同济大学 大学物理 上学期 (30)

m i m Emol = RT E= M 2 M
P.33
m i E= RT M 2
说明 (1) 理想气体的内能只取决于分子的自由度和热力 学温度，或者说理想气体的内能只是温度T的单值 函数! (2) 对于一定量的某种理想气体，内能的改变只与 初末态的温度有关。只要ΔT 相同,ΔE就相同， 而与过程无关.
2 2 2
z
的限制，确定转轴方位的只有两个： r=2 * 描写刚体绕轴转动角度 (ϕ ) 自由刚体有六个自由度 r=1 定轴刚体: i = r = 1 (ϕ)
P.24
3. 气体分子 1) 单原子分子(monatomic molecule)
z
P (x , y, z )
如：He，Ne…可看作质点，只有 平动.
受限制时自由度减少 例： 飞机 t =3 轿车 t =2 火车 t =1
P.23
2. 运动刚体 * 描写其质心位置需3个平动自 由度： t=3 * 描写其转轴方向还需3个转 动自由度: α、β、γ，但是由 于α、β、γ不是独立的，受 O 到
y
y′
γ
z′
β
C
α
ϕ
x′
x
cos α + cos β + cos γ = 1
P.32
三、理想气体的内能（internal energy of ideal gases） 一般气体的内能：气体中所有分子的动能和分子间 相互作用势能的总和. 理想气体的内能：由于分子间相互作用的势能忽略 不计，因此，其内能是气体中所有分子热运动的动 能之和. i i 1摩尔理想气体内能： Emol = N A kT = RT 2 2 质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
P.29
1 1 1 1 2 2 2 m v x = m v y = m v z = kT 2 2 2 2
从这一特例， x ,
y , z 三方向的平均平动动能相
等，因此可以认为分子的平均平动动能是均匀地分 配在每一个自由度上( i = 3 )，相应每一个自由度 平均能量为 1 kT . 2 推广：在温度为T 的平衡态下，物质分子的每个 自由度都具有相同的平均动能，其值为 kT 2 . 能量均分原理
P.7
二、 理想气体的压强公式 任务：用统计方法导出平衡态下气体的压强表达式. 1. 理想气体的微观模型 (1) 气体分子本身大小与分子间 平均距离相比较，可以忽略不计 －分子被看作质点; (2)除碰撞瞬间外，分子间相互作用力不计 自由质点 (3)分子间的相互碰撞以及分子与器壁的碰撞可以看 作完全弹性碰撞 弹性质点
热二律统计解释
P.3
§10-1
理想气体压强公式
一 、统计规律和统计方法 1 .统计规律：气体分子热运动中每一个分子的运动是 无序的（偶然的），而大量分子（偶然事件）的集体 表现却又存在着一定的必然规律性，这种大量偶然事 件在整体上所呈现的规律，称为统计规律. 几个实例 抛硬币 每抛一次出现正反面是偶然的 抛大量次数，正反数约各1/2，呈现 规律性.
ε kt1
3 3 = × 1.38 × 10 − 23 × 1273 = 2.63 × 10 − 20 J = kT1 2 2
3RT1 = 3 × 8.31× 1273 = 1194 m ⋅ s −1 v = 28 × 10 −3 M
2 1
ε kt2
3 3 − 23 − 21 = kT2 = × 1.38 × 10 × 273 = 5.65 × 10 J 2 2
Fi =
υix
2x
( 2mυix )
第4步： 大量分子（Ｎ）在单位时间内对壁A1的平均冲 力
F = 2mυ1x ⋅
υ1x
2x
+ 2mυ 2 x ⋅
υ2 x
2x
+ ⋅ ⋅ ⋅2mυix
υix
2x
+ ⋅⋅⋅
P.11
第5步：作用于器壁A1上的压强
υ1x υ2 x F 1 p= = ( 2mυ1x + 2mv2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ) A1 yz 2x 2x
P.15
§10-2
温度的微观本质
一、温度公式 m′ RT 其中 已知 pV = M
m′ = Nm，M = mN A
∴
N R p = T = nkT （1） V NA R − 23 −1 k= = 1.38 × 10 J ⋅ K NA
2n 1 2 2 又 P= ( mυ ) = n ε kt （2） 3 2 3
P.16
1 3 2 由式（1）, 式（2）得 ε kt = mυ = kT（3） 2 2 2 ε kt （或 T = ） 3 k
结论： 温度是物体内部分子热运动剧烈程度的标志. 二、温度（宏观量）的统计意义（微观本质） 气体温度是气体分子平均平动动能的量度，所以 温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计 意义；对个别分子，说它有温度，是没有意义的.
3 ε kt = kT 2
Q ε kt1 = ε kt 2
∴ T1 = T2
p = nkT
Q n1 ≠ n2 , T1 = T2
∴ p1 ≠ p2
P.19
例10-2: 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率. 设 (1) 在温度 t = 1000 ℃ 时； (2) t = 0 ℃ 时； (3) t = -150 ℃ 时. 解：
P.பைடு நூலகம்4
四、理想气体的摩尔热容 定体摩尔热容：CV ,m =
(dQ )V
dT
dE i = = R dT 2
根据迈耶公式： C p ,m = CV ,m + R 定压摩尔热容： C p ,m 比热容比： γ =
⎛i ⎞ = ⎜ + 1⎟ R ⎝2 ⎠
C p ,m C V ,m
i+2 = i
说明：理论值与实验值的差异 CV ,m ,C p ,m
o
y
i= t =3
x
2) 刚性双原子分子 (biatomic molecule) 如：O2 ， H2 ， CO …
P.25
z l
轴
质心C位置：（x，y，z）
×
γ α0
x
t =3 C (x, y, z) 轴方位： r = 2（这里忽略了转动角度，因原子极小） y ∴ 总自由度：
β
i=t+r=5
说明: 对于理想气体在常温下，认为是刚性的，分子 内各原子间的距离认为不变，故不考虑振动自由度.
2 （2） 压强公式 P = n ε kt 中的 n 和 ε kt是统计平均 3 P , n , ε kt 三个统计平均量之间的统计规律。 量，表示
同样，对个别分子而言，压强是没有意义的.
P.14
2 (3) 气体压强 P = 3 n ε kt 表示， 正比于n 和 ε kt ， p
以此可解释一些宏观现象. (4) 请注意在压强公式推导中，所应用的统计假设 .
2 z
平衡态下 v 2 = v 2 = v 2 = 1 v 2 x y z
3
1 2 ∴ p = nm v = nm v 3 1 2 令: ε kt = m v 气体分子的平均平动动能 2 2n 1 2 2 则 P = ( mυ ) = n ε kt 3 2 3
2 x
P.13
3 . 讨论 （1）压强是一个统计平均量，对个别或少数分子是 没有意义的，从上推导中可知，压强是容器中大量气 体分子在单位时间内施于器壁单位面积的平均冲力 （大量分子对时间对空间的统计平均）.
转动自由度 r 总自由度 i
3 3 3
0 2 3
3 5 6
P.28
二、能量按自由度均分原理(equipartition theorem） 已知理想气体分子的平均平动动能:
1 3 2 ε kt = mυ = kT 2 2
1 2 Q v =v =v = v 3
2 x 2 y 2 z
1 1 1 1 1⎛1 2 2 2 2⎞ ∴ m v x = m v y = m v z = ⎜ m v ⎟ = kT 2 2 2 3⎝ 2 ⎠ 2
P.1
以气体作为研究对象，从气体分子热运动观 点（微观）出发，运用统计方法研究大量分子 热运动的统计规律. 学习本章内容的要领是： （统计）方法→（统计）规律→（统计）意义
P.2
气 体 动 理 论
状 态 参 量 的 压强公式 统计意义 温度公式 麦克斯韦分子速率分布 统 计 规 律 玻尔兹曼粒子按势能分布 能量均分定理 平均碰撞频率和平均自由程
P.8
理想气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性 质点群. 2. 压强公式推导 克劳修斯指出：“气体对容器 壁的压强是大量分子对容器壁 碰撞的平均效果”。 大量气体分子与器壁碰撞 → 气体分子动量变 化(冲量) → 对器壁的冲量(冲力) →压强
P.9
y
推 导 ： 在 长 方 形 容 器 中 (x ， y，z),Ｎ个质量为m的同种气体 分子，重力的影响忽略不计. 取器壁A1 （>>分子截面面 z 积）所受的压强
分子的热运动
讨论能量问题：考虑分子内部结构 ——质点组
P.22
一、自由度（degree of freedom） 自由度： 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 总自由度数=平动自由度+转动自 由度+振动自由度
i =t+r+s
i=t =3
1. 质点： 只有平动,最多三个自由度
( x, y , z )
Nm υ + υ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 = ( ) = nmυ x xyz N y
2 1x 2 2x
容器内N个分子沿X方 向速度分量的平方的平均 值，可记作 υ 2
x
υi
o m
z
v
y A1
z
N n= V
— 分子数密度
x
x
P.12
由前讨论的统计规律:
v = v +v +v
2 2 x 2 y
P.17
三、 一个重要的速率统计值 -------方均根速率 由式 (３) 得
v
2
3kT 3RT v = = m M
2
由此可以预见，气体分子热运动的分子速率的分 布一定有某种规律！
P.18
例10-1: 两瓶不同种类的气体,其分子平均平动动能相 等,但分子密度数不同.问：它们的温度是否相同？压强 是否相同？ 解：
P.4
伽尔顿板实验 单个小球落入哪个狭槽是完 全偶然的,而大量小球在各个狭 槽内的分布则是确定的,， 具有 统计规律。 2. 统计方法 统计方法是指研究大量分子整体行为的方法。统计 规律告诉我们，可以通过对微观物理量求统计平均 值的方法得到宏观量.
P.5
P.6
1) 条件: ①大量的且无序的(偶然的)分子运动； ②是指集体(整体)的表现. 2)热平衡下的气体分子空间的分布 由于其密度是均匀的，因此可以认为：沿各方向运 动的平均分子效应相等，分子速度在各方向分量的 各种平均值相等.
υi
o m
v
y A1
z
x
x
弹性碰撞
v 第1步：考虑速度为 υi的单个分子
v iy , v iz 不变， v ix 方向相反
对器壁 A1碰撞一次，则 在 x 方向动量变化
− mυ ix − mυ ix = −2 mvix
P.10
y
则器壁A1受的冲量为 2mvix
v y 单位时间(1秒)内，该 第2步： υi A1 o m 分子对器壁A1碰撞次数 x υix z 为 x z 2x 第3步： 该分子在单位时间内对器壁A1的平均冲力
P.20
3RT2 3 × 8.31× 273 −1 v = = = 493 m ⋅ s −3 M 28 × 10
2 2
ε kt3
2 3
3 = kT3 = 2.55 ×10 −21 J 2
3RT3 −1 v = = 320 m ⋅ s M
P.21
§10-3 能量均分原理
理想气体的内能
理想气体模型改进 推导压强公式：理想气体分子——质点 平动 转动 分子内原子间振动
P.30
由此可知，对刚性分子，每个分子的平均能量为
i ε k = kT 2
单原子分子： i = 3 双原子分子： i = 5 多原子分子： i = 6
3 ε k = kT 2
5 ε k = kT 2 6 ε k = kT 2
P.31
说明
1）该定理是统计规律，只适用于大量分子组成的系统; 2) 能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体和固 体，甚至适用于任何具有统计规律的系统; 3) 前面的结果是对应温度不太高，只考虑分子的平动、 转动，并且除了碰撞分子间没有其它力作用; 4）高温时，视作弹性体的分子，还要考虑振动的动能和 弹性势能所对应的能量; 5）当考虑分子转动、振动的量子效应时，能量均分的概念 不再成立.
P.26
3) 刚性多原子分子(multi-atomic molecule) 如：H2O，NH3 ，… z
×
轴
ϕ
t =3 （质心坐标 x，y，z） 转动自由度
γ α 0
x
β
C (x, y, z) y
r=3 ∴ 总自由度：
i=t+r=6
P.27
分子种类 平动自由度 t 单原子 分子 刚性双原 子分子 刚性多原 子分子