利用基本不等式求最值ppt课件
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【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
高一数学复习知识讲解课件15 基本不等式(第2课时)
2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。
人教A版数学必修第一册2.2基本不等式课件
为多少时，可使每间虎笼面积最大？
由2x＋3y＝18，得x＝9－
3
y.
2
3
2
3
2
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y 9 − ＝ y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤
3
2
6− + 2
2
＝
27
.
2
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2
.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
(1)已知x<
利用基本不等式求最值
5
4
，求y＝4x－2＋
1
4−5
的最大值；
5
4
∵x< ，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
1
为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：
元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建
为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费
购地总费用
用，平均购地费用＝ 建筑总面积)
随堂检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( √ )
=
∴ + 的最小值为3＋2 2.
跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求
由2x＋3y＝18，得x＝9－
3
y.
2
3
2
3
2
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y 9 − ＝ y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤
3
2
6− + 2
2
＝
27
.
2
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2
.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
(1)已知x<
利用基本不等式求最值
5
4
，求y＝4x－2＋
1
4−5
的最大值；
5
4
∵x< ，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
1
为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：
元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建
为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费
购地总费用
用，平均购地费用＝ 建筑总面积)
随堂检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( √ )
=
∴ + 的最小值为3＋2 2.
跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求
高中数学《利用基本不等式求最值》公开课精品PPT课件
(2) 过一个点有__无__数__条__条直线.
y
.
.
y
.
o
x
ox
确定直线位置的要素除了点之外,还有
直线的方向,也就是直线的倾斜程度.
5
1.直线倾斜角的定义：
当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正
向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
y
注意:(1)直线向上方向
a
O
x
(2)x轴的正方向
1、日常生活中，还有没有 表示倾斜程度的量？
坡度（比）
升高量 前进量
斜坡
平面直角坐标 系中的直线
坡角
直线的倾斜角
坡度
直线的斜率
2.定义：直线倾斜角的正切叫做这 几何画板
C
条直线斜率。斜率通常用k表示，
即：
k tan
直线的倾
a
[0,
)
(
,
)
2
2
斜角和斜
升
3.直线的倾斜角与斜率的关系：
2 4
1; 2
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
3 3
1;
由
k AB
0
及
kCA
0
知，直线AB 与CA的倾斜角
பைடு நூலகம்
均为锐角,由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别
为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式求最值---一种类型的两数和最值的求法课件(第二节课)
16
当且仅当
9x
y 1
9
y x 时取“” 1
x y
即
x4 y 12
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一般化： 1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式； 2.总是求最小值；
3.变量在形式上具有“倒数关系”；
4.都可以利用x x 1,其中，1 2 3 L（1的替换） 23
求解；
例1、已知a 0,b 0, a b 2,则y 1 4的最小值为（ ）
ab
解： Q y 1 4 (1 4) a b
ab ab 2
利用x 1 x,1 2 a b
1 (1 4 b 4a )
22
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
展开
2
ab
9
积为定值
2
解： Q y 1 4 1 (a b) ( 1 4)
基本不等式求最值
---------一种类型的两数和最值的求法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一、题目的特点 1、条件是两正数的和的形式，结论也是两正数的 形式； 2、变量在形式上具有“倒数关系”； 3、求和的最小值。
和的
二、思路探求 积为定值，和有最小值。所以要求和的最小值，
mn
变形二：已知等式条件中，隐含“倒数关系”
例4：若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为
例5：已知x>0,y>0,3x+2y=6xy,求x+y的最小值
例4：已知正数x,y满足x+2y=2,则 x+8y 的最小值为 xy
变形三：给定函数形式中，隐含“倒数关系”
当且仅当
9x
y 1
9
y x 时取“” 1
x y
即
x4 y 12
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一般化： 1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式； 2.总是求最小值；
3.变量在形式上具有“倒数关系”；
4.都可以利用x x 1,其中，1 2 3 L（1的替换） 23
求解；
例1、已知a 0,b 0, a b 2,则y 1 4的最小值为（ ）
ab
解： Q y 1 4 (1 4) a b
ab ab 2
利用x 1 x,1 2 a b
1 (1 4 b 4a )
22
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
展开
2
ab
9
积为定值
2
解： Q y 1 4 1 (a b) ( 1 4)
基本不等式求最值
---------一种类型的两数和最值的求法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一、题目的特点 1、条件是两正数的和的形式，结论也是两正数的 形式； 2、变量在形式上具有“倒数关系”； 3、求和的最小值。
和的
二、思路探求 积为定值，和有最小值。所以要求和的最小值，
mn
变形二：已知等式条件中，隐含“倒数关系”
例4：若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为
例5：已知x>0,y>0,3x+2y=6xy,求x+y的最小值
例4：已知正数x,y满足x+2y=2,则 x+8y 的最小值为 xy
变形三：给定函数形式中，隐含“倒数关系”
高中数学课件：第三篇3.4基本不等式第一课时利用基本不等式求最值
返回
解析：∵x>0，∴x2＋3xx＋1
2 p＝x＋13＋1x≤2＋13＝15 ∴a≥15. 答案：[15，＋∞)
返回
2 p 已知两正数x，y满足x＋y＝1，求z＝(x＋
返回
2 p[通一类] 2．已知x>0，y>0，且满足x3＋4y＝1，则xy的最大值为 ________．
返回
2 p 解：∵x3＋4y＝1，∴1＝x3＋4y≥2
1x2y＝
3 3
xy.
∴ xy≤ 3，当且仅当x3＝4y＝12即x＝32，y＝2时等号成立．
∴xy≤3.
答案：3
返回
2 p[研一题] [例3] 已知a>b>c，若a－1 b＋b－1 c≥a－n c，求n的最大值． 返回
返回
2 p[研一题] [例2] 已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求2x＋5y的最小值． 返回
[自主解答] ∵lg x＋lg y＝1，
2 p ∴xy＝10，∴2x＋5y≥2 1x0y＝2， 当且仅当2x＝5y，即x＝2，y＝5时，等号成立， 故2x＋5y的最小值为2.
返回
[悟一法]
2 p (1)利用基本不等式
(2)y＝x－x21＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1
2 p ＝x－1＋x－11＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1 1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立， ∵x＞1，∴当x＝2时，ymin＝4.
返回
2 p 本例(1)中若将“x<54”改为“x>54”，求f(x)的最小值． 解：∵x>54，∴4x－5>0. ∴f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝(4x－5)＋4x－1 5＋3
x·1x＝2；
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
高考一轮复习基本不等式ppt课件
2．基本不等式的变形
(1)重要不等式：a2＋b2≥___2_a_b__ (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．
(2)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(3)a＋a1≥_2___(a>0)，当且仅当 a＝1 时取等号．
a＋a1≤__-_2__(a<0)，当且仅当 a＝－1 时取等号．
a
4
b
8
2 8,如果不
(1)C
对，错
(2)9
在
哪
儿
？
考向二 利用基本不等式证明不等式
【例 2】►已知 a＞0，b＞0，c＞0， 求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c.
【审题视点 】 先局部运用基本不 等式，再利用不等式
正明 ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴bac＋cba≥2 bac·cba＝2c；
)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知 a，b∈(0,1)，且 a≠b，下列各式中最大的是( )．
A．a2＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
3．若 lg x＋lg y＝2，则1x＋1y的最小值是( )．A.210 B.15 C.12 D．2
4．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )．
进行恒等变形，如构 造“1”的代换等．
≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，(式3)，若但可等用号基不本成不立等，
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，则 一 般 是 利 用 函 数
即 a＝3.
单调性求解．
【考训练向1一】利(2用01基3·福本州不模等拟式)已求知最f值(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有(
基本不等式与最大(小)值_PPT课件
2．二元均值不等式具有将“_和__式__”转化为“_积__式_” 和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比 较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键 是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值 不等式的切入点．
问题探究
1．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值 吗？
提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求 等号能取到 .基本不等式中说，“当且仅当 a＝b 时取等号”是说 a＝b 时“≥”中的“等号”成立， 但有时“a”和“b”不一定能相等．如 sinx 与si4nx，x ∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由 0<sinx≤1 ， 知 sinx≠2 所 以 sinx ＋
∴当 x＝1 时，ymax＝1.
求代数式的最值或取值范围
利用基本不等式解决此类问题的基本方法有： (1)有为1的等式时，将“1”整体代入，展开，运用 基本不等式； (2)利用条件的等式统一变形，然后配凑出利用基 本不等式的条件； (3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式．
例2 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最 小值．
例1 (1)(2010 年高考山东卷)若对任意 x>0，
x x2＋3x＋1
≤a
恒成立，则
a
的取值范围是
________．
(2)(2010 年高考浙江卷)若正实数 x，y 满足 2x＋y
＋6＝xy，则 xy 的最小值是________．
【思路点拨】 (1)、(2)小题直接利用基本不等式 或创设条件利用基本不等式求解．
所以 x＋x－4 2的最小值为 6. (2)y＝x－x2 1＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1 ＝x－1＋x－1 1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1 1＝x－1， 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1，
利用基本不等式求最值
1 sin x (0 x ) 2 sin x
x x
不满足相 等
解：x 0时A不成立。
B. 5 0,5 0,5 5 2 5 5 2, x 0时取等 2 C (lg x) 1时取等,即x 10 （ 1 ， 10 ） D与C同理
x x x
x y xy 18 2 2
2
当且仅当x y 9时面积最大为 81m2
例4、当 0 x 5 时，函数 f ( x) 3x(16 3x) 的最大值是
8
8 此时x=_______. 3
解： 3 x 与 16 3 x 和为定值，
0 x 5, 0 3x 15
x
二.两个正数的积为定值，求它们和的最小值；
12 3 x的最小值为_______; 例2.若x 0, f ( x) 12 x
此时x=_______. 2
一正
二定 12 12 f (x) 3x 2 3x 12 x x 三相等 12 当且仅当 3x即x 2时取等号, x 即当x=2时函数的最小值为12.
2
9 2 x 10 16 x
9 2 此时 x , x 0,即x 9, x 3 x
六.“1”的替换
1 1 例7. 若正数x, y满足x 4 y 1, 则 的最小值为（ x y
1 1 1 1 x 4y 解： x 4 y 1, ( )(x 4 y ) 5 x y x y y x 5 x 4y 5 2 7 y x
12 解:因为x>0, 3x 0, . 0, x
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2 x 0 1.（2009湖南卷）若 ，则 x x 最小值为 .
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“找定值”：通过观察、分析、构造定 值是解决问题的突破口
动手动脑
1.若x 1,求函数y x2 7x 10的最小值 x 1
2.设x 0, y 0, 且x y 2, 求 1 2 最小值. xy
讲授新课：利用基本不等式求最值
例4：如图，树顶A离地面am，树上另一点B离地 面bm, 在离地面cm的C处看此树，离此树多远时 看A、B的视角最大？
根据题意确 定数学模型
A
B
D x
C
课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数 与几何平均数的关系顺利解决了函数的一 些最值问题.
在用均值不等式求函数的最值，是值 得重视的一种方法，但在具体求解时，应 注意考查下列三个条件：
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三相等.
• 特别注意的是对于不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换，常见的变 形技巧有拆项、添项、配凑、用“1”代换 等方法，来构造定值条件的方法，及对等 号能否成立的验证。
• 若等号不能取到，则应用之前所学习的函 数单调性来求最值，还要注意运用基本不 等式解决实际问题。
• 当多次使用基本不等式时，一定要注意每 次是否能保证等号成立，并且要注意取等 号的一致性。列出等号成立的条件不仅是 解题的必要步骤，也是检验转换是否有误 的一种方法。
当且仅当a b时ab取到最大值为 S 2 ； 4
复习回顾
ห้องสมุดไป่ตู้
基本不等式通常用来求最值的问题：一般用
a b 2 ab(a 0,b 0)求“定积求和，和最
小”问题，用ab
a
2
b
2
求“定和求积，积
最大”问题。一定要注意适用范围和条件：
一正二定三相等
讲授新课：利用基本不等式求最值
例1：已知x>3,求f 值
x
x
x
3 3
的最小
不能构成定值时， 变形配凑
变式：已知x
0, 求y
2x
1 x2
的最小值
讲授新课：利用基本不等式求最值
例2. 已知0 x 1 ,求y x 1 2x的最大值
2
配凑和为定值，求积的最大值
ab
a
2
b
2
讲授新课：利用基本不等式求最值
例3：
①用“1”替换2x+y ②乘以“1”，配凑
3.4利用基本不等式求最值
1
复习回顾
1．基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
复习回顾
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
复习回顾
1.若两正数a,b其积为定值T 即ab T ，那么
当且仅当a b时a b取到最小值为2 T .
2.若两正数a,b其和为定值S 即a b S ，那么
作业：
新坐标3.4基本不等式的应用
动手动脑
1.若x 1,求函数y x2 7x 10的最小值 x 1
2.设x 0, y 0, 且x y 2, 求 1 2 最小值. xy
讲授新课：利用基本不等式求最值
例4：如图，树顶A离地面am，树上另一点B离地 面bm, 在离地面cm的C处看此树，离此树多远时 看A、B的视角最大？
根据题意确 定数学模型
A
B
D x
C
课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数 与几何平均数的关系顺利解决了函数的一 些最值问题.
在用均值不等式求函数的最值，是值 得重视的一种方法，但在具体求解时，应 注意考查下列三个条件：
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三相等.
• 特别注意的是对于不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换，常见的变 形技巧有拆项、添项、配凑、用“1”代换 等方法，来构造定值条件的方法，及对等 号能否成立的验证。
• 若等号不能取到，则应用之前所学习的函 数单调性来求最值，还要注意运用基本不 等式解决实际问题。
• 当多次使用基本不等式时，一定要注意每 次是否能保证等号成立，并且要注意取等 号的一致性。列出等号成立的条件不仅是 解题的必要步骤，也是检验转换是否有误 的一种方法。
当且仅当a b时ab取到最大值为 S 2 ； 4
复习回顾
ห้องสมุดไป่ตู้
基本不等式通常用来求最值的问题：一般用
a b 2 ab(a 0,b 0)求“定积求和，和最
小”问题，用ab
a
2
b
2
求“定和求积，积
最大”问题。一定要注意适用范围和条件：
一正二定三相等
讲授新课：利用基本不等式求最值
例1：已知x>3,求f 值
x
x
x
3 3
的最小
不能构成定值时， 变形配凑
变式：已知x
0, 求y
2x
1 x2
的最小值
讲授新课：利用基本不等式求最值
例2. 已知0 x 1 ,求y x 1 2x的最大值
2
配凑和为定值，求积的最大值
ab
a
2
b
2
讲授新课：利用基本不等式求最值
例3：
①用“1”替换2x+y ②乘以“1”，配凑
3.4利用基本不等式求最值
1
复习回顾
1．基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
复习回顾
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
复习回顾
1.若两正数a,b其积为定值T 即ab T ，那么
当且仅当a b时a b取到最小值为2 T .
2.若两正数a,b其和为定值S 即a b S ，那么
作业：
新坐标3.4基本不等式的应用