上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(A)及答案

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上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（A ）闭卷

课程代码 105208 课程序号

姓名 学号 班级

一、单选题(每小题2分，共计20分)

1. 四阶行列式中某一项12312443a a a a 的符号为__负___。

2. 设A ,B 为三阶方阵，()1

23A ααα=,()1232B βαα=,2A =,3B = ，则

A B +=____21___。

3. 设矩阵323412A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，123246B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2k >，若AB P =，则=k

P 0 。 4. 设,A B 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式B A BA +=，则

()

1

A I --= B-I 。

5. 向量组()()()1231,2,6,1,1,3,1,1,4ααα=-=-=是R 3的一个基，()1,2,1β=，则

β在12,αα,3α下的坐标为____(1,-1,1)T __ 。

6．线性方程组142310x x x x +=⎧⎨+=⎩ 的通解是⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00011001011021k k X 。 ……………………………………………………………

装

订

线…………………………………………………

7. 设矩阵12140209t A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

为正定矩阵，则t 为 1 。

8. 12,αα,3α，1233k βααα=-+均是方程组AX B =的解, 则k = -1 。 9. 已知3阶奇异矩阵A 满足：0,20,A I I A -=+= 则2A I -= -8 。

10. 二次型()222

123123121323,,244f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数为 1 。

二．选择题（每题3分，共15分）

1. 设A 、B 均为n 阶方阵，若AB O =，且A O ≠，则 C 。

(A)B O =; (B) ()r A n <; (C) ()r B n <; (D) ()r A n <且()r B n <

2. 设矩阵128215791A ---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1822

512391B ---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，100001010P ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭，100010501Q ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

, 则 B = C 。

（A ）QPA ; （B ）AQP ; （C ）QAP ; （D ）PAQ 。

3. n 元线性方程组B AX =有无穷多解是AX O =有非零解的 B 。

（A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．矩阵3102A -⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

相似于矩阵 B 。 （A ）3122-⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （B ）2023-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （C ）3212⎛⎫ ⎪--⎝⎭； （D ）3102--⎛⎫

⎪⎝⎭

。

5．123,,ααα是3

R 的一个基，则基1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 到

123,,ααα的过渡矩阵为 __D__ 。

（A ）122120263P -⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

， （B ）T P , （C ）1P -, （D ）()1

T P -.

三． 计算题（60分）

1．计算11

11111

n a a D a

+=

（8分）

答案 a

n a a n a n a D

111

1+++=

1

1

011001)

(--+=a a n a

n

a n a )1)((-+=

2．设3阶方阵A 、B 满足条件1

1

ABA BA I --+=，而A 的伴随矩阵

*2

10530001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，且0A >，求.（10分）

答案 2

||1|*|A A ==， 1||=A ，

*1A A =-

()

1

1--+=I

A B ，

⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=2173

7571

7

40000B

……………………………………………………………装

订

线…………………………………………………

3．求1236117103033545(,4,1,-1),(,0,2,3),(,4,-9,-16),(,,,),(,,,)ααααα====-=的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组表示。（10分）

答案 ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛--→

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----00000

11000

10510

10

1015316313092131404

07

11

6

3=r

极大线性无关组： 421,,ααα

4

215213,

5ααααααα-+=-=

4．λ为何值时，下列方程组有唯一解；无解；有无穷多解，并求解。

1232123

12

34

24

x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ （12分）

答案 )4)(1(||λλ-+=A

（1） 当41≠-≠λλ且时，唯一解； （2） 当1-=λ时，无解；

（3） 当4=λ时，无穷多解，

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113040k X