统计学——参数估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
统计学
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
参数估计
6. 参数估计6.1. 参数估计概述统计学包括四个方面的问题，其中之一就是统计推断。
所谓统计推断就是指，如果有一个总体，其分布和统计量都不知道，如一批生产出来的产品的质量。
这样就需要对其进行推断，如一批灯泡的平均使用寿命是多少，是否为合格品等。
统计推断就是解决这些问题。
统计推断分为两个方面，一方面是参数估计，另一方面是假设检验。
6.1.1.参数估计所谓参数估计就是通过对样本的研究，来确定总体的统计量。
其中又可分为点估计和区间估计两类。
点估计就是估计出总体的某一统计量的确切值，如总体的均值、方差等。
通常可以通过样本的相应值来进行估计。
如：样本的平均值∑=i X nx 1是总体平均值的估计量； 样本的方差为∑=--=ni i x x n s 122)(11是总体方差的估计量； 点估计的优点在于它能明确地给出所估计的参数。
但是一般说来，估计的数值与实际值之间是肯定会有误差存在的。
在实际工作中常常需要对这种误差进行衡量，也就是说还需要确定这个估计值的精度，或误差范围和可信程度。
因此就产生了区间估计的问题。
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。
例如说一批产品的平均使用寿命为1000小时，这仅仅是一个点估计，还需要说明大多数产品（95%）的使用寿命的上限和下限值，比如说位于800~1200小时之间，这就是一个区间估计值。
因此，在进行区间估计时，除了要给出一个区间值外，还需要同时指明可以信赖的程度，即在进行区间估计时，需要确定的是αθθθ-=<<1)ˆˆ(21p ，其中α为事先给定的一个很小的正数，如0.10, 0.05, 0.01或0.001等，称之为显著水平；1-α称为参数θ的置信概率，或置信水平。
θ1和θ2为所估计的参数θ的区间范围的上下限。
其含为我们有100（1-α）%的把握相信所估计的参数θ位于θ1和θ2的区间范围内。
6.1.2.估计量的评价标准对于所给出的估计来说，有些是好的，有些则不是。
统计学之参数估计
统计学之参数估计
参数估计是统计学的一个重要分支，它主要是用来估计未知参数的值。
参数估计关注模型的参数值，而不是模型本身。
参数估计的主要目的是确
定模型背后的重要参数，包括均值、方差、协方差、系数、正则参数等等。
参数估计的主要方法包括极大似然估计（MLE）、贝叶斯估计、解析
估计。
MLE是最常用的参数估计方法，它的目的是寻找一些未知参数
$\theta$，使得根据已知的样本数据，其概率最大。
MLE是一种极大似然
估计，极大似然估计依赖于模型选择，模型选择是极大似然估计的基础。
MLE的关键点是估计参数，并使参数能够使似然函数是极大值。
贝叶斯估计需要对模型参数和概率分布进行假设，以求出参数的期望值。
与极大似然估计不同，贝叶斯估计注重的是参数的后验概率，它不仅
考虑参数的以前的信息，受到先验假设的影响，而且考虑参数的可能性。
解析估计是为了解决极大似然估计和贝叶斯估计的缺点而发展出来的。
解析估计不仅考虑参数的估计，还考虑参数的分布。
解析估计是一种独特
的参数估计方法，它并不依赖于概率模型，也不需要假定概率分布，只需
要估计参数的值即可。
总之，参数估计是统计学的一个重要分支。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
统计学参数估计PPT课件
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学参数估计公式
统计学参数估计公式统计学参数估计公式指的是通过统计学方法估计参数的一组数学公式。
不同的统计学参数估计公式各有特点、应用场景和优劣，它们通常用来估计描述性统计或者回归系统的参数。
本文将讨论统计学参数估计公式，并详细说明下面常见参数估计公式：极大似然估计、贝叶斯估计、最小二乘估计、局部加权线性回归和最小化重要性采样。
极大似然估计(MLE)也叫最大似然估计，是一种基于极大似然法的估计统计量的方法。
它的目的是最大化制定概率模型的参数的后验概率。
MLE得出的结果往往比矩估计更加精确。
与贝叶斯估计不同，MLE不需要选择先验分布，且不考虑实证概率，只考虑已知数据。
贝叶斯估计(Bayesian Estimation)是基于概率模型进行参数估计时，结合预先取得的知识，使用条件概率的方法。
基于已有的先验知识，贝叶斯估计将未知参数的概率分布转化为后验的概率，以此来进行估计。
贝叶斯估计法可以克服极大似然估计出现的不平滑问题，而且还能考虑实证概率的影响。
最小二乘估计(Least Square Estimation,LSE)是一种基于数据拟合的参数估计方法。
它将未知数参数表示为一个函数，并使得残差平方和最小，最小化残差平方和来估计未知参数，也就是拟合曲线最适合数据点。
实际运用中往往会遇到过度拟合和欠拟合等问题，所以LSE在多项式回归时需要采用正则化项依据损失函数来控制模型的复杂度，以避免过拟合的情况。
局部加权线性回归(Local Weighted Linear Regression,LWLR)是一种用来解决非线性问题的回归方法。
它的特点是对未知的值的预测引入了权重，在线性回归的基础上引入一个滑动窗口，把预测点以外的点的权重不断减少，越靠近预测点的点的权重越大，这样做的目的是为了使参数估计更加准确和稳定。
最小化重要性采样(Minimum Importance Sampling,MIS)是一种非参数估计参数的方法，它不会估计参数本身，而是通过采样数据而且采样频次是以后验分布的形式定义的，从而用采样数据来估计参数的分布。
统计学8 参数估计
第二节 均值区间估计
有一定的概率P（95%或99%)保证，
x
请思考：P 与
与
x
三者怎样联系起来
？？？
答案：统计量
x 的分布是将三者联系起来的桥。
一、抽样分布与抽样误差
从总体中随机抽取一份样本，计算均数。 这个均数不同于总体均数！为什么？ 再从该总体中随机抽取一份样本，再计 算均数。 前后两个均数不等，为什么？
S SE＝ ＝ n n
标准误的特点
抽样的样本量越大，标准误就越小； 原来总体变异度小，标准误就越小。 标准误反映了样本均值间的离散程度，也反映了样本 均值与总体均值之间的差异。当标准误大时，用样本 均值对总体均值的估计的可靠程度就小；反之亦然。
标准误用途
衡量样本均值的可靠性：标准误越小，表明样本 均值越可靠； 参数估计：估计总体均值的置信区间（区域）； 假设检验：用于总体均值的假设检验（比较）。
总体参数的点估计公式
1．样本均值 2．样本方差
1 x x n 1 2 2 s ( x x ) n 1
X，S 2 作为总体的参
即用样本的 数的点估计值。
点估计的优点在于它能够明确地估计总体 参数，但由于样本是随机的，抽出一个具 体的样本得到的估计值很可能不同于总体 真值。 它与真值的误差﹑估计的可靠性怎样，我 们无法知道，而区间估计则可弥补这种不 足之处。
二、均值的区间估计（教材p139）
当置信度为1-=0.95时，置信区间为：
[ x 1.96
n
n
, x 1.96
统计学 第七章 参数估计
[
]
2 χα (n) （n）的α 分位数，记为k≜ n k≜
抽样分布
（3）性质 • 若X服从χ2 （n），则均值E（X）=n ，方差 D（X） =2n 。 • χ2分布具有可加性。若 X1，X2相互独立，
X1～ χ2（n1） ，X2～χ２（n2）
则（X1＋X2）～χ２（ｎ１＋n２） • 当ｎ→∞时，χ２分布渐进于正态分布
σ
2
~ χ (n −1)
2
第三节两个总体参数的区 间估计（112页）
• • • • • • • 一、两个总体均值之差的区间估计 （一）两个总体均值之差的估计：独立样本 大样本：近似于正态分布 小样本： （1）两个总体的方差均已知，近似于正态分布 （2）两个总体的方差均未知但相等，近似于ｔ分布 （3）两个服从正态分布的总体的方差均未知且不等， 但样本容量相等，近似于ｔ分布 • （4）两个总体的方差均未知且不等，样本容量也不 等，近似于ｔ分布，自由度为V
• 解：求（3）的计算步骤： • ①求样本指标：
x ＝1000小时
σ＝50 （小时）
µ x＝
σ
n
＝
50 100
＝（小时） 5
• ②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。 • ③根据∆x＝t×µx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐 用时间的上、下限： x − ∆ x＝1000－9.8＝990.（小时） 2 • 下限 x ＋∆ x＝1000＋9.8＝1009 .（小时） 8 • 上限 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐 用时间在990.2～1009.8小时之间。
f (x;θ ) 其中 θ
或概率密度为
是未知参数。 是未知参数。
如何求极大似然估 计量呢？ 计量呢？
统计学中的参数估计与置信区间
统计学中的参数估计与置信区间统计学是关于收集、分析和解释数据的学科，其中包括了参数估计和置信区间的概念。
参数估计用于通过从样本中进行推断来估计总体参数的值，而置信区间则是对这个估计结果进行测量误差范围的一种方法。
一、参数估计参数估计是统计学中重要的概念，其目的是通过样本数据来估计总体参数的值。
总体参数是指总体分布的特征，例如均值、方差、比例等。
在实际研究中，很难直接获得总体数据，因此我们通常采用抽样方法，从总体中选取样本进行分析。
参数估计有两种方法：点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据计算出一个单独的数值来估计总体参数的值，例如计算样本均值作为总体均值的估计值。
点估计简单直观，但无法确定其准确性。
因此，统计学家提出了置信区间的概念。
二、置信区间置信区间是一种用于衡量参数估计的不确定性的方法。
它提供了一个范围，其中包含了对总体参数值的估计。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示参数估计的可信程度。
通常，置信区间的置信水平设定为95%或90%。
置信区间的计算通常基于样本数据的分布特性和统计推断方法。
对于大样本，根据中心极限定理，可以使用正态分布来计算置信区间；对于小样本，根据t分布进行计算。
三、计算步骤下面以计算样本均值的置信区间为例来介绍计算步骤。
1. 收集样本数据，并计算样本均值。
2. 确定置信水平，例如95%。
3. 根据样本数据的特点，选择相应的分布进行计算。
若样本数据服从正态分布，可以使用正态分布进行计算；若样本数据不服从正态分布，可以使用t分布进行计算。
4. 根据所选分布的特点和样本大小，计算置信区间的下限和上限。
5. 解释置信区间的含义，例如可以说“置信区间为（下限，上限）表示我们有95%的信心相信总体均值在这个范围内”。
四、置信区间的应用置信区间的应用非常广泛，对于研究者和决策者来说都非常重要。
首先，置信区间可以用于总体参数估计。
通过置信区间，我们可以得到一个关于总体参数值的范围，而不只是一个点估计。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，参数估计是其中一个重要的概念，它允许我们通过样本数据来推断总体的特征。
本文将介绍统计学中常用的参数估计方法，包括点估计和区间估计。
一、点估计点估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法。
在点估计中，我们选择一个统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种基于样本数据的估计方法，它通过选择使得观察到的数据出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
最大似然估计的核心思想是找到一个参数估计值，使得观察到的数据在该参数下出现的概率最大化。
最大似然估计方法在统计学中被广泛应用，它具有良好的渐进性质和统计学性质。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩的性质来估计总体参数。
矩估计的核心思想是将样本矩与总体矩相等，通过求解方程组来得到参数的估计值。
矩估计方法相对简单，易于计算，但在样本较小或总体分布复杂的情况下，可能会出现估计不准确的问题。
二、区间估计区间估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法，它提供了参数估计的置信区间。
在区间估计中，我们通过计算样本数据的统计量和抽样分布的性质，得到一个包含真实参数的区间。
置信区间是区间估计的核心概念，它是一个包含真实参数的区间。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和抽样分布的性质。
常见的置信区间计算方法有正态分布的置信区间和bootstrap置信区间。
正态分布的置信区间是一种常用的区间估计方法，它基于样本数据的统计量服从正态分布这一假设。
通过计算样本数据的均值和标准差，结合正态分布的性质，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
Bootstrap置信区间是一种非参数的区间估计方法，它不依赖于总体分布的假设。
Bootstrap方法通过从原始样本中有放回地抽取样本，生成大量的重采样数据集，并计算每个重采样数据集的统计量。
通过分析这些统计量的分布，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
统计学 参数估计
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
x
z
~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
s
x z 2
或 x z 2
( 未知)
n
n
总体均值的区间估计
的比例为0.323~0.517
【练习】某保险 解：已知 n=100，p＝25% , 1- =
95%，z/2=1.96
公司欲了解本地
区汽车保险的出
p(1 p)
p z 2
险情况。随机抽
n
查 了 100 辆 机 动
25%(1 25%)
车过去一年的保
25% 1.96
100
单，其中有25份
2. 使用正态分布统计量 z
p
z
~ N (0,1)
(1 )
3.
n
总体比例 在 1- 置信水平下的置信区间为
p (1 - p )
p z 2
n
【例】某所大学想要了解应届毕业生在大
四找到工作的学生中女生所占的比例，随
机抽取了100名找到工作的应届毕业生，其
中42人为女生。试以95%的置信水平估计该
保单பைடு நூலகம்出险记录
16.51%,33.49%
。 试 以 95% 的 置
该城市下岗职工中女性比例的置
信度估计该地区
信区间为16.51%~33.49%
汽车保险出险率
的置信区间。
三、总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
统计学(参数估计)ppt课件
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
17
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；
《统计学》第4章 参数估计
与总体参数之间的偏差。然而，由于可靠性由抽样标准误差决定，一个
具体的点估计值无法给出可靠性的度量。此外，总体参数的真值未知，
我们也无法得到点估计值与总体参数之间的偏差大小。这个问题可以通
过区间估计来解决。
第四章 参数估计
《统计学》
17
4.2 区间估计
求得的መ 1 , 2 , … , 称为的极大似然估计值，相应的估计量
መ 1 , 2 , … , 称为的极大似然估计量。
第七章 参数估计
《统计学》
14
4.2 点估计与区间估计
极大似然估计(MLE) 的一般步骤如下：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率函数(或联合密度函数)；
平表示所有区间中有95% 的区间包含总体参数真值，因此A 队的估计结果
中有5% 的区间(1 个) 未包含总体平均身高的真值。同理，90% 的置信水
平表示所有区间中有90% 的区间包含总体参数真值，因此B 队的估计结果
中有10% 的区间(2 个) 未包含总体平均身高的真值。由该例也可以看到，
尽管总体参数的真值是固定的，但基于样本构造的置信区间会随着样本的
计方法，其实质是根据样本观测值发生的可能性达到最大这一原则来选
取未知参数的估计量，理论依据就是概率最大的事件最可能出现。
设X1, X2 , … , Xn是从总体X中抽取的一个样本，样本的联合密度函数(连续
型) 或联合概率函数(离散型) 为
ෑ ( , ) 。
=1
第七章 参数估计
《统计学》
13
区间估计(Interval estimate) 指在点估计的基础上，给出总体参数
统计学参数估计
统计学参数估计统计学是一门研究如何收集、处理、分析和解释数据的学科，参数估计是统计学中的重要内容之一。
参数估计旨在利用样本数据来推断总体参数的取值范围，从而为决策和推断提供依据。
本文将介绍统计学参数估计的基本概念和方法。
一、参数估计的概念在统计学中，参数是描述总体特征的数字指标，如总体均值、方差、比例等。
总体是指我们研究的对象的全体，参数是对总体特征的数值度量。
而样本是从总体中抽取的一部分个体，样本统计量是对总体参数的估计。
参数估计就是通过样本数据推断总体参数的过程。
二、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法。
它基于一个假设：样本观察值是从总体中独立抽取的，并且满足某种概率分布。
最大似然估计的目标是找到一个参数值，使得观察到的样本出现的概率最大。
以估计总体均值为例，假设总体服从正态分布。
根据最大似然估计的原理，我们需要找到一个样本均值和样本方差，使得样本观察值出现的概率最大。
通常情况下，我们使用样本均值作为总体均值的估计值，并使用样本方差除以样本容量的平方根作为总体均值的标准误差的估计值。
三、区间估计除了点估计，我们经常需要给出参数估计的置信区间。
置信区间是估计总体参数的取值范围，其中包含了真实参数值的可能性特定置信水平。
常见的置信水平有95%和99%，意味着我们有95%或99%的置信度相信参数落在该区间内。
求解置信区间的方法有很多，其中一种常用的方法是使用样本均值加减总体均值的标准误差乘以相应的分位数来计算。
这样得到的区间便是总体参数的置信区间。
四、样本容量对参数估计的影响样本容量对参数估计的精度具有重要影响。
当样本容量较小时，估计的不确定性较高；而样本容量增加时，估计的精度会提高。
这是由于大样本可以更好地反映总体特征，减少抽样误差的影响。
五、假设检验在进行参数估计时，我们常常需要对总体参数是否等于某个给定的值进行假设检验。
假设检验的目的是评估参数估计结果的显著性，判断其是否具有实际意义。
统计学参数估计
统计学参数估计统计学参数估计是统计学中一种重要的方法，它通过观察样本数据来估计总体参数的值。
参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
参数估计的目的是根据样本信息对总体参数进行推断，从而得到总体特征的近似值。
参数估计的过程通常分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指根据样本数据求出总体参数的一个数值估计量，例如样本均值、样本比例等。
点估计的基本思想是用样本统计量作为总体参数的估计值，它是参数的无偏估计量时，表示点估计是一个良好的估计。
区间估计是指根据样本数据求出一个区间，这个区间包含总体参数的真值的概率较高，通常用置信区间表示。
区间估计的基本思想是总体参数位于一个区间中的可能性，而不是一个确定的值。
置信区间的构造依赖于样本统计量的分布以及总体参数的估计量的抽样分布。
点估计和区间估计的方法有很多，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指根据已知样本观测值，选择使样本观测值出现的概率最大的总体参数作为估计值。
最大似然估计的基本思想是找到一个参数值，使得已观测到的样本结果出现的概率尽可能大。
矩估计是指根据样本矩的观测值，选择使样本矩的偏差与总体矩的偏差最小的总体参数作为估计值。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，从而近似估计总体参数。
参数估计在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在医学研究中，需要对患者的疾病概率进行估计，以帮助医生做出正确的诊断和治疗决策。
在经济学研究中，需要对经济指标（如GDP、通胀率等）进行估计，以帮助政府制定宏观经济政策。
在市场调研中，需要对消费者行为进行估计，以帮助企业确定产品定价和市场策略。
然而，参数估计也存在一些局限性。
首先，参数估计的结果仅仅是对总体参数的估计，并不是总体参数的确切值。
其次，参数估计的结果受到样本容量的影响，样本容量越大，估计结果越可靠。
另外，参数估计还需要满足一些假设条件，如总体分布的形式、样本的独立性等，如果这些假设条件不满足，估计结果可能会失效。
统计学第4章 参数估计
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数
抽样分布
中，样本 P(ˆ)
均值、比 率、方差
无偏
有偏
分别是总
A
B
体均值、
比率、方
差的无偏
估4计- 2量3
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。 它是区间估计的可靠概率。
显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概 率。
4 - 20
统计学§4.2 点估计的评价标准
STATISTICS
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
4 - 21
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性
统计学 定义 STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
若 E(ˆ)
则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的
估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
4 - 22
统计学
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
无偏估计量还 必须与总体参 数的离散程度
比较小
4 - 24
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
统计学
有效性
STATISTICS
定义 设 ˆ1 1(X1, X 2, , X n )
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第8 讲参数估计
本讲的主要内容
8.1 参数估计的一般问题
8.2 一个总体参数的区间估计
8.3 两个总体参数的区间估计
8.4 样本量的确定
学习目标
1.估计量与估计值的概念
2.点估计与区间估计的区别
3.评价估计量优良性的标准
4.一个总体参数的区间估计方法
5.两个总体参数的区间估计方法
6.样本量的确定方法
8.1 参数估计的一般问题
8.1.1 估计量与估计值
估计量与估计值(estimator & estimated value)
1.估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比例, 样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值m 的一个估计量
2.参数用θ表示，估计量用表示
3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值
如果样本均值⎺x=80，则80就是m的估计值
8.1.2 点估计与区间估计
点估计 (point estimate)
1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息
⑴虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值
⑵一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量
区间估计 (interval estimate)
1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到
2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
区间估计的图示
置信水平 (confidence level)
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例
称为置信水平
2. 表示为置信水平 =1 - a
a 为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 a 为0.01，0.05，0.10
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信
区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生
的区间是否包含总体参数的真值
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也
可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个
总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的
置信区间 (95%的置信区间)
8.1.3 评价估计量的标准
无偏性 (unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数
有效性 (efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效
一致性 (consistency)
一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数
P (
)
B
A 无偏有偏θ
θ
ˆθˆ
A
B
的抽样分布1ˆθ2ˆθP ()θθˆθˆ
8.2 一个总体参数的区间估计
8.2.1 总体均值的区间估计
一个总体参数的区间估计
8.2.1-1总体均值的区间估计(正态总体、s２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计 (大样本)
1.假定条件
总体服从正态分布,且方差(σ２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n³ 30)
2.使用正态分布统计量z
3.总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为
8.2.1-2总体均值的区间估计(正态总体、s２未知、小样本)
总体均值的区间估计 (小样本)
1.假定条件
总体服从正态分布,但方差(σ２) 未知
小样本 (n < 30)
2.使用t分布统计量
3.总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。
一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。
随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
8.2.2 总体比例的区间估计
总体比例的区间估计
1.假定条件
总体服从二项分布
可以由正态分布来近似
2.使用正态分布统计量z
3.总体比例π在1-α置信水平下的置信区间为
8.2.3 总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1.估计一个总体的方差或标准差
2.假设总体服从正态分布
3.总体方差s 2的点估计量为s2,且
一个总体参数的区间估计 (小结)
8.3 两个总体参数的区间估计
8.3.1 两个总体均值之差的区间估计
8.3.2 两个总体比例之差的区间估计
8.3.3 两个总体方差比的区间估计
两个总体参数的区间估计
8.3.1-1两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)
两个总体均值之差的估计 (大样本)
1.假定条件
▪两个总体都服从正态分布，σ1２、σ2２已知
▪若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n1≥30和n2≥30)
▪两个样本是独立的随机样本
2.使用正态分布统计量z
3.σ1２,σ2２已知时，两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
4.σ1２,σ2２未知时，两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.1-2 两个总体均值之差的区间估计(独立小样本)
两个总体均值之差的估计(小样本: s12=s 22 )
1.假定条件
▪两个总体都服从正态分布
▪两个总体方差未知但相等：σ1２=σ2２
▪两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2.总体方差的合并估计量
3.估计量⎺x1-⎺x2的抽样标准差
4.两个样本均值之差的标准化
5.两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计(小样本: s12≠s 22 )
1.假定条件
▪两个总体都服从正态分布
▪两个总体方差未知且不相等：σ1２≠σ2２
▪两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2.使用统计量
⏹两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.1-3 两个总体均值之差的区间估计(匹配样本)
两个总体均值之差的估计(匹配大样本)
1.假定条件
▪两个匹配的大样本(n1≥ 30和n2 ≥ 30)
▪两个总体各观察值的配对差服从正态分布
2.两个总体均值之差μd =μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计(匹配小样本)
1.假定条件
▪两个匹配的小样本(n1< 30和n2 < 30)
▪两个总体各观察值的配对差服从正态分布
2.两个总体均值之差μd=μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.2 两个总体比例之差区间的估计
两个总体比例之差的区间估计
1.假定条件
①两个总体服从二项分布
②可以用正态分布来近似
③两个样本是独立的
2.两个总体比例之差π1-π2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.3 两个总体方差比的区间估计
两个总体方差比的区间估计
1.比较两个总体的方差比
2.用两个样本的方差比来判断
▪如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近
▪如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异
3.总体方差比在1-α置信水平下的置信区间为
两个总体参数的区间估计 (小结)
8.4 样本量的确定
8.4.1 估计总体均值时样本量的确定
估计总体均值时样本量的确定
1.估计总体均值时样本量n为
2.样本量n与总体方差σ2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为
▪与总体方差成正比
▪与边际误差的平方成反比
▪与可靠性系数成正比
3.样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位
成整数，如24.68取25，24.32也取25等等
8.4.2 估计总体比例时样本量的确定
估计总体比例时样本量的确定
1.根据比例区间估计公式可得样本量n为
2.E的取值一般小于0.1
3.π未知时，可取使方差达到最大的值0.5
8.4.3 估计两个总体均值之差时样本量的确定
1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2
2.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为
8.4.4 估计两个总体比例之差时样本量的确定
1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2
2.根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为
本讲小结
1.参数估计的一般问题
2.一个总体参数的区间估计
3.两个总体参数的区间估计
4.样本量的确定。