高一3月第三周周练数学试题及答案

高一（下）第三周检测题

参考答案

一、选择题（共8题，每题5分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D B A D C D A

二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

9. 1 ； 10. 6 ； 11.

6

π

； 12. 4 .

三、解答题（共3题，第13题12分，第14～15题各14分，共40分）

13. (本小题满分12分)已知向量m )sin ,1(x a +=，n ))6

cos(41π

+=

x ，（，设函数

=)(x g m·n(a ∈R ，且a 为常数)．

(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若)(x g 在[0，π

3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．

[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π

6

)

＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π

6)＋a

(1)g (x )＝2sin(2x ＋π

6

)＋a ，T ＝π. g(x)的单调递增区间为

[

]ππ

ππ

k k ++-

6

3，

(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π6 ，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π

6时，y max ＝2＋a .

当2x ＋π6＝π

6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，

故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2. 14. 已知函数2

1

cos 2sin 23)(2--=

x x x f . (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且3=c ,f(C)=0,若向量m =(1,sinA)与向量n =(2,sinB)共线,求b a ,的值.

解:(1)∵f(x)=

32 sin2x-12122cos x +-=sin 26x π⎛

⎫- ⎪⎝

⎭-1 ∴f(x)的最小值为-2,最小正周期T=

22

π

=π. (2)由题意得f(C)=sin 26C π⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

-1=0得sin 26C π⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

=1,又0

11

26

6

6

C π

π

<-

<

π即2C-62ππ=,得C=3π

∵m =(1,sinA)与n =(2,sinB)共线.∴

12sinA

sinB

=,由正弦定理得12a b =

①

由余弦定理得c 2=a 2+b 2

-2abcos

3

π即:3=a 2+b 2

-ab

②

由①②得a=1,b=2.

15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π

3

.

(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．

[解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，

所以1

2

ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2－ab ＝4，ab ＝4，

解得a ＝2，b ＝2.

(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝23

3

，

当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2

－ab ＝4，

b ＝2a ，

解得a ＝233，b ＝43

3

.

所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23

3

.