式 定理：设P (B) > 0,则有
P(AB) P(B)P(A | B)
解：由乘法公式
P(B1 B2B3)=P(B1)P(B2 | B1)P(B3 | B1B2)
a
b
a c
=
a b a b c a b 2c
例2 两架飞机进行空战，甲机首先开火，击落乙机的
概率为0.2，若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的
3-3 概率的基本运算
P ( B ) = P ( A B ) + P ( AB )
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
6 5 4 6 = × + × 10 9 10 9
全概率公式
＝ 0.6
AB AB
A
B
A
概率的乘法
全概率公式
定义 设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组， ，Ａ 构成一个完备事件组， 且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有 Ａ ＞ ， ＝ ， ， ， ，则对任一随机事件Ｂ，有 Ｂ，
P( A | B) = 45%
于是 所以
P (B ) = 4%
P ( B ) = 1 − P ( B ) = 96 %
P ( A) = P ( AB ) = P ( B ) P ( A | B )
= 96% × 45% = 43.2%
概率的乘法
一个盒子中有６只白球、 只黑球， 【例5】 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１ 连取２ 第一次取得白球的概率； 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； 第一、第二次都取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球 而第二次取得白球的概率． 而第二次取得白球的概率． 表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则
概率的乘法
2. 概率乘法公式 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件， 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件，有 A,B为同一样本空间中的两个随机事件
P( AB) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B)
概率的运算法则
4. 19600
故 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
221. 980
另解 考虑到 A1 A2 A3 A0
故 P( A1 A2 A3 ) P( A0 ) 1 P( A0 )
1
C3 46
2.乘法公式
定理3 若 P(A)>0，则有P( AB) P( A)P(B A). 若 P(B)>0，则有P( AB) P(B)P( A B).
即有 P( AB) P( A)P(B A) P(B)P( A B).
推广 设 A1, A2, , An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
例1 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个 为黑球,从中一次任取3个，求至少有两个是白 球的概率.
解 分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球，
则A2与A3互斥.
P( A2 )
C C2 1 43 C3 7
18， 35
P(
A3
)
C 43 C73
4 35
由加法法则，所求概率为
22
P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 )
例5 袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中 不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次 取得白球的概率.
解 设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球, 则求P(B | A)
推论1 对任一事件A，有 P( A) 1 P( A).
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公式
.
复习回顾： ①什么叫做互斥事件？ 什么叫做对立事件？ 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； A与B互斥事件且A∪B=Ω，叫对立事件。
②两个互斥事件A、B至少有一个发生的概率公式是什么？
P(AUB)=P(A)+(B)
③若A与Ā为对立事件，则P（Ā）与P（A）关系如何？
相互独立
.
❖ 问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，
2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球， ❖ 它们都是白球的概率是多少？
分析:设A=“从甲坛子里摸得白球”，B=“从乙坛子里摸得 白球”，C=“从这两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”
（白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） （白3，白1） （白3，白2） （白3，黑1） （白3，黑2） （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2）
P（A）=3/5 P（B）=2/4 P（C）=6/20
C= A∩B P（C）= P（A）× P（B）= 6/20
.
（2）相互独立事件同时发生的概率公式：
“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件， 它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A ∩ B
两个相互独立事件A,B同时发生的概率为： P（A ∩ B）= P(A) ·P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 （3）相互独立事件同时发生的概率公式的推广： 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An）=P（A1）·P（A2）……P（An） .
3）这里事件A与事件B是相互独立的吗？
.
典例分析
例1 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中 目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由1人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率。
分析： 记：“甲射击1次，击中目标”为事件A， “乙射击1次，击中目标”为事件B，且A与B相互独立，
1P(A•B•C) 10.027 0.973
.
巩固练习（3）
在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地 下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否 下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P=2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
如果A,B是两个相互独立事件,那么1－P(A)•P(B)表示什么
1－P(A)•P(B)表示：事件A和B到少有一个不发生。
A•B
A•B
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑）
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
.
1、相互独立事件及其同时发生的概率
（1）相互独立事件的定义： 事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响
这样两个事件叫做相互独立事件。
注：①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥 是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立 是指一个事件的发生与否对另一个事件发 生的概率没有影响。 ②如果事件A与B相互独立，那么 Ā与B，A与B，A与B 是不是相互独立的
P(A)+P(Ā)=1
.
❖ 问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，
2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率 是多少？
甲
乙
分析:设A=“从甲坛子里摸得白球”
B=“从乙坛子里摸得白球”
问：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率是否 有影响？
结论：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 没有影响
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
A•B
.
A• B
巩固练习（1）
1、一个口袋装有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸出1个球， 得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球中任意摸出1个球， 得到白球”记作事件B，那么，
1）在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？ 1/3 2）在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？2/3
.
巩固练习(2)
生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的 合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件， 都抽到合格品的概率是多少？
582 625
.
例2：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开 关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率 都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
（3）其中至少有1个地方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44.
小结：
1、相互独立事件的定义，注意利用问题的实际意 义进行判断。
2、相互独立事件同时发生的概率： P（A ∩ B）= P(A) ·P(B) 3、注意解题步骤！ 作业：
P200第2、3题
.