高中数学必修一函数性质专项习题及答案
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
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高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.若函数是偶函数,则的增区间是.【答案】或【解析】由条件,得,即,所以原函数为,所以函数的增区间为.【考点】函数的奇偶性与单调性.2.(12分)已知是定义在R上的奇函数,当时,,其中且. (1)求的值;(2)求的解析式;【答案】(1)0(2)【解析】(1)因是奇函数,所以有,所以=0.……4分(2)当时,,,由是奇函数有,,……12分【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值和函数解析式的求取,考查学生对函数性质的应用能力.点评:对于分段函数,当已知一段函数的表达式要求另一段时,要利用函数的性质,并且要注意“求谁设谁”的原则.3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是A.B.C.D.【答案】A【解析】令,可得,令,得所以,令,得,同理令可得,所以【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和抽象函数的求值问题,考查学生的运算求解能力.点评:解决抽象函数问题,常用的方法是“赋值法”.4.已知函数的定义域为,为奇函数,当时,,则当时,的递减区间是.【答案】【解析】因为为奇函数,所以的图象关于对称,当时,,所以当时,函数的单调递减区间为,因为图象关于对称,所以当时,的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用,考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评:解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称,在关于对称的两个区间上单调性相同.5.(本小题12分)已知函数,(1)判断函数在区间上的单调性;(2)求函数在区间是区间[2,6]上的最大值和最小值.【答案】(1)函数是区间上的减函数;(2),【解析】(1)设是区间上的任意两个实数,且,则-==.由得,,于是,即.所以函数是区间上的减函数. ……6分(2)由(1)知函数函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当时,;当时,. ……12分【考点】本小题主要考查利用定义判断函数的单调性和利用函数的单调性求函数的最值,考查学生对定义的掌握和利用能力以及数形结合思想的应用.点评:利用单调性的定义判断或证明函数的单调性时,要把结果划到最简,尽量不要用已知函数的单调性判断未知函数的单调性.6.设偶函数的定义域为,当时是增函数,则的大小关系是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是偶函数,所以,而当时是增函数,所以.【考点】本小题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用,考查学生的逻辑推理能力.点评:函数的奇偶性和单调性经常结合考查,要熟练准确应用.7.已知是偶函数,且当时,,则当时,【答案】【解析】由题意知,当时,,所以,又因为是偶函数,所以,所以当时,.【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,考查学生的运算求解能力.点评:此类问题要注意求谁设谁.8.(本小题满分13分)已知定义域为的函数是奇函数。
高中数学必修一函数大题(含详细解答)
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高中函数大题专练1、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->,其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ;⑵对于不等式的解集A ,若满足A ZB =(其中Z 为整数集)。
试探究集合B 能否为有限集?若能,求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值,并用列举法表示集合B ;若不能,请说明理由。
2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥;② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
(1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值;(3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. (1)若2)(=x f ,求x 的值;(2)若0)()2(2≥+t mf t f t对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.(2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件.5.已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
(1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围;(2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围;(3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是[,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质基本知识过关训练(带答案)
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高中数学必修一第三章函数的概念与性质基本知识过关训练单选题1、下列函数为奇函数的是( ) A .y =x 2B .y =x 3C .y =|x|D .y =√x 答案:B分析:根据奇偶函数的定义判断即可;解:对于A :y =f (x )=x 2定义域为R ,且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x ), 所以y =x 2为偶函数,故A 错误;对于B :y =g (x )=x 3定义域为R ,且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x ), 所以y =x 3为奇函数,故B 正确;对于C :y =ℎ(x )=|x |定义域为R ,且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x ), 所以y =|x |为偶函数,故C 错误;对于D :y =√x 定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称, 故y =√x 为非奇非偶函数,故D 错误; 故选:B 2、函数y =3√x 4−13的图像大致是( )A .B .C .D .答案:A分析:利用x =2时y >0排除选项D ,利用x =−2时y <0排除选项C ,利用x =12时y <0排除选项B ,所以选项A 正确. 函数y =3√x 4−13的定义域为{x |x ≠±1 }当x =2时,y =3√24−13=√153>0,可知选项D 错误;当x =−2时,y =3()43=√153<0,可知选项C 错误;当x =12时,y =(12)3√(2)4−13=−12√603<0,可知选项B 错误,选项A 正确.故选:A3、若函数f (x )=x(2x−1)(x+a )为奇函数,则a=( )A .12B .23C .34D .1 答案:A分析:根据奇函数的定义可得−x(−2x−1)(−x+a )=−x(2x−1)(x+a ),整理化简可求得a 的值,即得答案. 由函数f (x )=x(2x−1)(x+a )为奇函数,可得f (−x )=−f (x ), 所以−x(−2x−1)(−x+a )=−x(2x−1)(x+a ),所以−x (2x −1)(x +a )=−x (−2x −1)(−x +a ),化简得2(2a −1)⋅x 2=0恒成立, 所以2a −1=0,即a =12,经验证f(x)=x(2x−1)(x+12)=2x4x2−1,定义域关于原点对称,且满足f(−x)=−f(x),故a=12;故选:A.4、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0,若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断答案:B解析:根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性,可得m,然后可得函数的奇偶性,结合函数的单调性以及奇偶性,可得结果.由题可知:函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数,故m=2所以f(x)=x7,又f(−x)=−f(x),所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0,则a<−b,所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选:B小提示:本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用,熟悉函数单调递增的几种表示,比如f(x1)−f(x2)x1−x2>0,[f(x1)−f(x2)]⋅(x1−x2)>0,属中档题.5、设a为实数,定义在R上的偶函数f(x)满足:①f(x)在[0,+∞)上为增函数;②f(2a)<f(a+1),则实数a 的取值范围为()A.(−∞,1)B.(−13,1)C.(−1,13)D.(−∞,−13)∪(1,+∞)答案:B分析:利用函数的奇偶性及单调性可得|2a |<|a +1|,进而即得. 因为f (x )为定义在R 上的偶函数,在[0,+∞)上为增函数, 由f (2a )<f (a +1)可得f (|2a |)<f (|a +1|), ∴|2a |<|a +1|, 解得−13<a <1. 故选:B.6、函数y =√x +4+1x+1的定义域为( )A .[−4,−1)B .[−4,−1)∪(−1,+∞)C .(−1,+∞)D .[−4,+∞) 答案:B分析:偶次开根根号下为非负,分式分母不为零,据此列出不等式组即可求解. 依题意{x +4≥0x +1≠0 ,解得{x ≥−4x ≠−1,所以函数的定义域为[−4,−1)∪(−1,+∞). 故选:B .7、已知函数f (x )对于任意x 、y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2,且当x >0时,f (x )>2,若已知f (2)=3,则不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为( ) A .(2,+∞)B .(1,+∞)C .(3,+∞)D .(4,+∞) 答案:A分析:设g (x )=f (x )−2,分析出函数g (x )为R 上的增函数,将所求不等式变形为g (3x −2)>g (4),可得出3x −2>4,即可求得原不等式的解集. 令g (x )=f (x )−2,则f (x )=g (x )+2,对任意的x 、y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2,则g (x )+g (y )=g (x +y ), 令y =0,可得g (x )+g (0)=g (x ),可得g (0)=0,令y =−x 时,则由g (x )+g (−x )=g (0)=0,即g (−x )=−g (x ), 当x >0时,f (x )>2,即g (x )>0,任取x 1、x 2∈R 且x 1>x 2,则g (x 1)+g (−x 2)=g (x 1−x 2)>0,即g (x 1)−g (x 2)>0,即g (x 1)>g (x 2), 所以,函数g (x )在R 上为增函数,且有g (2)=f (2)−2=1,由f (x )+f (2x −2)>6,可得g (x )+g (2x −2)+4>6,即g (x )+g (2x −2)>2g (2), 所以,g (3x −2)>2g (2)=g (4),所以,3x −2>4,解得x >2. 因此,不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为(2,+∞). 故选:A. 8、函数f(x)=0√x−2定义域为( )A .[2,+∞)B .(2,+∞)C .(2,3)∪(3,+∞)D .[2,3)∪(3,+∞) 答案:C分析:要使函数有意义,分母不为零,底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 要使函数f(x)=0√x−2有意义,则{x −3≠0x −2>0,解得x >2且x ≠3, 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故选:C.小提示:具体函数定义域的常见类型: (1)分式型函数,分母不为零;(2)无理型函数,偶次方根被开方数大于等于零; (3)对数型函数,真数大于零;(4)正切型函数,角的终边不能落在y 轴上; (5)实际问题中的函数,要具有实际意义. 多选题9、(多选题)下列函数中,定义域是其值域子集的有( ) A .y =85x +6B .y =−x 2−2x +5C .y =√x −1D .y =1x −1 答案:AC分析:分别求得函数的定义域和值域,利用子集的定义判断. A 函数的定义域和值域都是R ,符合题意;B.定义域为R ,因为y =−x 2−2x +5=−(x +1)2+6≤6,所以函数值域为(−∞,6],值域是定义域的真子集不符合题意;C.易得定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),定义域是值域的真子集;D.定义域为{x|x ≠0},值域为{x|x ≠−1},两个集合只有交集; 故选:AC10、定义运算a ⊕b ={a(a ≥b)b(a <b),设函数f(x)=1⊕2−x ,则下列命题正确的有( )A .f(x)的值域为 [1,+∞)B .f(x)的值域为 (0,1]C .不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(−∞,0)D .不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(0,+∞) 答案:AC分析:求得f (x )的解析式,画出f (x )的图象,由此判断f (x )的值域,并求得不等式f(x +1)<f(2x)的解. 由函数f(x)=1⊕2−x ,有f(x)={1(1≥2−x )2−x(1<2−x ),即f(x)={2−x(x <0)1(x ≥0),作出函数f(x)的图像如下,根据函数图像有f(x)的值域为[1,+∞),所以A 选项正确,B 选项错误. 若不等式f(x +1)<f(2x)成立,由函数图像有 当2x <x +1≤0即x ≤−1时成立,当{2x <0x +1>0即−1<x <0时也成立. 所以不等式f(x +1)<f(2x)成立时,x <0.所以C 选项正确,D 选项错误. 故选:AC.小提示:本小题主要考查分段函数图象与性质,属于中档题.11、已知函数f(x)={log 12(x +1),x ≥0,f(x +1),x <0,若函数g(x)=f(x)−x −a 有且只有两个不同的零点,则实数a 的取值可以是( ) A .-1B .0C .1D .2 答案:BCD分析:作出函数f(x)的图象如下图所示,将原问题转化为函数f(x)的图象与直线y =x +a 有两个不同的交点,根据图示可得实数a 的取值范围. 根据题意,作出f(x)的图像如下所示:令g(x)=0,得f(x)=x +a ,所以要使函数g(x)=f(x)−x −a 有且只有两个不同的零点, 所以只需函数f(x)的图像与直线y =x +a 有两个不同的交点, 根据图形可得实数a 的取值范围为(−1,+∞), 故选:BCD .小提示:方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 填空题12、若函数f (x )={−x 2+x,x >00,x =0ax 2+x,x <0 是奇函数,则实数a 的值为___________.答案:1分析:利用奇函数的性质进行求解. 若f(x)是奇函数,则有f (−x )=−f (x ).当x >0时,−x <0,则f (−x )=a (−x )2+(−x )=ax 2−x , 又当x >0时,f (x )=−x 2+x ,所以−f (x )=x 2−x , 由f (−x )=−f (x ),得ax 2−x =x 2−x ,解得a =1. 所以答案是:1.13、已知a >0,b >0,且a +b =1,则1a+2b−3ab 的最大值是______. 答案:32分析:利用a >0,b >0,且a +b =1,求出a 的范围,将1a+2b−3ab 消元得13a 2−4a+2,利用二次函数的最值及倒数法则即可求得1a+2b−3ab 的最大值.解:因为a >0,b >0,且a +b =1,所以a ∈(0,1),b ∈(0,1),1a +2b −3ab =11+b −3ab=11+(1−a )(1−3a )=13a 2−4a+2,当a =23时,3a 2−4a +2取最小值23, 所以13a 2−4a+2取最大值32, 故1a+2b−3ab 的最大值是32.所以答案是:32.14、设函数f (x )={x,x ≤1,(x −1)2+1,x >1, 则不等式f (1−|x |)+f (2)>0的解集为________. 答案:(−3,3)分析:根据分段函数的单调性,把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较,从而求得解集. 由函数解析式知f(x)在R 上单调递增,且−f(2)=−2=f(−2), 则f (1−|x |)+f (2)>0⇒f (1−|x |)>−f (2)=f(−2), 由单调性知1−|x |>−2,解得x ∈(−3,3) 所以答案是:(−3,3)小提示:关键点点睛:找到函数单调性,将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可. 解答题15、已知函数f (x )=−x 2+mx −m .(1)若函数f (x )的最大值为0,求实数m 的值.(2)若函数f (x )在[−1,0]上单调递减,求实数m 的取值范围.(3)是否存在实数m ,使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出实数m 的值;若不存在,说明理由.答案:(1)m =0或m =4;(2)m ⩽−2;(3)存在,m =6 分析:(1)配方后得最大值,由最大值为0可解得m 的值; (2)由对称轴在区间的左侧可得;(3)分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值,由最大值为3最小值为2求解m 的值. (1)f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24,则最大值−m +m 24=0,即m 2−4m =0,解得m =0或m =4.(2)函数f(x)图象的对称轴是x =m 2,要使f(x)在[−1,0]上单调递减,应满足m 2⩽−1,解得m ⩽−2. (3)①当m2⩽2,即m ⩽4时,f(x)在[2,3]上递减,若存在实数m ,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],则{f(2)=3,f(3)=2,即{−4+2m −m =3,−9+3m −m =2,,此时m 无解. ②当m2⩾3,即m ⩾6时,f(x)在[2,3]上递增,则{f(2)=2,f(3)=3, 即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6.③当2<m 2<3,即4<m <6时,f(x)在[2,3]上先递增,再递减,所以f(x)在x =m2处取得最大值,则f (m2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3,解得m =−2或6,舍去.综上可得,存在实数m =6,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3].小提示:本题考查二次函数的性质,考查二次函数的最值,对称轴,单调性等性质,掌握二次函数的图象与性质是解题关键.。
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
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高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是()A.B.C.D.【答案】B【解析】A中函数的定义域是,不关于原点对称,不具有奇偶性;B中函数经验证过这两个点,又定义域为,且;C中函数不过(0,0);D中函数,∵,∴是奇函数,故选B.【考点】幂函数的性质与函数的奇偶性.2.已知函数的定义域为,为奇函数,当时,,则当时,的递减区间是.【答案】【解析】因为为奇函数,所以的图象关于对称,当时,,所以当时,函数的单调递减区间为,因为图象关于对称,所以当时,的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用,考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评:解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称,在关于对称的两个区间上单调性相同.3.设函数,若,则实数=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2【答案】B【解析】当时,;当时,.【考点】本小题主要考查分段函数的求值,考查学生的运算求解能力.点评:分段函数求值,分别代入求解即可.4.函数的单调增区间是_______.【答案】【解析】由,所以此函数的定义域为,根据复合函数的单调性,所以此函数的单调增区间为.5.(本小题满分12分)已知函数 (为常数)在上的最小值为,试将用表示出来,并求出的最大值.【答案】【解析】(1)因为抛物线y=x2-2ax+1的对称轴方程是,本题属于轴动区间定的问题,然后分轴在区间左侧,在区间内,在区间右侧三种情况分别得到其最小值,得到最小值h(a),然后再求出h(a)的最大值.∵y=(x-a)2+1-a2,∴抛物线y=x2-2ax+1的对称轴方程是.(1)当时,,当时,该函数取最小值;(2) 当时, , 当时,该函数取最小值;(3) 当a>1时, , 当时,该函数取最小值综上,函数的最小值为6.证明:函数是偶函数,且在上是减少的。
(本小题满分12分)【答案】见解析。
【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性的定义以及单调性的性质。
完整版)高一数学函数经典习题及答案
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完整版)高一数学函数经典习题及答案函数练题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域:⑴y = (x-1)/(2x^2-2x-15)⑵y = 1-[(2x-1)+4-x^2]/[1/(x+1)+1/(x+3)-3]2、设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x-2)的定义域为[-2,-1];函数f(2x-1)的定义域为[(1/2,1)]。
3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-1)的定义域为[-3/2,2];函数f(2)的定义域为[1,4]。
4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1],且函数F(x) = f(x+m)-f(x-m)的定义域存在,求实数m的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域:⑴y = x+2/x-3 (x∈R)⑵y = x+2/x-3 (x∈[1,2])⑶y = 2/(3x-1)-3/(x-1) (x∈R)⑷y = (x+1)/(x+1) if x≥5y = 5x^2+9x+4/2x-6 (x<5)⑸y = (x-3)/(x+2)⑹y = x-3+x+1⑺y = (x^2-x)/(2x-1)(x+2)⑼y = -x^2+4x+5⑽y = 4-1/(x^2+4x+5)⑾y = x-1-2x/(2x^2+ax+b)6、已知函数f(x) = 2x+1/(x∈R)的值域为[1,3],求a,b的值。
三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1) = x-4x,求函数f(x),f(2x+1)的解析式。
2、已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1) = 2x-4x,求f(x)的解析式。
3、已知函数2f(x)+f(-x) = 3x+4,则f(x) = (3x+4)/5.4、设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x) =x/(1+x),则f(x)在R上的解析式为f(x) = x/(1+x)-2/(1-x^2)。
5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x) = 3x,则f(x) = x,g(x) = 3x-x^3.四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间:⑴y = x+2/x+3⑵y = -x^2+2x+3⑶y = x-6/x-127、函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数,则f(1-x)的单调递增区间是(0,1]。
高中数学必修一练习题(4)函数(含详细答案)
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• 高中数学必修一复习练习(四)函数班 号 姓名 指数函数及其性质1.下列函数中指数函数的个数为( )①y =(12)x -1; ②y =2·3x ; ③y =a x (a >0且a ≠1,x ≥0); ④y =1x ; ⑤y =(12)2x -1.A .1个B .2个C .4个D .5个2.函数y =3x 与y =3-x 的图象关于下列哪条直线对称( )A .x 轴B .y 轴C .直线y =xD .直线y =-x3.若集合M ={y |y =2x ,x ∈R },N ={y |y =x 2,x ∈R },则集合M ,N 的关系为( ) A .M NB . M ⊆NC .N MD .M =N4.已知1>n >m >0,则指数函数①y =m x ,②y =n x 的图象为( )5.若函数y =(2a -1)x 为指数函数,则实数a 的取值范围是________. 6.函数y =a x +1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标). 7.已知函数f (x )=a x -1(x ≥0)的图象经过点(2,12),其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值; (2)求函数y =f (x )(x ≥0)的值域.8.已知指数函数f (x )=a x 在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,求a 的值.1.若2x +1<1,则x 的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(0,1)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)2.函数y =⎝⎛⎭⎫121-x的单调递增区间为( )A .(-∞,+∞)B .(0,+∞)C .(1,+∞)D .(0,1)3.下列不等关系中,正确的是( ) A .(12)23<1<(12)13B .(12)13<(12)23<1C .1<(12)13<(12)23D .(12)23<(12)13<14.函数f (x )=2|x |,则f (x )( )A .在R 上是减函数B .在(-∞,0]上是减函数C .在[0,+∞)上是减函数D .在(-∞,+∞)上是增函数 5.方程3x -1=19的解是________.6.已知函数y =(13)x 在[-2,-1]上的最小值是m ,最大值是n ,则m +n 的值为________.7.已知2x ≤(14)x -3,求函数y =(12)x 的值域.8.已知函数f (x )=a 2-3x(a >0,且a ≠1).(1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.1.使式子log (x -1)(x 2-1)有意义的x 的值是( ) A .x <-1或x >1 B .x >1且x ≠2 C .x >1D .x ≠22.方程2log 3x =14的解是( )A.33B.3C.19D .93.化简:2lg (lg a 100)2+lg (lg a )的结果是( )A.12B .1C .2D .44.已知2x =3,log 483=y ,则x +2y 的值为( )A .3B .8C .4D .log 485.若log a x =2,log b x =3,log c x =6,则log abc x 的值为________.6.已知x ,y ∈(0,1),若lg x +lg y =lg(x +y ),则lg(1-x )+lg(1-y )=________. 7.计算下列各式的值:(1)lg12.5-lg 58+lg 12; (2)12lg25+lg2+lg 10+lg(0.01)-1; (3)log 2(log 264).8.方程lg 2x +(lg2+lg3)lg x +lg2lg3=0的两根之积为x 1x 2,求x 1x 2的值.1.下列函数中,定义域相同的一组是( ) A .y =a x 与y =log a x (a >0,a ≠1) B .y =x 与y =x C .y =lg x 与y =lg xD .y =x 2与y =lg x 22.函数y =2+log 2x (x ≥1)的值域为( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .[2,+∞)D .[3,+∞) 3.函数y =log 12(3x -2)的定义域是( )A .[1,∞)B .(23,+∞)C .[23,1]D .(23,1]4.函数y =lg(x +1)的图象大致是( )5.函数y =log x (2-x )的定义域是________.6.若a >0且a ≠1,则函数y =log a (x -1)+1的图象恒过定点________. 7.求下列函数的定义域:(1)y =log 2(4x -3); (2)y =log 5-x (2x -2).8.已知f (x )=log 3x .(1)作出这个函数的图象;(2)当0<a <2时,有f (a )>f (2),利用图象求a 的取值范围.参考答案指数函数及其性质1.选A 由指数函数的定义可判定,只有③正确. 2.B3.选A x ∈R ,y =2x >0,y =x 2≥0,即M ={y |y >0},N ={y |y ≥0},所以M N. 4.选C 由0<m <n <1可知①②应为两条递减曲线,故只可能是选项C 或D , 进而再判断①②与n 和m 的对应关系,判断方法很多,不妨选择特殊点,令x =1, 则①②对应的函数值分别为m 和n ,由m <n 知选C.5.解析:函数y =(2a -1)x 为指数函数,则2a -1>0且2a -1≠1,∴a >12且a ≠1. 答案:a >12且a ≠16.∵指数函数y =a x 恒过定点(0,1).∴y =a x +1的图象必过点(0,2).答案:(0,2) 7.解:(1)函数图象过点(2,12),所以a 2-1=12,则a =12.(2)f (x )=(12)x -1(x ≥0),由x ≥0得,x -1≥-1,于是0<(12)x -1≤(12)-1=2.所以函数的值域为(0,2]. 8.解:由指数函数的概念知a >0,a ≠1.当a >1时,函数f (x )=a x 在区间[1,2]上是增函数,所以当x =2时,f (x )取最大值a 2,当x =1时,f (x )取最小值a , 由题意得a 2=a +a 2,即a 2=32a ,因为a >1,所以a =32;当0<a <1时,函数f (x )=a x 在区间[1,2]上是减函数,同理可以求得a =12.综上可知,a 的值为32或12✠✠指数函数及其性质的应用1.选D 不等式2x +1<1=20,∵y =2x 是增函数,∴x +1<0,即x <-1.2.选A 定义域为R.设u =1-x ,y =⎝⎛⎭⎫12u,∵u =1-x 在R 上为减函数,又∵y =⎝⎛⎭⎫12u在(-∞,+∞)上为减函数,∴y =⎝⎛⎭⎫121-x在(-∞,+∞)上是增函数.3.选D ∵函数y =(12)x 在R 上是减函数,而0<13<23,∴(12)23<(12)13<(12)0,即(12)23<(12)13<1.4.选B ∵y =2x 在R 上递增,而|x |在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)是递增,∴f (x )=2|x |在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)上递增.5.解析:∵3x -1=19,∴3x -1=3-2,∴x -1=-2,∴x =-1. 答案:-16.解析:函数y =(13)x 在定义域内单调递减,∴m =(13)-1=3,n =(13)-2=9, ∴m +n =12. 答案:127.解:∵2x ≤(14)x -3,即2x ≤26-2x ,∴x ≤6-2x ,∴x ≤2,∴y = (12)x ≥ (12)2=14,∴函数值域是[14,+∞).8.解:(1)当2-3x =0,即x =23时,a 2-3x =a 0=1. 所以,该函数的图象恒过定点(23,1)(2)∵u =2-3x 是减函数,∴当0<a <1时,f (x )在R 上是增函数;当a >1时,f (x )在R 上是减函数.❑❑对数与对数运算1.选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x -1>0,x 2-1>0,x -1≠1,解得x >1且x ≠2.2.选C 由已知得log 3x =-2 ,∴ x =3-2=19.3.选C 由对数运算可知:lg(lg a 100)=lg(100lg a )=2+lg(lg a ),∴原式=2. 4.选A 由2x =3得:x =log 23.∴x +2y =log 23+2log 483=log 23+2log 283log 24=log 23+(3log 22-log 23)=3.5.解析:log a x =1log x a =2,∴log x a =12. 同理log x b =13,log x c =16.log abc x =1log x abc =1log x a +log x b +log x c =1. 答案:16.解析:lg(x +y )=lg x +lg y =lg(xy )⇒x +y =xy ,lg(1-x )+lg(1-y )=lg[(1-x )(1-y )]=lg(1-x -y +xy )=lg1=0. 答案:0 7.解:(1)原式=lg(252×85×12)=lg10=1.(2)原式=lg[2512×2×1012×(10-2)-1]=lg(5×2×1012×102)=lg1072=72.(3)原式=log 2(log 226)=log 26=1+log 23.8.解:因为lg2x +(lg2+lg3)lg x +lg2lg3=(lg x +lg2)(lg x +lg3),所以lg x =-lg2=lg2-1或lg x =-lg3=lg3-1,即x 1=12,x 2=13,所以x 1x 2=16.对数函数及其性质1.C2.选C 当x ≥1时,log 2x ≥0,所以y =2+log 2x ≥2.3.选D 由函数的解析式得log 12(3x -2)≥0=log 121.∴0<3x -2≤1,解得:23<x ≤1.4.选C 当x =0时y =0,而且函数为增函数,可见只有C 符合.5.解析:由对数函数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧2-x >0x >0x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <2x >0且x ≠1⇒0<x <2且x≠1. 答案:(0,1)∪(1,2)6.解析:当x =2时y =1. 答案:(2,1)7.解:(1)要使函数有意义,须满足:log 2(4x -3)≥0=log 21,⇒1≤ 4x -3⇒x ≥1,∴函数的定义域为[1,+∞).(2)要使函数有意义,须满足⎩⎪⎨⎪⎧2x -2>05-x >05-x ≠1⇒1<x <5且x ≠4. ∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).8.解:(1)作出函数y =log 3x 的图象如图所示.(2)令f (x )=f (2),即log 3x =log 32,解得x =2. 由如图所示的图象知:当0<a <2时,恒有f (a )<f (2). 故当0<a <2时,不存在满足f (a )>f (2)的a 的值.。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
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高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、(1)函数f(x)=x-2,x∈{1,2,4}的最大值为3.在区间[1,5]上的最大值为9,最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)=(2/x)在(-∞,0)上是减函数。
证明:对于x1<x2.由于x1和x2都小于0,所以有x1<x2<0,因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此,f(x)在(-∞,0)上是减函数.3、函数f(x)=|x|+1的图像是一条V型曲线,单调区间为(-∞,0]和[0,∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线,单调区间为(-∞,+∞).5、已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线,比较大小:(1)f(6)与f(4);(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线,所以对于x>3,f(x)是减函数,对于x<3,f(x)是增函数。
因此,f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线,所以对于x3,f(x)是增函数。
因此,f(2)>f(15).6、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(3a-2),求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1,1)上是减函数,所以对于0f(3a-2)。
因此,实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间:1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线,单调区间为(-∞,-3]和[1,+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线,单调区间为(-∞,1]和[1,+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线,单调区间为(-∞,-1]和[1,+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线,单调区间为(-∞,-4]和[-1,1]和[5,+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.因为f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以对于x>1,有f(x)>f(1)。
高中数学必修一函数练习题及答案
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高中数学必修一函数试题一、选择题: 1、若()f x =(3)f = ( )A 、2B 、4 C、 D 、10 2、对于函数()y f x =,以下说法正确的有 ( )①y 是x 的函数;②对于不同的,x y 的值也不同;③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值,是一个常量;④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是( )①()f x =与()g x =;②()f x x =与2()g x =;③0()f x x =与01()g x x =;④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-,则当1x =时,y 的值为 ( ) A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5、函数y =( )A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中,是函数图像的是 ( )A 、(1)B 、(1)、(3)、(4)C 、(1)、(2)、(3)D 、(3)、(4) 7、)(x f 是定义在R 上的奇函数,下列结论中,不正确...的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、()1()f x f x =-- 8、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的,那么实数a 的取值范围是( ) A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 9、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数,则有 ( )(1)(2)(3)(4)A 、12a >B 、12a <C 、12a ≥D 、12a ≤ 10、下列所给4个图象中,与所给3件事吻合最好的顺序为 ( )(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。
行业资料高中数学必修一函数性质专项习题及答案
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必修1 函数的性质一、选择题:1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )A .y =2x +1B .y =3x 2+ 1C .y =x2D .y =2x 2+x +12.函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函 数,则f (1)等于( )A .-7B .1C .17D .25 3.函数f (x )在区间(-2,3)上是增函数,则y =f (x +5)的递增区间是 ( )A .(3,8)B .(-7,-2)C .(-2,3)D .(0,5)4.函数f (x )=21++x ax 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ( )A .(0,21) B .( 21,+∞) C .(-2,+∞) D .(-∞,-1)∪(1,+∞)5.函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内 ( )A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有唯一的实根6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ,则)1(f 的值是 ( )A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=,且Φ≠B A ,则实数a 的集合( )A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t ,都有f (5+t )=f (5-t ),那么下列式子一定成立的是 ( )A .f (-1)<f (9)<f (13)B .f (13)<f (9)<f (-1)C .f (9)<f (-1)<f (13)D .f (13)<f (-1)<f (9)9.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 ( )A .]1,(],0,(-∞-∞B .),1[],0,(+∞-∞C .]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围 ( )A .a ≤3B .a ≥-3C .a ≤5D .a ≥311. 函数c x x y ++=42,则 ( ))2()1(-<<f c f B )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,4]上是减函数则( )A .(10)(13)(15)f f f <<B .(13)(10)(15)f f f <<C .(15)(10)(13)f f f <<D .(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题:13.函数y =(x -1)-2的减区间是___ _.14.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[-2,+∞)时是增函数,当x ∈(-∞,-2]时是减函数,则f (1)= 。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案考点题型与解题方法
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(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案考点题型与解题方法单选题1、下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ) A .y =−3x +1B .y =2xC .y =x 2−4x +5D .y =|x −1|+22、已知f(x)是一次函数,2f(2)−3f(1)=5,2f (0)−f (−1)=−1,则f(x)=( ) A .3x +2B .3x −2C .2x +3D .2x −33、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2,且f (m )=4,则实数m 的值为( ) A .√6B .√6或−√6C .−√6D .34、已知函数f (1x +1)=2x +3.则f (2)的值为( ) A .6B .5C .4D .35、定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式x ⋅f(x)>0的解集为( ) A .(−∞,−2)∪(2,+∞)B .(−2,0)∪(0,2) C .(−2,0)∪(2,+∞)D .(−∞,−2)∪(0,2)6、已知f (2x +1)=4x 2+3,则f (x )=( ). A .x 2−2x +4B .x 2+2x C .x 2−2x −1D .x 2+2x +37、设函数f (x )的定义域为R ,f (x +1)为奇函数,f (x +2)为偶函数,当x ∈[1,2]时,f(x)=ax 2+b .若f (0)+f (3)=6,则f (92)=( )A .−94B .−32C .74D .528、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且x >1时,满足f(2−x)=−f(x),当x ∈(0,1]时,f(x)=x 2,则f(−2021)+f(2022)=( ) A .−4B .4C .−1D .1 多选题9、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞),且f (xy )=f (x )+f (y ),当x >1时,f (x )<0,f (2)=−1,则下列说法正确的是( ) A .f (1)=0B .函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C .f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D .不等式f (1x)−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞)10、定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y ),当x <0时,f (x )>0,则下列说法正确的是( ) A .f (0)=0 B .f (x )为奇函数C .f (x )在区间[m,n ]上有最大值f (n )D .f (x −1)+f (x 2−1)>0的解集为{x |−2<x <1 }11、已知函数f(x)的定义域为R ,且f(x +1)为奇函数,f(x +2)为偶函数,且对任意的x 1,x 2∈(1,2),且x 1≠x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0,则下列结论正确的是( )A .f(x)是奇函数B .f(1023)=0C .f(x)的图像关于(1,0)对称D .f(−74)>f(198) 填空题12、函数y =√3−x −√2x +4的值域为_______________.13、幂函数y =(m 2−m +1)x m 的图象与y 轴没有交点,则m =___________.部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(四)参考答案1、答案:D分析:根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果. 对于A ,y =−3x +1为R 上的减函数,A 错误; 对于B ,y =2x 在(−∞,0),(0,+∞)上单调递减,B 错误;对于C ,y =x 2−4x +5在(−∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,C 错误;对于D ,y =|x −1|+2={x +1,x ≥13−x,x <1,则y =|x −1|+2在(1,+∞)上为增函数,D 正确.故选:D. 2、答案:D分析:设出函数f(x)的解析式,再根据给定条件列出方程组,求解作答.依题意,设f(x)=kx +b,k ≠0,则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1,解得k =2,b =−3,所以f(x)=2x −3. 故选:D 3、答案:B分析:令x +1x =t ,配凑可得f (t )=t 2−2,再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t (t ≥2或t ≤−2),x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2,∴f (t )=t 2−2,f (m )=m 2−2=4,∴m =±√6. 故选;B 4、答案:B分析:根据题意,令1x+1=2可得x 的值,将x 的值代入f(1x+1)=2x +3,即可得答案.解:根据题意,函数f(1x+1)=2x +3,若1x+1=2,解可得x =1,将x =1代入f (1x +1)=2x +3,可得f (2)=5, 故选:B . 5、答案:C分析:结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0, 所以f(x)在(−∞,0)上单调递减,且f(−2)=0, x ⋅f(x)>0⇒{x >0f (x )>0 或{x <0f (x )<0,故x >2或−2<x <0, 故选:C 6、答案:A分析:利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f (2x +1)=4x 2+3=(2x +1)2−2(2x +1)+4, 所以f (x )=x 2−2x +4. 故选:A 7、答案:D分析:通过f (x +1)是奇函数和f (x +2)是偶函数条件,可以确定出函数解析式f (x )=−2x 2+2,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案. [方法一]:因为f (x +1)是奇函数,所以f (−x +1)=−f (x +1)①; 因为f (x +2)是偶函数,所以f (x +2)=f (−x +2)②.令x =1,由①得:f (0)=−f (2)=−(4a +b ),由②得:f (3)=f (1)=a +b , 因为f (0)+f (3)=6,所以−(4a +b )+a +b =6⇒a =−2,令x =0,由①得:f (1)=−f (1)⇒f (1)=0⇒b =2,所以f (x )=−2x 2+2. 思路一:从定义入手.f (92)=f (52+2)=f (−52+2)=f (−12) f (−12)=f (−32+1)=−f (32+1)=−f (52)−f (52)=−f (12+2)=−f (−12+2)=−f (32)所以f (92)=−f (32)=52. [方法二]:因为f (x +1)是奇函数,所以f (−x +1)=−f (x +1)①; 因为f (x +2)是偶函数,所以f (x +2)=f (−x +2)②.令x =1,由①得:f (0)=−f (2)=−(4a +b ),由②得:f (3)=f (1)=a +b , 因为f (0)+f (3)=6,所以−(4a +b )+a +b =6⇒a =−2,令x =0,由①得:f (1)=−f (1)⇒f (1)=0⇒b =2,所以f (x )=−2x 2+2. 思路二:从周期性入手由两个对称性可知,函数f (x )的周期T =4. 所以f (92)=f (12)=−f (32)=52. 故选:D .小提示:在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果. 8、答案:C分析:由已知条件可得x >1时f(x +2)=f(x),然后利用f(−2021)+f(2022)= −f(1)+f(0)求解即可. 因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且x >1时,满足f(2−x)=−f(x), 所以f(0)=0,f(2−x)=−f(x)=f(−x),即可得x >1时f(x +2)=f(x), 因为当x ∈(0,1]时,f(x)=x 2,所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1, 故选:C 9、答案:ABD分析:利用赋值法求得f (1)=0,判断A ;根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质,可判断函数的单调性,判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y ),可求得C 中式子的值,判断C ;求出f (14)=f (12)+f (12)=2,将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14),即可解不等式组求出其解集,判断D. 对于A ,令x =y =1 ,得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0,故A 正确; 对于B ,令y =1x >0,得f (1)=f (x )+f (1x )=0,所以f (1x )=−f (x ), 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x1),因为x 2x 1>1,所以f (x2x1)<0,所以f (x 2)<f (x 1),所以f (x )在(0,+∞)上是减函数,故B 正确;对于C ,f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0,故C 错误;对于D ,因为f (2)=−1,且f (1x )=−f (x ),所以f (12)=−f (2)=1, 所以f (14)=f (12)+f (12)=2,所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14),又f (x )在(0,+∞)上是减函数,且f (xy )=f (x )+f (y ),所以{1x (x−3)≤141x >01x−3>0 ,解得x ≥4,故D 正确, 故选:ABD . 10、答案:ABD分析:令x =y =0可判断A 选项;令y =−x ,可得f (x )+f (−x )=f (0)=0,得到f (−x )=−f (x )可判断B 选项;任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则x 1−x 2<0,f (x 1−x 2)>0,根据单调性的定义得到函数f (x )在R 上的单调性,可判断C 选项;由f (x −1)+f (x 2−1)>0可得f (x 2−1)>−f (x −1)=f (1−x ),结合函数f (x )在R 上的单调性可判断D 选项.对于A 选项,在f (x +y )=f (x )+f (y )中,令x =y =0,可得f (0)=2f (0),解得f (0)=0,A 选项正确; 对于B 选项,由于函数f (x )的定义域为R ,在f (x +y )=f (x )+f (y )中,令y =−x ,可得f (x )+f (−x )=f(0)=0,所以f(−x)=−f(x),则函数f(x)为奇函数,B选项正确;对于C选项,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x1−x2<0,f(x1−x2)>0,所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0,所以f(x1)>f(x2),则函数f(x)在R上为减函数,所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n),C选项错误;对于D选项,由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x),又函数f(x)在R上为减函数,则x2−1<1−x,整理得x2+x−2<0,解得−2<x<1,D选项正确.故选:ABD.11、答案:BCD分析:根据题设有f(x)=−f(2−x)、f(−x)=f(x+4),进而可得f(x)=f(x+4)=f(−x),即可判断f(x)的对称性、奇偶性,再由周期性、奇偶性求f(1023),最后结合f(x)在(1,2)上的单调性及对称性和周期性判断(2,4)上的单调性,比较函数值大小.由题设,f(−x+1)=−f(x+1),即f(x)=−f(2−x),则f(x)关于(1,0)对称,C正确;f(−x+2)=f(x+2),即f(−x)=f(x+4),f(x)关于x=2对称,所以f(x)=−f(x+2)=f(x+4),即f(x)周期为4,且f(x)=f(−x),即f(x)为偶函数,A错误;则f(1023)=f(4×256−1)=f(−1)=f(1)=0,B正确;又x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0,即f(x)在(1,2)上递增,综上,f(x)在(0,1)上递增,则(2,4)上递减,故f(−74)=f(74)>f(198),D正确.故选:BCD12、答案:[−√10,√5]分析:根据函数的单调性确定最值即可.解:因为{3−x≥02x+4≥0所以−2≤x≤3,所以此函数的定义域为[−2,3],又因为y=√3−x−√2x+4是减函数,当x=−2时y=√3−x−√2x+4取得最大值√5,当x=3时y=√3−x−√2x+4取得最小值−√10,所以值域为[−√10,√5]所以答案是:[−√10,√5].13、答案:0分析:根据幂函数的定义求出m,在验证,求解即可根据幂函数的定义得m2−m+1=1,解得m=1或m=0;当m=1时,y=x,图象与y轴有交点,不满足题意;当m=0时,y=x0,图象与y轴没有交点,满足题意;综上,m=0,所以答案是:0。
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
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高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.(本小题12分)已知函数,(1)判断函数在区间上的单调性;(2)求函数在区间是区间[2,6]上的最大值和最小值.【答案】(1)函数是区间上的减函数;(2),【解析】(1)设是区间上的任意两个实数,且,则-==.由得,,于是,即.所以函数是区间上的减函数. ……6分(2)由(1)知函数函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当时,;当时,. ……12分【考点】本小题主要考查利用定义判断函数的单调性和利用函数的单调性求函数的最值,考查学生对定义的掌握和利用能力以及数形结合思想的应用.点评:利用单调性的定义判断或证明函数的单调性时,要把结果划到最简,尽量不要用已知函数的单调性判断未知函数的单调性.2.设函数,若,则实数=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2【答案】B【解析】当时,;当时,.【考点】本小题主要考查分段函数的求值,考查学生的运算求解能力.点评:分段函数求值,分别代入求解即可.3.函数,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为f(x)的对称轴为,所以,所以.4.若奇函数在[1,3]上为增函数,且有最小值7,则它在[-3,-1]上( )A.是减函数,有最小值-7B.是增函数,有最小值-7C.是减函数,有最大值-7D.是增函数,有最大值-7【答案】D【解析】解:由奇函数的性质,∵奇函数f(x)在[1,3]上为增函数∴奇函数f(x)在[-3,-1]上为增函数,又奇函数f(x)在[1,3]上有最小值7,∴奇函数f(x)在[-3,-1]上有最大值-7,故选D5.(12分)求证:函数在R上为奇函数且为增函数.【答案】见解析【解析】解:显然,奇函数;令,则,其中,显然,=,由于,,且不能同时为0,否则,故.从而. 所以该函数为增函数.6.下列f(x)=(1+a x)2是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇且偶函数【答案】B【解析】函数定义域为R.故选B7.设a是实数,试证明对于任意a,为增函数【答案】见解析【解析】证明:设∈R,且则由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即<0,又由>0得+1>0, +1>0所以<0即因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,为增函数8.函数y=x+ ()A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,最大值2D.无最大值,也无最小值【答案】A【解析】∵y=x+在定义域[,+∞)上是增函数,∴y≥f()=,即函数最小值为,无最大值,选A.9.(05福建卷)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】因为是定义在R上以3为周期的偶函数,且,所以故选B10.定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
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高中数学必修1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、(1)函数2)(-=x x f ,∈x {0,1,2,4}的最大值为_____.(2)函数123)(-=x x f 在区间[1,5]上的最大值为_____,最小值为_____. 2、利用单调性的定义证明函数21)(xx f =在(-∞,0)上是增函数. 3、判断函数12)(+=x x f 在(-1,+∞)上的单调性,并给予证明. 4、画出函数322丨+丨+=-x x y 的图像,并指出函数的单调区间.5、已知二次函数y =f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x =3的抛物线,试比较大小:(1)f(6)与f(4); (2)f (2)f (15)与6、已知)(x f y =在定义域(-1,1)上是减函数,且)23()1(-<-a f a f ,求实数a 的取值范围. 7、求下列函数的增区间与减区间(1)y =|x 2+2x -3|(2)y (3)y ==x x x x x 2221123-----+||(4)2012--=x x y 8、函数f(x)=ax 2-(3a -1)x +a 2在[1,+∞]上是增函数,求实数a 的取值范围.9、【例4】判断函数=≠在区间-,上的单调性.f(x)(a 0)(11)ax x 21- 10、求函数xx x f 4)(+=在[1,3]上的最大值和最小值. 二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.(1)11)1()(-+-=x x x x f ;(2)a x f =)( (R x ∈); (3)3232)52()52()(--+=x x x f 12、若32)1(2++-=mx x m y 是偶函数,则m =_________.13、已知函数c bx ax x f ++=2)( (0≠a )是偶函数,那么cx bx ax x g ++=23)(是 ( )A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数14、已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数,且其定义域为[1-a ,a 2],则 ( )A .31=a ,b =0 B .a =-1,b =0 C .a =1,b =0 D .a =3,b =0 15、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,x x x f 2)(2-=,则)(x f 在R 上的表达式是 ( )A .y =x (x -2)B .y =x (|x |-1)C .y =|x |(x -2)D .y =x (|x |-2)16、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是( )A .偶函数B .奇函数C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数17、若)(x ϕ,)(x g 都是奇函数,2)()()(++=x bg x a x f ϕ在(0,+∞)上有最大值5,则)(x f 在(-∞,0)上有( )A .最小值-5B .最大值-5C .最小值-1D .最大值-318、函数2122)(x x x f ---=的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .19、判断函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧0130132323<,-+>,+-x x x x x x 的奇偶性.20、f (x )是定义在(-∞,-5] [5,+∞)上的奇函数,且f (x )在[5,+∞)上单调递减,试判断f (x )在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.21、已知)(x f 是偶函数,)(x g 是奇函数,若11)()(-=+x x g x f ,则)(x f 的解析式为_______,)(x g 的解析式为_______.22、已知函数f (x )满足f (x +y )+f (x -y )=2f (x )·f (y )(x ∈R ,y ∈R ),且f (0)≠0.试证f (x )是偶函数.23、设函数y =f (x )(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 1、x 2满足f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2).求证f (x )是偶函数.高中数学必修1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习答案1、【答案】(1)2 (2)3,31 2、略3、【答案】减函数,证明略.4、【答案】分为0≥x 和0<x 两种情况,分段画图.单调增区间是(-∞,-1)和[0,1]; 单调减区间是[-1,0)和(1,+∞)5、【答案】(1)f(6)<f(4) ; (2)∴>,即>.f(15)f(4)f(15)f(2)6、【答案】实数a 的取值范围是(31,43) 7、【答案】(1)递增区间是[-3,-1],[1,+∞); 递减区间是(-∞,-3],[-1,1](2)增区间是(-∞,0)和(0,1); 减区间是[1,2)和(2,+∞)(3)∴函数的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1].(4)函数的增区间是(-∞,-4)和(-4,21);减区间是[21,5)和(5,+∞) 8、【答案】a 的取值范围是0≤a ≤1.9、【答案】当a >0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;当a <0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.10、【答案】先判断函数在[1,2]上是减函数,在(2,3]上是增函数,可得)2(f =4是最小值,)1(f =5是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】(1)定义域不关于原点对称,所以是非奇非偶函数;(2)0=a ,)(x f 既是奇函数又是偶函数;0≠a ,)(x f 是偶函数;(3))(x f 是奇函数.12、【答案】 013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】 选C18【答案】 奇函数19、【答案】 奇函数【提示】分x >0和x <0两种情况,分别证明)()(x f x f =--即可.20、【答案】解析:任取x 1<x 2≤-5,则-x 1>-x 2≥-5. 因f (x )在[5,+∞]上单调递减, 所以f (-x 1)<f (-x 2)⇒f (x 1)<-f (x 2)⇒f (x 1)>f (x 2),即单调减函数.21、【答案】11)(2-=x x f ,1)(2-=x x x g 22、证明:令x =y =0,有f (0)+f (0)=2f (0)·f (0),又f (0)≠0,∴可证f (0)=1.令x =0,∴f (y )+f (-y )=2f (0)·f (y )⇒f (-y )=f (y ), 故f (x )为偶函数.23、证明:由x 1,x 2∈R 且不为0的任意性,令x 1=x 2=1代入可证, f (1)=2f (1),∴f (1)=0.又令x 1=x 2=-1,∴f [-1×(-1)]=2f (1)=0,∴f (-1)=0.又令x 1=-1,x 2=x ,∴f (-x )=f (-1)+f (x )=0+f (x )=f (x ),即f (x )为偶函数.。
人教A版高中数学必修一《函数的基本性质》试题
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人教A版高中数学必修一《函数的基本性质》试题【夯实基础】一、单选题1.(2022·全国·高一课时练习)函数的单调递增区间是()A. B.C. D.【答案】B【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.【详解】由知,函数为开口向上,对称轴为的二次函数,则单调递增区间是.故选:B.2.(2022·全国·高一课时练习)定义在区间上的函数的图象如图所示,则的单调递减区间为()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.【详解】由题图知:在上的单调递减,在上的单调递增,所以的单调递减区间为.故选:B3.(2022·全国·高一课时练习)已知函数在上是增函数,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【分析】利用二次函数单调性,列式求解作答.【详解】函数的单调递增区间是,依题意,,所以,即实数的取值范围是.故选:D4.(2022·全国·高一)已知在为单调函数,则a的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【分析】求出的单调性,从而得到.【详解】在上单调递减,在上单调递增,故要想在为单调函数,需满足,故选:D5.(2022·湖北武汉·高一期末)已知二次函数在区间内是单调函数,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.【详解】由题知,当或,即或时,满足题意.故选:A6.(2022·甘肃庆阳·高一期末)若函数在上单调递增,且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【分析】由单调性可直接得到,解不等式即可求得结果.【详解】在上单调递增,,,解得:,实数的取值范围为.故选:C.7.(2022·全国·高一课时练习)下列四个函数在是增函数的为()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【详解】对A,二次函数开口向上,对称轴为轴,在是减函数,故A不对.对B,为一次函数,,在是减函数,故B不对.对C,,二次函数,开口向下,对称轴为,在是增函数,故C不对.对D,为反比例类型,,在是增函数,故D对.故选:D8.(2021·河南南阳·高一阶段练习)已知函数,对于任意的恒成立,则实数的最小值是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】利用换元法将函数的最值转化为二次函数的最值,即可求得实数的最小值.【详解】对于任意的使恒成立,令(),则,即,设,则,故,即实数m的最小值是.故选:.二、多选题9.(2022·全国·高一课时练习)下列函数中,在上单调递增的是()A. B. C. D.【答案】AD【分析】画出各选项的函数图像,利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.【详解】画出函数图象如图所示,由图可得A,D中的函数在上单调递增,B,C中的函数在上不单调.故选:AD.10.(2021·江西·高一期中)如图是函数的图象,则函数在下列区间单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】BC【分析】根据单调性的定义即可由图知道f(x)的增区间﹒【详解】图像从左往右上升的区间有:(-6,-4),(-1,2),(5,8),∴f(x)在(-6,-4),(-1,2),(5,8)上单调递增﹒故选:BC﹒三、填空题11.(2022·全国·高一课时练习)写出一个同时具有性质①对任意,都有;②的函数___________.【答案】(答案不唯一)【分析】根据题意可得函数在为减函数,且再写出即可.【详解】因为对任意,都有,所以函数在上减函数.又,故函数可以为.(注:满足题目条件的函数表达式均可.)故答案为:(答案不唯一)12.(2022·浙江丽水·高一开学考试)设函数,其中,.若在上不单调,则实数的一个可能的值为______.【答案】内的任意一个数.【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间,假设在上单调,即可求出的取值范围,其补集即为在上不单调时实数的取值范围.【详解】函数的定义域为,由对勾函数的性质可得函数在和上是单调递增,在和上是单调递减,若在上单调,则或,解得或,则在上不单调,实数的范围是,故答案为:内的任意一个数.13.(2022·全国·高一课时练习)函数的单调减区间为__________.【答案】##【分析】优先考虑定义域,在研究复合函数的单调性时,要弄清楚它由什么函数复合而成的,再根据“同增异减”可求解.【详解】函数是由函数和组成的复合函数,,解得或,函数的定义域是或,因为函数在单调递减,在单调递增,而在上单调递增,由复合函数单调性的“同增异减”,可得函数的单调减区间.故答案为:.四、解答题14.(2022·全国·高一)已知,函数.(1)指出在上的单调性(不需说明理由);(2)若在上的值域是,求的值.【答案】(1)在上是增函数(2)2【分析】(1)由于,利用反比例函数的性质,即可得到结果;(2)根据(1)的函数单调性,可知,,解方程即可求出结果.(1)解:因为,所以在上是增函数.(2)解:易知,由(1)可知在上为增函数.,解得,由得,解得.15.(2022·湖南·高一课时练习)设函数的定义域为,如果在上是减函数,在上也是减函数,能不能断定它在上是减函数?如果在上是增函数,在上也是增函数,能不能断定它在上是增函数?【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【详解】取,则在上是减函数,在上也是减函数,但,,因此不能断定在上是减函数.若取,则在上是增函数,在上也是增函数,但,,因此不能断定在上是增函数.16.(2022·全国·高一专题练习)已知函数的定义域为.(1)求的定义域;(2)对于(1)中的集合,若,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)的定义域可以求出,即的定义域;(2)令,若,使得成立,即可转化为成立,求出即可.(1)∵的定义域为,∴.∴,则.(2)令,,使得成立,即大于在上的最小值.∵,∴在上的最小值为,∴实数的取值范围是.【能力提升】一、单选题1.(2022·全国·高一课时练习)已知函数的定义域为R,满足,且当时,恒成立,设,,(其中),则a,b,c的大小关系为()A. B.C. D.【答案】B【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为,最后利用的单调性判断即可.【详解】因为,所以,因此,即,所以在上单调递减,又因为,所以,又因为,所以,所以.故选:B.2.(2021·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中)函数的大致图象是()A. B.C. D.【答案】A【分析】探讨函数的定义域、单调性,再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数的定义域为,选项C,D不满足,因,则函数在,上都单调递增,B不满足,则A满足.故选:A【点睛】方法点睛:函数图象的识别途径:(1)由函数的定义域,判断图象的左右位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性.3.(2022·全国·高一课时练习)设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数关系式可知,由此可确定在上的解析式,并确定每段区间上的最小值;由时,可确定在此区间内的两根,结合函数图象可确定的范围.【详解】由知:,;当时,,则;当时,,,则;当时,,,则;令,解得:或;作出函数的大致图象如图所示.对任意恒成立,,则,即实数的取值范围为.故选:B.二、多选题4.(2021·安徽·高一期中)下列命题正确的是()A.的定义城为,则的定义域为B.函数的值域为C.函数的值域为D.函数的单调增区间为【答案】AB【分析】根据抽象函数的定义域求法,可判断A;利用换元法求得函数值域,可判断B;利用基本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号,可判断D.【详解】对于A选项,由于函数的定义域为,对于函数,,解得,所以函数的定义域为,A选项正确;对于B选项,令,则,,且时,取得等号,所以函数的值域为,B选项正确;对于C选项,,当且仅当时,即等号取得,但等号取不到,所以C选项错误;对于D选项,,所以函数的单调增区间为和,单调区间之间不能用并集符号,D选项错误,故选:AB.5.(2021·辽宁实验中学高一期中)下列命题,其中正确的命题是()A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.函数的单调区间是D.已知在上是增函数,若,则有【答案】AD【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项,函数的对称轴为,开口向上,所以函数在上单调递增,故A正确;对于B选项,因为当时,,当时,,所以函数在上不是减函数,故B错误;对于C选项,解不等式得,函数的定义域为,故C错误;对于D选项,由得,由于在上是增函数,故,所以,故D正确.故选:AD6.(2022·全国·高一课时练习)已知函数的定义域是,且,当时,,,则下列说法正确的是()A.B.函数在上是减函数C.D.不等式的解集为【答案】ABD【分析】利用赋值法求得,判断A;根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质,可判断函数的单调性,判断B;利用,可求得C中式子的值,判断C;求出,将转化为,即可解不等式组求出其解集,判断D.【详解】对于A,令,得,所以,故A正确;对于B,令,得,所以,任取,且,则,因为,所以,所以,所以在上是减函数,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,因为,且,所以,所以,所以等价于,又在上是减函数,且,所以,解得,故D正确,故选:ABD.7.(2022·广东深圳·高一期末)(多选)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯,其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数,表示不超过x的最大整数,例如.已知,,则函数的值可能为()A.0B.1C.2D.3【答案】BCD【分析】利用常数分离法知,根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围,进而得到函数的值.【详解】,当时,,,,此时的取值为1;当时,,,,此时的取值为2,3.综上,函数的值可能为.故选:BCD.三、填空题8.(2022·全国·高一专题练习)点、均在抛物线(,a、b为常数)上,若,则t的取值范围为________.【答案】【分析】根据,可知抛物线开口向下,根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为,当P、Q 两点关于抛物线对称轴对称时,可求出,根据根据,,即可求出t的取值范围.【详解】根据,可知抛物线开口向下,根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为,则有时,y随x的增大而增大;当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时,则有,解得,∵,,又∵时,y随x的增大而增大;∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求,P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求,当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时,随着P、Q向x轴正向移动,P的纵坐标在逐渐增大,Q的纵坐标逐渐减小,当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有,继续正方向移动,则有,∴满足的t的取值范围:,故答案为:.四、解答题9.(2022·全国·高一课时练习)已知函数,判断并证明在区间上的单调性.【答案】单调递增,证明见解析【分析】利用单调性的定义证明,先任取,,且,然后作差,变形,判断符号,即可得结论. 【详解】在区间上单调递增,理由如下:任取,,且,.因为,所以,,,所以所以,所以,即,所以函数在区间上单调递增.10.(2022·全国·高一课时练习)已知函数的定义域为,对任意正实数、都有,且当时,.求证:函数是上的增函数.【分析】任取、,且,可得出,结合已知条件可出、的大小关系,即可证得结论成立.【详解】证明:任取、,且,则.因为,所以,所以,即,所以函数是上的增函数.11.(2022·全国·高一课时练习)画出下列函数的图象,并写出单调区间:(1);(2).【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为和,无单调递减区间(2)图象见解析;单调递增区间为,单调递减区间为和【分析】(1)根据函数的解析式可作出其图象,即可得单调区间;(2)化简函数的解析式为,结合二次函数性质可作出其图象,即可得单调区间.(1)画出的图象如图所示,可得其单调递增区间为和,无单调递减区间.(2),作出该函数的图象如图所示,观察图象,知该函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.12.(2020·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习)已知函数.(1)求证:在上是增函数;(2)当时,求不等式的解集.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)利用函数单调性的定义与作差法即可证明;(2)将代入,然后求解不等式即可(1)任取,且,则,所以,所以,所以在区间上单调递增;(2)当时,,由可得,解得,故不等式的解集为13.(2021·广东广雅中学花都校区高一期中)设函数.(1)当时,求函数的单调递减区间;(2)若函数在R上单调递增,求a的取值范围;(3)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间. (2)去掉绝对值符号可得,根据函数在R上单调递增可得关于的不等式组,从而可得其取值范围.(3)等价于且恒成立,前者可分类讨论,后者可结合一次函数的图象和性质,两者结合可得a的取值范围.【详解】(1)时,,故在上为增函数,在上为减函数,在为增函数,故函数的单调递减区间为.(2)因为函数在R上单调递增,故,解得.(3)等价于且恒成立,先考虑恒成立,则,故.再考虑恒成立,又,故,故,解得,综上,的取值范围为.【点睛】方法点睛:对于含绝对值符号的函数,可先去掉绝对值符号,从而把问题题转化为常见的一次函数、二次函数在给定范围上的恒成立问题,注意先讨论简单的一次函数的性质,从而参数的初步范围后再讨论二次函数的性质.14.(2021·重庆市清华中学校高一阶段练习)对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足下列两个条件:①在区间上是单调的;②当定义域是时,的值域也是.则称是函数的一个“黄金区间”.(1)请证明:函数不存在“黄金区间”.(2)已知函数在上存在“黄金区间”,请求出它的“黄金区间”.(3)如果是函数的一个“黄金区间”,请求出的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【分析】(1)由为上的增函数和方程的解的情况可得证;(2)由可得出,再由二次函数的对称轴和方程,可求出函数的“黄金区间”;(3)化简得函数的单调性,由已知是方程的两个同号的实数根,再由根的判别式和根与系数的关系可表示,由或,可得的最大值.【详解】解:(1)证明:由为上的增函数,则有,∴,无解,∴不存在“黄金区间”;(2)记是函数的一个“黄金区间”,由及此时函数值域为,可知而其对称轴为,∴在上必为增函数,令,∴,∴故该函数有唯一一个“黄金区间”;(3)由在和上均为增函数,已知在“黄金区间”上单调,所以或,且在上为单调递增,则同理可得,,即是方程的两个同号的实数根,等价于方程有两个同号的实数根,又,则只要,∴或,而由韦达定理知,,所以,其中或,所以当时,取得最大值.【点睛】关键点点睛:本题考查函数的新定义,对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义,注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.15.(2022·广东·普宁市第二中学高一期中)已知函数,,. 若不等式的解集为(1)求的值及;(2)判断函数在区间上的单调性,并利用定义证明你的结论.(3)已知且,若.试证:.【答案】(1);(2)函数在区间上的单调递增,证明见解析(3)见解析【分析】(1)根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点,回代即可求出参数的值(2)定义法证明单调性,假设,若,则单调递增,若,则单调递减(3)单调性的逆应用,可以通过证明函数值的大小,反推变量的大小,难度较大(1),即,因为不等式解集为,所以,解得:,所以(2)函数在区间上的单调递增,证明如下:假设,则因为,所以,所以,即当时,,所以函数在区间上的单调递增(3)由(2)可得:函数在区间上的单调递增,在区间上的单调递减,因为,且,,所以,,证明,即证明,即证明,因为,所以即证明,代入解析式得:,即,令,因为在区间上的单调递增,根据复合函数同增异减的性质可知,在区间上的单调递减,所以单调递增,即,所以在区间上恒成立,即,得证:【点睛】小问1求解析式,较易;小问2考察定义法证明单调性,按照常规方法求解即可;小问3难度较大,解题过程中应用到以下知识点:(1)可以通过证明函数值的大小,结合函数的单调性,反推出变量的大小,即若,且单减,则;解题过程(2)单调性的性质,复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数16.(2021·江苏·高一单元测试)已知函数,(1)对任意的,函数在区间上的最大值为,试求实数的取值范围;(2)对任意的,若不等式任意()恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知可得,结合对勾函数的单调性与最值情况求参数范围;(2)由题意不等式可转化为函数在上单调递增,结合分段函数的单调性,分情况讨论. (1)由,由对勾函数的性质得函数在上单调递减,在上单调递增,所以,又,所以,又函数在区间上的最大值为,所以,即,解得,所以;(2)不等式任意()恒成立,即,设,在上单调递增,即在上单调递增,当时,,①当时,单调递增,成立;②当时,单调递增,成立,③当时,只需,即,当时,,①当时,在上递减,所以不成立;②当时,在上递减,所以不成立;③当时,只需,即,综上所述,.17.(2021·全国·高一专题练习)已知函数对一切实数都有成立,且(1)求的解析式;(2),若存在,使得,有成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)赋值法,令y=1,求出,进而求出;(2)根据题干中的条件,只需,先求出函数的最大值,然后利用二次函数的性质求最值,进而求出a的取值范围.(1)∵函数对一切实数都有成立,且,令y=1,则,(2)由题意,有,则,对于g(x),当x=0时,g(0)=0,当时,,设,则在(0,1)单调递减,在单调递增,在x=1处取到最小值,所以,所以,综上,,当且仅当x=1时取到,所以;设,则h(x)为开口向上的二次函数,其对称轴为x=a,下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论:当时,对称轴距离区间右侧x=2更远,故,∴,即;2)当时,对称轴距离区间左侧x=-1更远,故,∴,即;综上,.。
高中数学必修一函数性质专项习题及答案
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必修1 函数的性质一、选择题:1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( ) A .y =2x +1B .y =3x 2+1C .y =x2 D .y =2x 2+x +1 2.函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函 数,则f (1)等于 ( )A .-7B .1C .17D .253.函数f (x )在区间(-2,3)上是增函数,则y =f (x +5)的递增区间是 ( )A .(3,8)B .(-7,-2)C .(-2,3)D .(0,5)4.函数f (x )=21++x ax 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(0,21) B .( 21,+∞) C .(-2,+∞) D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 5.函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内 ( )A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有唯一的实根 6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ,则)1(f 的值是 ( )A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=,且Φ≠B A ,则实数a 的集合( )A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t ,都有f (5+t )=f (5-t ),那么下列式子一定成立的是 ( )A .f (-1)<f (9)<f (13)B .f (13)<f (9)<f (-1)C .f (9)<f (-1)<f (13)D .f (13)<f (-1)<f (9)9.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 ( )A .]1,(],0,(-∞-∞B .),1[],0,(+∞-∞C .]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞ 10.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围 ( )A .a ≤3B .a ≥-3C .a ≤5D .a ≥311. 函数c x x y ++=42,则 ( ) A )2()1(-<<f c f B )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,4]上是减函数则( )A .(10)(13)(15)f f f <<B .(13)(10)(15)f f f <<C .(15)(10)(13)f f f <<D .(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题:13.函数y =(x -1)-2的减区间是___ _.14.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[-2,+∞)时是增函数,当x ∈(-∞,-2]时是减函数,则f (1)= 。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案典型例题
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(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案典型例题单选题 1、函数f(x)=√−x 2+5x+6x+1的定义域( )A .(−∞,−1]∪[6,+∞)B .(−∞,−1)∪[6,+∞)C .(−1,6]D .[2,3]2、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数,则实数m 的取值范围是( ) A .[2,+∞)B .[−4,+∞) C .(−∞,2]D .(−∞,−4]3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是( ) A .(−∞,−3)B .[0,+∞) C .(−3,3)D .(−3,+∞)4、若函数f (x )=x(2x−1)(x+a )为奇函数,则a =( ) A .12B .23C .34D .15、已知函数f (x +2)的定义域为(−3,4),则函数g (x )=√3x−1的定义域为( )A .(13,4)B .(13,2)C .(13,6)D .(13,1)6、定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2),有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0,且f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集是( ) A .(−2,2)B .(−2,0)∪(2,+∞)C .(−∞,−2)∪(0,2)D .(−∞,−2)∪(2,+∞)7、设a 为实数,定义在R 上的偶函数f (x )满足:①f (x )在[0,+∞)上为增函数;②f (2a )<f (a +1),则实数a 的取值范围为( ) A .(−∞,1)B .(−13,1)C .(−1,13)D .(−∞,−13)∪(1,+∞)8、下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( )A.y=−3x+1B.y=2xC.y=x2−4x+5D.y=|x−1|+2多选题9、(多选)已知函数f(x)={x+2,x≤−1,x2,−1<x<2,则下列关于函数f(x)的结论正确的是()A.f(x)的值域为(−∞,4)B.f(1)=3C.若f(x)=3,则x的值是√3D.f(x)<1的解集为(−1,1)10、已知函数f(x)是一次函数,满足f(f(x))=9x+8,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x−2C.f(x)=−3x+4D.f(x)=−3x−411、已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0,f(2)=−1,则下列说法正确的是()A.f(1)=0B.函数f(x)在(0,+∞)上是减函数C.f(12022)+f(12021)+⋅⋅⋅+f(13)+f(12)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2021)+f(2022)=2022D.不等式f(1x)−f(x−3)≥2的解集为[4,+∞)填空题12、已知偶函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(−1)=0,则f(x)x<0的解集__________ 13、函数y=√3−x−√2x+4的值域为_______________.部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(四十四)参考答案1、答案:C分析:解不等式组{−x 2+5x+6≥0x+1≠0得出定义域.{−x 2+5x+6≥0x+1≠0,解得−1<x⩽6即函数f(x)的定义域(−1,6]故选:C2、答案:A分析:结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.函数f(x)=x2−mx+10的对称轴为x=m2,由于f(x)在(−2,1)上是减函数,所以m2≥1⇒m≥2.故选:A3、答案:B分析:直接由二次函数的单调性求解即可.由f(x)=x2−1知,函数为开口向上,对称轴为x=0的二次函数,则单调递增区间是[0,+∞). 故选:B.4、答案:A分析:根据奇函数的定义可得−x(−2x−1)(−x+a)=−x(2x−1)(x+a),整理化简可求得a的值,即得答案.由函数f(x)=x(2x−1)(x+a)为奇函数,可得f(−x)=−f(x),所以−x(−2x−1)(−x+a)=−x(2x−1)(x+a),所以−x(2x−1)(x+a)=−x(−2x−1)(−x+a),化简得2(2a−1)⋅x2=0恒成立,所以2a−1=0,即a=12,经验证f(x)=x(2x−1)(x+12)=2x4x2−1,定义域关于原点对称,且满足f(−x)=−f(x),故a=12;故选:A.5、答案:C分析:根据抽象函数的定义域的求解,结合具体函数单调性的求解即可.因为函数f(x +2)的定义域为(−3,4),所以f(x)的定义域为(−1,6).又因为3x −1>0,即x >13,所以函数g(x)的定义域为(13,6).故选:C. 6、答案:C分析:依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减,根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增,再根据f(2)=0,即可得到f (x )的大致图像,结合图像分类讨论,即可求出不等式的解集; 解:因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2),有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0,即f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (x )在(−∞,0)上单调递增, 又f(2)=0,所以f (−2)=f (2)=0,函数的大致图像可如下所示:所以当−2<x <2时f (x )>0,当x <−2或x >2时f (x )<0, 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0,解得0<x <2或x <−2,即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2);故选:C 7、答案:B分析:利用函数的奇偶性及单调性可得|2a |<|a +1|,进而即得. 因为f (x )为定义在R 上的偶函数,在[0,+∞)上为增函数, 由f (2a )<f (a +1)可得f (|2a |)<f (|a +1|), ∴|2a |<|a +1|, 解得−13<a <1. 故选:B. 8、答案:D分析:根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果. 对于A ,y =−3x +1为R 上的减函数,A 错误; 对于B ,y =2x 在(−∞,0),(0,+∞)上单调递减,B 错误;对于C ,y =x 2−4x +5在(−∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,C 错误;对于D ,y =|x −1|+2={x +1,x ≥13−x,x <1,则y =|x −1|+2在(1,+∞)上为增函数,D 正确.故选:D. 9、答案:AC分析:根据一次函数的性质,结合二次函数的性质,逐一判断即可.当x ≤−1时,f (x )的取值范围是(−∞,1],当−1<x <2时,f (x )的取值范围是[0,4),因此f (x )的值域为(−∞,4),故A 正确;当x =1时,f (1)=1≠3,故B 错误;当x ≤−1时,由x +2=3,解得x =1(舍去),当−1<x <2时,由x 2=3,解得x =√3或x =−√3(舍去),故C 正确;当x ≤−1时,由x +2<1,解得x <−1,当−1<x <2时,由x 2<1,解得−1<x <1,因此f (x )<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1),故D 错误.故选:AC. 10、答案:AD分析:设f (x )=kx +b ,代入f(f (x ))=9x +8列方程组求解即可. 设f (x )=kx +b ,由题意可知f(f (x ))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =9x +8,所以{k 2=9kb +b =8,解得{k =3b =2 或{k =−3b =−4,所以f (x )=3x +2或f (x )=−3x −4. 故选:AD. 11、答案:ABD分析:利用赋值法求得f (1)=0,判断A ;根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质,可判断函数的单调性,判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y ),可求得C 中式子的值,判断C ;求出f (14)=f (12)+f (12)=2,将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14),即可解不等式组求出其解集,判断D.对于A ,令x =y =1 ,得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0,故A 正确; 对于B ,令y =1x >0,得f (1)=f (x )+f (1x )=0,所以f (1x )=−f (x ), 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x 1),因为x 2x 1>1,所以f (x2x 1)<0,所以f (x 2)<f (x 1),所以f (x )在(0,+∞)上是减函数,故B 正确;对于C ,f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0,故C 错误;对于D ,因为f (2)=−1,且f (1x )=−f (x ),所以f (12)=−f (2)=1, 所以f (14)=f (12)+f (12)=2,所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14),又f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(xy)=f(x)+f(y),所以{1x(x−3)≤141 x >01 x−3>0,解得x≥4,故D正确,故选:ABD.12、答案:(−1,0)∪(1,+∞)分析:分x>0和x<0两种情况讨论x的范围,根据函数的单调性可得到答案.因为f(x)是偶函数,且f(−1)=0,所以f(1)=f(−1)=0,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以f(x)在(−∞,0)上是增函数,①当x>0时,由f(x)x<0得f(x)<0,又由于f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,所以f(x)<f(1),得x>1;②当x<0时,由f(x)x<0得f(x)>0,又f(−1)=0,f(x)在(−∞,0)上是增函数,所以f(x)>f(−1),所以−1< x<0.综上,原不等式的解集为:(−1,0)∪(1,+∞).所以答案是:(−1,0)∪(1,+∞).小提示:方法点睛:本题主要考查函数相关性质,利用函数性质解不等式,运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同,且f(−x)=−f(x).偶函数在对称区间上的单调性相反,且f(x)=f(−x)=f(|x|)..13、答案:[−√10,√5]分析:根据函数的单调性确定最值即可.解:因为{3−x≥02x+4≥0所以−2≤x≤3,所以此函数的定义域为[−2,3],又因为y=√3−x−√2x+4是减函数,当x=−2时y=√3−x−√2x+4取得最大值√5,当x=3时y=√3−x−√2x+4取得最小值−√10,所以值域为[−√10,√5]所以答案是:[−√10,√5].。
高一数学新教材人教版必修一第三章函数的概念与性质测试卷含答案
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(Ⅲ)若 f (x) 在区间[2, ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)
已知函数
f
(x)
ax x2
b 1
是定义在
(1,1)
上奇函数,
且 f (1) 3 .
3 10
(Ⅰ)判断函数 f (x) 在 (1,1) 上的单调性,并用
定义证明;
(Ⅱ)若实数 t 满足 f (2t 1) f (t 1) 0 ,求实
4
5.令 t 1 x 0, 则 y 2 2t2 t 2(t 1)2 17 17
4 88
6.
y
x(x 2),(x x(x 2),(
2) x 2)
,作出图象即可.
7.函数 f (x) ax 2a 1,(a 0) 在 (0, ) 上单 x
调递增,又 m2 1 0,m2 m 3 0
x3 数,则实数 a 的取值范围是
15.已知函数 f (x) x5 3x3 5x 3 ,若 f (a) f (a 2) 6 ,则实数 a 的取值范围是
16.已知 m R ,函数 f (x) x 3 m m 在[2, x 1
5] 上的最大值是 5 ,则 m 的取值范围是
三、解答题:(写出必要的文字说明,推理过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 设函数 f (x) ax2 (b 2)x 3 . (Ⅰ)若 f (1) 3 ,且 a 0,b 0 ,求 b 1 的最
9.已知奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 2 对称,
且 f (m) 3,且 f (m 4) 的值为( )
A. 3
B. 0
C. 3
D. 1
3
10.已知函数 f (x 1) 是偶函数,且 x 1 时, f (x) 单调递减,设 a f ( 1),b f (3),c f (0) ,则 a,
人教版高中数学必修一《函数的基本性质》练习题含答案
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人教版高中数学必修一《函数的基本性质》练习题含答案一、选择题1.B2.B3.D4.B5.A6.D二、填空题1.x∈(-5,-1)∪(0,1)2.(-∞,∞)3.(-∞,∞)4.(-∞,0)5.2三、解答题1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的正负性。
当k>0时,函数单调递增;当k0时,函数在(0,∞)上单调递减;当k<0时,函数在(-∞,0)上单调递减。
2.因为f(x)是奇函数,所以f(1-a)+f(-(1-a))=0,即f(1-a)=-f(1+a)。
由于f(x)在定义域上单调递减,所以f(1-a)f(1-a)>f(1),即f(0)>-f(1+a)>f(1)。
又因为f(1-a)=-f(1+a),所以f(0)>f(1+a)>f(1)。
由此可得1+a<0,即a<-1.3.函数y=x+1+2x的定义域为(-∞,∞),因为x+1的单调性为单调递增,2x的单调性为单调递增,所以y的单调性为单调递增。
因此,y的值域为(-∞,∞)。
已知函数$f(x)=x+2ax+2,x\in[-5,5]$,二次函数$y=ax^2+bx+c$,其中:①当$a=-1$时,求函数的最大值和最小值;当$a=-1$时,二次函数为$y=-x^2+bx+c$,由于$a<0$,所以开口向下,最大值为顶点,顶点横坐标为$x_0=-\frac{b}{2a}=0$,代入得$y_{\max}=c$,最小值为区间端点处的值,即$f(-5)$和$f(5)$中的较小值。
因此,函数$f(x)$的最大值为$c$,最小值为$\min\{f(-5),f(5)\}$。
②求实数$a$的取值范围,使$y=f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数。
二次函数$y=ax^2+bx+c$在开口方向上单调递增的充分必要条件是$a>0$,在开口方向上单调递减的充分必要条件是$a0$时,$y=f(x)$在$[-5,5]$上是单调递增函数;当$a<0$时,$y=f(x)$在$[-5,5]$上是单调递减函数。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题(带答案)
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高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若实数x 满足xf (x −12)≤0,则x 的取值范围是( )A .[−12,0]∪[12,32]B .[−12,12]∪[32,+∞)C .[−12,0]∪[12,+∞)D .[−32,−12]∪[0,12] 答案:A分析:首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增,且f (1)=f (−1)=0,从而得到x ∈(−∞,−1),f (x )<0,x ∈(−1,0),f (x )>0,x ∈(0,1),f (x )<0,x ∈(1,+∞),f (x )>0,再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,定义域为R ,f(1)=0,所以函数f (x )在R 上单调递增,且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1),f (x )<0,x ∈(−1,0),f (x )>0,x ∈(0,1),f (x )<0,x ∈(1,+∞),f (x )>0.因为xf (x −12)≤0,当x <0时,f (x −12)≥0,即−1≤x −12≤0或x −12≥1,解得−12≤x <0.当x =0时,符合题意.当x >0时,f (x −12)≤0,x −12≤−1或0≤x −12≤1, 解得12≤x ≤32. 综上:−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选:A2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13),则f (19)=( )A .13B .3C .9D .8分析:将(9,13)代入函数解析式,即可求出α,即可得解函数解析式,再代入求值即可. 解:由题意知f (9)=13,所以9α=13,即32α=3−1,所以α=−12,所以f (x )=x −12,所以f (19)=(19)−12=3.故选:B3、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数,则实数m 的取值范围是( )A .[2,+∞)B .[−4,+∞)C .(−∞,2]D .(−∞,−4]答案:A分析:结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2,由于f (x )在(−2,1)上是减函数,所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A4、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是( )A .(−∞,−3)B .[0,+∞)C .(−3,3)D .(−3,+∞)答案:B分析:直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知,函数为开口向上,对称轴为x =0的二次函数,则单调递增区间是[0,+∞).故选:B.5、若函数f (x )=x ln (x +√a +x 2)为偶函数,则a 的值为( )A .0B .1C .﹣1D .1或﹣1答案:B分析:由f (x )=x ln (x +√a +x 2)为偶函数,则设g (x )=ln (x +√a +x 2)是奇函数,由g (0)=0,可解:∵函数f(x)=x ln(x+√a+x2)为偶函数,x∈R,∴设g(x)=ln(x+√a+x2)是奇函数,则g(0)=0,即ln√a=0,则√a=1,则a=1.故选:B.6、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:判断函数的单调性,结合函数零点存在性定理,判断选项.f(1)=0−1=−1<0,f(2)=1−12=12>0,且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞),定义域内y=log2x是增函数,y=−1x也是增函数,所以f(x)是增函数,且f(1)f(2)<0,所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选:B小提示:方法点睛:一般函数零点所在区间的判断方法是:1.利用函数零点存在性定理判断,判断区间端点值所对应函数值的正负;2.画出函数的图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,或是转化为两个函数的图象交点判断.7、函数y=√2x+4x−1的定义域为()A.[0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[0,1)∪(1,+∞)答案:D分析:由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0,解得x≥0且x≠1,故选:D8、设a为实数,定义在R上的偶函数f(x)满足:①f(x)在[0,+∞)上为增函数;②f(2a)<f(a+1),则实数a 的取值范围为()A.(−∞,1)B.(−13,1)C.(−1,13)D.(−∞,−13)∪(1,+∞)答案:B分析:利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|,进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数,在[0,+∞)上为增函数,由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|),∴|2a|<|a+1|,解得−13<a<1.故选:B.多选题9、某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元答案:BC分析:设每册杂志定价为x(x>2)元,根据题意由(10−x−20.2×0.5)x≥22.4,解得x的范围,可得答案.依题意可知,要使该杂志销售收入不少于22.4万元,只能提高销售价,设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10−x−20.2×0.5万册,则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x万元,所以(10−x−20.2×0.5)x≥22.4,化简得x2−6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,故选:BC小提示:关键点点睛:理解题意并求出每册杂志定价为x(x>2)元时的发行量是解题关键.10、已知函数f(x)={|x |+2,x <1x +2x,x ≥1 ,下列说法正确的是( ) A .f(f(0))=3B .函数y =f(x)的值域为[2,+∞)C .函数y =f(x)的单调递增区间为[0,+∞)D .设a ∈R ,若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是[−2,2]答案:ABD解析:作出函数f(x)的图象,先计算f(0),然后计算f(f(0)),判断A ,根据图象判断BC ,而利用参变分离可判断D .画出函数f(x)图象.如图,A 项,f(0)=2,f(f(0))=f(2)=3,B 项,由图象易知,值域为[2,+∞)C 项,有图象易知,[0,+∞)区间内函数不单调D 项,当x ≥1时,x +2x ≥|x 2+a|恒成立,所以−x −2x ≤x 2+a ≤x +2x 即−32x −2x ≤a ≤x 2+2x 在[1,+∞)上恒成立,由基本不等式可得x 2+2x ≥2,当且仅当x =2时等号成立,3x 2+2x ≥2√3,当且仅当x =2√33时等号成立, 所以−2√3≤a ≤2.当x <1时,|x |+2≥|x 2+a|恒成立,所以−|x |−2≤x 2+a ≤|x |+2在(−∞,1)上恒成立,即−|x |−2−x 2≤a ≤|x |+2−x 2在(−∞,1)上恒成立 令g (x )=|x |+2−x 2={−32x +2,x ≤0x 2+2,0<x <1 ,当x ≤0时,g (x )≥2,当0<x <1时,2<g (x )<32,故g (x )min =2;令ℎ(x )=−|x |−2−x 2={12x −2,x ≤0−3x 2−2,0<x <1 ,当x ≤0时,ℎ(x )≤−2,当0<x <1时,−72<ℎ(x )<−2,故ℎ(x )max =−2; 所以−2≤a ≤2.故f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立时,有−2≤a ≤2. 故选:ABD .小提示:关键点点睛:本题考查分段函数的性质,解题方法是数形结合思想,作出函数的图象,由图象观察得出函数的性质,绝对值不等式恒成立,可以去掉绝对值符号,再利用参变分离求参数的取值范围.11、已知函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1关于函数f (x )的结论正确的是( ) A .f (x )的定义域为RB .f (x )的值域为(−∞,4]C .若f (x )=2,则x 的值是−√2D .f (x )<1的解集为(−1,1)答案:BC分析:求出分段函数的定义域可判断A ;求出分段函数的值域可判断B ;分x ≥1、−2≤x <1两种情况令f (x )=2求出x 可判断C ;分x ≥1、−2≤x <1两种情况解不等式可判断D.函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1的定义域是[−2,+∞),故A 错误; 当−2≤x <1时,f (x )=x 2,值域为[0,4],当x ≥1时,f (x )=−x +2,值域为(−∞,1],故f (x )的值域为(−∞,4],故B 正确;当x ≥1时,令f (x )=−x +2=2,无解,当−2≤x <1时,令f (x )=x 2=2,得到x =−√2,故C 正确; 当−2≤x <1时,令f (x )=x 2<1,解得x ∈(−1,1),当x ≥1时,令f (x )=−x +2<1,解得x ∈(1,+∞),故f (x )<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞),故D 错误.故选:BC.填空题12、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数;②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数;③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案:x−1(答案不唯一,符合条件即可)分析:根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式.f(x)是奇函数,指数函数与对数函数不具有奇偶性,幂函数具有奇偶性,又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,同时f(x1x2)=f(x1)f(x2),故可选,f(x)=xα,α<0,且α为奇数,所以答案是:x−113、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称,则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a 的取值范围为___________.答案:(23,4)分析:利用幂函数的定义及性质求出m值,再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数,则m2−3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,其图象关于y轴对称,与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾,当m=2时,f(x)=x3是奇函数,其图象关于原点对称,于是得m=2,不等式(a+1)m>(3−2a)m化为:(a+1)2>(3−2a)2,即(3a−2)(a−4)<0,解得:23<a<4,所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是:(23,4)14、若幂函数y=f(x)的图像经过点(18,2),则f(−18)的值为_________.答案:−2分析:根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x−13,再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ,由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13,∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是:−2.小提示:本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ,B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B 芯片的毛收入y (千万元)与投入的资金x (千万元)的函数关系为y =kx a (x >0),其图像如图所示.(1)试分别求出生产A ,B 两种芯片的毛收入y (千万元)与投入资金x (千万元)的函数关系式;(2)现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ,B 两种芯片,求可以获得的最大利润是多少.答案:(1)生产A ,B 两种芯片的毛收入y (千万元)与投入资金x (千万元)的函数关系式分别为y =0.25x ,y =√x (x >0),(2)9千万元分析:(1)根据待定系数法可求出函数解析式,(2)将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解:(1)因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设y =mx (m >0),因为当x =1时,y =0.25,所以m =0.25,所以y =0.25x ,即生产A 芯片的毛收入y (千万元)与投入资金x (千万元)的函数关系式为y =0.25x ,对于生产B 芯片的,因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2),所以{1=k k⋅4a=2,解得{k=1a=12,所以y=x12,即生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=√x(x>0),(2)设投入x千万元生产B芯片,则投入(40−x)千万元生产A芯片,则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9,所以当√x=2,即x=4千万元时,公司所获利润最大,最大利润为9千万元。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练(带答案)
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高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练单选题1、函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4) 答案:B解析:判断函数的单调性,结合函数零点存在性定理,判断选项. f (1)=0−1=−1<0,f (2)=1−12=12>0,且函数f (x )=log 2x −1x 的定义域是(0,+∞),定义域内y =log 2x 是增函数,y =−1x 也是增函数,所以f (x )是增函数,且f (1)f (2)<0,所以函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为(1,2). 故选:B小提示:方法点睛:一般函数零点所在区间的判断方法是:1.利用函数零点存在性定理判断,判断区间端点值所对应函数值的正负;2.画出函数的图象,通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断,或是转化为两个函数的图象交点判断. 2、函数y =√2x +4x−1的定义域为( )A .[0,1)B .(1,+∞)C .(0,1)∪(1,+∞)D .[0,1)∪(1,+∞) 答案:D分析:由题意列不等式组求解由题意得{2x ≥0x −1≠0,解得x ≥0且x ≠1,故选:D3、现有下列函数:①y =x 3;②y =(12)x;③y =4x 2;④y =x 5+1;⑤y =(x −1)2;⑥y =x ;⑦y =a x (a >1),其中幂函数的个数为( ) A .1B .2C .3D .4 答案:B分析:根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y=x a形式,故y=x3,y=x满足条件,共2个故选:B,则f(x)()4、设函数f(x)=x3−1x3A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减答案:A分析:根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0},利用定义可得出函数f(x)为奇函数,再根据函数的单调性法则,即可解出.定义域为{x|x≠0},其关于原点对称,而f(−x)=−f(x),因为函数f(x)=x3−1x3所以函数f(x)为奇函数.又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,在(−∞,0)上单调递增,=x−3在(0,+∞)上单调递减,在(−∞,0)上单调递减,而y=1x3在(0,+∞)上单调递增,在(−∞,0)上单调递增.所以函数f(x)=x3−1x3故选:A.小提示:本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质,属于基础题.5、下列函数为奇函数的是()A.y=x2B.y=x3C.y=|x|D.y=√x答案:B分析:根据奇偶函数的定义判断即可;解:对于A:y=f(x)=x2定义域为R,且f(−x)=(−x)2=x2=f(x),所以y=x2为偶函数,故A错误;对于B:y=g(x)=x3定义域为R,且g(−x)=(−x)3=−x3=−g(x),所以y=x3为奇函数,故B正确;对于C:y=ℎ(x)=|x|定义域为R,且ℎ(−x)=|−x|=|x|=ℎ(x),所以y=|x|为偶函数,故C错误;对于D:y=√x定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称,故y=√x为非奇非偶函数,故D错误;故选:B6、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4),则f(3)=()A.2B.3C.8D.9答案:D分析:先利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求f(3)的值解:设f(x)=xα,则2α=4,得α=2,所以f(x)=x2,所以f(3)=32=9,故选:D7、某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成;③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200),则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为()A.60单位B.70单位C.80单位D.90单位答案:D分析:设生产每单位试剂的成本为y,求出原料总费用,职工的工资总额,后续保养总费用,从而表示出y,然后利用基本不等式求解最值即可.解:设每生产单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为50x元,职工的工资总额为7500+20x元,后续保养总费用为x(x+600x−30)元,则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220,当且仅当x=8100x,即x=90时取等号,满足50≤x≤200,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选:D.8、已知f(x)是一次函数,且f(x−1)=3x−5,则f(x)=()A.3x−2B.2x+3C.3x+2D.2x−3答案:A分析:设一次函数y=ax+b(a≠0),代入已知式,由恒等式知识求解.设一次函数y=ax+b(a≠0),则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b,由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5,即{a=3b−a=−5,解得{a=3b=−2,∴f(x)=3x−2.故选:A.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务,甲比乙每分钟加工的数量多,两人同时开始加工,加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工,直到他们完成任务.如图表示甲比乙多加工的零件数量y(个)与加工时间x(分)之间的函数关系,A点横坐标为12,B点坐标为(20,0),C点横坐标为128.则下面说法中正确的是()A.甲每分钟加工的零件数量是5个B.在60分钟时,甲比乙多加工了120个零件C.D点的横坐标是200D.y的最大值是216答案:ACD分析:甲每分钟加工的数量是600120=5,所以选项A正确;在60分钟时,甲比乙多加工了(60-20)×2=80个零件,所以选项B 错误;设D 的坐标为(t,0),由题得△AOB ∽△CBD ,则有1220=128−20t−20,解可得t =200,所以选项C 正确;当x =128时,y =216,所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意,甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟, 一共加工了600个零件,则甲每分钟加工的数量是600120=5,所以选项A 正确,设D 的坐标为(t,0),在区间(128,t)和(12,20 )上,都是乙在加工,则直线AB 和CD 的斜率相等, 则有∠ABO =∠CDB ,在区间(20,128)和(0,12)上,甲乙同时加工,同理可得∠AOB =∠CBD , 则△AOB ∽△CBD , 则有1220=128−20t−20,解可得t =200;即点D 的坐标是(200,0),所以选项C 正确; 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个,所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个,在60分钟时,甲比乙多加工了(60-20)×2=80个零件,所以选项B 错误; 当x =128时,y =(128−20)×2=216,所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选:ACD10、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0,则有( )A .存在x 0>0,使得f (x 0)=−x 0B .存在x 0<0,使得f (x 0)=x 02C .函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D .若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2,则x 1+x 2≤0 答案:BC分析:根据函数解析式,分别解AB 选项对应的方程,即可判定A 错,B 正确;求出f (−x )的解析式,判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性,即可得出C 正确;利用特殊值法,即可判断D 错.因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0,当x 0>0时,f(x 0)=x 02,由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0,解得x 0=0或−1,显然都不满足x 0>0,故A错;当x 0<0时,f(x 0)=−x 0,由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02,解得x 0=0或−1,显然x 0=−1满足x 0<0,故B 正确;当x <0时,f(x)=−x 显然单调递减,即f(x)的减区间为(−∞,0);当x >0时,f(x)=x 2显然单调递增,即f(x)的增区间为(0,+∞);又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0 ={x,x >0x 2,x <0 ,因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同,故C 正确;D 选项,若不妨令x 1<x 2,f (x 1)=f (x 2)=14,则x 1=−14,x 2=12,此时x 1+x 2=14>0,故D 错; 故选:BC.小提示:关键点点睛:求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质,利用分段函数的性质,结合选项即可得解.11、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞),且f (xy )=f (x )+f (y ),当x >1时,f (x )<0,f (2)=−1,则下列说法正确的是( ) A .f (1)=0B .函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C .f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D .不等式f (1x )−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞) 答案:ABD分析:利用赋值法求得f (1)=0,判断A ;根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质,可判断函数的单调性,判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y ),可求得C 中式子的值,判断C ;求出f (14)=f (12)+f (12)=2,将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14),即可解不等式组求出其解集,判断D. 对于A ,令x =y =1 ,得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0,故A 正确;对于B ,令y =1x >0,得f (1)=f (x )+f (1x )=0,所以f (1x )=−f (x ), 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x 1),因为x 2x 1>1,所以f (x2x1)<0,所以f (x 2)<f (x 1),所以f (x )在(0,+∞)上是减函数,故B 正确;对于C ,f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022) =f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0,故C 错误;对于D ,因为f (2)=−1,且f (1x )=−f (x ),所以f (12)=−f (2)=1,所以f (14)=f (12)+f (12)=2,所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14), 又f (x )在(0,+∞)上是减函数,且f (xy )=f (x )+f (y ),所以{ 1x (x−3)≤141x>01x−3>0 , 解得x ≥4,故D 正确, 故选:ABD . 填空题12、为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t),用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是____________________.答案:①②③分析:根据定义逐一判断,即可得到结果−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;①正确;甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强.④错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;③正确;所以答案是:①②③小提示:本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用,考查基本分析识别能力,属中档题.13、已知函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数,则函数g(x)=f(x)+2x在[−2,2]上的最小值为______.答案:-6分析:先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0,解得n=0和m=−1,代入f(x)中,再代入g(x),再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数,故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0,即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1,则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1,所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2,x∈[−2,2],所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6,g(2)=−22+2×2+2=2,则g(x)min=−6,所以答案是:-614、已知y=f(x)是定义在区间(-2,2)上单调递减的函数,若f(m-1)>f(1-2m),则m的取值范围是_______.答案:(−12,23)分析:结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.由题意得:{-2<m-1<2,-2<1-2m<2,m-1<1-2m,解得−12<m<23.所以答案是:(−12,23)解答题15、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=−x2+2x.(1)求x<0时,函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增,求实数a的取值范围.(3)解不等式f(x)≥x+2.答案:(1)f(x)=x2+2x;(2)(1,3];(3)(−∞,−2]分析:(1)设x<0,计算f(−x),再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x),即可得对应解析式;(2)作出函数f(x)的图像,利用数形结合思想,列出关于a的不等式组求解;(3)由(1)知分段函数f(x)的解析式,分类讨论解不等式再取并集即可.(1)设x<0,则−x>0,所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数,所以f(x)=−f(−x),所以当x<0时,f(x)=x2+2x,(2)作出函数f(x)的图像,如图所示:要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增,结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1,所以1<a ≤3,所以a 的取值范围是(1,3].(3)由(1)知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0,解不等式f(x)≥x +2,等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2 或{x <0x 2+2x ≥x +2 ,解得:∅或x ≤−2 综上可知,不等式的解集为(−∞,−2]小提示:易错点睛:本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题,易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系,造成取值范围缺少下限,属于基础题.。
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必修1 函数的性质
一、选择题:
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
( ) A .y =2x +1
B .y =3x 2+1
C .y =x
2 D .y =2x 2+x +1 2.函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函 数,
则f (1)等于 ( )
A .-7
B .1
C .17
D .25
3.函数f (x )在区间(-2,3)上是增函数,则y =f (x +5)的递增区间是 ( )
A .(3,8)
B .(-7,-2)
C .(-2,3)
D .(0,5)
4.函数f (x )=2
1++x ax 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(0,21) B .( 2
1,+∞) C .(-2,+∞) D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 5.函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内 ( )
A .至少有一实根
B .至多有一实根
C .没有实根
D .必有唯一的实根 6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ,则)1(f 的值是 ( )
A 5
B 5-
C 6
D 6-
7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=,且Φ≠B A ,则实数a 的集合( )
A }2|{<a a
B }1|{≥a a
C }1|{>a a
D }21|{≤≤a a
8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t ,都有f (5+t )
=f (5-t ),那么下列式子一定成立的是 ( )
A .f (-1)<f (9)<f (13)
B .f (13)<f (9)<f (-1)
C .f (9)<f (-1)<f (13)
D .f (13)<f (-1)<f (9)
9.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 ( )
A .]1,(],0,(-∞-∞
B .),1[],0,(+∞-∞
C .]1,(),,0[-∞+∞
D ),1[),,0[+∞+∞ 10.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围 ( )
A .a ≤3
B .a ≥-3
C .a ≤5
D .a ≥3
11. 函数c x x y ++=42
,则 ( ) A )2()1(-<<f c f B )2()1(->>f c f
C )2()1(->>f f c
D )1()2(f f c <-<
12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,4]上是减函数则
( )
A .(10)(13)(15)f f f <<
B .(13)(10)(15)f f f <<
C .(15)(10)(13)f f f <<
D .(15)(13)(10)f f f <<
.二、填空题:
13.函数y =(x -1)-2的减区间是___ _.
14.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[-2,+∞)时是增函数,当x ∈(-∞,-2]时是减函
数,则f (1)= 。
15. 若函数2
()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数,则)(x f 的递减区间是_____________.
16.函数f (x ) = ax 2+4(a +1)x -3在[2,+∞]上递减,则a 的取值范围是__ .
三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.证明函数f (x )=2-x x +2
在(-2,+∞)上是增函数。
18.证明函数f (x )=
13+x 在[3,5]上单调递减,并求函数在[3,5]的最大值和最小值。
19. 已知函数[]1(),3,5,2
x f x x x -=∈+ ⑴ 判断函数()f x 的单调性,并证明;
⑵ 求函数()f x 的最大值和最小值.
20.已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数,且在区间(,0)-∞上单调递减,求满足
22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合.
必修1 函数的性质
函数的性质参考答案:
一.1~5 C D B B D 6~10 C C C C A 11~12 B B
二. 13. (1,+∞) 14.13 15 ),0(+∞ 16, ⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∞-21, 三.17.略 18、用定义证明即可。
f (x )的最大值为:
43,最小值为:21 19.解:⑴ 设任取12,[3,5]x x ∈且12x x < 1212121212113()()()22(2)(2)
x x x x f x f x x x x x ----=-=++++ 1235x x ≤<≤ 12120,(2)(2)0x x x x ∴-<++>
12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x < ()f x ∴在[3,5]上为增函数. ⑵ max 4()(5)7f x f == min 2()(3)5
f x f ==
20.解: ()f x 在R 上为偶函数,在(,0)-∞上单调递减
()f x ∴在(0,)+∞上为增函数 又22(45)(45)f x x f x x ---=++ 2223(1)20x x x ++=++>,2245(2)10x x x ++=++>
由22
(23)(45)f x x f x x ++>++得 222345x x x x ++>++ 1x ∴<- ∴解集为{|1}x x <-.。