中考数学压轴题-动点问题(二)-教案

第二讲

因动点产生的四边形

例1：（两点固定求满足要求的四边形问题）如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠=

，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =．

（1）线段OB 的长为，点C 的坐标为

；

（2）求△OCM 的面积；

（3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式；

（4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F

点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．

【解答】解：（1）如图，作CG ⊥AO 与x ∵OA=2CB ，∴OA=2AG ，∵AO=4，∴OG=2，

由于AB 为4，CB ∥OA ，则C 点纵坐标为4，∴C （2，4）．

（2）∵AO=2CB ，∴2S △CBO =S △AOB ，

∵S 梯形ABCO =（CB +AO ）•AB=×（2+4）×

=12×=4，

∴S

△CBO

∵CB∥AO，

∴△CMB∽△AMO，

∴=，

=，

则=，

=S△COB=×4=；

∴S

△COM

（3）∵O（0，0），A（4，0），C（2，4），

∴设解析式为y=a（x﹣0）（x﹣4），

将（2，4）代入解析式得，4=a（2﹣0）（2﹣4），

解得a=﹣1．

则解析式为y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x．

由图可知F点横坐标为2+4=6，

将x=6代入y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x得，

y=﹣36+4×6=﹣12，

故F（6，﹣12）．

由图可知F1点横坐标为2﹣4=﹣2，

将x=﹣2代入y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x得，

y=﹣36+4×6=﹣12，

故F1（﹣2，﹣12）．

当F与C重合时，F2（2，4）．

故F点的坐标为：（6，﹣12），F1（﹣2，﹣12），F2（2，4）．

【点评】此题考查了二次函数的性质和梯形及平行四边形的性质，将坐标与图形相结合，使得这道题充分体现了数形结合的重要性，同时要注意分类讨论．

例2：如图．抛物线212y ax ax b =-+经过A（－1，0），C（2，

3

2

）两点，与x 轴交于另一点B．(1)求此地物线的解析式；

(2)若抛物线的顶点为M，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且

∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=22

2

y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；

(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n 分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交

于点F，H．问四边形EFHG 能否为平行四边形?若能，求m，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．

【解答】

∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，∴m2-2m+1=n2-2n+1，

∴（m+n-2）（m-n）=0；

∵由题意知m≠n，

∴m+n=2（m≠1）；

因此四边形EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．

例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3

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y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A B C ，，的坐标．

（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．

（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，

直线写出

BE

CD

的值；如果不存在，请说明理由．

【解答】

A y x

D C

O

B

例4：如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=

4

3

．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若反比例函数y=

k

x

的图象经过点E ，求k 的值；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】

解：（1）∵x 2

-18x+72=0∴x 1=6，x 2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．

∴A（12，0），C（-6，0）；

（2）∵tan∠ABO=，

∴=，

∴，

∴OB=16．

在Rt△AOB 中，由勾股定理，得AB==20．

∵BE=5，∴AE=15．

如图1，作EM⊥x 轴于点M，

∴EM∥OB．

∴△AEM∽△ABO，

∴，∴，∴EM=12，AM=9，

∴OM=12-9=3，

∴E（3，12），

∴12=，

∴k=36

例5：如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？，

若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

【解答】

解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，

由射影定理，得：OD2=OB•OC；

则OB=OD2÷OC=1；

∴B（-1，0）；

∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）；

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：

a（0+1）（0-4）=4，a=-1；

∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4；

（2）因为A（-2，0），D（0，2）；

所以直线AD：y=x+2；

联立抛物线的解析式可求得F（1-，3-），G（1+，3+）；

设P点坐标为（x，x+2）（1-＜x＜1+），则Q（x，-x2+3x+4）；