叠加法作弯矩图3-2
区段叠加法作弯矩图
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
按叠加原理作弯矩图
F
x
F, q 作用该截面上的弯矩等于F, q 单独作 用该截面上的弯矩的代数和
q
qx M ( x ) Fx 2
2
x
3
(Internal forces in beams)
F
q
2 ql 6
+
2l/3
2 ql 81
M F ( x ) Fx
+
x l
Fl
F
2
ห้องสมุดไป่ตู้
qx M q ( x) 2
2 ql 6
1
(Internal forces in beams)
三、步骤 (Procedure)
（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;
（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑） 例16 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用, 试按叠加 原理作此梁的弯矩图. F=ql/3 q
x
F2 F1 F3
a
122
a
a
a
d
a
+
c
d
a
c
b
e
d
a
c
b
5 215
e
b
e 291
(Internal forces in beams)
F1
D a A
F2
C B
F3
E
d
a
c
b
e
291 a a c 131 215 291 a a
122
d
a
d
a
1 1 M C ( 291 ) 122 ( 215 ) 131kN m 2 2
FS (F1 ,F2 , ,Fn ) = FS (F1 ) + FS ( (F2 ) + + FS (Fn )
分段叠加法作弯矩图
分段叠加法作弯矩图
作弯矩图时，可采用叠加法，使绘制工作得到简化。
（1）叠加发作简支梁的弯矩图
应当注意，这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拼合。
图2－6d中的纵坐标M0，如图和M的纵坐标一样，也是垂直于杆轴AB，而不是垂直杆A’B’。
（2）结构中任意直杆段的弯矩图
结论：任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的（长度、承受荷载q和两端弯矩M A、M B均相同）简支梁的竖向力Y A、Y B（Y0A、Y0B）和弯矩图完全相同，因此，我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图。
具体作法如下：先求出杆段两端截面的弯矩图M A、M B。
作直线的图，然后依此直线为基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的M0图（如d所示）
小结：梁弯矩图的一般作法
利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：
（1）选定外力的不连续点（如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等）为控制截面，求出任制裁面的弯矩值。
（2）分段画弯矩图。
当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。
当控制截面之间
有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。
建筑结构与受力分析 之 叠加法画弯矩图
二、用叠加法画弯矩图 根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法 叠加法。 叠加法 由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制，下面只介绍用 后将各弯矩图中同一截面的弯矩代数相加， 即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。
所以当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数内力支座反力应力和变形等等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和这种关系称为叠加原理
叠加法画弯矩图
一、叠加原理 由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等 参数均与荷载呈线性关系 每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。 所以，当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数(内力、支座 反力、应力和变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起的 同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理 叠加原理。 叠加原理
图8-21
例 试用叠加法画出简支梁的弯矩图。
解：(1) 先将梁上荷载分为集中力偶 M e和均布荷载 q 两组。 (2) 分别画出 M e q 单独作用时的弯矩图，然后将这两个弯矩 和 图相叠加。叠加时，是将相应截面的纵坐标代数相加。
例 用叠加法画出简支梁的弯矩图。 解：(1) 先将梁上荷载分为两组。其中集中力偶 M e A 和 M e B 为一组，集中力 F 为一组。 (2) 分别画出两组荷载单独作用下的弯矩图，然后将这两个弯矩图相叠加。
叠加法在绘制弯矩图中的应用
叠加法在绘制弯矩图中的应用作者：詹景元石煜威朱芳振来源：《建材发展导向》2015年第03期摘要：弯矩图是结构力学最为重要和基础的知识点，是后续变形和位移计算的关键内容。
但是现在的大部分教材对于弯矩图的绘制技巧和一些特殊情况的处理方法的介绍并不是很多，只是通过几道例题去将弯矩图的画法展现出来，让学生自己去理解，这便使得不少学生对于弯矩图的绘制感到无从下手。
文章通过对书本上例题的理解分析，总结出叠加法运用在绘制弯矩图中的一些简单的基本理念和分析方法。
关键词：弯矩图；叠加法；静定结构1 叠加法的介绍1.1 叠加法的前提条件材料力学讨论的杆件均满足几个基本假设，其中，小变形假设是指构件在承受荷载作用时，所产生的变形和构件的原始尺寸相比非常微小。
由于变形量微小，我们在研究杆件的支反力、内力、应力、变形等问题时都可以用构件的原始尺寸和形状进行计算，不必考虑构件受荷变形后尺寸变化给计算带来的影响。
同时，采用构件的原始尺寸进行计算所得的支反力、内力、应力、变形均与梁上的荷载保持线性关系。
1.2 叠加法的使用条件叠加法的理论依据就是叠加原理，它不仅可以用来梁的位移，也可用来计算梁的支反力、内力和应力；它不仅可用于梁，也可用于拉（压）杆和其他结构。
一般来说，当构件或结构上同时作用几个荷载时，如果各荷载产生的效果（应力、反力、内力和位移等）互不影响（或影响甚小可忽略不计），则它们所产生的总效果即等于各荷载单独作用时所产生的效果总和（或为代数和，或为矢量和，由所求的物理量的性质而定）。
在土木工程实践中，一般的梁工作时变形很小，由梁上荷载产生的剪力和弯矩与荷载呈线性关系，并且其跨长的改变可以略去不计。
因此当梁上同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的内力将不受其他载荷的影响，满足叠加原理的条件，即可用叠加法来计算梁的内力（包括剪力、弯矩等）。
1.3 叠加法的使用准备梁的内力采用叠加法来求解时，必须要对简单梁承受单个基本荷载时的内力分布比较熟悉，这样叠加计算才会比较简单便捷。
《结构力学》静定结构内力计算
只承受竖向荷载和弯矩
FP1 A
FP2
B
C
基本部分：能独立承受外载。 附属部分：不能独立承受外载。
FP
A
B
C
■作用在两部分交接处的集 中力，由基本部分来承担。
FP1
FP2
A B
■基本部分上的荷载不影响附 属部分受力。
■附属部分上的荷载影响基本 部分受力。
先算附属部分， 后算基本部分。
例 确定x值，使支座B处弯矩与AB跨中弯矩相等，画弯矩图
ql ql/2
FQ图 ql
7ql/4 ql
5ql/4 ql/2
3ql/4
ql/2
练习
10kNm 20kN 10kN
10kN/m
1m 1m 1m 1m
1m 1m 10kN/m
10kNm
20kN 10kN 0
0
30kN
10kNm
20kN 10kNm
10kNm
10kNm
20kN 10kN 0
0
30kN
2m 2m
解 （1）求支反力
q=20kN/m FP=40kN
70kN
50kN
（2）取隔离体，求截面内力
MC C FQC
FP=40kN
B 50kN
（2）叠加法作弯矩图
120kNm
+
40kNm
40kNm
=
120kNm
40kNm
40kNm M图
例 试绘制梁的弯矩图。
40kNm
FP=40kN q=20kN/m
26
26
8 FQ图(kN)
6
12
M图(kNm)
24 12
例
解 （1）求支反力
直杆弯矩图的叠加法（精品）
转贴
[解] 此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。
（1）求支座反力
由整体平衡条件，得VA＝VB＝75kN，HA＝0.
（2）通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE＝135kN（拉力）；由ΣY=0，Qc＝—15kN；由ΣX=0，得NC ＝—135kN（压力）。
（3）分别由结点D、E的平衡条件，得NDA＝NEB＝151kN（拉力），NDF＝NEG＝67.5kN（压力）。
更多结构工程师好资料！（4）根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。
（5）M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。
广义力和广义位移
以各种不同方式作用在结构上的力，如集中力、集中力偶、分布力、分布力偶等都称为广义力，它可以是外力，也可以是内力。
与广义力对应的位移称为广义位移。
或能唯一地决定结构几何位置改变的彼此独立的量称为广义位移，如线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等。
更多结构工程师好资料！
本节主要介绍静定结构在广义力、温度变化、支座位移等因素作用下的广义位移计算。
叠加法绘制弯矩图
确定梁的剪力方程
绘制剪力图
确定剪力图的比例 尺
标注剪力图的坐标 轴和单位
确定梁的截面尺寸和材料属性 计算梁的支反力 根据支反力计算弯矩 根据弯矩计算截面的应力
绘制剪力图
将剪力图叠加到弯矩图上
添加标题
添加标题
绘制弯矩图
添加标题
添加标题
调整线条粗细和颜色以区分不同受 力情况
剪力正负规定：顺时针 为正，逆时针为负
弯矩正负规定：上侧受 压为正，下侧受拉为负
剪力正负规定：顺时针为正，逆时针为负 弯矩正负规定：使梁段发生下凹变形为正，反之为负
剪力和弯矩的叠加原则是绘制弯矩图的基础，必须严格遵守。 在叠加过程中，需要注意剪力和弯矩的方向和大小，确保正确地表示结构的受力情况。 在实际应用中，需要注意剪力和弯矩的叠加原则在不同情况下的适用性，避免出现错误。 掌握剪力和弯矩的叠加原则对于正确绘制弯矩图至关重要，需要认真学习和实践。
确定各段梁的跨度、截面尺寸和材料属性 计算各段梁的弯矩值 根据弯矩值绘制各段梁的弯矩图 将各段梁的弯矩图叠加在一起形成整体弯矩图
确定梁的支座反力 是叠加法绘制弯矩 图的第一步
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
支座反力的大小和 方向可以通过平衡 方程求解
支座反力在弯矩图 上表现为直线段的 起点和终点
确定支座反力是绘 制弯矩图的关键步 骤之一
叠加法适用于各 种类型的梁，包 括简支梁、连续 梁和悬臂梁等。
弯矩图是表示梁的截面弯矩沿轴线的变化规律的图形。 弯矩图是结构分析中常用的一种工具，通过弯矩图可以直观地了解结构的受力情况。 弯矩图可以用来分析结构的稳定性、刚度和承载能力等，为结构设计提供重要的参考依据。 弯矩图可以通过叠加法、剪力法等方法进行绘制，其中叠加法是最常用的一种方法。
分段叠加法作弯矩图
l/2
q 1 ql2 16
l/2
q
1 ql2 16
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）计算控制截面的弯矩值: 选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
分布荷载的始点和终点）为控制截面，
（2）分段叠加作弯矩图： 当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值
的直线； 当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作
M图 FQ图
A支座的反力 大小为多少, ql2 / 2 M图 方向怎样? FQ图
M图
FQ图
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线,且 凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M图 有尖点,且指向与荷载相同;从左向右看，剪力图突变 方向与力的方向相同。 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; FQ图无变化;从左向右看，顺时针力矩，M图向下突变。
1m
1m
7kN
练习2
本章重点： 梁和刚架的内力图
60kN
24kN
A
D0
B
E
0.2m
18kN
0.2m
0.2m
66kN
M图
FQ图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 FQ图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
FQ图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
用叠加法作直杆M 图的步骤
结构力学第三章叠加法作弯矩图
三、荷载与内力之间的微分关系
M FN
qy
qx dx dx
M+dM
FQ
FN+dFN FQ +dFQ
dM FQ , dx
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
dM FQ , dx
小结：
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分 布荷载的集度，但正负号相反。
区段弯矩图叠加法
q
A B
C
l/2
q
q
l/2 l/2
1 2 ql 16
q q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
区段弯矩图叠加法
ql
q D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
A
B
ql2/4
F ql
ql /2
ql l/2
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 ql2/8
切忌：浅尝辄止
本章内容
梁的内力计算回顾 用叠加法作弯矩图 多跨静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 组合结构 静定结构总论
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力 内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的 相反顺序进行逐步分析即可
§3-1
梁的内力计算回顾
一、内力的概念和表示
l
m l
m
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
叠加法作弯矩图
几个力对杆件的作用效果，等于 每一个力单独作用效果的总和。
叠加法绘制弯矩图讲课文档
BF 2m
RB
12
4
8
10
现在十二页，总共十七页。
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kNm
D A C BE
FA 10kN
1m 2m
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3
x1.56 2
3
2
2.44 2 现在十三页，总共十七页。
kNm
现在十四页，总共十七页。
20kN
20kN
2m
275kN
qP
2m
2m
现在六页，总共十七页。
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
4
-
现在七页，总共十七页。
MA A
MA
q
MB
B
l
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
现在八页，总共十七页。
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法
的弯矩图
弯矩图的叠加，
不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
现在四页，总共十七页。
叠加法作弯矩图
F
q
F
q
＋
A
BA
B
A
B
l
l
l
1/2qL2+FL
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A 4m RA
D 2m
E 2m
B 2m RB
F
梁分CA、 、 、 段 梁分 、AD、DB、BF段。 各控制面弯矩分别为： 各控制面弯矩分别为： MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
12 4
8
10
q A B
M(x) = M1(x) + M2 (x)
qx2 M(x) = Fx − 2
X
F
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法 用叠加原理绘制弯矩图的方法 叠加法 形弯矩图， 形或折线 叠加时，先画直线形弯矩图 再叠加曲线形或折线形 叠加时，先画直线形弯矩图，再叠加曲线形或折线形 弯矩图。 弯矩图。 注：由于剪力图比较简单，所以重点介绍用叠加法画弯矩图 由于剪力图比较简单，所以重点介绍用叠加法画弯矩图 叠加法画弯矩
步骤： 步骤：1. 荷载分解(分解） 荷载分解(分解）
作分解荷载的弯矩图（查表9 2. 作分解荷载的弯矩图（查表9-1） 3. 作荷载共同作用下的弯矩图（叠加） 作荷载共同作用下的弯矩图（叠加）
注意： 注意：
弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加， 弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处 两个图形的简单叠加 纵坐标的相加。 纵坐标的相加。
MB VB MB
(MA+MB)/2 MA
MB
ql2/8
★叠加法是数值的叠加，不是图形 叠加法是数值的叠加， 的拼凑。 的拼凑。
任意段梁都可以当作简支梁, 任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图。 的弯矩图。
支座反力（可不求） 支座反力（可不求） 梁分两段：AB段和BD段 梁分两段：AB段和BD段。 段和BD
叠加法作弯矩图举例
F A
q
B
F
= A +
q
B
l
l
1/2qL2+FL
A
l
B
1/2qL2
FL
F A
B
1 m = Fl 4
A
F
A B
C
1 m = Fl 4
C
C
l 2
l 2
பைடு நூலகம்1 Fl 4
l 2
l 2
l
1 Fl 4
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 2kN m
D
6kN
A
C
2kN m
B
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B A
q
B l A
MA
MB B l
l
+
A
+
MB 1/8qL2 MA
1/8qL2
+
MB
能用叠加法画下图所示梁的弯矩图吗？ 能用叠加法画下图所示梁的弯矩图吗？
q
A B
P
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 区段叠加法 用叠加法作某一段梁 原理
A MA A VA MA B
q
B
P
叠加法作弯矩图步骤： 叠加法作弯矩图步骤： （1）求支座反力； 求支座反力； （2）求区段两端的弯矩值，将 求区段两端的弯矩值， 弯矩纵坐标连成虚线（或实线）。 弯矩纵坐标连成虚线（或实线）。 以虚线为基线， 以虚线为基线，将区段中的荷载 作用在简支梁上的弯矩图叠加。 作用在简支梁上的弯矩图叠加。
6kN
A
C
2kN m
B D
AB段： 段 A端弯矩 AB=0， 端弯矩M 端弯矩 ， B端弯矩 BA=-4KN•m 端弯矩M 端弯矩 BD段： 段 B端弯矩 BD=-4KN•m 端弯矩M 端弯矩 D端弯矩 DB=0 端弯矩M 端弯矩
A
2m
2m
B 4 1
2m
2
D
4
支座反力 RA=15KN RB=11KN
叠加原理： 叠加原理： 几个荷载共同作用的效果，等于各个荷 几个荷载共同作用的效果，等于各个荷载单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 效果” 指载荷引起的反力、 效果 指载荷引起的反力 内力、 “之和”——代数和 之和” 之和 代数和 叠加原理成立的前提条件： 叠加原理成立的前提条件：小变形条件