现代控制理论知识点比较

ˆ ,C ˆ 完全能观， 其中子系统 A 则可以直观地确定系统的能观 o o
子空间和不能观子空间。 对 n 维线性定常系统 ( A, B, C ) ，设 rank Qc =rank B 对 n 维线性定常系统 ( A, B, C ) ,设



AB A B =k<n
n 1

l1 , , lk 是 Qc 中 k 个线性无关的列向量， lk 1 , , ln 是与向量组
Ax Bu x y Cx Du
sX ( s ) AX ( s ) BU ( s ) Y ( s ) CX ( s ) DU ( s )
Y ( s ) C ( sI A) 1 B D U ( s )


G( s)
Y (s) C ( sI A) 1 B D U (s)
1 0 x x 2 1 0 n 1 x n x 0
0 0 1 0

0 a0 x1 b0 bn a0 0 a1 x2 b1 bn a1 u 0 a2 xn 1 bn 2 bn an 2 1 an 1 xn bn 1 bn an 1
1
矩阵形式
1 0 x x 2 0 n 1 0 x n x a0
1 0 0 a1
0 1 0 an 2
0 x1 0 x2 0 0 u 1 xn 1 0 an 1 1 xn x1 x 2 bn1 bnan1 bnu xn1 xn

对偶关系
T Qo CT

AT C T
Ax x T ( AT ) n 1 C T ， 由 于 Qo 与 Qo 的秩完全一样，这意味着，若系统 完全能观，则其对偶系统 y Cx

z AT z T T 完全能观。 z A z C v 完全能控。同样地，若系统 x Ax Bu 完全能控，则其对偶系统 T w B z
1 1 x 1 x n y Cx
3
bkj ( j 1, , m) 不全为零。
设 J1 , , J l 是对应同一特征值 1 的若尔当块，则系统
完全能观的充要条件是矩阵 C 的第一列的元素不全为零。 设 J1 , , J l 是对应同一特征值 1 的若尔当块，则系统
分解方 法 控制系 统的结 构分解
l1 ,, lk 线性无关的(n-k)个线性独立的列向量。令
P l1 l2 lk
1
C CA m<n， rank Qo =rank n 1 CA
T T T 1T ,, m m 是 Qo 中 m 个线性无关的行向量， 1 , , n 是与
ˆ P x 将系统 ( A, B, C ) 化为按能观性分解的 则线性变换 x
规范型
1


并有如下结论：
ˆ ,B ˆ ) 是完全能控的。 （1） ( A c c ˆ ,B ˆ ) 的传递函数等于整个系统的 ˆ ,C （2）（2）子系统 ( A c c 1 ˆ ( sI A ˆ ) B ˆ C ( sI A) B 传递函数，即 C 1 c c
lk 1 ln
ˆ P x 可将系统 ( A, B, C ) 化为按能控性分解 则状态变换 x
的规范形式
向量组

T 1
T , , m 线性无关的(n-m)个线性独立的向量。令

5
ˆ A ˆ x ˆ x ˆc B ˆ A c c ˆ12 c u ˆc 0 ˆ x Ac x c ˆ ˆ C ˆ xc y C 1 2 ˆc x
G( s)
Hale Waihona Puke Baidu
Y ( s ) b0 s n b1s n 1 bn 1s bn U ( s ) s n a1s n 1 an 1s an
微分方程形式
y ( n ) (t ) a1 y ( n 1) (t ) an 1 y (1) (t ) an y (t ) b0u ( n ) (t ) b1u ( n 1) (t ) bn 1u (1) (t ) bnu (t )

C CA =n。 条件是 rank Qo =rank n 1 CA
2
方 法
n 维线性定常系统
Ax Bu 完全能控的充要条件是对矩 n 维线性定常系统 x 特征值判据 （PBH 判据） 阵 A 的所有特征值 i ， i 1, , n 均满足 rank i I A B =n。
完全能观的充要条件是每个若尔当块所对应的输出矩阵块
完全能控的充要条件是每个若尔当块所对应的输入矩阵块
B1 , Bl 的最后一行是线性无关的。
C1 , , Cl 的第一列是线性无关的。
系 统 能 控 性 矩 阵 为 Qc B

C CA n 1 ， 将 Qo 转 置 后 得 到 AB A B ， 系 统 能 观 性 矩 阵 为 Qo n 1 CA
推论 1 行。 若 B 中某行元素全为零，即 bij 0, j 1, , m ，则该行对应 运动模态 e i 不能控。 （一个若尔当块的情形）若尔当型系统
t
该系统完全能控的充要条件是 B 矩阵中没有元素全为零的 列。
1 x x n y Cx
推论 3
J1 x
J2
B1 B x 2 u J l Bl
J1 J2 x x Jn y C1 C2 Cl x
线性系统性质
状态能控性
状态能观性 设线性系统的状态空间模型为
Ax Bu ， 设线性系统的状态方程为 x
如果对状态空间中某一非零的有限点 x0 ，可以找到容许控制
Ax x ， y Cx
u (t ) （控制信号的各分量均满足平方可积条件，保证解存在且唯
定义 一，实际均满足） ，使得当系统以 x0 为初始状态，即 x(t0 ) x0 ， 在 u (t ) 作用下，系统在某个有限时刻 t t1 t0 ，状态达到坐标原 点，即 x(t1 ) 0 ，则称 x0 是系统的能控状态。如果 x0 为状态空间 任意一点，则称系统是完全能控的。 传递函数形式
1 1
ˆ ˆ x ˆo A ˆo B 0 x ˆ o ˆ 1 u ˆ ˆo A21 Ao x ˆo B x 2 ˆ ˆ 0 xo y C o ˆo x
子空间和不能控子空间。

ˆ x ˆc A c ˆc 0 x

ˆ x ˆ ˆc B A 12 c u ˆ ˆ x Ac c 0
ˆ ˆ x ˆo A ˆo B 0 x ˆ o ˆ 1 u ˆ ˆo A21 Ao x ˆo B x 2 ˆ x ˆ 0 o y C o x ˆo


ˆ ˆ ˆ P 1 AP Ac A12 A ˆ 0 Ac ˆ B ˆ 其中， B 。 P 1 B c 0 ˆ ˆ ˆ C CP C1 C2
1T T m 1 P T m 1 T n
则系统完全能观的充要条件是矩阵 C 中不包含元素全为零的
（一个若尔当块的情形）若尔当型系统
推论 2
1 1 b11 b1m x x u 1 b bkm 1 k1
完全能控的充要条件是 B 矩阵最后一行的元素
一个系统的能观性可由其对偶系统的能控性来检验，反之亦然。 若对于任一线性定常系统，能通过状态变换（状态变换不改 若对于任一线性定常系统，能通过状态变换（状态变换不改
4
变系统的能控性）将系统变换成如下形式：
变系统的能观性）将系统变换成如下形式：
定义
ˆ ,B ˆ 完全能控， 其中子系统 A 则可以直观地确定系统的能控 c c
设 x0 为状态空间中非零有限点。将 x0 作为系统初始状态，即
x(t0 ) x0 ，若存在有限时刻 t1 t0 ，使得对任意 t t 0 , t1 ，有
y 0 ，则称 x0 为该系统的不能观状态。对于一个系统而言，只
要状态空间中存在不能观状态，则称该系统不是状态完全能观的； 反之，称系统是完全能观（任一状态初值均可唯一确定）的。
时刻 t1 0 ，使 Wc0, t1

t1
0
e At BBT e A t dt 成为非奇异矩阵。
T
Ax x x(0) x0 , t 0 完全能观的充要条件 y Cx
是存在有限时刻 t1 0 ，使 W0 0, t1 n 维线性定常系统

y b0 bna0 b1 bna1 bn2 bnan2
x1 x 2 y 0 0 0 1 bnu xn 1 xn
线性定常系统
格拉姆 （Gram） 矩阵判据
Ax Bu 完全能控的充要条件是存在有限 线性定常系统 x
Ax x ，x(0) x0 , t 0 完全能观的充要 y Cx
条件是对矩阵 A 的所有特征值 i , i 1, , n ，均有 rank

C =n。 i I A
设线性定常系统用如下特征值规范型表示
设线性定常系统用如下特征值规范型表示
0 b11 b1m 1 x x u n 0 bn1 bnm
t1
0
e A t C T Ce At dt 非奇异。
T
Ax Bu 完 全 能 控 的 充 要 条 件 是 n 维线性定常系统 x
代数判据 判 据 rank Qc =rank B
Ax x ，x(0) x0 , t 0 完全能观的充要 y Cx

AB ABn 1 =n。