高一3月第三周周练数学试题及答案

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南京市秦淮中学2018-2019高一周周练3数学试卷含答案

南京市秦淮中学2018-2019高一周周练3数学试卷（卷面分值160分，考试时间120分钟)考试范围：集合+函数的概念和图象+函数的单调性一、选择题1、下列四个关系式中，正确的是（）A {}a ∈φB {}a a ∉C {}b a a ,∈D {}{}b a a ,∈ 2、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)AB =，则（）A 3,2a b ==B 2,3a b ==C 3,2a b =-=-D 2,3a b =-=-3、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（）A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤4、已知集合A={y | y=x 2-4x+3,x ∈R},B={y | y= －x 2－2x+2,x ∈R} 则A ∩B 等于（） A Φ B R C {-1,3} D [-1,3] 二、填空题（ 5×6） 5.函数12y x=-的定义域是 .6.若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．7.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =8．函数y ＝2|x |＋1的值域是________．9.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________.10.函数2()21f x kx kx =++在区间[3,2]-上的最大值为4，则实数k 的值为__________。

11.已知函数)(x f 在区间(0，＋∞)上是增函数，则)1(2+-a a f 与)43(f 的大小关系是________． 12.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．13.已知函数y =f (x )是()1,1-上的单调减函数，且)2()1(a f a f +，则实数a 的取值范围_________ 14.已知函数f (x )=是(-∞，+∞)上的单调减函数，那么实数a 的取值范围是 .三、解答题15.已知集合{}01|2=-=x x A ，B=}{220x x ax b -+=，若B ≠∅，且A B A ⋃=求实数a ，b 的值。

江苏省高一下学期三月检测数学试题(解析版)

一、单选题1．求值（）()tan 1140-=A B C ．D ．【答案】D【分析】利用诱导公式化简后再利用特殊角的正切值可得所求结果.【详解】()tan 1140tan1140tan 108060tan 60()︒=-︒=-︒+︒=-︒=-故选：D.2．已知非零向量，则“”是“”的（）,,a b c a c b c ⋅=⋅ a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- AB OC ⊥a b - c，所以成立，此时，a b ≠∴不是的充分条件，a b =当时，，∴,∴成立，a b =0a b -= ()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r∴是的必要条件，a b =综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为a b ，2a b =b a b ⊥ （–）a b A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ．a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 2y x =A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位6π6π12π12π【答案】D【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论． sin()y A x ωϕ=+【详解】解：，sin(2sin 2()612y x x ππ=-=-故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，sin 2y x =12πsin(2)6y x π=-故选：D ．5．中，点M 为边AC 上的点，且，若，则的值是（）ABC A 2AM MC =BM BA BC λμ=+ λμ-A ． B ．1C ．D ．1-1313-【答案】D【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，2AM MC =23AM AC = 所以，()22123333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ 且，则，所以.BM BA BC λμ=+ 12,33λμ==13λμ-=-故选:D6．已知，，，，则的值为3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin αβ+（） A ． B ．C ．D ．1665-56656365-3365【答案】B【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得,042ππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,442πππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.5cos 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()44ππβααβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+【详解】因为，所以， 3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,042ππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以；3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭4sin 45πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭因为，所以，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,442πππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以， 512sin sin sin 44413πππβπββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，cos 4135πβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭又()44ππβααβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+所以()sin sin 44παβπβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣=⎦+cos cos sin s 4444in ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝=⎝⎭. 123545613513565⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭故选：B.7．在中，，则AB= ABC ∆cos 2C =A ．BCD ．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为 223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以 A.22232cos 125215(325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8．如图，在平面四边形ABCD 中， ,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21163225163【答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，ABD △BCD △AE BE ⋅设，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

2021年高一上学期第三次周练数学试题含答案

2021年高一上学期第三次周练数学试题含答案1．已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－ 1∉A2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y|y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x|x 2－4x ＋4＝0}3．下列关系中，正确的个数为________．①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∉N *；④|－3|∈Q .4．已知集合A ＝{1，x ，x 2－x}，B ＝{1,2，x}，若集合A 与集合B 相等，求x 的值．B 组1．下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对2．用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( )A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}3．已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5}，则必有( )A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．1∈A4．定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ， x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．65．已知集合A ＝{1，a 2}，实数a 不能取的值的集合是________．6．已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝________.答案：A组：1、C2、B3、24、因为集合A与集合B相等，所以x2－x＝2.∴x＝2或x＝－1.当x＝2时，与集合元素的互异性矛盾．当x＝－1时，符合题意．∴x＝－1.B组：1、C2、B3、D4、D5、{1，－1}6、68、因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.(2)当a ＝0时，A ＝{－43}；当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0，即a ＜－916；故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0. 22630 5866 塦 e40406 9DD6 鷖-}2o237727 935F 鍟32984 80D8 胘23608 5C38 尸D=。

人教版高一下学期数学3月月考(文)试卷及答案解析

test(Word VBA 常用语句)(-04-27 08:04:46)转载▼标签：分类：学习经验与体会it转帖：从n多地方google出来的。

'定制模块行为'(1)强制对模块内所有变量进行声明Option Explicit'标记模块为私有，仅对同一工程中其它模块有用，在宏对话框中不显示Option Private Module'字符串不区分大小写Option Compare Text'指定数组的第一个下标为1Option Base 1'(2)忽略错误继续执行VBA代码,避免出现错误消息On Error Resume Next'(3)当错误发生时跳转到过程中的某个位置On Error GoTo ErrorHandler'(4)恢复正常的错误提示On Error GoTo 0'(5)在程序执行过程中使出现的警告框不显示Application.DisplayAlerts = False'(6)关闭屏幕刷新Application.ScreenUpdating = False'打开屏幕刷新Application.ScreenUpdating = True'(7)禁用Ctrl+Break中止宏运行的功能Application.Enable.CancelKey = xlDisabled''工作簿'(8)创建一个新的工作簿Workbooks.Add()'(9)激活名为book1的工作簿Workbooks("book1.xls").Activate'(10)保存工作簿ThisWorkbook.Save'(11)关闭当前工作簿ThisWorkbook.Close'(12)获取活动工作薄中工作表数ActiveWorkbook.Sheets.Count'(13)返回活动工作薄的名称'(14)返回当前工作簿名称'返回当前工作簿路径和名称ThisWorkbook.FullName'(15)禁止调整活动工作簿的大小ActiveWindow.EnableResize = False'(16)将工作簿以平铺方式排列Application.Window.Arrange xlArrangeStyleTiled'(17)将当前工作簿最大化ActiveWorkbook.WindowState = xlMaximized''工作表'(18)当前工作表中已使用的行数edRange.Rows.Count'(19)获取工作表的行数(注：考虑向前兼容性)Rows.Count'(20)将Sheet1命名为SumSheets(Sheet1).Name = "Sum"'(21)添加一个新工作表在第一工作表前ThisWorkbook.Sheets.Add Before:=Worksheets(1)'(22)将当前工作表移至工作表的最后ActiveSheet.Move After:=ActiveWorkbook. _Sheets(ActiveWorkbook.Sheets.Count)'(23)同时选择工作表1和工作表2Worksheets(Array("sheet1", "sheet2")).Select'(24)删除工作表1Sheets("sheet1").Delete'或Sheets(1).Delete'(25)获取工作表i的名称ActiveWorkbook.Sheets(i).Name'(26)切换工作表中的网格线显示，这种方法也可以用在其它方面进行相互切换，即相当于开关按钮ActiveWindow.DisplayGridlines = Not ActiveWindow.DisplayGridlines'(27)切换工作表中的行列边框显示ActiveWindow.DisplayHeadings = Not ActiveWindow.DisplayHeadings'(28)删除当前工作表中所有的条件格式edRange.FormatConditions.Delete'(29)取消当前工作表所有超链接Cells.Hyperlinks.Delete'(30)将页面设置更改为横向ActiveSheet.PageSetup.Orientation = xlLandscape'或ActiveSheet.PageSetup.Orientation = 2'(31)在页面设置的表尾中输入文件路径ActiveSheet.PageSetup.RightFooter = ActiveWorkbook.FullName '将用户名放置在活动工作表的页脚ActiveSheet.PageSetup.LeftFooter = erName''单元格/单元格区域'(32)选择当前活动单元格所包含的范围，上下左右无空行ActiveCell.CurrentRegion.Select'或Range(ActiveCell.End(xlUp), ActiveCell.End(xlDown)).Select '(33)选定当前工作表的所有单元格Cells.Select'(34)清除活动工作表上单元格A1中的内容Range("A1").ClearContents'清除选定区域内容Selection.ClearContents'彻底清除A1至D4单元格区域的内容，包括格式Range("A1:D4").Clear'(35)清除工作表中所有单元格的内容Cells.Clear'(36)活动单元格下移一行，同理，可下移一列ActiveCell.Offset(1, 0).Select'(37)偏移一列Range("A1").Offset(ColumnOffset:=1)'或Range("A1").Offset(,1)'向上偏移一行Range("A1").Offset(Rowoffset:=-1)'或Range("A1").Offset (-1)'(38)复制单元格A1，粘贴到单元格B1中Range("A1").Copy Range("B1")'将单元格区域复制到单元格F1开始的区域中Range("A1:D8").Copy Range("F1")'剪切单元格区域A1至D8，复制到单元格F1开始的区域中Range("A1:D8").Cut Range("F1")'复制包含A1的单元格区域到工作表2中以A1起始的单元格区域中Range("A1").CurrentRegion.Copy Sheets("Sheet2").Range("A1")'注：CurrentRegion属性等价于定位命令，由一个矩形单元格块组成，周围是一个或多个空行或列'(39)将值XX输入到所选单元格区域中ActiveWindow.RangeSelection.Value = XX'(40)活动窗口中选择的单元格数ActiveWindow.RangeSelection.Count'(41)当前选中区域的单元格数Selection.Count'(42)返回单元格中超级链接的地址并赋值GetAddress = Replace(Hyperlinkcell.Hyperlinks(1).Address, "mailto:", "") '(43)检查单元格A1的文本颜色并返回颜色索引TextColor = Range("A1").Font.ColorIndex'获取单元格A1背景色Range("A1").Interior.ColorIndex'(44)返回当前工作表的单元格数Cells.Count'(45)激活当前活动单元格下方3行，向右4列的单元格Selection.Range("E4").Select'(46)引单元格C5Cells.Item(5,"C")'引单元格C5Cells.Item(5,3)'(47)指定单元格F5Range("A1").Offset(RowOffset:=4,ColumnOffset:=5)'或Range("A1").Offset(4, 5)'(48)创建B3：D13区域Range("B3").Resize(RowSize:=11,ColumnSize:=3)Rnage("B3").Resize(11,3)'(49)将Data区域扩充2列Range("Data").Resize(,2)'(50)将Data1和Data2区域连接Union(Range("Data1"),Range("Data2"))'(51)返回Data1和Data2区域的交叉区域Intersect(Range("Data1"),Range("Data2"))'(52)单元格区域Data中的单元格数Range("Data").Count'单元格区域Data中的列数Range("Data").Columns.Count'单元格区域Data中的行数Range("Data").Rows.Count'(53)当前选中的单元格区域中的列数Selection.Columns.Count'当前选中的单元格区域中的行数Selection.Rows.Count'(54)选中的单元格区域所包含的区域数Selection.Areas.Count'(55)获取单元格区域中使用的第一行的行号edRange.Row'(56)获取单元格区域Rng左上角单元格所在列编号Rng.Column'(57)在活动工作表中返回所有符合条件格式设置的区域ActiveSheet.Cells.SpecialCells (xlCellTypeAllFormatConditions)'(58)关闭由于执行自动筛选命令产生的第3个字段的下拉列表Range("A1").AutoFilter Field:=3, VisibleDropDown:=False''名称'(59)命名A1：C3区域为computerRange("A1：C3").Name = "computer"'命名局部变量，即Sheet1上区域D1：E6为book'或Range("D1：E6").Name = "Sheet1!book"'将区域computer重命名为robot'或Names("computer").Name = "robot"'(60)删除名称Names("book").Delete'(61)动态命名列Names.Add Name:="ContentList", _RefersTo:="=OFFSET(Sheet1!A2,0,0,COUNTA(Sheet2!$A:$A))" '(62)命名字符串CompanyCarNames.Add Name:="Company", RefersTo:="CompanyCar"'(63)将数字123456命名为Total。

浙江省东阳市2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题含解析

高一数学三月检测卷（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一个扇形的圆心角为30︒，所对的弧长为3π，则该扇形的面积为（）A.2540π B.13C.6π D.3π【答案】D 【解析】【分析】根据公式lr α=求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式12S lr =即可求出答案.【详解】由lrα=得326l r ππα===，所以该扇形的面积为1122233S lr ππ==⨯⨯=.故选：D .2.已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-= ，且a b ⊥，则2sin 22cos θθ+的值为（）A.1B.85C.65D.3【答案】C 【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出sin ,cos θθ的关系，求得tan θ，再把求值式转化为关于sin ,cos θθ的二次齐次式求值．【详解】因为a b ⊥，所以sin 2cos 0a b θθ⋅=-= ，所以tan 2θ=，2222222sin cos 2cos 2tan 22226sin 22cos sin cos tan 1215θθθθθθθθθ++⨯++====+++．故选：C ．3.ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（）A.3B.4C.2D.5【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理求出4b =，然后利用等面积法即可求出BC 边上的高.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，则2c =，4a =，1cos 4A = ，且222cos 2b c a A bc +-=，21416422b b +-∴=⨯，2120b b ∴--=，()()430b b ∴-+=，4b ∴=，1cos 4A = ,sin 4BAC ∴∠==,设BC 边上的高为h ，在ABC 中利用等面积法，则11sin 22ABC S BC h AB AC BAC =⨯=⨯∠△,11424224h ∴⨯⨯=⨯⨯⨯,2h ∴=.故选:C4.已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.10B.10C.10-D.10-【答案】C 【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】α为锐角，故ππ2π663α<+<，而4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又πππππsin sin sin cos 1264266αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦12510=-⨯=-.故选：C.5.在ABC 中，9023A AC AB ∠=︒==，，，设点P ，Q 满足,(1),AP AB AQ AC λλλ==-∈R.若6BQ CP ⋅=-，则λ=（）A.14B.23C.25D.56【答案】C 【解析】【分析】设,AB b AC c == ，根据平面向量的线性运算，得到(1)BQ b c λ=-+- ，CP c b λ=-+ ，再结合6BQ CP ⋅=-，化简整理即可求解.【详解】设,AB b AC c ==，则||3,||2b c ==，0b c ⋅=，(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-，CP CA AP c b λ=+=-+，由6BQ CP ⋅=- ，得22[(1)]()(1)||||4(1)96b c c b c b λλλλλλ-+-⋅-+=--=--=- ，即2=5λ.故选：C .6.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB 的长度，再去求sin ABC ∠的值，进而可求得△ABC 的面积.【详解】由2222cos120BD AD AB AD AB =+-⋅ ，可得222733AB AB =++，解之得5AB =或8AB =-（舍）则22257313cos 25714ABD +-∠==⨯⨯，又()0,πABD ∠∈，则sin ABD ∠=则π113sin sin 31421427ABC ABD ⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭则△ABC的面积为157sin 2ABC ⨯⨯∠=故选：C7.设函数()2sin()1(0,02f x x πωϕωϕ=+-> 的最小正周期为4π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（）A.50,312ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B.0,,432πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C.50,612ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D.0,,632πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据周期求出12ω=，结合ϕ的范围及[0,5]x π∈，得到55322ππϕπ+ ，把52πϕ+看做一个整体，研究1sin 2y x =-在[0,3]π的零点，结合()f x 的零点个数，最终列出关于ϕ的不等式组，求得ϕ的取值范围【详解】因为24T ππω==，所以12ω=.由()0f x =，得11sin()22x ϕ+=.当[0,5]x π∈时，15,22x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎣⎦，又02πϕ ，则55322ππϕπ+ .因为1sin 2y x =-在[0,3]π上的零点为6π，56π，136π，176π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，所以0,613517626πϕπππϕ⎧⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩ 或,62175,62ππϕππϕ⎧<⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ 解得0,,632πππϕ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：D.8.已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6【答案】A 【解析】【分析】延长CO ，BO ，AO 分别交边AB ，AC ，BC 于点P ，M ，N ，利用同底的两个三角形面积比推得123tan :tan :tan ::BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=即可求解作答.【详解】O 是ABC 的垂心，延长CO ，BO ，AO 分别交边AB ，AC ，BC 于点P ，M ，N ，如图，则,,CP AB BM AC AN BC ⊥⊥⊥，,BOP BAC AOP ABC ∠=∠∠=∠，因此，12tan tan tan tan S BP OP BOP BAC S AP OP AOP ABC ∠∠===∠∠，同理13tan tan S BAC S ACB∠=∠，于是得123tan :tan :tan ::BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=，又230OA OB OC ++= ，即1233OC OA OB =--，由“奔驰定理”有1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ，则1233S S OC OA OB S S =-⋅-⋅ ，而OA 与OB 不共线，有1313S S =，2323S S =，即123::1:2:3S S S =，所以tan :tan :tan 1:2:3BAC ABC ACB ∠∠∠=.故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分）9.下列结论中正确的是（）A.2π1203︒=B.若角α是第三象限角，则cos 0α<C.若角α的终边过点()()43,40,sin 5P k k k α≠=D.442cos sin 2cos 1ααα-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用角度值与弧度制的互化可判断A ；利用三角函数的象限符号可判断B ；利用三角函数的定义可判断C ；利用同角三角函数的基本关系可判断D.【详解】对于A ，π2π1201201803︒=⨯=，故A 正确；对于B ，由三角函数的象限符号可知，若α是第三象限角，则cos 0α<，故B 正确；对于C ，角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠，则44sin 55k k α===±，故C 错误；对于D ，()()442222cos sin cos sin cos sin αααααα-=+-()22222cos sin =cos 1cos 2cos 1ααααα=---=-，故D 正确.故选：ABD.10.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ABC ，，，的面积为S ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.50502A B a === ，，B.243a b c ===，，C.242a b S ===，，D.5042B b S === ，，【答案】CD 【解析】【分析】对A ，根据ABC 为等腰三角形判断即可对B ，由ABC 三边确定判断即可对C ，根据面积公式判断即可对D ，根据面积公式与余弦定理分析可得有两个解即可【详解】对A ，易得ABC 为等腰三角形，故80C =o ，2a b ==，故ABC 仅一个解；对B ，因为ABC 三边均确定，且满足任意两边大于第三边，故ABC 有唯一解；对C ，由面积公式in 12s S ab C =可得1sin 2C =，故30150C ︒= 或，故ABC 有两解；对D ，由1sin 2S ac B =可得4sin 50ac =o ，故4sin 50ac =o ()()22222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+，故()()28161cos50sin 50a c =+-+o o，即a c +=，结合4sin 50ac =o ，有()()28cos50116sin 50a c --=+o o ，故a c -=.故选：CD11.（多选题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以,,,,P Q R S T 为顶点的多边形为正五边形且12PT AT -=，下列关系中正确的是（）A.12BP TS RS+-= B.12CQ TP TS+=C.12ES AP DR -=D.12AT BQ CR -+=【答案】AC 【解析】【分析】结合平面向量的线性运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且12PT AT -=．在A 中，12BP TS TE TS SE RS +-==-=u uu r uu r uu r u ruu r uu r，故A 正确；在B 中，12CQ TP PA TP TA ST +=+=+=uu u r uu ruu r uu ruu ruur ，故B 错误；在C 中，1122ES AP RC QC Q D B R -=-==-uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu ur ，故C 正确；在D 中，51,2AT BQ SD RD CR RS RD SD -++===-uu u r uu r uu u ruu r uu r uu ur uu u r uu r ，若12AT BQ CR -+= ，则0SD =uu r r ，不合题意，故D 错误．故选：AC12.已知向量,,a b c满足22,3,3,280a b a b c b c ==⋅=-⋅+= ，则下列说法正确的是（）A.1c b -= B.若()c c b ⊥- ，则||c =C.R t ∀∈，有3||2b ta +> 恒成立D.若(1)c a b λλ=+-，则||1a c -= 【答案】ABC 【解析】【分析】将2||280c b c -⋅+= 化为2221c b c b -⋅+= 可判断A ；将2||280c b c -⋅+=化为()2280c c b c ⋅--+= 可判断B ；将b ta + 平方，根据二次函数的最值可判断C ；计算a c -= D.【详解】解：对于A,因为2||280c b c -⋅+=，所以2221c b c b -⋅+= ，即21c b -= ，故||1c b -=，故A 正确；对于B ，2||280c b c -⋅+=可化为()2280c c b c ⋅--+= ，即()2280c c b c ⋅--+= .若()c c b ⊥- ，则28c = ，即||c =B 正确；对于C ，222222469b ta b t a t b t t a =+⋅+=+++ 2327274444t ⎛⎫=++≥⎪⎝⎭，故322b ta ≥+> ，故C 正确；对于D ，若(1)c a b λλ=+-，则a c -=1λ=-=-，该式子的值随着λ的变化而变化，故D 错误.故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，若a ＝2,b ＋c ＝7,1cos 4B =-，则b =_________________【答案】4【解析】【详解】在△ABC 中，利用余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，14()()47()444c b c b c b c c++-+--==，化简得：8c －7b ＋4＝0，与题目条件7b c +=联立，可解得2,4,3a b c ===，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解14.已知平面向量,a b 满足4a b ⋅=- ，且2b = ，则a b - 在b 上投影向量为b λ ，则λ=__________．【答案】2-【解析】【分析】根据向量的投影的概念及公式直接计算.【详解】a b - 在b 上投影向量为()24b a b b b a b b b b b λ⋅-⋅-⋅=⋅= ，即244==244b a b λ⋅---=- ，故2λ=-.故答案为:2-.15.已知1sin cos 4x y +=，则2sin sin x y -的最大值为____________【答案】9##0.562516【解析】【分析】由已知求得[]1sin cos 1,14x y =-∈-，可得3cos ,14y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用同角三角函数基本关系可得221sin sin cos 12x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用二次函数性质即可求解.【详解】1sin cos 4x y +=Q ，[]sin 1,1x ∈-[]1sin cos 1,14x y ∴=-∈-，35cos ,44y ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，即3cos ,14y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2222131sin sin cos 1cos cos cos cos 1442x y y y y y y ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭Q 又3cos ,14y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用二次函数的性质知，当3cos 4y =-时，()22max319sin sin 14216x y⎛⎫-=---=⎪⎝⎭故答案为：91616.10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A ，B 两地同时观测到一颗卫星S ，仰角分别为∠SAM 和∠SBM （MA ，MB 表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R ， AB 的长度为3R π，∠SAM ＝30°，∠SBM ＝45°，则卫星S 到地面的高度为______．【答案】5312R ⎫+-⎪⎪⎭【解析】【分析】根据已知条件，构造三角形，在三角形中根据正、余弦定理求解.【详解】如图，圆心为O 点，设AOB α∠=，由已知 AB 的长度为3R R πα=，即3AOB πα∠==，∵OA OB R ==∴AOB 是等边三角形，AB R=又MA OA ⊥，MB OB ⊥，o 30SAM∠=，o 45SBM ∠=，则o o o 3090120SAO ∠=+=，o o o4590135SBO ∠=+=在SAB △中，有AB R =，o o o 1206060SAB ∠=-=，o o o 1204575SBA ∠=-=，o o o o 180607545ASB ∠=--=，()o o o 62sin sin 75sin 45304SBA +∠==+=由正弦定理可得，sin sin AB SA ASB SBA =∠∠26224=+，∴312SA R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭在SAO 中，有12SA R +=，OA R =，o 120SAO ∠=，由余弦定理可得，2222cos OS AS AO AS AO SAO=+-⋅⋅∠2221522R R R ⎫⎛⎫⎛=+-⋅⋅-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭则，OS所以，则卫星S 到地面的高度为1R ⎫⎪⎪⎭故答案为：1R ⎫-⎪⎪⎭.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，（1）求()f x 的最小正周期；（2）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值．【答案】（1）π（2）最小值为1-，最大值为2【解析】【分析】（1）化简()f x 的解析式，进而求得()f x 的最小正周期；（2）根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【小问1详解】()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由π02x ≤≤，得ππ5π2666x -≤-≤，所以1ππsin 21,12sin 22266x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当ππ2,066x x -=-=时，()f x 取得最小值1-；当πππ2,623x x -==时，()f x 取得最大值为2.所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，最大值为2.18.已知||1a =r ，14a b ⋅= ，1()()2a b a b +⋅-= ．（1）求||b 的值；（2）求向量a b - 与a b +夹角的余弦值．【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）根据题中条件，变化22()()a b a b a b +⋅-=- ，即可求解；（2）求出||a b + 及||a b - ，设a b + 与a b - 的夹角为θ，利用公式()()cos a b a b a b a bθ+⋅-=+- 即可.【小问1详解】由题知，221()(),2a b a b a b +⋅-=-= 因为||1a =r ，所以211||,2b -=所以.2b = 【小问2详解】由题||1a =r ，14a b ⋅= ，则22211||212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+= ，22211||212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ，所以1a b a b +=-= ，令a b + 与a b - 的夹角为θ，则1()()2cos 4a b a b a b a bθ+⋅-===+- ，即向量a b - 与a b +夹角的余弦值是4．19.在①2cos cos b c C a A-=，②4cos()2cos 23B C A ++=-，sin()b A C =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，___________.（1）求角A ；（2）若a =，b c +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3A π=（2）2【解析】【分析】（1）从三个条件中任选一个，然后利用诱导公式､二倍角公式､正弦定理等知识转化求解即可.（2）根据第（1）问所求，利用余弦定理建立三边关系，求出bc 的值，最后代入三角形面积公式求解即可.【小问1详解】（1）方案一：选条件①.根据正弦定理及2cos cos b c C a A -=得2sin sin cos sin cos B C C A A-=，整理得2sin cos cos sin sin cos B A C A C A =+，即2sin cos sin()B A A C =+，易知A C B π+=-，所以2sin cos sin B A B =，又sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又(0,)A π∈，（注意角的范围）故3A π=.方案二：选条件②.在ABC 中，B C A +=π-，所以cos()cos B C A +=-，结合二倍角公式，可得()24cos 22cos 13A A -+-=-，所以24cos 4cos 10A A -+=，得1cos 2A =.又(0,)A π∈，所以3A π=.方案三：选条件③.在ABC 中，A C B π+=-，所以sin()sin A C B +=，sin b B=，sinsin B B=，得tan A =.又(0,)A π∈，所以3A π=.【小问2详解】根据余弦定理可得，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A ，又a =，b c +=，3A π=，所以221222=--⨯bc bc ，得6bc =，所以1133sin 6sin 2232ABC S bc A π=⋅=⨯⨯= .20.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()20a c BC BA c CA CB +⋅⋅+⋅⋅= .（1）求角B 的大小；（2）若b =，求22a c +的取值范围.【答案】（1）2π3B =（2）22812a c ≤+<【解析】【分析】（1）结合向量运算、正弦定理求得cos B ，由此求得B .（2）利用正弦定理将22a c +表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得22a c +的取值范围、【小问1详解】在ABC 中，πA B C ++=，∵()20a c BC BA c CA CB +⋅⋅+⋅⋅= ，∴()2cos cos 0a c a c B c a b C +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，即()2cos cos 0a c B b C +⋅+⋅=，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ⋅+⋅+⋅=，∴()2sin cos sin 0A B B C ⋅++=，∴2sin cos sin 0A B A ⋅+=，又sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，∴2π3B =.【小问2详解】由正弦定理得：4sin sin sin 32a b c A B C ====，∴4sin a A =，4sin c C =，∴()()()22222216sin sin 82sin 2sin 81cos21cos2a c A C A C A C +=⋅+=⋅+=⋅-+-1168cos28cos 2168cos28cos2sin2322A A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=---=---+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭π164cos2168sin 26A A A ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，∵2π3B =，∴π03A <<，即2023A π<<，∴ππ5π2666A <+<，1πsin(2126A <+≤，∴[)π168sin 28,126A ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，即22812a c ≤+<.21.已知两个不共线的向量,a b 满足(()R ,cos ,sin ,a b θθθ==∈ .（1）若2a b - 与7a b - 垂直，求||a b + 的值；（2）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ，使得||||a ma += 成立，求正数m 的取值范围.【答案】（1（2）1323,22⎣⎦【解析】【分析】（1）根据(2)(7)0a b a b -⋅-= 求出1a b ⋅= ，再展开2||a b +求解.(2)根据||||a ma = ，平方后化简，整理成2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，数形结合求解.【小问1详解】由条件知||2,||1a b == ，又2a b - 与7a b - 垂直，所以(2)(7)81570a b a b a b -⋅-=-⋅+= ，所以.1a b ⋅= .所以22224217a b a a b b +=+⋅+=++= ，故a b += .【小问2详解】由||||a ma += ，得22||||a ma +=，即2222||3||||a b b m a +⋅+= ，所以2434b m +⋅+= ，即27)4m θθ++=，所以2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦，得ππ2π,663θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知264743m ≤-<.即21374344m +≤<，又0m >，所以132322m +≤<.即实数m 的取值范围为1323,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.22.如图，,A B 是单位圆（圆心为O ）上两动点，C 是劣弧 AB （含端点）上的动点.记OC OA OBλμ=+ （,λμ均为实数).（1）若O 到弦AB 的距离是12，（i ）当点C 恰好运动到劣弧 AB 的中点时，求AC CB ⋅ 的值；（ii ）求λμ+的取值范围；（2）若532OA OB -≤ ，记向量2OA OB + 和向量OA OB + 的夹角为θ，求2cos θ的最小值.【答案】（1）（i ）12；（ii ）0,60︒︒⎡⎤⎣⎦（2）3940【解析】【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得120AOB ∠=o ，（i ）可由圆的几何性质得120,1ACB AC CB ∠=== ，从而按照数量积的定义求得结果；（ii ）以,OA OB 为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；（2）以,OA OB为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.【小问1详解】解：由O 到弦AB 的距离是12，可得30ABO BAO ∠∠== ，故120AOB ∠=o （i ）由圆的几何性质得120,1ACB AC CB ∠===，故1cos ,11cos602AC CB AC CB AC CB ⋅=⨯⨯=⨯⨯= （ii ）记劣弧 AB 的中点为D ，且12OA OB ⋅=- 212OC OA OA OB OA λμλμ∴⋅=+⋅=- ①212OC OB OA OB OB λμλμ⋅=⋅=-∴++ ②①+②得()()12OC OA OB λμ⋅+=+ 进一步得：2()22cos ,[1,2]OC OA OB OC OD OC OD λμ+=⋅+=⋅=∈ ，其中,0,60OC OD ︒︒⎡⎤〈〉∈⎣⎦故λμ+的取值范围为：[1,2]【小问2详解】解：记AOB α∠=，由532OA OB -≤ 两边平方，得225962OA OB OA OB ⋅+-≤5106cos 2α∴≤-，又1cos 1α-<<，∴5cos ,18α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴()()233cos OA OB OA OB α+⋅+=+故2OA OB OA OB +=+= 又2OA OB + 和向量OA OB + 的夹角为θ，()()222cos 2OA OB OA OB OA OB OA OB θ⎡⎤+⋅+⎢⎥∴=⎢⎥++⎣⎦ ()()()()291cos (33cos )54cos 22cos 254cos ααααα++==+++91184cos 5α⎛⎫=- ⎪+⎝⎭记()911845f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，显然()f x 关于5cos ,18x α⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭单调递增，。

河南省高一下学期3月份月考数学试题(解析版)

一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，若，则图中相等的向量是（）AB DC =A ．与B ．与C ．与D ．与AD CBOB OD AO OC AC BD 【答案】C【分析】利用向量相等的定义即可判断出图中相等的向量.【详解】由，可得四边形ABCD 为平行四边形. AB DC =选项A ：与互为相反向量，判断错误；AD CB选项B ：与互为相反向量，判断错误；OB OD选项C ：与满足向量相等的定义，判断正确；AO OC选项D ：与方向不同不满足向量相等的定义，判断错误. AC BD故选：C2．下列关于向量的命题正确的是（） A ．若，则B ．若，则||||a b = a b =||||a b = //a bC ．若，，则D ．若，，则a b = b c =a c = //ab //b c//a c 【答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A ，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误； a b =选项B ，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；∴选项C ，显然可得出，该选项正确；,a b b c ==a c = ∴选项D ，得不出，比如不共线，且，该选项错误. //,//ab bc //a c ,a c 0b = ∴故选：C .3．已知向量，，则（）()1,2a =-()3,1b = ()a ab ⋅-= A ．2 B ．4 C ．6 D ．-6【答案】C【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出a b -答案.【详解】，.()=4,1a b --()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= 故选：C.4．在中，已知，，，则角的大小为（） ABC A =2b 3c =1sin 3B =C A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】C【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案. 【详解】由正弦定理，可得，则，由，则， sin sin b cB C =311sin sin 232c C B b ==⨯=>c b C B >由，则或. ()0,C π∈6C π=56π故选：C.5．在△中，为边上的中线，为的中点，则ABC AD BC E AD EB =A ．B ．3144AB AC -1344AB AC -C ．D ．3144+AB AC1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后1122BE BA BD =+应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到BC BA AC =+，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.3144BE BA AC =+3144EB AB AC =- 【详解】根据向量的运算法则，可得，()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+所以，故选A.3144EB AB AC =-【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．平面向量与的夹角为，，，则（） a b60︒1a = 2b = 2a b -= A B ．2C ．4D ．12【答案】B【分析】根据向量模的公式直接计算结果.【详解】2a = ，，，21a = 24b = cos 601⋅==a b a b. 22a ∴= 故选：B【点睛】本题考查向量数量积，向量的模，重点考查计算，属于基础题型,.7．已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为()3,a m n =-()2,1b =-r 0m >0n >a b 412m n +（） A ．B ．C ．D ．94346159【答案】B【分析】本题首先可以根据与共线得出，然后将转化为，通过a b 23n m +=412m n +18532n m m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭基本不等式即可得出结果.【详解】因为与共线，，， a b()3,a m n =-()2,1b =-r 所以，即，()32m n --=23n m +=则， ()411411812553232323n m n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当、时等号成立， 12n =2m =故的最小值为， 412m n+3故选：B.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，若，222b c a bc +=+2sin sin sin B C A =则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断222b c a bc +=+π3A =2sin sin sinBC A =b c =△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，，则222b c a bc +=+2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又，则0πA <<π3A =由，可得，代入 2sin sin sinBC A =2a bc =222b c a bc +=+则有，则，则 222b c bc bc bc +=+=()20b c -=b c =又，则△ABC 的形状是等边三角形 π3A =故选：C二、多选题9．下列能使成立的是（） //a bA ．B ．C ．与方向相反D ．或a b = a b = a b0a =0b = 【答案】ACD【解析】根据向量共线的定义判断可得；【详解】解：对于A ，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B ，若，则a b =a b //a b r r a b =r r与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C ，方向相同或相反的向量都是平行a b //a b r r向量，因此若与方向相反，则有；对于D ，零向量与任意向量平行，所以若或a b //a b r r0a = 0b = ，则. //a b r r故选：ACD 【点睛】本题考查平行向量共线的定义的理解，属于基础题. 10．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A ．B ． 2130,2(0),2e e →→⎛⎫⎪⎝⎭＝,＝()()12120,0e e →→-＝，＝,C ． D ．()()121,326e e →→--＝，＝,()()123,5,5,3e e →→＝＝【答案】AD【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的向量.【详解】对于A ，，可以作为基底； 300202⨯-⨯≠12,e e →→对于B,，共线，不能作为基底；120e e →→=⋅12,e e →→对于C,，共线，不能作为基底；1212e e →→=-⋅12,e e →→对于D ，，可以作为基底. 33550⨯-⨯≠12,e e →→故选:AD.11．已知点，，，，则下列结论正确的为（） ()0,0O ()1,3A ()3,1B (),OP OA OB R λμλμ=+∈A ．当时， 2λμ=OP AB ⊥ B ．当时，点P 在直线AB 上1λμ+=C ．当时，λμ=OP AP OB =+D ．当时，在1λμ-=OP AB【答案】BD【分析】对A ，计算出即可判断；对于B ，由条件得可判断；对于C ，用反证法OP AB ⋅ BP BA λ=证明；对于D ，根据投影向量的模计算即可.【详解】由已知， (2,2),(1,3),(3,1),(2,2)AB OA OB BA =-===-对于A ，由，得，所以， 2λμ=2(0)λμμ=≠2(5,7)OP OA OB μμμμ=+= 所以，不正确，故A 不正确； (5,7)(2,2)101440OP AB μμμμμ⋅⋅-===--≠ OP AB ⊥对于B ，当时，由，1λμ+=OP OA OB λμ=+得,从而可知点三点共线，因此点()(1)OP OA OB OP OB OA BP BA OB λλλλ⇒-==+--⇒=,,A B P P 在直线AB 上，故B 正确；对于C ，若成立，则有，这显然不成立，故C 不正OP AP OB =+ OP OP OA OB OA OB =-+⇒=确；对于D ，当时，，1λμ-=()(43,411))(OP OA OB OA OB OB λλλλλ=+-==+---则在方向上的投影向量的模为D 正OP AB ||O P 确. 故选：BD12．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的ABC A ,,A B C ,,a b c是（）A ．，有唯一解 5,7,8a b c ===B ．，无解 18,20,60b c B ===°C ．，有两解 8,45a b B ===︒D ．，有唯一解 30,25,150a b A ===︒【答案】AD【分析】根据三边确定可判断A 选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B ，C ，D 选项. 【详解】解：选项A ，，已知三边三角形确定，有唯一解，A 正确；5,7,8a b c ===选项B ，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得sin sin b c B C=sin sin 1c B C b ==<，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B 错误；C B >C选项C ，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角sin sin a b A B=sin 1sin 12a B A b ===<a b <可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C 错误； A B <A 选项D ，由正弦定理得：，，由于，则是sin sin a bA B =sin 25sin1505sin 13012b A B a ︒===<150A =︒B 锐角，有唯一解，D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知，点P 在直线上，且，则点P 的坐标是_____．()()2,5,10,3A B --AB 13PA PB =-【答案】(1,3)【分析】由题意可知，三点共线，且有，设出点的坐标，利用向量相等的条,,A B P 13PA PB =-P 件建立方程求出点P 的坐标【详解】解：设(),P x y ，点P 在直线上()()2,5,10,3A B -- AB ，(,)PA x y ∴=--- 25(,)PB x y =---103，则有PA PB =- 1312(10)315(3)3x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩解得 13x y =⎧⎨=⎩()1,3P ∴【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P 的坐标.14．设，是不共线的两个非零向量，若，，，且点a b 12OA ka b =+ 45OB a b =+ 10OC ka b =-+ A ，，在同一直线上，则__________． B C k =【答案】.23-【分析】根据向量共线得方程，解得k 的值.【详解】由题得 ()()47,45,AB OB OA k a b CB OB OC k a b =-=--=-=+-因为点，，在同一直线上，所以 A B C 472,.453k k k --=∴=-+-故答案为23-【点睛】本题考查向量共线，考查基本求解能力15．已知向量，．若向量与垂直，则________．(1,2)a =- (,1)b m =r a b +a m =【答案】7【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的a b +()0a b a +⋅= 坐标运算得到方程，即可求得实数的值．m 【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以(1,2)a =- (,1)b m =r ()1,3a b m +=- a b +a ，解得，()()1230a b a m +⋅=--+⨯=7m =故答案为：7．16．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且，，ABC A sin A B =6C π=ac ______．=a【分析】先由正弦定理及已知条件得出a ，b，c 之间的关系，再由余弦定理求出即可．【详解】∵，根据正弦定理得，sin A B =a∴，又∴， b =acc=π6C =再根据余弦定理得∴，解得222cos 2b a c C ab +-===a =四、解答题17．已知向量，，，且，． (1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥(1)求向量、；b c(2)若，，求向量，的夹角的大小.2m a b =- n a c =+m n 【答案】(1)， (3,6)b = (2,1)c =-(2) 34π【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；x y （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． m n θmn 【详解】（1）解：因为，，，且，，(1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥所以，， 230x -⨯=220a c y ⋅=+=所以，，6x =1y =-所以，；(3,6)b = (2,1)c =-（2）解：设向量，的夹角的大小为．mn θ由题意可得，，，()()()22,43,61,2m a b =-=-=--(3,1)n a c =+= 所以cos ||||m n m n θ⋅= 因为，所以． 0θπ≤≤34πθ=18．在中，、、所对的边分别为、、，，． ABC A A B C a b c π3B =57a b =(1)求的值； sin A (2)若，求．7b =c【答案】(2) 8c =【分析】（1）由正弦定理可得，又因为，代入即可求出．sin sin a B A b=π3B =sin A （2）首先得到，再由余弦定理，可得边． a 2222cos b c a ca B =+-c 【详解】（1）因为，， π3B =57ab =所以由正弦定理得sin 5sin 7a B A b ===（2）因为，，所以．7b =57a b =5a =由余弦定理得， 2222cos b c a ca B =+-222755c c =+-解得或（舍）．8c =3c =-19．已知、是非零向量，，且、．a b()a ab ⊥- a = 4b = (1)求与的夹角；a bθ(2)求． 32a b - 【答案】(1)6π(2)【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可()0a a b ⋅-= a b ⋅cos a b a bθ⋅=⋅得；（2）根据32a b -=【详解】（1）解：因为，所以，即，即，()a ab ⊥- ()0a a b ⋅-= 20a a b -⋅=212a b a ⋅== 所以，所以；cosa b a b θ⋅⋅===[]0,θπ∈6πθ=（2）解：32a b-=====20．如图，在中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，，，． ABC A 23AE AD =AB a =AC b =(1)用，分别表示向量，；a b AE BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()13A a b E += 12=-+BF a b (2)证明见解析【分析】（1）由，得到，()()1122AD AB AC a b =+=+()2133AE AD a b ==+ 由，得到． 1122== AF AC b 12BF AF AB a b =-=-+（2）由（1）知，，得到即可．12=-+ BF a b 21213332BE AE AB a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 23BE BF = 【详解】（1）∵，()()1122AD AB AC a b =+=+∴，∵， ()2133AE AD a b ==+1122== AF AC b ∴．12BF AF AB a b =-=-+ （2）由（1）知，12=-+BF a b ，21213332BE AE AB a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭∴．∴与共线．23BE BF = BEBF 又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．21．在中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos sin a B b A =(1)求B ；(2)若，求b 的值. a =3c =【答案】(1)；4B π=(2). b =【分析】（1）利用正弦定理，将边化角转化，即可求得；cos sin a B b A =B（2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得.b 【详解】（1）在中，由正弦定理得，ABC A sin cos sin sin A B B A =因为，所以，所以，0A π<<sin 0A ≠tan 1B =又因为，所以.0B π<<4B π=（2）在中，由余弦定理得，ABC A 2222cos b a c ac B =+-代入数据解得， 229235b =+-=所以b 22．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． ABCD 4AB =3AD =P CD Q BC 2BQ =（1）求；AP AQ ⋅ （2）若（，），求的值. AC AP AQ λμ=+ λμ∈R λμ【答案】（1）14；（2）. 23λμ=【分析】分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利AB AD x y A 用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，AB AD x y 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A 则，，，，.()0,0A ()2,3P ()4,0B ()4,3C ()4,2Q（1）∵，，()2,3AP = ()4,2AQ = ∴.243214AP AQ ⋅=⨯+⨯= （2）∵，，，()4,3AC = ()2,3AP = ()4,2AQ = 由，得，AC AP AQ λμ=+ ()()4,324,32λμλμ=++∴解得 244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴. 23λμ=【点睛】本题考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。

高一数学下册3月周练测试题.doc

高一数学试题（时间：1，满分：150分）一.选择题:(本大题共12小题,共60分,每小题5分)1．.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，（ｋ∈Ｚ）D.α＋β＝ｋ·360°，(ｋ∈Z)2．如果cos α与tan α异号，那么α所在象限是( )A.第一、二象限B.第二象限C.第三、四象限D.第四象限 3.点P (1，－2)在角θ的终边上，则sin(180°－α)的值是( ) A.55 B.552 C.55- D.552-4.已知sin(α+π)＝－21，则)7cos(1πα+-的值是 ( )A.332 B. －2 C.－332 D.±332 5. 已知：α+β=－π，下列等式中正确的是 ( )A ．cosα=－sinβB ．cosα=cosβC ．sinα=－sinβD ．sinα=sinβ 6.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.设a<0,角α的终边经过点P(－3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.－52C.51D.18.若cos(π+α)= －23,21π<α<2π,则sin(2π－α)等于( )A.－23 B.23 C.21 D.±23 9.如果sinx+cosx=51,且0<x<π,那么cotx 的值是( ) A.－34 B.－34或－43 C.－43 D.34或－4310.已知tan 2α=，那么，的值为 ( )A. B. C. D.11.若角α满足sin αcos α<0,cos α－sin α<0,则α在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.已知①1+cos α－sin β+sin αsin β=0,②1－cos α－cos β+sin αcos β=0.则sin α( )A.3101- B.351- C.212- D.221- 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.tan300°+cot765°的值是_______.14.已知tan α=3,则sin 2α－3sin αcos α+4cos 2α的值是______.15.已知923)cos()cos(31=----θθπ，则)5sin()3cos(πθθπ+--的值等于．16.若θ满足cos θ> －21,则角θ的取值集合是__ __ 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 求下列各代数式的值:（1）5sin90°+2cos0°－3sin270°+10cos180° （2）111213sin cos tan 4sec653ππππ-+∙-（） 18.(本小题满分13分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,5),且cos α=42x,求sin α与tan α的值. 19.(本小题满分13分) 求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan θθθθθθ++=-- 本小题满分12分)设一扇形的周长为C(C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？ 21.(本小题满分12分) 已知sin α+cos α= －553,且|sin α|>|cos α|,求33cos sin αα-的值. 22．已知:sin[(1)]cos[(1)]3()sin()5k k k Z k πθπθπθ++∙+-=∈-，求tan cot θθ+的值。

山东省青岛市高一下学期3月月考数学试题(解析版)

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形，则向量的长度等于（）ABCD AB AD AC ++A ．4B ．C ．3D ．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长2AB AD AC AC ++=AC 度，进而可求模长.【详解】在矩形可得,又因为,故ABCD 2AC = =C AB A A D +，故， 2AB AD AC AC ++==4AB AD AC ++ 故选:A2．（） sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=A ．B ．C D ．1212-【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】；sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos 70︒=︒-︒=-︒原式∴sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()cos 7040cos30=︒-︒=︒=故选：C3．若向量与向量的夹角为，，，则（）a b 604b = ()()2372a b a b +⋅-=- a = A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】B【分析】将等式展开，将夹角和模代入求解即可.【详解】解：因为()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ，24cos 6061672a a =--⨯=-解得（舍），或，所以.4a =- 6a = 6a =4．设函数，则下列函数中为偶函数的是（） ()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π6f x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由辅助角公式化简，结合选项代入，由奇偶性的定义即可求解.π()=2sin 6f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为，π()cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以为非奇非偶函数，故A 错误；πππ2sin 336f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故B 正确；ππππ2sin 2sin 2cos 3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，故C 错误；πππ2sin 2sin 666f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为非奇非偶函数，故D 错误；πππ2sin 666f x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选:B5．已知的结果是（）0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A B ．CD ．αααα【答案】B【分析】由倍角公式化简即可.【详解】.0,,cos sin 0π4ααα⎛⎫∈∴>> ⎪⎝⎭=sin )ααααα==-=故选：B6．已知，则（）π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 2cos 26αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．23-2379-79【答案】D【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值.【详解】π1πππsin 2cos 22cos 2sin(2)cos[(2)]62626αααααα⎛⎫-++=+=-+ ⎪⎝⎭.2πππ7cos(2)cos(2)12sin ()3369ααα=-=-=--=7．在中，已知，且，则是（）ABC ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】C【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC 【详解】由得，所以，所以，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC ⊥ 所以为直角三角形；ABC 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC 综上，为等腰直角三角形. ABC 故选：C8．如图，中，，CD 与BE 交于F ，设，则ABC 2,3AD DB AE EC ==,,AB a AC b AF xa yb ===+ 为（）(),xyA ．B ．C ．D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭33,77⎛⎫ ⎪⎝⎭29,520⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程AF,λμ组，解之即可得解.【详解】，2,3AD DB AE EC ==()AF AB BF AB BE AB AE AB λλ∴=+=+=+- ，33(1)44AB AC AB AB AC λλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭同理：()AF AC CF AC CD AC AD AC μμ=+=+=+-，22(1)33AC AB AC AB AC μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，AF所以，解得，213314λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即为. 1132AF AB AC =+ (),x y 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（）A ．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立,a b λb a λ=B ．对任意向量，恒成立,a ba b a b -≤- C ．非零向量，满足，，则,,a b c //a b r r //b c//a c D ．在中，为边上一点，且，则 OAB C AB :2:3AC CB =3255OC OA OB =+【答案】CD【分析】根据共线向量基本定理、三角形三边关系可知AB 错误，C 正确；利用平面向量线性运算法则可知D 正确.【详解】对于A ，若，，则共线，但不存在实数，使得，A 错误；0a = 0b ≠r r ,a b λb a λ=对于B ，若不共线，则构成三角形，则，B 错误；,a b,,a b a b - a b a b -<- 对于C ，为非零向量，当时，；当时，， ,,a b c ∴//a b r r()a b R λλ=∈ //b c ()b c R μμ=∈ ，则，C 正确；()a c λμ∴= //a c对于D ，，，:2:3AC CB = 25AC AB ∴=，D 正确.()22325555OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ∴=+=+=+-=+故选：CD.10．若向量满足）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b 直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.11．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下时，d 为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间t （单位：s ）之间的关系为，则（）()ππsin 0,0,22d A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭A ．B ． 4A =π30ω=C ．D ．cos ϕ=2.5b =【答案】ACD【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得,进而判断各个选项即,,A b ω0,0t d ==sin ϕ可.【详解】振幅A 即为半径，∴；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴； 4A =22ππ6015ω⨯==；∵，d ＝0，∴，()max min 4 2.5 2.54 2.522d d b ++-+===0=t 04sin 2.5ϕ=+∴，∵，∴2.55sin 48ϕ=-=-ππ22ϕ-<<cos ϕ==故选:ACD.12．关于函数，下列结论正确的是（）()2ππ22sin 612f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．函数的最大值是()f x 2B ．函数在上单调递增()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 ()f x 2sin 21y x =+π6D ．若方程在区间有两个实根，则 ()0f x m -=π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)1,3m ∈【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的()f x ()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最值可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；利用三角函数图象变换可判断C 选项；数型结合可判断D 选项.【详解】()2ππππ22sin 2cos 2161266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.π1ππ22cos 212sin 216263x x x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦对于A ：函数的最大值是，A 选项错误；()f x 3对于B ：时，，是正弦函数的递增区间，故B 选项正确；π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2,322x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ：函数的图象向右平移个单位得到函数2sin 21y x =+π6的图象，ππ2sin 212sin 2163y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即函数的图象，C 选项正确； ()f x 对于D ：当时，，令，则， ππ122x ≤≤ππ2π2633x -≤-≤π23t x =-π2π63t -≤≤由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，2π3t=2π2sin113y =+=时，直线与函数在上的图象有两个交点，13m ≤<y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因此，实数的取值范围是，D 对. m )1,3故选：BCD.三、填空题13．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________． 1e 2e 124e e -12ke e + k 【答案】##14-0.25-【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.k 【详解】因为，是不共线向量，与共线，1e 2e 124e e -12ke e + 所以存在实数使得，所以， λ()12124e e ke e λ=-+ 41k λλ=⎧⎨-=⎩解得：. 1414k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：14-14．已知为锐角，，则__________． α11sin α=α=【答案】50︒【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范11sin 50=︒sin sin 50α=︒α围即可得解. 【详解】因为2sin(8060)2sin1401sin 802sin 40cos 40︒+︒︒===︒︒︒，sin 40111sin 40cos 40cos 40sin 50sin α︒====︒︒︒︒所以， sin sin 50α=︒又因为为锐角， α所以. 50α=︒故答案为：50︒15．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第个月从事旅游n 服务工作的人数可以近似用函数来表示(其中.当()f n ()π2π3000cos 400063n f n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1212)n =⋯，，，该旅游区从事旅游服务工作的人数在或以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，55005500那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有____个. 【答案】5【分析】令，解出的范围即可得出.π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭n 【详解】令，π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭则，π2π1cos 632n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭则， ππ2ππ2π2π,Z 3633n k k k -+≤+≤+∈解得，612212,Z k n k k -+≤≤-+∈，，112n ≤≤ 610n ∴≤≤是正整数，共5个.n Q 6,7,8,9,10n ∴=故答案为:5.四、双空题16．在等腰梯形中，已知，，，，点和点分别在线ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒E F 段和上，且，，则______.______.BC CD 23BE BC = 16DF DC = BC CD ⋅= ⋅=AE AF 【答案】##120.52918【分析】利用等腰梯形的几何性质求得的长，根据向量的线性运算结合数量积定义即可求得CD 的值；根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得的值. BC CD ⋅ AE AF ⋅【详解】如图，等腰梯形中，已知，，，， ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒则，则，120BCD ∠=︒221cos 601CD =-⨯⨯=则， 11||||cos(180)1122BC CD BC CD BCD ⋅=-∠=⨯⨯= 又21,,36BE BC DF DC == 延长交于P ，则,则，,AD BC 60APC ∠=︒60BC AD 〈⋅〉=所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+21()()36AB BC AD DC =+⋅+12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =⋅+⋅+⋅+⋅122121cos 6021cos 011cos 6011cos1206336︒︒︒=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ，111291331818=++-=故答案为：129;218五、解答题17．已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3(1)求；a b + (2)当为何值时，？ k ()()2a b ka b +⊥-【答案】(1)(2) 7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果. ()()20a b ka b +⋅-=【详解】（1）， 2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= a b ∴+= （2）由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18．如图矩形ABCD ，，，AC 与EF 交于点N ．2DE EC = 2BF FC =(1)若，求的值； CN AB AD λμ=+λμ+(2)设，，试用，表示．AE a = AF b = a bAC 【答案】(1)13λμ+=-(2)3355AC a b =+【分析】（1）利用共线定理转化为，再根据平行四边形性质与，(1)CN t CE tCF =-+ 2DE EC =得出，利用待定系数即可求解； 2BF FC = (1)(1),33t t t CE AB tCF AD --=-=-13λμ+=-（2）根据，，与即可求解.AC AB AD =+ 23AE AB AD =+ 23AF AB AD =+ AC AB AD =+【详解】（1）依题意，()CN CE EN CE tEF CE t CF CE =+=+=+-(1)t CE tCF=-+ (1)33t t AB AD -=--又，所以解得．CN AB AD λμ=+ 1,3,3t t λμ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13λμ+=-（2）因为，，AC AB AD =+ 23AE AB AD =+23AF AB AD =+ 所以，所以．55()33AF AE AB AD AC +=+= 3355AC a b =+19．已知， sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求和的值tan αsin2α;(2)若，，求的大小． πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αβ+【答案】(1)，； tan 3α=3sin 25α=(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值； tan 3α=22tan sin2tan 1ααα=+（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合sin 2cos tan 2βββ=⇒=()tan αβ+范围即可.αβ+【详解】（1）， ()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２； 2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++（2）， πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭， ()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--∵，∴. ()0,παβ+∈3π4αβ+=20．已知.()()1,0,2,1a b == (1)当为何值时，与共线？k ka b - 3a b + (2)若且三点共线，求的值.23,,3AB a b BC a mb CD a b =+=+=- ,,A C D m 【答案】(1) 13-(2)．12-【分析】（1）由平行的坐标运算计算；（2）由向量共线求解．【详解】（1）由已知，，(2,1)ka b k -=-- 3(7,3)a b += 与共线，则，； ka b - 3a b + 3(2)70k -+=13k =-（2）由已知，3(3)AC AB BC a m b =+=++ (92,3)m m =++三点共线，则共线，而不共线，,,A C D ,AC CD ,a b 3(5,3)CD a b =-=-- 所以，解得．3(92)5(3)m m -+=-+12=-m 21．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；()f x (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函()f x π6数的图像，求的对称轴和对称中心；()y g x =()g x (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)，；， ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z(3)()2【分析】（1）根据图象求得参数，即得函数解析式，结合正弦函数性质求得该函数的单调递,,A ωϕ增区间；（2）根据三角函数的图象的变换规律可得的表达式，即可求得其对称轴和对称中心； ()y g x =（3）求出的范围，将在上恒成立转化为最值问题，即可求得参数范围. ()g x ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 2A =1152π2πππ1212T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为，所以， 55π2sin π2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5ππ2πZ 62k k ϕ+=+∈则，因为，所以， ()π2πZ 3k k ϕ=-∈π2ϕ<π3ϕ=-所以， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得， ()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈π5πππ1212k x k -≤≤+所以函数单调递增区间为. ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知，， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位，， ()f x π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则()g x ，对称轴为，，对称中心为，. ()2sin g x x =ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z（3）因为， ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦sin 1x ≤≤()2g x ≤≤因为在上恒成立， ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以在时恒成立，()()22g x m g x -<<+()2g x ⎤∈⎦所以，222m -<+所以实数的取值范围为.m ()2+22．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇MON 2π240,,3ON MON MON ∠∠==P A 形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平PM A OP B ,A B OP 行线，交于点.,OM ON ,D C(1)若，求； π3AOB ∠=AD (2)求四边形的面积的最大值.ABCD【答案】(1)(2)【分析】（1）记与的交点分别为，，求得,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=，进而得cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===可得结果；AD EF OE OF ==-（2）设，仿照（1）的思路，求得，，AOP x ∠=240cos ,240sin OE x AE x ==2480sin AB AE x ==，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数240cos AD x x =-=⋅S AB AD 的性质求得最大值.【详解】（1）连接，记与的交点分别为，， ,OA OB ,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=故，cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===AD EF OE OF ==-==（2）连接，记与的交点分别为，,OA OB ,AB DC OP ,E F 设， ,0,π3AOP x x ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则，，cos 240cos ,sin 240sin OE OA AOP x AE OA AOP x =∠==∠=2480sin AB AE x ==， tan t π33πan DF AE OF x ===，240cos AD EF OE OF x x ==-=-所以四边形的面积 ABCD ()480sin 240cos S AB AD x x x =⋅=-)211cos sin 2cos 222x x x x x ⎫=-=+-⎪⎪⎭1sin 262πx ⎤⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎦因为，， π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，π22π=6x +π6x =max S =。

2022年高一上学期第三次周考数学试题含答案

2022年高一上学期第三次周考数学试题含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值是（）A.B、C、D、2.设函数，，集合，，则为（）A．(1，+∞)B．(0,1)C．(－1,1)D．(－∞，1)3.已知函数的定义域是(0，1)，那么的定义域是（）A．(0，1)B．(，1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)4.若集合,,则（）A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=5.已知函数，若，则等于（）A．B．C．D．6.当时，函数的值恒大于，则实数的取值范围是（）A．（，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）7.已知a＞b ＞0，则的大小关系是（）A．B．C.D．8.函数（a＞0，a≠1）的图象可能是（（）A．B．C．D．9.若函数且的图象经过二、三、四象限，一定有（）A．0＜a＜1且b＜0B．a＞0且b＞0C．0＜a＜1且b＞0D．a＞1且b ＜0实用文档10.函数的图象是（）A．关于某轴成轴对称图形B．关于y轴成轴对称图形C．关于直线轴对称图形D．关于原点中心对称图形11.函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件，对任意，都有，则是（）A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶12、若函数为定义域上的单调函数，且存在区间（其中），使得当，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数。

若函数是上的正函数，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若函数（其中a＞0且a≠1）的图象经过定点P（m，n），则．14.方程的解是_____________________.15.已知是上的减函数，那么的取值范围是.16.已知函数若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知求的值.实用文档18.（本小题满分12分）求函数的值域和单调区间。

广东省某校高一(上)第3周周练数学试卷(文科)(有答案)

广东省某校高一（上）第3周周练数学试卷（文科）一、选择题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合题目要求．请将正确答案代号填在每小题小括号内）1. 据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系最可能是下图中的（）A. B. C. D.2. 放在衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：V=a⋅e−kt，若新丸经过50天后，体积变为49a，那么经过几天后，体积变为827a？( )A.25天B.50天C.75天D.100天3. 某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P=1000+5x+110x2，Q=a+xb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有（）A.a=45，b=−30B.a=30，b=−45C.a=−30，b=45D.a=−45，b=−304. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)=√xx<A√A x≥A（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A.75，25B.75，16C.60，25D.60，165. 如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（）A.指数函数：y=2tB.对数函数：y=log2tC.幂函数：y=t3D.二次函数：y=2t2二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．请把正确答案填在每小题的橫线上）下图是一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润．其中情境A，B，C，D分别对应的图象是________．)中，t表“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t=−144lg(1−N90示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N=40时，t=________ （已知lg2≈0.301，lg3≈0.477），现在价格5400元计算机的成本不断下降，若每隔5年计算机的价格降低现价格的1m的计算机经过15年的价格为________元．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．，则面积最大．此时x＝________，已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少x2面积S＝________．三、解答题（本大题30分，解答须写解答过程）某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下（单位：万美元）：需上交0.05x2万美元的特别关税．（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系式；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；（3）如何决定投资可获得最大年利润．四．附加题（20分）某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对(t, P)，点(t, P)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示．(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？参考答案与试题解析广东省某校高一（上）第3周周练数学试卷（文科）一、选择题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合题目要求．请将正确答案代号填在每小题小括号内）1.【答案】C【考点】函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：销售收入不变，∴xy=c（定值），∴y=cx．故选C．2.【答案】C【考点】函数的求值【解析】由题意，可得出V=a⋅e−50k=49a与V=a⋅e−kt=827a，两式作商求得e−（t−50）k=23，由于V=a⋅e−50k=49a可变为e−50k=49，对比e−（t−50）k=23，可得出2t−100=50，由此方程解出t的值即可选出正确选项【解答】解：由题意得V=a⋅e−50k=49a①，可令t天后体积变为827a，即有V=a⋅e−kt=827a②，由①可得e−50k=49③，又②÷①得e−（t−50）k=23，两边平方得e−（2t−100）k=49，与③比较可得2t−100=50，解得t=75，即经过75天后，体积变为827a.故选C.3.【答案】A函数模型的选择与应用【解析】首先设出售x吨时，利润是y元，根据题意表示出利润，然后根据二次函数求最值方法进行计算，求出a，b．【解答】解：设出售x吨时，利润是y元，则y=(a+xb )x−(1000+5x+x210)=10−b10bx2+(a+5)x−1000依题意可知，当x=150时，y有最大值，则a+150b=40当b<0或b>10时，10−b10b<0，故5b(a−5)b−10=150②∴{a+150b=405b(a−5) b−10=150，解①②得：{a=45b=−30．故选：A．4.【答案】D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】首先，x＝A的函数值可由表达式直接得出，再根据x＝4与x＝A的函数值不相等，说明求f(4)要用x<A对应的表达式，将方程组联解，可以求出c、A的值．【解答】由题意可得：f(A)=√A=15，所以c＝15√A而f(4)=√4=30，可得出15√A2=30故√A=4，可得A＝16从而c＝15√A=605.【答案】A【考点】函数模型的选择与应用【解析】有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1, 2)点，得到结果．解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1, 2)点， ∴ 图象有指数函数来模拟比较好，故选A ．二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．请把正确答案填在每小题的橫线上）【答案】 ①③④②【考点】函数的图象变换【解析】本题考查的知识点是函数的图象的性质，要根据实际情况，具体分析结合图象的单调性，特殊点等，进行判断．【解答】解：分析情境A 可知其对应的函数图象应满足，初始函数值为负值，然后不断增大，后又稍微减小，故①图符合要求．分析情境B 可知对应的函数图象应满足：函数的初始值为正，随后逐渐减小但一直为正，然后不断增大，故③符合要求．分析情境C 可知对应的函数图象应满足：函数的初始值为0，随后开始增大，达到最大值并持续一段后开始减小到0，故④符合要求．分析情境D 可知对应的函数图象应满足：函数的初始值为负，随后不断增大，故②符合要求．故答案为：①③④② 【答案】 36.72 【考点】函数模型的选择与应用【解析】当N =40时，则t =−144lg (1−4090)，计算可得结论．【解答】解：当N =40时，则t =−144lg (1−4090)=−144lg 59=−144(lg 5−2lg 3)=36.72．故答案为：36.72．【答案】 5400(1−1m)3 【考点】指数函数的实际应用【解析】由等比数列的通项公式，简单推理可得．【解答】解：由题意5年后的价格为5400(1−1m )元， 10年后的价格为5400(1−1m )2元， 1故答案为：5400(1−1m)3.【答案】①②【考点】指数函数的性质【解析】由图象知：t=2时，y=4，代入解析式求出a，可判断①；令t=5代入解析式求解判断②；令y=4、y=12分别求出t，再求出差值判断③；根据图象得变化趋势判断增长速度越来越快，可判断④．【解答】解：由图象知，t=2时，y=4，∴a2=4，故a=2，①正确；当t=5时，y=25=32>30，②正确，当y=4时，由4=2t1知，t1=2，当y=12时，由12=2t2知，t2=log212=2+log23．t2−t1=log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．故答案为：①②．【答案】1,252【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由题意建立面积关于变量x的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x的值即可得到答案【解答】根据题目条件0<x2<3，即0<x<6，所以S＝(4+x)(3−x2)=−12(x2−2x−24)=252−12(x−1)2(0<x<6)．故当x＝1时，S取得最大值252．三、解答题（本大题30分，解答须写解答过程）【答案】解（1）由题意，y1=(10−a)x−30，0≤x≤200，x∈N；y2=(18−8)x−50−0.05x2=10x−50−0.05x2，0≤x≤120，x∈N．（2）∵4≤a≤8，∴10−a>0，故y1=(10−a)x−30，0≤x≤200是增函数．所以x=200时，y1有最大值1 970−200a．y2=10x−50−0.05x2=−0.05(x−100)2+450．x∈[0, 120]，且∈N，∴当x=100时，y2取最大值450．∴投资生产这两种产品的最大利润分别为(1 970−200a)万美元和450万美元．的减函数，所以当4≤a<7.6时，投资甲产品；当7.6<a≤8时，投资乙产品；当a=7.6时，投资甲产品、乙产品均可．【考点】函数模型的选择与应用简单线性规划【解析】（1）根据条件设出变量，即可建立生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式；（2）根据函数的性质，即可分别求出投资生产这两种产品的最大利润；（3）比较两个函数的大小关系，即可决定投资可获得最大年利润．【解答】解（1）由题意，y1=(10−a)x−30，0≤x≤200，x∈N；y2=(18−8)x−50−0.05x2=10x−50−0.05x2，0≤x≤120，x∈N．（2）∵4≤a≤8，∴10−a>0，故y1=(10−a)x−30，0≤x≤200是增函数．所以x=200时，y1有最大值1 970−200a．y2=10x−50−0.05x2=−0.05(x−100)2+450．x∈[0, 120]，且∈N，∴当x=100时，y2取最大值450．∴投资生产这两种产品的最大利润分别为(1 970−200a)万美元和450万美元．（3）令1 970−200a=450，解得a=7.6，因为函数f(a)=1 970−200a是定义域上的减函数，所以当4≤a<7.6时，投资甲产品；当7.6<a≤8时，投资乙产品；当a=7.6时，投资甲产品、乙产品均可．四．附加题（20分）【答案】解：（1）P={15t+2，0<t≤20，t∈N∗.−110t+8，20<t≤30，t∈N∗.(2)设Q=at+b（a，b为常数），将(4, 36)与(10, 30)的坐标代入，得{4a+b=3610a+b=30.解得a=−1，b=40．日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q=40−t，0<t≤30，t∈N∗．(3)由(1)(2)可得y={(15t+2)×(40−t)，0<t≤20.(−110t+8)×(40−t)，20<t≤30.即y={−15t2+6t+80，0<t≤20，t∈N∗. 110t2−12t+320，20<t≤30，t∈N∗.当0<t≤20时，当t=15时，y max=125；当20<t≤30时，y=110t2−12t+320在(20,30]上是减函数，y<y(20)<y(15)= 125．所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．【考点】根据实际问题选择函数类型分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】(1)根据图象可知此函数为分段函数，在(0, 20]和(20, 30]两个区间利用待定系数法分别求出一次函数关系式联立可得P的解析式；(2)因为Q与t成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出Q的解析式；(3)根据股票日交易额=交易量×每股较易价格可知y=PQ，可得y的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可．【解答】解：（1）P={15t+2，0<t≤20，t∈N∗.−110t+8，20<t≤30，t∈N∗.(2)设Q=at+b（a，b为常数），将(4, 36)与(10, 30)的坐标代入，得{4a+b=3610a+b=30.解得a=−1，b=40．日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q=40−t，0<t≤30，t∈N∗．(3)由(1)(2)可得y={(15t+2)×(40−t)，0<t≤20.(−110t+8)×(40−t)，20<t≤30.即y={−15t2+6t+80，0<t≤20，t∈N∗. 110t2−12t+320，20<t≤30，t∈N∗.当0<t≤20时，当t=15时，y max=125；当20<t≤30时，y=110t2−12t+320在(20,30]上是减函数，y<y(20)<y(15)= 125．所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．。

2020-2021学年高一上学期数学周练三含答案

台州市书生中学高一数学周练三一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.下列各项中，不可以组成集合的是−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−()A. 所有的正数B. 等于2的数C. 接近于0的数D. 不等于0的数2.下面关于集合的表示正确的个数是------------------------------()①{2,3}≠{3,2}；②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}；③{x|x>1}={y|y>1}；④{x|x+y=1}={y|x+y=1}．A. 0B. 1C. 2D. 33.a>0′′是“函数y=ax+b(a≠0)单调递增”的--------------------------------()A. 充分不必要条件，B. 必要不充分条件，C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知a=√2+√11，b=5，c=√6+√7，则a，b，c的大小关系为−−−−−−−−−()A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b>c>a5.关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式x2+px+qx2−2x−8>0的解集是()A. (2,3)，B. (−∞,−2)∪(4,+∞)C. (−2,2)∪(3,4)D. (−∞,−2)∪(2,3)∪(4,+∞)6.下列四个命题：①若a>b，则1a <1b；②若ab>c，则a>cb；③若a>b，则ac2>bc2；④若a>b，c>d，则a−c>b−d．其中真命题的个数是-----------------------------------------------------() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}=−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−( )A. 0B. 2C. 4D. 68. 已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =1，则2x+3y+1x−y 的最小值为−−−−( ) A. 103 B. 32+√2C. 3+2√2D. 2√29. 定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc.若不等式∣∣∣2k kx +3−1x 2∣∣∣<0的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A. {0}∪[24,+∞)，，B. [0,24]，，C. (0,24]D. (−∞,0]∪[24,+∞)10. 设max{a,b}={a,(a ≥b)b,(a <b)，则函数f(x)=max{x 2−x,1−x 2}的单调增区间为--------( )A. [−1,0],[12,+∞) B. (−∞,−1],[0,12] C. (−∞,−12],[0,1] D. [−12,0],[1,+∞) 二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 若集合M ⊆N ，则下列结论正确的是−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−( ) A. M ∩N =MB. M ∪N =NC. M ⊆(M ∩N)D. (M ∪N)⊆N12. 下列说法正确的有−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−( ) A. 不等式2x−13x+1>1的解集是(−2,−13)B. “a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件C. 命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0D. “a<5”是“a<3”的必要条件13.设a，b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是−−−−−−−−−−()A. ab的最大值18B. √a+√2b有最大值√2C. a2+b2有最小值15D. a2−b2有最小值−1414.已知f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)，不等式x<f(x)的解集为(−∞,1)⋃(1,+∞).则()A.m=−1,n=1B.设g(x)=f(x)x，则g(x)的最小值一定为g(1)=1C.不等式f(x)<f(f(x))的解集为(−∞,0)⋃(0,1)⋃(1,+∞)D.已知ℎ(x)={34, x≤12f(x), x>12，若ℎ(x)<ℎ(2x+2)，则x的取值范围是(−34,+∞)三、填空题（本大题共4小题，每共20分）15.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A⋃B=R，则实数a的集合是_________．16.不等式(x−13)(x−3)≤1的解集为_________．17.写出命题“若A=⌀或B=⌀，则A∩B=⌀”的否命题：__________________；．18.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”.x0是它的一个均值点，若函数f(x)= x2+mx是[−1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，每大题10分，共60分）19.已知集合A={0,1}，用列举法表示下列集合：(1)B={x|x∈A}；(2)C={x|x⊆A}．20.命题p:关于x的不等式mx−1≥0的解集为A，且2∈A;命题q:关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的正数根．(1)若命题q为真命题，求实数m的范围;(2)命题p和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围;(3)命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的范围．21.某种产品的两种原料相继提价，因此，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p+q2%，第二次提价p+q2%.其中p>q>0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？22.已知a、b、c>0，且a+b+c=1.求证：(1)1a +1b+1c≥9； (2)(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8．23.已知f(x)=x 2+2x +1−a 2(a 为常数)．(Ⅰ)若不等式f(x)>0的解集是(−∞,m)∪(1,+∞)，求m 的值； (Ⅱ)求不等式f(x)<0的解集．24.已知函数f(x)=ax 2+bx +14(a,b ∈R)，且f(−1)=0，对任意实数x ，f(x)≥0成立． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若c ≥0，解关于x 的不等式f(x)>(c +14)x 2−32x +(c +14)．高一数学周练三答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的含义，属于基础题．直接根据集合的定义可得结论．【解答】解：根据集合的定义可得，接近于0的数不确定，故不能构成集合．故选C ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法．集合中的元素具有无序性，故①不成立；{(x,y)|x+y=1}是点集，而{y|x+y=1}不是点集，故②不成立；③④正确．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴①.{2,3}={3,2}，故①不成立；②.{(x,y)|x+y=1}是点集，而{y|x+y=1}不是点集，故②不成立；由集合的性质知③④正确．故选C．3.【答案C4.【答案】C【解析】解：∵a2=13+2√22,b2=13+12=13+2√36,c2=13+2√42，又√22<√36<√42，∴a2<b2<c2，∴c>b>a．故选：C．由a2=13+2√22,b2=13+2√36,c2=13+2√42，即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了比较无理数大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|2<x<3}，∴2和3是方程x2+px+q=0的2个实数根，∴2+3=−p，2×3=q，即p=−5，q=6，则关于x的不等式x2+px+qx2−2x−8>0，即x2−5x+6x2−2x−8>0，即(x−2)(x−3)((x−4)(x+2)>0,用穿根法求得它的解集为{x|x<−2，或2<x<3，或x>4}．故选：D．由题意利用韦达定理求出p和q的值，再利用用穿根法解高次不等式，求得要解不等式的解集．本题主要考查韦达定理，用穿根法解高次不等式，属于中当题．6.【答案】A【解析】解：①.若a>b，取a=0，b=−1，则1a <1b不成立，故①假；②.若ab>c，取a=b=−1，c=0，则a>cb不成立，故②假；③.若a>b，由1c2>0，知ac2>bc2，故③真；④.若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，则a−c>b−d不成立，故④假．故真命题的个数是1．故选：A．根据各选项的条件，取特殊值和利用不等式的基本性质，即可判处其真假本题考查了不等式的基本性质，属基础题．7.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，∴f(2)=0，f[f(2)]=f(0)=4，f{f[f(2)]}=f(4)=2．故选：B．结合函数的性质和图象求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．8.【答案】B【解析】解：因为实数x，y满足x>y>0，且x+y=1，所以x>1−x>0，解可得1>x>12>y>0，则2x+3y+1x−y=2x+3(1−x)+1x−(1−x)=23−2x+12x−1，=12(23−2x+12x−1)[(3−2x)+(2x−1)]，=12[3+2(2x−1)3−2x+3−2x 2x−1]≥12(3+2√2)=32+√2，当且仅当2(2x−1)3−2x=3−2x2x−1时取等号，故选：B ．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意得，不等式2kx 2+kx +3<0的解集为空集， ①k =0时，3<0，满足题意；②k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，解得0<k ≤24， ∴综上得，实数k 的取值范围是[0,24]．故选：B ．根据题意即可得出不等式2kx 2+kx +3<0的解集是空集，从而讨论k ：k =0时，显然满足题意；k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，从而可得出k 的取值范围．本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式解的情况，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由x 2−x =1−x 2得2x 2−x −1=0，解得x =1或x =−12，当x ≥1或x ≤−12，f(x)=max{x 2−x,1−x 2}=x 2−x ，此时函数的递增区间为[1,+∞)，当−12<x <1，f(x)=max{x 2−x,1−x 2}=1−x 2，此时函数的递增区间为[−12,0]，综上函数的递增区间为[−12,0]，[1,+∞)，故选：D ．根据题意得到函数解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，求出函数f(x)的表达式是解决本题的关键，属于中档题11.【答案】ABCD【解析】【分析】本题考查子集的概念，考查集合的并集、交集概念和运算，属于基础题．根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项．【解答】解：由于，即是的子集，故，，从而，．故选ABCD．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断，以及解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，属于中档题．解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．【解答】解：由得，即，得，故A正确；由时一定有，因此“，”是“”成立的充分条件，故B正确；命题，，则，，故C错误；显然时一定有成立，“”是“”的必要条件，故D 正确．故选：ABD ．13.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．利用基本不等式分别判断选项A 、B 的对错，对于C 、D ，由a =1−2b ，且0<b <12，转化为关于b 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错．【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b =1，由基本不等式可得a +2b =1≥2√2ab ，∴ab ≤18，当a =2b =12时等号成立，故ab 有最大值18，故A 正确；由于(√a +√2b)2=a +2b +2√2ab =1+2√2ab ≤2 ，∴√a +√2b ≤√2，当a =2b =12时等号成立，故√a +√2b 有最大值为√2，故B 正确；由a ，b 均为正数，且a +2b =1，则a =1−2b ，且0<b <12，则a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15，当b =25∈(0,12)时，a 2+b 2有最小值15，故C 正确；a 2−b 2=(1−2b)2−b 2=3b 2−4b +1=3(b −23)2−13，对称轴为b =23∉(0,12)，所以无最小值，故D 错误，故选ABC ．14.【答案】ACD【解析】本题考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，二次不等式的解法，分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的单调性与单调区间，利用基本不等式求最值，涉及知识点较多，属于中档题．先根据题意，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求出m ，n ，再根据选项利用相关知识点逐一判断即可．【解答】解：对于A ，∵f(x)=x 2+mx +n(m,n ∈R)，不等式x <f(x)的解集为，即x 2+(m −1)x +n >0的解集为，∴m −1=−2，n =1，即m =−1,n =1，故A 正确；对于B ，由A 可得，设g(x)=f(x)x=x 2−x+1x=x +1x−1，当x >0时，x +1x−1⩾2√x ·1x−1=1，当且仅当x =1时，取等号，即g(x)⩾g(1)=1，当x <0时，−x >0，∴−x +1−x⩾2√−x ·1−x =2，当且仅当x =−1时，取等号，∴x <0时，g(x)⩽g(−1)=−3，故g(x)无最大值，也无最小值，故B 错误；对于C ，由不等式x <f(x)的解集为，则不等式f(x)<f(f(x))，得f(x)<1或f(x)>1，即x 2−x +1<1或x 2−x +1>1，解得解集为，故C 正确；对于D.，知ℎ(x)={34,x ⩽12f(x),x >12，即ℎ(x)={34,x ⩽12(x −12)2+34,x >12，当x ⩽12时，ℎ(x)是常函数，当x >12时，ℎ(x)是单调递增，若 ℎ(x)<ℎ(2x +2)，则{x ⩽122x +2>12或x >12，解得−34<x ⩽12或x >12，∴x 的取值范围是，故D 正确．故选ACD ．1.【答案】{a|a ⩽1}【解析】略2.【答案】{x|0≤x ≤103}【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．由题意，直接利用一元二次不等式的解法求解即可．【解答】解：∵(x −13)(x −3)⩽1， ∴x 2−103x +1−1≤0， ∴x 2−103x ≤0，即x(x −103)≤0，∴0≤x ≤103，故不等式(x −13)(x −3)≤1的解集为{x|0≤x ≤103} .故答案为{x|0≤x ≤103} .3.【答案】若A ≠⌀且B ≠⌀，则A ∩B ≠⌀ 假【解析】解：命题的条件是：A =⌀或B =⌀，结论是：A ∩B =⌀”，根据否命题的定义，否定的条件，得否定的结论， ∴其否命题是：若A ≠⌀且B ≠⌀，则A ∩B ≠⌀；此命题是假命题．故答案是：若A ≠⌀且B ≠⌀，则A ∩B ≠⌀”；假．根据否命题的定义写出其否命题，再判断其真假即可．本题考查四种命题及命题真假性的判定．4.【答案】[0,+∞)【解析】解：根据题意，若函数f(x)=x 2+mx 是[−1,1]上的平均值函数，则方程x 2+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)，即x 2+mx −m =0在(−1,1)内有实数根，若函数g(x)=x 2+mx −m 在(−1,1)内有零点．则△=m 2+4m ≥0，解得m ≥0，或m ≤−4． g(1)=1>0，g(−1)=1−2m.g(0)=−m ．对称轴：x =−m2．①m ≥0时，−m 2≤0，g(0)=−m ≤0，g(1)>0，因此此时函数g(x)在(−1,1)内一定有零点．∴m ≥0满足条件．②m ≤−4时，−m 2≥2，由于g(1)=1>0，因此函数g(x)=x 2+mx −m 在(−1,1)内不可能有零点，舍去．综上可得：实数m 的取值范围是[0,+∞)．故答案为：[0,+∞)．根据题意，若函数f(x)=x 2+mx 是[−1,1]上的平均值函数，方程x 2+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)，即x 2+mx −m =0在(−1,1)内有实数根，若函数g(x)=x 2+mx −m 在(−1,1)内有零点．首先满足：△≥0，解得m ≥0，或m ≤−4．g(1)=1>0，g(−1)=1−2m.对称轴：x =−m2.对m 分类讨论即可得出．本题考查了新定义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】解：(1)B ={x |x ∈A }={0,1}=A ；(2)C ={x |x ⊆A }={⌀,{0},{1},{0,1}}．【解析】略6.【答案】解：命题p:关于x 的不等式mx −1≥0的解集为A ，且2∈A ，则2m −1⩾0，解得m ⩾12;命题q:关于x 的方程x 2−2x +m =0有两个不相等的正数根，则{△>0x 1+x 2>0x 1x 2>0，即22−4m >0，m >0，解得0<m <1;(1)由命题q 为真命题，∴实数m 的范围是0<m <1;(2)由命题p 和命题q 都是真命题，则{m ⩾120<m <1，解得12⩽m <1，可得：命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，则m <12或m ≥1; ∴实数m 的范围是m <12或m ≥1;(3)命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题，若命题p 为真命题，命题q 就为假命题，则{m ⩾12m ⩽0或m ⩾1，解得m ≥1，若命题p 为假命题，命题q 就为真命题，则{m <120<m <1，解得0<m <12． ∴实数m 的范围是m ≥1或0<m <12．【解析】本题主要考查命题的真假判定，不等式求解，以及韦达定理应用，命题p 的解集由不等式求解得出m 取值范围，命题q 的解集通过韦达定理解得m 取值范围，(1)若命题q 为真命题，则实数m 取值范围就是命题q 的解;(2)命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，先求出命题p 和命题q 中都是真命题时的m 取值范围，可得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题m 取值范围;(3)命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题，当命题p 为真命题，命题q 就为假命题m 取值范围，命题p 为假命题，命题q 就为真命题m 取值范围.综合得出结果．7.【答案】解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，方案甲：(1+p%)(1+q%)=1+p%+q%+0.01pq%；方案乙：(1+q%)(1+p%)=1+p%+q%+0.01pq%；方案丙：(1+p+q 2%)(1+p+q 2%)=1+p%+q%+(p+q 2%)2=1+p%+q%+0.01×(p+q 2)2%；∵(p+q 2)2≥pq ，且p >q >0，∴上式“=”不成立；所以，方案甲和乙提价少，方案丙提价多．【解析】本题考查了增长率问题和基本不等式的应用，是基础题．两次提价属于增长率问题，分别计算出方案甲，方案乙，方案丙增长后的价格，再比较大小．8.【答案】证明：(1)∵a 、b 、c >0，且a +b +c =1，∴1a +1b +1c =(1a +1b +1c )(a +b +c)=3+(b a +a b )+(c b +b c )+(c a +ac) ≥3+2√ba⋅a b+2√cb⋅b c+2√ca⋅a c=9．当且仅当a =b =c 时上式等号成立；(2)(1a −1)(1b −1)(1c −1)=(a +b +c a −1)(a +b +c b −1)(a +b +c c−1)=b+c a⋅a+c b⋅a+b c≥2√bc⋅2√ac⋅2√ababc=8abc abc=8．当且仅当a =b =c 时上式等号成立．【解析】(1)由已知可得1a +1b +1c =(1a +1b +1c )(a +b +c)，展开多项式乘多项式，再由基本不等式证明；(2)利用1的代换，可得(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a⋅a+c b⋅a+b c，再由基本不等式证明．本题考查利用基本不等式的性质证明不等式，关键是注意“1”的代换，是中档题．9.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)>0的解集是(−∞,m)∪(1,+∞)，则x =1和x =m 是方程x 2+2x +1−a 2=0的根，则有{1+m =−21×m =1−a 2，解可得m =−3；(Ⅱ)根据题意，f(x)=x 2+2x +1−a 2=x 2+2x +(1−a)(1+a)，方程x 2+2x +1−a 2=0有两个根，即x =−1+a 和x =−1−a ，若a <0，有−1+a <−1−a ，不等式的解集为{x|−1+a <x <−1−a}，若a =0，不等式的解集为⌀，若a >0，有−1−a <−1+a ，不等式的解集为{x|−1−a <x <−1+a}．【解析】(Ⅰ)根据题意，分析可得x =1和x =m 是方程x 2+2x +1−a 2=0的根，由根与系数的关系分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，分析求出方程x 2+2x +1−a 2=0有两个根，即x =−1+a 和x =−1−a ，按a 的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查不等式的解法，涉及不等式的解集与方程根的关系，属于基础题．10.【答案】解：(1)函数f(x)=ax 2+bx +14(a,b ∈R)，且f(−1)=0，可得a −b +14=0，即b =a +14，对任意实数x ，f(x)≥0成立，可得a >0，△=b 2−a ≤0，则(a +14)2−a ≤0，即(a −14)2≤0，又(a −14)2≥0，可得a =14，b =12，所以f(x)=14x 2+12x +14；(2)关于x 的不等式f(x)>(c +14)x 2−32x +(c +14)，即14x 2+12x +14>(c +14)x 2−32x +(c +14)，化为cx 2−2x +c <0，当c =0时，解得x >0；当c >0时，△=4−4c 2，当c ≥1时，△≤0，不等式无实数解；当0<c <1时，△>0，不等式的解为1−√1−c 2c <x <1+√1−c c ．综上可得，c =0时，不等式的解集为(0,+∞)； c ≥1时，不等式的解集为⌀；0<c <1时，不等式的解集为(1−√1−c 2c ,1+√1−c c).【解析】(1)由题意可得a −b +14=0，又a >0，△=b 2−a ≤0，结合非负数概念，解方程可得a ，b ，进而得到f(x)的解析式；(2)由题意可得cx 2−2x +c <0，讨论c =0，c >0，讨论判别式大于0，小于等于0，结合二次不等式的解法，即可得不等式的解集．本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查含参数不等式的解法，注意运用分类讨论方法，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．。

浙江省高一下学期3月测试数学试题(解析版)

一、单选题1．如图，在正六边形ABCDEF 中，与向量相等的向量是（）ABA ．B ．C ．D ．BC ED AF CD 【答案】B【分析】由相等向量的定义可知.【详解】由图可知六边形ABCDEF 是正六边形，所以ED =AB ，与方向相同的只有；而,AB EDBC ,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误； AFCD AB 故选：B2．已知点，，则向量的坐标为（） ()1,2A ()1,2B --ABA ．B ．C ．D ．()2,4()0,0()1,1--()2,4--【答案】D【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案.【详解】已知点，，则向量. ()1,2A ()1,2B --()2,4AB =--故选：D.3．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（） 16i =-z z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】利用共轭复数的定义，几何意义即可得出结果.【详解】，，对应的点为，位于第一象限. 16i =- z 16i ∴=+z z ∴()16，故选：A.4．若，则（） 1i z =+z =A ．0B ．1CD ．2【答案】C【分析】根据复数的模的公式即可求解.【详解】1i =+∴== ，z z 故选：C.5．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）21,e eA ．和B ．和12e e + 123e e - 216e e + 12e e + C ．和 D ．和1234e e - 1268e e - 122e e +122e e - 【答案】C【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断每个选项中的两向量是否具有倍数关系，从而判断两向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，21,e e 21,e e对于A ，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底； 12e e + 123e e -对于B ，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底； 216e e + 12e e +对于C ，因为，即和共线，不能作为基底；22112(684)3e e e e =-- 1234e e - 1268e e -对于D ，，故和没有倍数关系，故二者不共线，可作为平面的一21121()222e e e e --= 122e e + 122e e - 组基底；故选：C6．如图，在中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设，，以向量，为基ABC A AB a = AC b = a b底，则向量（）AE =A ．B ．C ．D ．1124a b + 12a b +12a b + 1142a b + 【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.【详解】因为E 为CD 的中点，则.因为D 为AB 的中点，则.所以()12=+ AE AD AC 12AD AB =.11114242=+=+ AE AB AC a b故选：D.7．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重60︒400N （单位：）约为（）kg（参考数据：取重力加速度大小为） 210/ 1.732g m s ≈＝A ．63 B ．69C ．75D ．81【答案】B【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解.||||G F '=||F '【详解】如图，设该学生的体重为,则.G G F '=由余弦定理得22222||4004002400400cos()3400,||3F F π''=+-⨯⨯⨯=⨯∴=所以. ||69G =≈kg 故选：B【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知平面向量，满足，，点D 满足，E 为的OA OB 2OA OB == 2OA OB ⋅=- 2DA OD = AOB A外心，则的值为（）OB ED ⋅A ．B ．C ．D ．83-83163-163【答案】A【分析】利用向量的数量积求得，以O 为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的23AOB π∠=坐标运算可得解.【详解】，， 2OA OB ==u u r u u u r Q cos 4c 2os OA O OA OB B AOB AOB ⋅=-∴⋅∠=∠=u u r u u u r u u r u u u r ，，1cos 2AOB ∴∠=-23AOB π∴∠=以O 为原点，OA ，垂直于OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设()0,0O ()2,0A (B -(),0D x 又，知，解得，2DA OD = ()(),022,0x x =-23x =2,03D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭又E 为的外心，， AOB A 123AOE AOB π∴∠=∠=OE EA =，为等边三角形，， 3AOE EAO OEA π∴∠=∠=∠=AOE ∴A (E∴，∴． 1,3ED ⎛=- ⎝ 83OB ED ⋅=- 故选：A二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．0AB BA += B ．若且//，则 a b =r r a b a b = C ．若，则a b a b +=- a b ⊥ D ．若//，则有且只有一个实数，使得a b λb a λ=【答案】AC【分析】采用逐一验证法，根据相反向量以及共线向量的概念并结合向量的运算，简单计算，可得结果.【详解】由互为相反向量，则，故A 正确,AB BA 0AB BA +=由且//，或，故B 错a b =r r a b a b = a b =-r r由，则两边平方化简可得，所以，故C 正确 a b a b +=- 0a b ⋅= a b ⊥ 根据向量共线基本定理可知D 错，因为要排除零向量故选：AC【点睛】本题考查向量的相反向量以及向量共线基本定理，还考查了向量垂直，主要考查概念的理解以及简单计算，属基础题.10．已知向量，则（）()()1,2,3,4a b =-=A ．B ．()a b a +⊥r r r()b a - ∥b C ．D ．与向量同向的单位向量是20a b +=a【答案】AD【分析】分别用平面向量垂直的坐标表示，共线向量定理，平面向量模的坐标表示，与已知向量同向的单位向量的求解公式判断即可.【详解】对于选项,因为，所以，所以，则正确；A ()4,2a b +=()440a b a +⋅=-=r r r ()a b a +⊥r r r A 对于选项，因为，所以不存在实数使，所以向量与不平行，则B ()2,6b a -= λ()b a b λ-= b a - b不正确；B 对于选项，因为，所以不正确；C ()4,2a b +=a b +== C 对于选项，因为向量同向的单位向量为，Daaa a即，则正确； =D 故选：.AD 11．设b 、c 均为实数，关于x 的方程在复数集C 上给出下列结论，正确的是2||0x b x c ++=（）A ．存在b 、c ，使得该方程仅有2个共轭虚根B ．存在b 、c ，使得该方程有4个互不相等的实数根C ．存在b 、c ，使得该方程有5个互不相等的根D ．存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根【答案】ABD【分析】令，c 为正实数，容易判断A 正确；，，此时方程有4个互不相等的实数0b =3b =-2c =根，则B 正确；对于CD ，设，则原方程等价于(),x m ni m n R =+∈，则，于是，必有m =0或n =0.2220m n mni c -+++=20mn =当时，得(1)，当n =0时得m 2+b |m |+c =0(2),然后利用判别式和韦达定理讨论分析0m =20n b n c --=方程(1)(2)的实数解的个数，即可得到不同情况下原方程得解的个数情况，从而做出判定. 【详解】解：对于A ，令，c 为正实数，则该方程仅有2个共轭的虚根，正确；0b =对于B ，若x 为实数，则方程可看做，只需保证有2个不同的正解即可，如2||0x b x c ++=x ，，此时方程有4个互不相等的实数根，正确；3b =-2c =对于CD ，设，则原方程等价于，则，(),x m ni m n R =+∈2220m n mni c -++=20mn =于是，必有m =0或n =0.当时，得(1)，当n =0时得m 2+b |m |+c =0(2),0m =20n b n c --=若c =0,则为：,或,若b =0则有n =m =0,即原方程只有x =0一个解； n b =m b =-若b >0，只有n =±b ,即原方程只有x =±bi 两个解；若b <0,只有m =±b ,原方程只有x =±b 两个解，综上c =0时原方程至多有2个解;若c ≠0，将方程(1)(2)中的|n |和|m |用t 表示，得到两个方程(3)(4)，20t bt c --=2,0t bt c ++=则(3)(4)的解不为零，∴（1）（2）的解都是成对出现，即原方程得解只能是偶数个；综上，原方程的解不可能有5个解，故C 错误；方程（3）的判别式,方程(4)的判别式,214b c ∆=+224b c ∆=-当时，(3)无解；(4)至多有2个不同的正实数解，于是原方程至多有四个不同的解，且四个解10∆<都是实数；当时，(4)无解，（3）至多有两个不同的正实数解，于是原方程至多有4个不同的解，且四个20∆<解都是纯虚数；当，且，方程（3）（4）的实数根分别记为，则10∆≥20∆≥1234,,,t t t t .12123434,,,t t c t t b t t c t t b =-+==+=-若c >0，则t 1t 2<0,t 3t 4>0,即t 1,t 2异号，t 3,t 4同号，（3）只有一个正实数解，再若有条件,340t t b +=->，即b <0时，（4）才最多有两个正实数解，进一步当时，（4）的两个正实数解不相等，此时20∆>对应n 有两个实数解，m 有四个实数解，对应原方程有两个互为共轭的纯虚数解，四个正负成对的实数解，一共6个解；同样，当c <0时，t 1t 2>0,t 3t 4<0,即t 1,t 2同号，t 3,t 4异号，（4）只有一个正实数解，若再加上条件且即b >0,且时，（3）才最多有两个不等的正实数根，此时对应（1）有四12,t t b +=10∆>240b c +>个不同的正负配对的正实数根，（2）时只有2个互为相反数的实数根，对应原方程有4个共轭配对的纯虚数根，2个互为相反数的实数根，共有6个解.如，，满足，且，3b =-2c =21410b c ∆=-=>224130b c ∆=+=>.方程（3）有一正一负根，方程（4）由两个不等121234340,0,0,0t t c t t b t t c t t b =-<+=<=>+=->的正实数根，对应原方程有最多的解，其中2个为纯虚数根，四个为实数根原方程共有6个解. 由于，，故不论c 为什么实数，都不可能出现都为正实数的情况，既原方12t t c =-34t t c =1234,,,t t t t 程不可能出现8个解的情况，显然不可能出现更多的解的情况了. 综上所述也方程的解最多是6个. 故D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及复数相关知识，考查运算求解能力，属于中档题．如何严格论证原方程至多有6个解确实需要较为复杂的过程，这是本题的难点所在， 12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一O ABC A 点，，，的面积分别为，，，则.若是锐BOC A AOC A AOB A A S B S C S 0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=O 角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则ABC A A B C ABC A O OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅（）A ．为的外心 O ABC AB ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 【答案】BCD【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合0OB CA OB CA ⋅=⇔⊥O ABC A 与三角形内角和等于可证明B 选项；结合B 选项结论证明OBC C OCB B π∠++∠+=π即可证明C 选项，利用奔驰定理证明可证明D 选项．cos :cos :A B OA OB =:tan :tan A B S S A B =【详解】解：因为， ()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥同理，，故为的垂心，故A 错误；OA CB ⊥OC AB ⊥O ABC A ，所以，,22OBC C OCB B ππ∠+=∠+=OBC C OCB B π∠++∠+=又，所以， OBC OCB BOC π∠+∠+∠=BOC C B ∠=+又，所以，故B 正确； A B C π++=BOC A π∠+=故，同理， A BOC π=-∠B AOC π=-∠延长交与点，则CO AB P ， cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OPA B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OAππ=-∠-∠=∠∠==同理可得，所以，故C 正确；cos :cos :A C OA OC =cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =11:():():tan :tan 22A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP =⋅⋅⋅⋅==∠∠，tan :tan tan():tan()tan :tan BOC AOC A B A B ππ=∠∠=--=同理可得，所以，:tan :tan A C S S A C =::tan :tan :tan A B C S S S A B C =又，所以，故D 正确．0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 故选：BCD ．三、填空题 13．复数_________. i2i=+【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：. ()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-故答案为:.12i 55+14．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，，则______. ABC A 3a =b 2π3A =B =【答案】## π41π4【分析】由正弦定理结合三角形中角的范围即可得出结果. 【详解】由题知，，， 3a =b =2π3A =在中，由正弦定理，得， ABC A sin sin a bA B=所以2π33sin sin B 因为中，，所以，所以. ABC A 2π3A =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4B =故答案为：. π415．已知向量，，规定，之间的一种运算.若向量(),m a b = (),c d = n mn (),m n ad bc ac bd =-+ A ，运算，则向量_____.()1,2h = ()3,6h k = A k =【答案】()0,3【分析】设，利用向量运算的新定义，即可求解. (),k x y = 【详解】设，，(),k x y = ()1,2h =，所以，()()2,23,6h k y x x y =-+= A 2326y x x y -=⎧⎨+=⎩解得：， 0,3x y ==所以.()0,3k =故答案为：()0,316．已知为复数，且，则的最大值为____________. 1z 12z =12i z +【答案】4【分析】由题意，设，得到，则，利用复数的()1i ,z a b a b =+∈R 224a b +=12i z +=模的几何意义，即可得解.【详解】由题意设，则()1i ,z a b a b =+∈R 12i i 2i (2)i z a b a b +=++=++，，即，12z =Q 2=224a b +=即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.1z (0,0)则，可理解为求点到点之间的距离， 12i z +=(,)a b (0,2)-数形结合可知，的最大值为4． 12i z +故答案为：4四、解答题17．已知复数()()()121R z m m i m =-++∈(1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围【答案】(1)1(2) 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据纯虚数的定义求值即可；（2）根据复数的几何意义即可求得m 的范围.【详解】（1）因为纯虚数的实部为零，虚部不为零可得： 101210m m m -=⎧∴=⎨+≠⎩故答案为：1.（2）易知z 在复平面内的对应点为，则 ()1,21m m -+101,12102m m m -<⎧⎛⎫∴∈-⎨ ⎪+>⎝⎭⎩故答案为： 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭18．已知向量，．(1,2)a = (2,3)b =- (1)求；()()a b a b +⋅- (2)求．cos ,a b 【答案】(1)8-【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；a b + a b - （2）根据数量积、模及夹角的坐标公式计算可得；【详解】（1）解：因为，，(1,2)a = (2,3)b =- 所以，，()()()1,22,31,5a b +=+-=- ()()()1,22,33,1a b -=--=- 所以；()()()13518a b a b +⋅-=-⨯+⨯-=- （2）解：因为，，(1,2)a = (2,3)b =- 所以．()1223264a b ⋅=⨯-+⨯=-+=||a==||b所以cos,||||a baba b⋅===19．中，角的对边长分别为，满足.ABCA AB C,,,,a b c222sin sin sin sinB C A B C+-=（1）求角的大小；A（2）若，，求的面积.1a=3Bπ=ABC∆【答案】（1）；（26π【分析】（1）根据正弦定理可得：，代入余弦定理，即可得解；222b c a+-=（2）根据内角和为，求出角，解得为直角三角形，即可得解.πC ABC∆【详解】（1）因为，222sin sin sin sinB C A B C+-=由正弦定理可得：，222b c a+-=所以，222cos2b c aAbc+-=所以.6Aπ=（2）因为，，所以，6Aπ=3Bπ=2Cπ=所以，可得.bABCS∆【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题.20．某人在静水中游泳，速度为/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？【答案】（1）沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时（2）沿向量ADu u u v/时【解析】作出示意图，再根据向量加法与减法的三角形法则和锐角三角函数的定义即可得出答案．【详解】解：（1）如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，OBOA以OA，OB为邻边作QACB，则此人的实际速度为，A OA OB OC+=由勾股定理知，且在中，∠COA =60°，||8OC = Rt ACO ∆故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时；（2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，OD OA AD OD OA =-在Rt △AOD 中，，则 ||AD = ||4OA = ||OD = cos DAO ∠故此人沿向量AD/时．【点睛】本题主要考查平面向量的加法与减法的实际应用，属于基础题．21．在中，角，，的对边分别为，，，，ΔABC A B C a b c ()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=-且的面积为a =ABC A (1)求；A (2)求的周长 .ABC A【答案】（1）（2）3A π=10+【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．【详解】（1），由正弦定理可得：，()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=- ∴()()()a b a b c c b +-=-即：，由余弦定理得. 222b c a bc +-=()1cos ,0,23A A A ππ=∈∴=（2）∵，所以，又，且3A π=1sin 23ABC S bc π∆==24bc ∴=222b c a bc +-=a =，，的周长为()223100b c bc a ∴+=+=10b c ∴+=ABC ∴∆10+【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.22．已知的内角、、的对边分别为、、，且．ABC A A B C a b c ()cos cos a b c B A -=-(1)判断的形状并给出证明；ABC A (2)若，求的取值范围．a b ¹sin sin sin A B C ++【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形，证明见解析ABC A(2)()1+【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，可得出()cos sin sin 0C B A -=或，可得出或，即可得出结论；sin sin A B =cos 0C =a b =2C π=（2）分析可得，且，利用诱导公式以及辅助角公式可得出2B A π=-0,,442A πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得的取sin sin sin 14A B C A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭sin sin sin A B C ++值范围.【详解】（1）解：为等腰三角形或直角三角形，证明如下：ABC A 由及正弦定理得，，()cos cos a b c B A -=-()sin sin sin cos cos A B C B A -=-即，()()()sin sin sin cos cos B C A C C B A +-+=-即，sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos B C B C A C A C C B C A +--=-整理得，所以，sin cos sin cos 0B C A C -=()cos sin sin 0C B A -=故或，sin sin A B =cos 0C =又、、为的内角，所以或， A B C ABC A a b =2C π=因此为等腰三角形或直角三角形．ABC A （2）解：由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，a b ¹ABC A 且，故，且，2A B π+=2C π=2B A π=-4A π≠所以， sin sin sin sin sin 1sin cos 114A B C A B A A A π⎛⎫++=++=++=++ ⎪⎝⎭因为，故， 0,,442A πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,,44224A πππππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U得， sin 4A π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()114A π⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭因此的取值范围为． sin sin sin A B C ++()1。

高一数学下学期3月第三周考试试题

第五中学2021-2021学年高一数学下学期3月第三周考试试题一、选择题〔每一小题6分,一共48分,每一小题只有一个正确答案〕1. sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，那么cos 2α＝A ．1B ．－1 C.12D ．02.19π5πcos cos sin sin 24242424+=ππA.22 B. 22- C. 12- D. 32-3.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 A.2πB.πC.23πD.2π 4. 函数()3sin 24cos 2,f x x x =+ ([0,])4x ∈π的值域为A.3[,1]5 B. [5,5]- C. [3,5] D.[4,5]5.假设0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，那么cos(α＋β2)＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－696. 函数25()sin 22cos(2)sin 3412⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭f x x x πππ的图象为C ，如下结论中正确的选项是C 关于直线11π12x =C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ()f x 在区间ππ63⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3+f x π为奇函数．7. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=那么〔〕 A. 22παβ-=B. 22παβ+=C. 32παβ-=D. 32παβ+=8. 当α为锐角时，2M 12sin ()42πα=--, 2N 2tan tan tan 22αα=+α⋅,那么M 与N 的大小关系是A. M<NB.M=NC. M>N α有关二、填空题〔每一小题6分,一共24分〕9.()sin 23cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ〔02ϕπ<<〕个单位后，所得函数为偶函数，那么ϕ=____________． 10.0tan 20sin 203a +=，那么a =______11. 在△ABC 中,4sinA+2cosB=1，4cosA+2sinB=3 3 ，那么C=12.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α，假设|BC |＝1，那么3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值是________．三．解答题〔一共28分〕13.0ω>，函数22()2sin cos 4cos f x x x x x =-⋅+ωωωω (1)求函数y ＝f (x )的值域； (2)假设f (x )在区间2[,]63ππ上为减函数，求ω的最大值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学3月周考试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校某校二零二零—二零二壹高一数学3月周考试题理时间是：150分钟总分值是：150分一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1、以下函数中，周期为π，且在2、在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,那么此三角形解的情况是〔〕3、设3tan =α，那么.A ．3B ．2C ．1D ．﹣1 4、设x R ∈，向量(,1)ax=，(1,2)b =-，且a b ⊥，那么a b +＝〔〕5、一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形圆心角的弧度数是〔〕 A ．1B ．2C ．3D ．46、在△ABC 中，假设B A 2=，那么a 等于〔〕A A b sin2B A b cos 2C B b sin 2D B b cos 27、假设x 为三角形中的最小内角，那么函数y=sinx+cosx 的值域是〔〕A8、假设sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，那么角A ．第一或者第三象限B ．第二或者第四象限C ．第一或者第二象限D ．第三或者第四象限9、不一共线向量a ，b ，AB ta b =-〔t R ∈〕，23AC a b =+，假设A ，B ，C 三点一共线，那么实数t =〔〕A10、函数f 〔x 〕＝[0，π]上有两个零点，那么实数m 的取值范围为〔〕A.[2]B.2〕2]11的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移后，得到的图象对应的函数为奇函数，那么()f x 的图象〔〕A D 12π4B，BC 那么=A cos 〔〕二．填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13，那么sin(2)πθ-=． 14、平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第一象限内，，且2OC =，假设OCOA OB λμ=+，那么λμ+的值是．15、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设cos (2)cos c a B a b A -=-，那么△ABC 的形状是．是奇函数；②假设α、β是第一象限角且αβ<，那么tan tan αβ<；③上的最小值是2-，的一条对称轴．．三．解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕17.〔10分〕)2cos()29sin()2cos()3sin()211cos()2cos()cos()2sin()(απαπαπαπαπαπαπαπα-+++---+-=f . 〔1〕化简)(αf ；〔2〕假设510)(=αf ，求ααcos 1sin 1+的值.18、〔12分〕向量=〔sin θ，1〕，=〔1，cos θ〕，﹣＜θ＜．〔1〕假设，求θ；〔2〕求|的最大值．19、〔12分〕函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛0,12πP ，图像上与点P 最近的一个顶点是⎪⎭⎫⎝⎛5,3πQ 〔1〕求函数的解析式；〔2〕求使函数()0≤x f 的取值范围20、〔12分〕函数2()3sin cos cos f x x x x a =++．〔1〕求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；〔2〕当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 21、〔12分〕ABC∆中，cb a ,,分别是角CB A ,,所对的边，向量(cos sin )m A A =，，(cos sin )n B B =，-，且1m n -=.(1)求角C 的度数； (2)假设3c=，求ABC ∆面积的最大值.22、〔12分〕如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种途径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿ACm．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B 匀速步行，速度为50/minm，山路AC长为1260m，经测量匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min〔1〕求索道AB的长；〔2〕问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的间隔最短？〔3〕为使两位游客在C处互相等待的时间是不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？2021年高一3月周考数学参考答案〔一〕一、单项选择1、D2、A3、B4、B5、C6、D7、B8、A9、B10、C11、B12、B 二、填空题 13、34-14、31+15、等腰或者直角三角形16、①④ 三、解答题 17、【答案】〔1〕()sin cos f ααα=+〔2〕2103-试题解析：〔1〕αααcos sin )(+=f -------------------5分〔2〕103cos sin 52cos sin 21510cos sin )(-=∴=+∴=+=αααααααf -----------------7分3102cos sin cos sin cos 1sin 1-=⋅+=+∴αααααα-----------------------10分18、【答案】〔Ⅰ〕4π-〔Ⅱ〕21+试题解析：〔Ⅰ〕.，=0，sinθ+cosθ=0--------------5分〔Ⅱ〕 ==-------------------------------8分当=1时有最大值，-----------------10分此时，最大值为--------------------12分19、【答案】〔1〕()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭〔2〕()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦试题解析：〔1〕由题意可知：，---------------------------1分，，--------------------3分将点代入可得，所以，所以又，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭----------------------------6分〔2〕由〔1〕可知即---------7分即---------------------------11分的取值范围为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦----------------------12分20、【答案】〔1〕T π=，递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦〔k Z ∈〕．〔2〕0a =试题解析：〔1〕31cos 2()sin 222x f x x a +=++311sin 2cos 2222x x a =+++1sin(2)62x a π=+++，------------------3分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，----------------4分由3222262k x k πππππ+≤+≤+〔k Z ∈〕，得263k x k ππππ+≤≤+〔k Z ∈〕．故函数()f x 的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦〔k Z ∈〕．------------------6分〔2-----------------9分时，min ()f x a =；当，解得0a =．--------------12分21、【答案】(Ⅰ)120︒(Ⅱ试题解析：(Ⅰ)∵(cos cos sin sin )m n A B A B -=-+，，1m n -=，------------------1分即22cos()1A B -+=，分 ∴60A B +=︒，∴180()120CA B =︒-+=︒.---------------------------5分(Ⅱ)由余弦定理，得2222cos ca b ab C =+-，即2292cos12023a b ab ab ab ab =+-︒≥+=，那么3ab ≤.-------------8分-------------------------10分分 22、【答案】〔1〕1040；〔2〔3 试题解析：〔1〕在ABC ∆中，因为〔2〕假设乙出发min t 后，甲、乙两游客间隔为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙间隔A 处130t m ，所以由余弦定理得----5分乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=〔m 〕，还需走710m 才能到达C ．设乙步行的速度为/min vm ，由题意得 ------------------------10分所以为使两位游客在C 处互相等待的时间是不超过3min ，乙步行的速度应控制在/min m 〕范围内．-----------------12分。

2022-2023学年江苏省扬州市高一下册3月月考数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年江苏省扬州市高一下册3月月考数学模拟试题（含解析）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2sin cos 3αα+=，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13B.23C.12D.2【正确答案】A【分析】直接根据两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为2sin cos 3αα+=，所以()π1sin sin cos sin cos 4222233ααααα⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.2.下列不能化简为PQ的是（）A.QC QP CQ-+ B.()AB PA BQ ++C.()()AB PC BA QC++- D.PA AB BQ+- 【正确答案】D【分析】根据向量的加减法以及运算性质，可得答案.【详解】对于A ，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，故A 不符合题意；对于B ，()AB PA BQ AB PA BQ PB BQ PQ ++=++=+=，故B 不符合题意；对于C ，()()AB PC BA QC AB PC BA CQ PQ ++-=+++=，故C 不符合题意；对于D ，PA AB BQ PB BQ +-=-，故D 符合题意.故选：D.3.若向量i ，j为互相垂直的单位向量，2a j i =- ，m b j i =+ ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.(－∞，－2)∪12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.222,,33⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由a 与b 夹角为锐角，可得0a b ⋅ ＞且b a，不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．【详解】由题意可得：∵a 与b夹角为锐角，∴⋅= a b （2i j - ）()m i j ⋅+= 1-2m ＞0，且b a ，不共线∴12m ＜当a b时，可得m ＝﹣2所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12）．故选B ．本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当a 与b的夹角为锐角可得，0a b ⋅ ＞且b a，不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.4.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“AB AC BC +> ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC|>|BC|⇔|AB +AC |>|AB -AC|⇔|AB +AC |2>|AB -AC|2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC|>|BC |”的充分必要条件,故选C.本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5.已知向量a 和b 满足1a =，b = ()a a b ⊥- ，则a 与b的夹角为（）A.135B.75C.45D.30【正确答案】C【分析】先利用()a a b ⊥- ，可得()0⋅-= a a b ，求得a b ⋅，再代入向量夹角公式即得结果．【详解】1a =，b = ()a a b ⊥- ，则()0⋅-= a a b ，即21a b a ⋅== ，设a 与b 的夹角为θ，则2cos 2a b a b θ⋅===⋅ ，而[]0,θπ∈，故4πθ=，即a 与b 的夹角为45 .故选：C.6.已知向量()1,2a =- ，(),4b x = 且//a b ，则+=a b A.5B.C.D.【正确答案】C【分析】根据向量平行可求得x ，利用坐标运算求得()3,6a b +=-，根据模长定义求得结果.【详解】//a b420x ∴--=2x ∴=-()2,4b ∴=-()3,6a b ∴+=-a b ∴+=本题正确选项：C本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.7.cos350sin 70sin170sin 20-= （）A.2B.2C.12D.12-【正确答案】B【分析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=- ，再利用和差公式计算得到答案.【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos302-=-==．故选：B本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.8.已知点O 为ABC 内一点，满足3OA OB OC λ+=，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（）.A.2-B.12-C.12D.2【正确答案】A【分析】利用数乘的定义作图，作13OB OB = ，1OC OC λ=-，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC 内一点，满足3OA OB OC λ+=，∴0λ<，如图，作13OB OB = ，1OC OC λ=- ，则110OA OB OC ++=，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C SSSS ===，由13OB OB = ，1OC OC λ=- ，知113OABOAB SS =，111111133OBCOB C OB C SS S λλ=⨯=--，11OACOAC SS λ=-，∴111:::():()33OAB OBC OCASS Sλλ=--，∴113111333OABABCS Sλλ==--，解得2λ=-．故选：A．本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,a b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）A.a 与b 相等B.如果a 与b 同向，那么a 与b 相等C.2a b +=D.||||a b = 【正确答案】BD【分析】根据单位向量的概念和向量的模、向量的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，向量,a b为两个单位向量，但方向不一定相同，所以A 错误；对于B 中，因为向量,a b 为两个单位向量，即a b =r r ，若a 与b 同向，则向量a 与b相等，所以B 正确；对于C 中，向量,a b 为两个单位向量，根据向量的加法，可得a b +为向量，所以C 错误；对于D 中，向量,a b为两个单位向量，即a b =r r ，所以D 正确.故选：BD.10.下面各式化简正确的是（）．A.cos80cos 20sin 80sin 20cos 60︒︒+︒︒=︒B.cos 45cos30sin 45sin 30cos15︒︒-︒︒=︒C.()()sin 45sin cos 45cos cos 45αααα+︒++︒=︒D.π1cos cos sin 622ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】根据两角和与差的正、余弦公式一一判断求解.【详解】cos80cos 20sin80sin 20cos(8020)cos60+=-= ，A 正确；()cos 45cos30sin 45sin 30cos 4530cos 75cos15-=+=≠ ，B 错误；()()()()sin 45sin cos 45cos cos 45cos sin 45sin αααααααα+++=+++ ()c cos 455o 4s αα=⎡⎤-=⎣⎦+，C 正确；πππ1cos cos cos sin sin cos sin 66622ααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭，D 错误；故选:AC.11.图（1）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的，如图（2）所示，其中()111,2,3,4,5,6,7i i A A i +==，1245A OA ∠=，则（）A.561OA OA -=B.12232A A A A ⋅=-C.3OA 与4OA的夹角为30D.1n n OA OA +⋅=【正确答案】AC【分析】根据向量的减法运算可判断A ；利用数量积的定义计算可判断B ；求出3OA 、4OA和34A A 即可求34A OA ∠可判断C ；计算()11n n n n n n OA OA OA OA A A ++⋅=+可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：56651OA OA A A -==，故选项A 正确；对于B ：1245A OA ∠= ，21OA A 是直角三角形，所以2145OA A ∠=，所以()1223122322cos 180********A A A A A A A A ⋅=⋅--=⨯⨯=，故选项B 不正确；对于C ：2OA == 3OA == ，42OA == ，在34OA A △中，3OA = 42OA = ，341A A = ，所以3430A OA ∠=，即3OA 与4OA 的夹角为30 ，故选项C 正确；对于D ：由勾股定理以及选项C 可知：11OA = ，2OA = ，3OA =，42OA ==L可得：n OA =()221110n n n n n n n n n n OA OA OA OA A A OA OA A A n +++⋅=+=+⋅=+= ，故选项D 不正确；故选：AC.12.对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.212AO AB AB⋅= B.OA OB OA OC OB OC⋅=⋅=⋅uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ= ，AF AC μ= ，则113λμ+=D.AH 与cos cos AB AC AB B AC C+ 共线【正确答案】ACD【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC ⋅=⋅即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB B AC C+与BC垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM∴∠=()21·cos cos ·22AB AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OA OB OA OC = 等价于()·0OA OB OC -= 等价于·0OA CB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB B AC C + 与BC垂直,又AH BC ⊥ ,∴cos cos AB AC AB B AC C+ 与AH 共线，故D 正确.故选：ACD.本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第16题2+3）.13.已知4sin 5A =，且3,22A ππ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，则sin 3A π⎫⎛+= ⎪⎝⎭___________.【正确答案】43310-【分析】由已知条件求出cos A ，利用两角和的正弦公式，即可求解.【详解】因为4sin 5A =，且3,22A ππ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5A ==-，因此sin sin cos cos sin 333A A A πππ⎫⎛+=+ ⎪⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.故答案为.14.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【正确答案】9【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦132265333339=⨯+⨯=.故答案为.915.在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=︒，2CE EB = ，则AE BD ⋅=uu u r uu u r___________.【正确答案】3-【分析】利用向量加减法的几何意义可得13AE AB AD =+ 、BD AD AB =-，再应用向量数量积的运算律及已知条件求AE BD ⋅即可.【详解】由题意，()221129333333AE BD AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=-++⋅=-++=- ⎪⎝⎭.故3-16.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，,E F 分别是边,AB BC 上的点，且AE EB =，2BF FC =，连接,ED AF ，交点为G ．设AG t AF =，则（1）t =_____；（2）cos EGF ∠=________．【正确答案】①.38②.19-【分析】（1）223AG t AF t E t A AD ==+ ，由,,D G E 三点共线得DG DE λ=，(1)AG AE AD λλ=+-，结合平面向量基本定理可求得t ；（2）取,AB AD 作为平面的一组基底，用基底表示出向量,DE AF uuu r uu u r ，求出DE AF ⋅ ，DE，AF，由向量夹角公式即可求得答案.【详解】()23322AG t AF t AB t AB AD t A t E A t BF D ==+=+=+，又,,D G E 三点共线，则DG DE λ=，()(1)AG AD AD DE AD AE AD AE D AD G λλλλ=+=+=+-=+- ，因为,AD AE不共线，由平面向量基本定理，得2t λ=且213t λ=-，解得38t =．（2）取,AB AD作为平面的一组基底，则12DE AE AD AB AD =-=- ，23B AF AB AB AD F =+=+，不妨设2AB =，则22cos 602AB AD ︒⋅=⨯⨯=，221222323132DE AF AB AD AB AD AB AB AD AD⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222122233=⨯-⨯-⨯=-，DE ====，3192AF ====，cos cos ,19||||57DE AF EGF DE AF DE AF ⋅∠====-．故38，19-．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.平面内给定两个向量(3,2)a = ，(1,2)b =-（1）设a 与b的夹角为θ，求cos θ；（2）求|2|a b -.【正确答案】（1）65；（2【分析】（1）根据已知条件分别求出a 与b的数量积及模长，利用向量的夹角公式直接代入求解即可；（2）根据向量的坐标运算以及模长公式求解即可.【小问1详解】因为(3,2)a = ，(1,2)b =-，所以()31221a b ⋅=⨯-+⨯=，a ==，b == ，所以cos 65a b a bθ⋅=== ；【小问2详解】因为(3,2)a = ，(1,2)b =-，所以()()()223,21,27,2a b -=--=，所以|2|a b -==.18.已知1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭.（1）求πcos 3α⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若()πsin ,0,142αββ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，求β的值.【正确答案】（1）1114-（2）π3【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得sin 7α=-，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得()13cos ,14αβ+=再进行角的转化即()βαβα=+-，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出π3β=.【小问1详解】由22sin cos 1αα+=，1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭可得sin 7α=-；所以πππ1134311cos cos cos sin sin 333272714ααα⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；即π11cos 314α⎛⎫-=-⎪⎝⎭【小问2详解】由ππ,0,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又()()22sincos 1αβαβ+++=，()sin ,14αβ+=-所以()13cos ,14αβ+=()()()13133431cos cos cos cos sin sin 1471472βαβααβααβα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=+++=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得π3β=.即β的值为π319.已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b =．（1）求a b ⋅；（2）求2a b - 及a 在b上的投影向量的坐标；（3）()a mb a -⊥，求m 的值．【正确答案】（1）5（2）25a b -= ，a 在b上的投影向量的坐标为()1,2（3）2m =【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；（2）根据向量坐标的线性运算求解2a b -的坐标，即可得2a b - ；按照投影向量的定义列式求解即可；（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m 的值．【小问1详解】已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b = ，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=；【小问2详解】()()()221,31,23,45a b -=--=-=，又a 在b 上的投影向量的坐标为()()225cos ,1,21,2b a b a a b b b b⋅⋅=⋅=⋅= 【小问3详解】因为()a mb a -⊥ ，所以()222()1350a mb a a ma b m -⋅=-⋅=-+-= ，解得2m =.20.在平面直角坐标系xOy 中，锐角,αβ的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆O 交于A ，B 两点，且5cos()13αβ+=.（1）求sin()αβ+的值；（2）若点A 的纵坐标为45，求点B 的纵坐标.【正确答案】（1）1213；（2）1665.【分析】（1）根据给定条件，确定αβ+的范围，再利用平方关系求解作答.（2）利用三角函数的定义，结合差角的正弦公式求解作答.【小问1详解】因为,αβ都是锐角，则0παβ<+<，而5cos()13αβ+=，所以12sin()13αβ+===.【小问2详解】因为角α终边与单位圆交点纵坐标为45，则4sin 5α=，又因为角α为锐角，因此3cos 5α===，所以12354sin sin[()]sin()cos cos()sin 135135βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯1665=，所以B 点的纵坐标为1665.21.如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD = .（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值.【正确答案】（1）83-（2）1514t =【分析】（1）将,AD BC 都转化为用,AB AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅= 转化为2AB CD t CD⋅=，同（1）的方法，将CD 转化为用,AB AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.【详解】（1）D 是边BC 上一点，2DC BD= ()1133BD BC AC AB∴==- ()121333AD AB AC AB AB AC=+-=+()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22121333AC AB AB AC=-+⋅18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=- （2）()0AB tCD CD -⋅= ，2AB CDt CD⋅∴=()2233CD CB AB AC ==- ，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒= 2222839CD CB ⎛⎫==⎪⎝∴⎭2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭ 22233AB AC AB =-⋅ 821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.在直角梯形ABCD 中，已知ABDC ，ADAB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且BE BC λ=，()1DF DC λ=-，R λ∈．（1）当0AE BC ⋅=时，求λ的值；（2）当23λ=时，求DMMB的值；（3）求12AF AE +的取值范围．【正确答案】（1）34；（2）56；（3）102⎡⎢⎣⎦﹒【分析】(1)在直角梯形ABCD 中，根据几何关系求出∠ABC 和BC 长度，当AE ⊥BC 时，求出BE 长度，从而可得BEBC λ=；(2)设AM xAE = ，DM yDB = ，以,AB AD 为基底用两种形式表示出AM，从而可得关于x 、y 的方程组，解方程组可得1DM yMB y=-；(3)以,AB AD 为基底表示出A E、AF ，从而表示出12AF AE + ，求出212AF AE + 的范围即可求出12AF AE +的范围．【小问1详解】在直角梯形ABCD 中，易得4ABC π∠=，BC =∵0AE BC ⋅=，∴AE BC ⊥，∴ABE 为等腰直角三角形，∴322BE =，故34BE BC λ==；【小问2详解】()3AE AB BE AB BC AB BA AD DC AB AB AD ABλλλλλ=+=+=+++=-++ 213AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当23λ=时，5293AE AB AD =+ ，设AM xAE = ，DM yDB =，则5293AM xAE xAB xAD ==+ ，())(1AM AD DM AD yDB AD y D B y AB y A A A D =+=+=++-+= ，∵,AB AD 不共线，∴59213x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得516y y =-，即56DM MB =；【小问3详解】∵1(1)3AF AD DF AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ ，213AE AD AB λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴15212263AF AE AD AB λλ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222222152|521||4192263263|AF AE AD AB λλλλ⋅⎛+=++-⋅=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝222541(2)25624λλλλ⎛⎫++-=-+ ⎪⎝⎭，由题意知，[]0,1λ∈，∴当35λ=时，AE AF +13510，当0λ=时，AE AF + 取到最大值412，∴12AF AE+的取值范围是13541,102⎡⎢⎣⎦．。

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高一（下）第三周检测题
参考答案
一、选择题（共8题，每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D B A D C D A
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
9. 1 ； 10. 6 ； 11.
6
π
； 12. 4 .
三、解答题（共3题，第13题12分，第14～15题各14分，共40分）
13. (本小题满分12分)已知向量m )sin ,1(x a +=，n ))6
cos(41π
+=
x ，（，设函数
=)(x g m·n(a ∈R ，且a 为常数)．
(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若)(x g 在[0，π
3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．
[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π
6
)
＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π
6)＋a
(1)g (x )＝2sin(2x ＋π
6
)＋a ，T ＝π. g(x)的单调递增区间为
[
]ππ
ππ
k k ++-
6
3，
(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π6 ，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，y max ＝2＋a .
当2x ＋π6＝π
6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，
故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2. 14. 已知函数2
1
cos 2sin 23)(2--=
x x x f . (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且3=c ,f(C)=0,若向量m =(1,sinA)与向量n =(2,sinB)共线,求b a ,的值.
解:(1)∵f(x)=
32 sin2x-12122cos x +-=sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭-1 ∴f(x)的最小值为-2,最小正周期T=
22
π
=π. (2)由题意得f(C)=sin 26C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
-1=0得sin 26C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
=1,又0<C<π ∴-
11
26
6
6
C π
π
<-
<
π即2C-62ππ=,得C=3π
∵m =(1,sinA)与n =(2,sinB)共线.∴
12sinA
sinB
=,由正弦定理得12a b =
①
由余弦定理得c 2=a 2+b 2
-2abcos
3
π即:3=a 2+b 2
-ab
②
由①②得a=1,b=2.
15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3
.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，
所以1
2
ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4，ab ＝4，
解得a ＝2，b ＝2.
(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ，当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝23
3
，
当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2
－ab ＝4，
b ＝2a ，
解得a ＝233，b ＝43
3
.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23
3
.。