初中几何最值问题

一、三点共线

1、构造三角形

【例1】在锐角ABC 中，AB =4，BC =5，∠ACB =45°，将△ABC

绕点B 按逆时针方向旋转，

得到△A 1BC 1．点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．

P 1

C 1

A 1

P

E

C

B

A

【巩固】以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，

其中∠ABO =∠DCO =30°．如图，若BO =33，点N 在线段OD 上，且NO =2．点

P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的

最小值为_______，最大值为_______．

O P

N

D C

B

A O C

D

N

备用图

例题精讲

初中几何最值问题

【例2】如图，90MON ∠=°，矩形

ABCD 的顶点A ．B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON

上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________

【巩固】已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠.连

接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，则PM 的最大值为____________

P

N

M D

C

B

A

O

【巩固】在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点M 为线

段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，且10DE AB ==．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，请求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的解析式．

【例3】如图，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1

y x

=

图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_________

2

、轴对称

【例1】

【例2】AB CD 是半径为

5的O 的两条弦，8AB =，6CD =，MN 为直径，AB MN ⊥于

点E ,CD MN ⊥于点F ，P 为EF

上任意一点，则+PA PC 的最小值为_________

N

M

【巩固】设半径为1的半圆的圆心为O ，直径为AB ,C D 、是半圆上两点，若弧AC 的

度数为96°，弧BD 的度数为36°，动点P 在直径AB 上，则+CP PD 的最小值是_______

【巩固】设正三角形ABC 的边长是2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上任意一点，

则+PA PM 的最大值为_______,最小值为________

【例3】如图，已知等边△ABC

的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不

与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p .若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .

F

E

D

C

B

A

【例4】如图

1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝—x 2

＋2x ＋3与x 轴交于A ．B 两点，

与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点． （1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；

（2）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标．

图1

【例5】如图，直线3

2y =+分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点，将射线AM 绕点A 顺时针

旋转45°得到射线A N ，D 为AM 上的动点，B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部．

（1）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求BCD △的面积； （2）求△BCD 周长的最小值；

（3）当△BCD 的周长取得最小值，且523

BD =

时，求BCD △的面积．

【例6】在直角坐标系中，()1,2A --，()4,1B -，(),0C m ，(),D n n 为四边形的

4个顶点，

当四边形ABCD 的周长最短时，

m

n

=_________ O y

x A

B

C D

A

x

y

1 O

D

2 1

2 M N B

3 4

C A

x y

1 O

2 1

2

3 4 C 备用图

A

x

y

1 O

2 1

2 3 4 C 备用图

【巩固】如图1，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B

两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上师范存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。

【例7】已知，如图

1，二次函数()2

230y ax ax a a =+-≠的图像的顶点为H ，与x 轴交于A B 、

两点（B 在A 的右侧），点H B 、

关于直线l

：y =对称． （1）求A B 、

两点的坐标，并证明点A 在直线l 上； （2）求二次函数的解析式；

（3）过点B 作BK AH ∥交直线l 于点K ，M N 、

分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN NM MK 、、，求HN NM MK ++的最小值．

图13

图2