高考理科数学概率题型归纳与练习含答案

专题三：高考理科数学概率与数学期望

一．离散型随机变量的期望(均值)和方差

若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：

X

1x 2x … n x

P

1p

2p

…

n p

1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称112

2...n n x p x p x p +++为随机变量

X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．

数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++

性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）

2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量

X 的方差，记为()D X 或

2σ．

方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-

2．方差公式也可用公式22221()()n

i i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．

3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X

的标准差，即()D X σ=．

1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。

X －1 0

1 P

9

5

二．超几何分布

对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，X 0

1

2

… l

P

0n M N M

n

N

C C C - 11n M N M

n

N

C C C -- 22n M N M

n

N

C C C -- …

l n l M N M

n

N

C C C -- 其中min(,)l n M =

一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N M

n

N

C C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为

(,,)X

H n M N ，并将()r n r M N M

n

N

C C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，

（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．

X 0 1 2 3 4 5

P

2584

23751

8075

23751

8550

23751

3800

23751

700

23751

42

23751

从而

2584807585503800700425

()012345 1.66672375123751237512375123751237513

E X =⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．

说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r n

M N M

n

r N

r C C M E X n C N --===∑．

2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，

求：（I ）取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （II ）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

三．二项分布

1．n 次独立重复试验

一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的

状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k

n C p p --。

2．二项分布

若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称

X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

3

1

. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

21，乙每次击中目标的概率为3

2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标2次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.