[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷5.doc

[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷5

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 已知微分方程y”+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是( )

（A）[0，+∞)．

（B）(一∞，0]．

（C）(一∞，4]．

（D）(一∞，+∞)．

2 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )

（A）y"'一y”一y’+y=0．

（B）y'"+y”一y’一y=0．

（C）y"'一6y”+11y’一6y=0．

（D）y"'一2y"一y’+2y=0．

3 设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( )

（A）C[y1(x)一y2(x)]．

（B）y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]．

（C）C[y1(x)+y2(x)]．

（D）y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．

4 设是微分方程的表达式为

( )

5 微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为( )

（A）xy2=4．

（B）xy=4．

（C）x2y=4．

（D）一xy=4．

6 已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )

（A）y=Cy1(x)．

（B）y=Cy2(x)．

（C）y=C1y1(x)+C2y2(x)．

（D）y=C(y1(x)一y2(x))．

7 设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )

（A）C1y1+C2y2+y3．

（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．

（C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3．

（D）C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．

8 已知，y1=x，y2=x2，y3=e x为方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的

通解为( )

（A）y=C1x+C2x2+e x．

（B）y=C1x2+C2e x+x．

（C）y=C1(x一x2)+C2(x一e x)+x．

（D）y=C1(x一x2)+C2(x2一e x)．

9 在下列方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( ) （A）y'"+y”一4y’一4y=0．

（B）y"'+y”+4y’+4y=0．

（C）y"'一y”一4y’+4y=0．

（D）y"'一y”+4y’一4y=0．

10 若y=xe x+x是微分方程y”一2y’+ay=bx+c的解，则( )

（A）a=1，b=1，c=1．

（B）a=1，b=1，c=一2．

（C）a=一3，b=一3，c=0．

（D）a=一3，b=1，c=1．

11 方程y”一3y’+2y=e x+1+e x cos2x的特解形式为( )

（A）y=axe x+b+Ae x cos2x．

（B）y=ae x+b+e x(Acos2x+Bsin2x)．

（C）y=axe x+b+xe x(Acos2x+Bsin2x)．

（D）y=axe x+b+e x(Acos2x+Bsin2x)．

二、填空题

12 微分方程y”一2y’+2y=e x的通解为_______．

13 二阶常系数非齐次线性方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=______．

14 微分方程的特解是_______．

15 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_______．

16 已知y1=e3x一xe2x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_______．

17 设y=e x(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．

18 微分方程满足y|x=1=1的特解为________．

19 微分方程的通解为y=________．

20 微分方程的通解是________．

21 方程y’=1+x+y2+xy2的通解为________．

22 已知函数y=y(x)由方程e y+6xy+x2一1=0确定，则y”(0)=_______．

23 微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1 =的特解为________．

24 方程xy’+2y=sinx满足条件y|x=π=的特解为________．

25 微分方程y”一4y=e2x的通解为y=_______．

26 微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为________．

27 方程y”+2y’+5y=0的通解为_______．

28 若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2e x，则f(x)=________

29 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解为_______．

30 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

31 设级数的和函数为S(x)．求： (1)S(x)所满足的一阶微分方程； (2)S(x)的表达式．

32 设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?