定积分的概念与性质
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n 个小段
过的路程为
2) 常代变.
且
将它分成 在每个小段上物体经
得
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
二、定积分定义 (P225 )
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I , 上的定积分,
yi 4.00000 3.96040 3.84615 3.66972 3.44828 3.20000 2.94118 2.68456 2.43902 2.20994 2.00000
四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
( k 为常数) 证:
= 右端
证: 当
因
在
时, 上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例 如
则有
6. 若在 [a , b] 上
则
证:
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
证:
即
7. 设
则
例4. 试证:
证: 设
则在
上, 有
即 故 即
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
证: 则由性质7 可得
根据闭区间上连续函数介值定理, 使
因此定理成立.
则称此极限 I 为函数 记作
即
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
积分上限
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,
变量用什么字母表示无关 ,
即
积 分 和 而与积分
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
各部分面积的代数和
连续函数在区间上的平均值公式
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
解:
或
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
极限为 0 !
2. P235 题3
题13(4) 解: 设
3. P236 题13 (2) , (4)
则
即
作业
P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5)
定积分
换元积分法 分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
单值函数
满足:
1)
2) 在
上
则
证: 所证等式两边被积函数都连续, 且它们的原函数也存在 .
则
是
的原函数 ,
因此积分都存在 , 因此有
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
同时为
例1. 求
解:
原式 洛
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式 = 洛
c ≠0 , 故
又由
～
,得
说明
例3.
在 证:
内为单调递增函数 .
证明 只要证
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
第二节
第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
与速度函数
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
则变上限函数
证:
则有
备用题
1. 设
求
解： 定积分为常数 , 设
故应用积分法定此常数 . ,则
2. 设
时, = o( ) .
证：
洛
试证: 当
所以 = o( ) .
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3. 求
解: 由于
所以 其中
的递推公式(n为正整数) . 因此
第三节
第五章
定积分的换元法和
分部积分法
不定积分
换元积分法 分部积分法
根据定积分定义
1. 左矩形公式 2. 右矩形公式
3. 梯形公式
4. 抛物线法公式
推导
例3. 用梯形公式和抛物线法公式
计算定积分
的近似值.
(取 n = 10, 计算时取5位小数)
解:计算yi(见右表) 用梯形公式得 用抛物线法公式得 积分准确值为
i xi 0 0.0 1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.4 5 0.5 6 0.6 7 0.7 8 0.8 9 0.9 10 1.0
可积的充分条件:
定理1. 定理2.
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
取
且只有有限个间断点
(证明略)
注 注. 当n 较大时, 此值可作为
的近似值
注源自文库
例2. 用定积分表示下列极限:
解:
三、定积分的近似计算 例1
可得如下近似计算方法: 将 [a , b] 分成 n 等份:
性质7
说明:
• 积分中值定理对 • 可把
因
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度. 解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度
内容小结
1. 定积分的定义
2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
— 乘积和式的极限
近似计算
矩形公式 梯形公式 抛物线法公式
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
已知速度
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小.
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
内容小结
1. 微积分基本公式
则有
积分中值定理
微分中值定理
2. 变限积分求导公式
牛顿 – 莱布尼茨公式
作业
P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节
定理2. 函数 , 则
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
证: 根据定理 1,
故
因此
得
记作
或
例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线 的面积 .
解:
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
一、定积分问题举例
矩形面积 梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
过的路程为
2) 常代变.
且
将它分成 在每个小段上物体经
得
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
二、定积分定义 (P225 )
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I , 上的定积分,
yi 4.00000 3.96040 3.84615 3.66972 3.44828 3.20000 2.94118 2.68456 2.43902 2.20994 2.00000
四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
( k 为常数) 证:
= 右端
证: 当
因
在
时, 上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例 如
则有
6. 若在 [a , b] 上
则
证:
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
证:
即
7. 设
则
例4. 试证:
证: 设
则在
上, 有
即 故 即
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
证: 则由性质7 可得
根据闭区间上连续函数介值定理, 使
因此定理成立.
则称此极限 I 为函数 记作
即
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
积分上限
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,
变量用什么字母表示无关 ,
即
积 分 和 而与积分
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
各部分面积的代数和
连续函数在区间上的平均值公式
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
解:
或
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
极限为 0 !
2. P235 题3
题13(4) 解: 设
3. P236 题13 (2) , (4)
则
即
作业
P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5)
定积分
换元积分法 分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
单值函数
满足:
1)
2) 在
上
则
证: 所证等式两边被积函数都连续, 且它们的原函数也存在 .
则
是
的原函数 ,
因此积分都存在 , 因此有
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
同时为
例1. 求
解:
原式 洛
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式 = 洛
c ≠0 , 故
又由
～
,得
说明
例3.
在 证:
内为单调递增函数 .
证明 只要证
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
第二节
第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
与速度函数
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
则变上限函数
证:
则有
备用题
1. 设
求
解： 定积分为常数 , 设
故应用积分法定此常数 . ,则
2. 设
时, = o( ) .
证：
洛
试证: 当
所以 = o( ) .
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3. 求
解: 由于
所以 其中
的递推公式(n为正整数) . 因此
第三节
第五章
定积分的换元法和
分部积分法
不定积分
换元积分法 分部积分法
根据定积分定义
1. 左矩形公式 2. 右矩形公式
3. 梯形公式
4. 抛物线法公式
推导
例3. 用梯形公式和抛物线法公式
计算定积分
的近似值.
(取 n = 10, 计算时取5位小数)
解:计算yi(见右表) 用梯形公式得 用抛物线法公式得 积分准确值为
i xi 0 0.0 1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.4 5 0.5 6 0.6 7 0.7 8 0.8 9 0.9 10 1.0
可积的充分条件:
定理1. 定理2.
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
取
且只有有限个间断点
(证明略)
注 注. 当n 较大时, 此值可作为
的近似值
注源自文库
例2. 用定积分表示下列极限:
解:
三、定积分的近似计算 例1
可得如下近似计算方法: 将 [a , b] 分成 n 等份:
性质7
说明:
• 积分中值定理对 • 可把
因
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度. 解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度
内容小结
1. 定积分的定义
2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
— 乘积和式的极限
近似计算
矩形公式 梯形公式 抛物线法公式
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
已知速度
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小.
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
内容小结
1. 微积分基本公式
则有
积分中值定理
微分中值定理
2. 变限积分求导公式
牛顿 – 莱布尼茨公式
作业
P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节
定理2. 函数 , 则
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
证: 根据定理 1,
故
因此
得
记作
或
例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线 的面积 .
解:
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
一、定积分问题举例
矩形面积 梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点