概率区间估计假设检验
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概率论与 数理统计
自考辅导高数㈡ 第十讲
参数估计分
参数估计 点估计
区间估计 上一单元讲了“点估计”， •有了“点”为何要“区 间”? •区间估计的思路及具体步
为什么要讨论区间估计
• 某种意义上说:点估计称:“池中有XXX条鱼”, 几乎没法评价,又几乎非错不可,换一个人再估 计也未必能再现.(P.157) • 换一种提法:区间估计:指出未知参数在一定概 率(可靠程度)下,可能在的范围. • 确切的提法是,为未知参数θ 找两个统计量:θ 1 与θ 2使概率:P(θ 1<θ <θ 2)=1-α ,这里θ 1叫置 信下限,θ 2叫置信上限,1-α 叫置信系数,也叫 置信概率或置信度, 这个α 通常取一个很小的 正数,比如10%,5%, 1%等等.
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20 / 2 Βιβλιοθήκη Baidu1 / 5万, 有此可能.
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准备工作
再算一个硬币抛20次，其中币值面朝 上11次的概率是多少？20次中币值面朝上 的次数还记为ξ,ξ~B(20,0.5), Eξ=10,Dξ=5,由CLT可近似地说：
10 ~ N (10,5) , ~ N(0,1) 5 1 2 2 * P(11 12) P( ) ( ) 5 5 5 1 - ( ) (0.89) (0.45) 0.14[0.1608 ] 5
S S S 同乘以 得： t x t n n n S S 置信区间为： (x t , x t ) n n
2 ( n 1 ) S 2 2 ~ ( n 1),同样可查自由度 2 n 1 的 2分布表 , 得 : P(a 2 b) 1 ,
*一、分布类型未知，但方差已知：
切贝谢夫不等式:P(|ξ-Eξ|<ε)≥1-Dξ/ε2；
对均值的估计
Dx DX P(| x E x | ) 1 2 , P(| x EX | ) 1 2 , n 若要 P(| x EX | ) 95%, DX 20DX 20DX 则 2 5%, , P(| x EX | ) 95% n n n DX DX 一般 P( x EX x ) 1 n n
三、正态总体ξ~N(μ,σ2)，方差未知：不能用
“二、”中的方法，但
x T S
对均值的估计
n | t , 即 t x S n t
n ~ t ( n 1), 可查自由度为
n 1的t分布表得 t , P (| T | t ) 1 , x | S
准备工作
切贝谢夫不等式:P(|ξ-Eξ|<ε)≥1-Dξ/ε2；
如ξ~N(0,1),P(|ξ|<a)=2Φ(a)-1； 正态总体X~N(μ,σ2)的样本均值有
* x x ~ N(, ), U x n 2)还有 正态总体X~N(μ,σ 2
n ~ N(0,1)
x T n ~ t ( n 1), 其中 S n 1 2 2 S2 ( x x ) 是 的无偏估计 i n 1 i 1
提出问题
类似的问题：抽查五袋标签 上宣称重100克的味精，抽 得样本均值为80克，有问题 吗？如另一次抽得样本均值 为99克，可说味精缺斤少两 吗？这类问题就属于统计推 断中的“假设检验”。
假设检验的步骤
1、弄请问题，已知哪些信息？
2、写出原假设(待检假设)H0； 3、确定对立假设H1： 4、确定显著性水平α; 5、用类似区间估计的一套计算，作检验; 6、用数据说话，接受H0还是H1。
假设检验的实例
单正态总体，方差已知情 况下，对总体均值的假设 检验：用统计量U。 P.196例6.1-6.4
*
提出问题
反过来：如果一个硬币抛20次，其中 币值面朝上一次，是否会怀疑此币有 诈？如果20次中币值面朝上11次， 可否说此币有诈？ 这里要提出一个著名的小概率原理： 一般认为一个小概率的事件在一次 试验中不会发生。
提出问题
小概率原理中概率“小”的标准 是什么？五万分之一算“小”吗？ 假设此硬币是普通，20次中币值 面朝上一次的事件发生的概率为 五万分之一，认为此事在一次试 验中不会发生。问题在哪里？你 是否可据此不接受原来的假设， 而认为此硬币不正常。
正态总体ξ~N(μ,σ2)中要估计总体方差 σ2 ：
对方差的估计
2 ( n 1 ) S a 2 b, a b, 2 2 2 ( n 1)S ( n 1)S 2 b a ( n 1)S2 ( n 1)S2 置信区间为： ( , ) b a
假设检验
什么叫假设检验? 什么叫假设？ 假设检验的原理 如何提出假设？ 如何检验假设? 检验的步骤.
准备工作
概率中的“反证法”——小概率原理:
先算一个硬币抛二十次，其中币值面朝上
的只有一次的概率是多少？记二十次中 币值面朝上的次数为ξ,
~ B(20,0.5), P( 1) C 0.5
二、正态总体ξ~N(μ,σ2)，方差已知： 给定α,可查表得uα，使P(|U|<uα)=1- α
x U n ~ N(0,1)
对均值的估计
x x P(| n | u ) 1 , | n | u , x u n u , u x u n n 置信区间为 : ( x u , x u ) n n
自考辅导高数㈡ 第十讲
参数估计分
参数估计 点估计
区间估计 上一单元讲了“点估计”， •有了“点”为何要“区 间”? •区间估计的思路及具体步
为什么要讨论区间估计
• 某种意义上说:点估计称:“池中有XXX条鱼”, 几乎没法评价,又几乎非错不可,换一个人再估 计也未必能再现.(P.157) • 换一种提法:区间估计:指出未知参数在一定概 率(可靠程度)下,可能在的范围. • 确切的提法是,为未知参数θ 找两个统计量:θ 1 与θ 2使概率:P(θ 1<θ <θ 2)=1-α ,这里θ 1叫置 信下限,θ 2叫置信上限,1-α 叫置信系数,也叫 置信概率或置信度, 这个α 通常取一个很小的 正数,比如10%,5%, 1%等等.
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20 / 2 Βιβλιοθήκη Baidu1 / 5万, 有此可能.
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准备工作
再算一个硬币抛20次，其中币值面朝 上11次的概率是多少？20次中币值面朝上 的次数还记为ξ,ξ~B(20,0.5), Eξ=10,Dξ=5,由CLT可近似地说：
10 ~ N (10,5) , ~ N(0,1) 5 1 2 2 * P(11 12) P( ) ( ) 5 5 5 1 - ( ) (0.89) (0.45) 0.14[0.1608 ] 5
S S S 同乘以 得： t x t n n n S S 置信区间为： (x t , x t ) n n
2 ( n 1 ) S 2 2 ~ ( n 1),同样可查自由度 2 n 1 的 2分布表 , 得 : P(a 2 b) 1 ,
*一、分布类型未知，但方差已知：
切贝谢夫不等式:P(|ξ-Eξ|<ε)≥1-Dξ/ε2；
对均值的估计
Dx DX P(| x E x | ) 1 2 , P(| x EX | ) 1 2 , n 若要 P(| x EX | ) 95%, DX 20DX 20DX 则 2 5%, , P(| x EX | ) 95% n n n DX DX 一般 P( x EX x ) 1 n n
三、正态总体ξ~N(μ,σ2)，方差未知：不能用
“二、”中的方法，但
x T S
对均值的估计
n | t , 即 t x S n t
n ~ t ( n 1), 可查自由度为
n 1的t分布表得 t , P (| T | t ) 1 , x | S
准备工作
切贝谢夫不等式:P(|ξ-Eξ|<ε)≥1-Dξ/ε2；
如ξ~N(0,1),P(|ξ|<a)=2Φ(a)-1； 正态总体X~N(μ,σ2)的样本均值有
* x x ~ N(, ), U x n 2)还有 正态总体X~N(μ,σ 2
n ~ N(0,1)
x T n ~ t ( n 1), 其中 S n 1 2 2 S2 ( x x ) 是 的无偏估计 i n 1 i 1
提出问题
类似的问题：抽查五袋标签 上宣称重100克的味精，抽 得样本均值为80克，有问题 吗？如另一次抽得样本均值 为99克，可说味精缺斤少两 吗？这类问题就属于统计推 断中的“假设检验”。
假设检验的步骤
1、弄请问题，已知哪些信息？
2、写出原假设(待检假设)H0； 3、确定对立假设H1： 4、确定显著性水平α; 5、用类似区间估计的一套计算，作检验; 6、用数据说话，接受H0还是H1。
假设检验的实例
单正态总体，方差已知情 况下，对总体均值的假设 检验：用统计量U。 P.196例6.1-6.4
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提出问题
反过来：如果一个硬币抛20次，其中 币值面朝上一次，是否会怀疑此币有 诈？如果20次中币值面朝上11次， 可否说此币有诈？ 这里要提出一个著名的小概率原理： 一般认为一个小概率的事件在一次 试验中不会发生。
提出问题
小概率原理中概率“小”的标准 是什么？五万分之一算“小”吗？ 假设此硬币是普通，20次中币值 面朝上一次的事件发生的概率为 五万分之一，认为此事在一次试 验中不会发生。问题在哪里？你 是否可据此不接受原来的假设， 而认为此硬币不正常。
正态总体ξ~N(μ,σ2)中要估计总体方差 σ2 ：
对方差的估计
2 ( n 1 ) S a 2 b, a b, 2 2 2 ( n 1)S ( n 1)S 2 b a ( n 1)S2 ( n 1)S2 置信区间为： ( , ) b a
假设检验
什么叫假设检验? 什么叫假设？ 假设检验的原理 如何提出假设？ 如何检验假设? 检验的步骤.
准备工作
概率中的“反证法”——小概率原理:
先算一个硬币抛二十次，其中币值面朝上
的只有一次的概率是多少？记二十次中 币值面朝上的次数为ξ,
~ B(20,0.5), P( 1) C 0.5
二、正态总体ξ~N(μ,σ2)，方差已知： 给定α,可查表得uα，使P(|U|<uα)=1- α
x U n ~ N(0,1)
对均值的估计
x x P(| n | u ) 1 , | n | u , x u n u , u x u n n 置信区间为 : ( x u , x u ) n n