机械工程控制基础(3章)

3.3 一阶系统
四、线性系统输出与输入的关系
考察一阶系统的单位阶跃响应函数 Xou(t) 与单位脉冲响应函数 ω(t) ， 可知它们之间的关系为 ，并且其输入的关系为 。 事实上，对于任意线性系统而言，若一个输入A是另一个输入B的导函数， 则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若一个 输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起 输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。
3.4 二阶系统
一. 二阶系统的表示 二阶系统的传递函数有如下两种形式：
其中，ξ,ωn是二阶系统的特征参数，它们表明二阶系统本身的与外界 无关的固有特性。一般将式（3.4.1）所示的系统称为无零点的二阶系统或 典型的二阶系统，而将式（3.4.2）所示的系统称为有零点的二阶系统。在 不特别声明的情况下，本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。
3.5 高阶系统
在单位阶跃输入Xi(s)＝1／s的作用下，输出为
式中
式中第一项为稳态分量，第二项为指数曲线(一阶系统)，第三项为振荡曲线 (二阶系统)。因此，一个高阶系统的响应可以看成是多个一阶环节和二阶环 节响应的叠加。上述一阶环节及二阶环节的响应，决定于 pj, ξk, ωnk及系数 Aj, Dk，即与零、极点的分布有关。因此，了解零、极点的分布情况，就可 以对系统性能进行定性分析。
3.4 二阶系统
三. 二阶系统响应的性能指标 在许多情况下，系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。 通常，系统的性能指标，根据系统对单位阶跃输入的响应给出。其原 因有二：一是产生阶跃输入比较容易，而且从系统对单位阶跃输入的响 应也较容易求得对任何输入的响应；二是在实际中，许多输入与阶跃输 入相似，而且阶跃饱人又往往是实际中最不利的输入情况。 由于完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长，所以，除了那些不 允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，其目的是为了 获得较短的过渡过程时间。这就是在设计二阶系统时，常使系统在欠阻 尼状态下工作的原因。因此，以下二阶系统响应的性能指标的定义及计 算公式除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的；更确切地说， 是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。
3.4 二阶系统
2．峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间。
当ξ一定时， ωn增大，tp就减小；当ωn一定时， ξ增大，tp就增大。
3．最大超调量Mp：一般用下式定义系统的最大超调量，
因此，Mp与ωn无关，而只与ξ有关。ξ增大， Mp就减小；反之亦然。
3.4 二阶系统
4．调整时间ts：在过渡过程中，xo(t)取的值满足下面不等式时所需要的时间， 定义为调整时间。不等式为
控制工程基础
Fundamentals of Control Engineering
第三章 系统的时间响应分析
3.1 时间响应及其组成
一、 时间响应 时间响应是指系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学 方程在一定初始条件下的解。 二、时间响应的组成 如下图的力学系统, 根据力学方程和微分方程的解可得:
3.1 时间响应及其组成
由系统特征根与系统传递函数极点之间的对应关系，还可得系统稳定的
另一判据：若系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面内，则系
统稳定；若系统传递函数在[s]平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。 对于稳定系统， Re[si] 绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减 的快慢。Re[si]绝对值越大，则它所对应的的自由响应项衰减得越快；反之亦 然。而系统特征根的虚部Im[si]的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应 的振荡情况，绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高，它决定了系统的响应 在规定时间内接近稳态响应的情况，这影响着系统响应的准确性。
3.4 二阶系统
由于系统输入的不同，二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应 不同，但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是一致的。 当系统为无阻尼系统时，均为等幅振荡；当系统为欠阻尼系统时， 均为减幅振荡；而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时，均不会出现 振荡。 在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比， 通常选择二阶系统。这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时 间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。
3.4 二阶系统
从二阶系统的瞬态性能指标与其特征参数之间的关系中可以看出： (1)系统性能指标的矛盾性。一般说来，系统的上升时间tr、峰值时间tp等反 映系统响应快速性的性能指标与最大超调量Mp、振荡次数N等振荡性能指标
是相互矛盾的。
(2)为了使二阶系统具有满意的动态特性，必须合理选择系统的阻尼比 ξ 和无 阻尼固有频率 ωn 。一般的做法是先根据最大超调量Mp、振荡次数N等要求
3.4 二阶系统
3.4 二阶系统
二. 二阶系统的单位脉冲响应ω(t)和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下，二阶系统的单位脉冲响应ω(t)和单位阶跃响应如 下表所示。
3.4 二阶系统
其中， ，称ωd为二阶系统的有阻尼固有频率；
当ξ取值不同时，二阶欠阻尼系统的单位 脉冲响应曲线如图3.4.2所示。由图可知， 欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正 弦振荡曲线，且ξ愈小，衰减愈慢，振荡频 率ωd愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡 系统，其幅值衰减的快慢取决于ξωd （1/ ξωd称为时间衰减常数，记为σ）。
源自文库
当ξ一定时， ωn增大，ts就减小；当ωn一定时， ξ增大，ts也减小。在设计 二阶系统时，一般取ξ ＝0．70 7作为最佳阻尼比。这是因为此时不仅ts小， 而是超调量也不大。
3.4 二阶系统
5．振荡次数N：在过渡过程时间内，xo(t)穿越其稳态值 xo(∞) 的次数 的一半定义为振荡次数。即
振荡次数N随着ξ的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。
3.3 一阶系统
由以上分析可知，若要求用实验方法求出一阶系统的传 递函数G(s)，就可以先对系统输入一单位阶跃信号，并测 出它的响应曲线，当然包括其稳态值xou(∞)，然后从响应曲 线上找出0．632 xou(∞)(即特征点A)处所对应的时间t．这个 t就是系统的时间常数T；或者找出t＝o时xou(∞)(即特征点0) 的切线斜率，这个斜率的倒数也是系统的时间常数T。再参 考式(3．3．1)求出ω(t)，最后由G(s)＝L[ω(t)]求得G(s)。
3.4 二阶系统
当取值不同时，系统的单位阶跃响应如图3.4.3所示。由图可知， 单位阶跃响应函数的过渡过程随阻尼的减小，其振荡特性表现得愈 加强烈。 当ξ=0时达到等幅振荡。在ξ=1和ξ>1时， 二阶系统的过渡过程只具有单调上升的特性， 而不会出现振荡。在无振荡单调上升的曲线 中，以ξ=1时的过渡过程时间ts最短。在欠阻 尼系统中，当ξ=0.4~0.8时，不仅其过渡过程 时间比ξ=1更短，而且振荡也不太严重。因 此，一般希望二阶系统工作在ξ=0.4~0.8的欠 阻尼状态。通过选择合适的特征参数ξ, ωd ， 可以使系统具有合适的过渡过程。
。
在控制工程中，如无特别声明，本书所讲的响应往往是零状态响应。 时间响应还可按其性质分为强迫响应项B(t)，自由响应项
3.1 时间响应及其组成
三、微分方程特征根的意义 若系统的所有特征根si(i=1,2,…,n)均具有负实部，即Re[si]<0，则其自由响 应项最终会趋于0，也就是说系统的自由响应项收敛。这种系统称为稳定系统。 此时自由响应项又称为瞬态响应项，强迫响应项又称为稳态响应项。相反地， 若系统存在具有正实部的特征根si，即Re[si]>0 ，则有其自由响应项最终会趋 于无穷大，即系统的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。若系统有一 个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，则其自由响应项最终会 变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。 因此，系统特征根的实部决定了系统的稳定与否。若系统特征根的实部全部 都小于零，则系统稳定；若系统特征根的实部不全小于零，则系统不稳定。
3.4 二阶系统
3.4 二阶系统
3.5 高阶系统
大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。这种 用高阶微分方程描述的系统叫做高阶系统。高阶系统均可化为零阶、一阶 和二阶环节的组合。而一般所重视的是系统的二阶环节，特别是二阶振荡 环节。 高阶系统传递函数的普遍形式可表示为
系统的特征方程式为 设系统传递函数的m个零点为-zi(i＝1，2，…’m)，则系统的传递函数可写为
式中，第一、二项是由微分方程的初始条件(即系统的初始状态)引起的自由振动 即自由响应。第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为ω 应该说，第三项的自由响应并不完全自由，因为它的幅值受到F的影响。第四项 是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率ω。
3.1 时间响应及其组成
3.4 二阶系统
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图3.4.4所示，其瞬态性能 指标包括上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp、调整时间ts、振 荡次数N等。 1．上升时间tr：响应曲线从原工作状态 出发，第一次达到输出稳态值所需的时 间定义为上升时间。
当ξ一定时， ωn增大，tr就减小；当ωn 一定时， ξ增大，tr就增大。
3.4 二阶系统
二阶系统的特征方程是
此方程的两个特征根是 由式（3.4.3）可见，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根分布不同，
亦即二阶系统传递函数的极点分布不同，其分布情况如图（3.4.1）所示。不
同的极点分布情况，决定了二阶系统在不同的阻尼情况下，其自由响应项不 同。由图（3.4.1）可知，当ξ<0时，即二阶系统出现负阻尼时，其传递函数 的两个极点分布在[s]平面的右半平面内，系统不稳定。因此，这里只讨论 ξ≥0时，二阶系统的响应情况。
对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的2%之前的 过程定义为过渡过程，称此过程经历的时间为过渡过程时间或调整时 间，记为Ts。经过计算可得一阶系统的调整时间为4T。显然，系统的 时间常数T愈小，其过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小， 系统对输入信号反应的快速性愈好。
3.3 一阶系统
三、一阶系统的单位阶跃响应 Xou(t) 当系统的输入信号为单位阶跃函数时，即
所以
Xou(t)的瞬态项
，其稳态项为1。即一阶系统的单位阶跃
响应函数是一个递增的指数函数。
3.3 一阶系统
对一阶系统而言，过渡过程还可定义为其阶跃响应增长到稳态值 的98%之前的过程，同样可算得相应的时间为4T。因此，时间常数T确 实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的 响应也就愈快。
对于一个n阶线性定常系统，输入Xi(t)与输出Xo(t)之间关系的微分方程
设其特征根为si(i=1,2,…,n)且各不相同，则系统的时间响应可表示成
3.1 时间响应及其组成
按响应的来源分为零状态响应和零输入响应。其中，零状态响应 是指初始状态为零时，由系统的输入引起的响应，即 ；零
输入响应是指系统的输入为零时，由初始状态引起的响应，即
式中，T称为一阶系统的时间常数，亦称为一阶系统的特 征参数.
3.3 一阶系统
二、一阶系统的单位脉冲响应 ω(t)
于是，一阶系统在理想的单位脉冲函数作用下，其响应函数等于系 统传递函数的Laplace逆变换，即
ω(t)只有瞬态项，而其稳态项为零。即一阶系统的单位脉冲响应 函数是一个递减的指数函数。
3.3 一阶系统
选择系统的阻尼比 ξ ，然后再根据上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要
求，确定系统无阻尼固有频率 ωn 。 需要说明的是，以上各个性能指标的公式是从典型二阶欠系统的阶跃响应
中推导出来的。如果系统是具有零点的二阶系统，这些公式是不能直接应用
的。但是，其性能指标同二阶系统特征参数之间的变化趋势却保持不变。
3.2 典型输入信号
在控制工程中，常用的输入信号有两大类。其一是系统 正常工作时的输入信号；其二是外加的测试信号，包括单位 脉冲信号、单位阶跃信号、单位斜坡信号、正弦信号和某些
随机信号等。输入信号的选择要综合考虑系统的工作条件和
实验的目的。
3.3 一阶系统
一、一阶系统 的表示
一阶系统传递函数的一般形式为