二建考试必备-建筑结构与设备(9)案例分析

【例3 -10 】判断图 3 一34 ( a ）所示梁（P ＜ql／ 2 ）的内力图形状是否正确，如有错误，请予以改正。

AC 段：为均布荷载区段，V 图应为斜直线，M 图应为抛物线，图中原内力图与此符合。

CD 、DB 段：为无荷载区段，V 图应为平直线，M 图为斜直线，显然原V 图与此不符合。

D 截面处：有竖直向下的集中荷载，V 图应发生突变，且截面右侧的剪力应比左侧减小，M 图尖角应指向下方，原内力图与此也不符合。可见，图3 一34 ( a ）的内力图不正确，需予以改正。

正确的内力图形状如图3 -34 ( b ）所示。由于均布荷载合力（ql / 2 ）大于集中荷载P，故剪力在前半跨的某一截面 E 处就发生了变号（正值变为负值），该截面处弯矩达到最大值。

注：在剪力不发生突变的截面上，弯矩图总是光滑的。例如本例的弯矩图在截面 C 处（抛物线与斜直线的连接处）是光滑的。

4 ．分段叠加法作弯矩图

结构中的任一直杆段若受横向荷载作用（图 3 -35a、b ），则该杆段的弯矩图等于将该杆段视作简支梁，在简支端单独作用该杆段的端部弯矩与简支梁单独作用横向荷载的弯矩图的叠加（图 3 -35 c）。这种作弯矩图的方法称为分段叠加法作弯矩图。由于简支梁在一些常见荷载（如满跨均布荷载、跨中集中荷载等）下的弯矩图较为简单，因此利用分段叠加法往往可以简化弯矩图的绘制.

具体作图时，可先求出该杆段的端部弯矩，并连以虚线，然后以此虚线为基线绘出相应简支梁在相同荷载作用下的弯矩图，该图与梁轴包围的图形即为杆段的最后弯矩图（图3- 35d ）。需要注意的是，所谓弯矩图的叠加是指竖标的叠加，即在虚线基础上叠加的值仍应垂直于杆轴方向（而不是垂直于虚线方向）。

分段叠加法作弯矩图不仅适用于静定结构，同样也适用于超静定结构。

【例 3 -11 】作图3-36 （a ）所示梁的内力图。

（l ）计算支座反力

取整体为研究对象，由∑m B=0，可得：

利用AD 、BC 段的竖向投影平衡，可求得各截面的剪力分别为

（3 ）根据各区段的内力图形状特征绘出内力图

AD 段：为无荷载区段，剪力图为一平直线，弯矩图为一斜直线；

DB段：为均布荷载区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线，可采用分段叠加法绘出。具体做法是，先将 D 、B 截面的弯矩竖标连成虚线，再在虚线基础上叠加将DB 段作为简支梁时作用均布荷载的弯矩值（跨中为ql2 / 8 =10kNm ）。由于荷载向下，故叠加的抛物线应凸向下方。

BC 段：为均布荷载区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线，可采用分段叠加法作出，具体做法与DB 段类似。

最后得到的剪力图和弯矩图如图 3 -36 （b ）、（c）所示。

（4 ）内力图校核

剪力图和弯矩图可以根据两者之间的微分关系（或杆段的平衡条件）进行校核。对无荷载区段，剪力等于弯矩图的斜率（弯矩图相对基线顺时针时剪力为正）；对均布荷载区段，可取该区段为隔离体，根据对杆端的力矩平衡进行校核。例如取出DB 段（图3 -36d ），经验证：

故知该区段内力图正确。

5 ．多跨静定梁的计算

多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并与基础用若干个支座连接而成的静定结构。例如图 3 -37 中的

多跨静定梁，AB 和CDE 部分（在竖向荷载作用下）不依赖于其他部分的存在就能独立维持其自身的平衡，故称为基本部分；BC部分则必须依赖于基本部分才能维持其自身的平衡，故称为附属部分。

多跨静定梁内力分析的一般步骤为：

（1 ）分清各部分的层次关系，按照附属部分支承于基本部分的原则，绘出表示传力层次的图，即所谓的层次图；

（ 2 ）从层次图中最上层的附属部分开始，按照先附属部分后基本部分的顺序，依次计算各部分的支座反力和铰接端的约束力；

（3 ）按计算单跨梁内力的方法求出各部分的内力，并作出相应的内力图。

【例3 -12 】作图3 -38 （a ）所示多跨静定梁的内力图。

（1 ）作出结构的层次图如图3 -38 （b ）所示。

（ 2 ）先计算最上层的附属部分DE ，求得 D 点的约束力并反作用于BD 部分（如图 3 一-38c ）。再取BD 计算，得到B 点的竖向约束力并反作用于基本部分AB 。最后计算AB 部分，求出A 端的反力。

（3 ）求出各部分的支座反力和端部约束力后，进一步计算出其他截面（如F 、C 截面）的内力，便可绘出结构的弯矩和剪力图，其中对BC 段的弯矩图利用了分段叠加法作出。内力图如图3 -38 （ d ）、（。）所示。

注：从结构层次图的传力路径可以看到，作用在附属部分上的荷载将对基本部分产生反力和内力，而作用在基本部分上的荷载对附属部分是没有影响的。