第四章 恒定总流基本方程

P6 教师：朱红钧
2．控制断面（Control Cross Section）
控制体表面上有流体流进、流出的过流断面。
控制体——断面1–1与断面2–2之间的水体所占据
的空间 。
1
2
1
2
P7
图4-1 总流控制体与控制断面
教师：朱红钧
二、总流分析方法
1、以元流为基础
总流是无限多元流的总和，因此，在分析总
u2dA
u 2dA

A
qVv

A
Av 2
值大小取决于总流过流断面的流速分布情 况，分布较均匀的流动，=1.02～1.05。
计算时常取=1.0。
P18
教师：朱红钧
(3) 动能及动能修正系数
动能（kinetic energy）：是指物体由于机械
运动而具有的能量。
Ek

1 mv2 2
单位时间流过微元面积dA，质量为udA的
1
qV

A1v1
4
d12
K 2gh
2gh /
(
d1 d2
)4
1
式中，K 对给定管径是常量，称为文丘里流量计常数。
实际流量：qV K 2gh ——文丘里流量计因数， <1.0。
图中水银压差计Δh=12.6hp。
P39
教师：朱红钧
三、水头线
1v12 2g
H1 p1 /g 1
h
水
际
z1

pg1

v12 2g

z2

pg2

v22 2g
应 h (z1 pg1 ) (z2 pg2 )
1
d1
1 2
z1 hp
2 p2 /g
d2
z2
用
v2

A1v1 A2

(
d1 d2
)2v1
0
p
0
P38
教师：朱红钧
代入上式得
v1 2gh /
(
d1 d2
)4
值大小也取决于总流过流断面上的流速分布 情况，分布较均匀的流动，=1.05~1.1，通常在工 程计算中取 =1.0。
P21
教师：朱红钧
第二节 连续性方程
一、 恒定不可压缩总流的连续性方程
(ux uy uz )dV 0
V x y z
由Gauss定理：
v
(
ux x
一、实际流体元流伯努利方程
理想流体伯努利方程：
z

p
g

u2 2g

C
考虑水头损失，设
hw——粘性流体元流单位重量流体从第1个过流断面流到第2
个过流断面间的机械能损失，称为元流的水头损失。
由能量守恒原理得：粘性流体元流伯努利方程
z1

pg1

u12 2g

z2

pg2

u22 2g
hw

u22 2g
) gu2dA2

hw gdqV
P30
教师：朱红钧
在总流过流断面上积分可得总流能量关系：
A
1
( z1

pg1

u12 2g
) gu1dA1

A
2
(z2

pg2

u22 2g
) gu2dA2

Q hw gdqV
1.势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有
z
际
zA

pA
g

uA2 2g

zB

pB
g
0 hw
Δh
H
0
0
应
令
uA
u
及
hw
u2 2g
u AB
式中 称为水头损失因数，由实验确定，图毕4-6托毕管托管的测速原理
用
值大于0且接近于0。
P36
教师：朱红钧
则
u 1
1
2g[(zB

pB
g
)

(zA

pA
g
)]

1
1
P24
教师：朱红钧
物理意义：对于不可压缩流体，v与A成反比，即流 线密集（A小）的地方流速大，而流线稀疏（A大） 的地方流速小。
适用范围：固定边界内的不可压缩流体。
P25
教师：朱红钧
二、分叉流的总流连续性方程
在有分流汇入及流出的情况下， 连续性方程只需做相应变化， 流量的总流入=流量的总流出。
Q1
P41
教师：朱红钧
四、伯努利方程的扩展
1、沿程有流量分出（分流）或汇入（汇流）时的伯努利方程
（1）分流
对于断面1与断面2或断面1与断面3之间仍然适用
1
2
v2
伯努利方程式，即
v1
2
v1
3
z1
pg1

1v12
2g

z2

pg2

2v22
2g
hw1,2
1
节点 3
v3
或
z1
pg1

1v12
2vg2—总流过流断面上单位重流体平均动能，平均流速水头；
hw —总流两断面间单位重流体平均的机械能损失，总流水头损失；
z

p
g

v 2
2g
—总流过流断面上单位重流体的平均机械能。
P35
教师：朱红钧
毕托（Pitot H）管测速原理
试根据h ，计算A点的流速u。
实 选取基准面，根据粘性流体元流伯努利方程
qv
平均流速v
v A udA qV AA
u v
Δu
几何意义：以底为A，高为v 的柱形图4体-3 平积均等流速于流速分
布曲线与过流断面所围成的体积。
AudA vA
P15
教师：朱红钧
（2） 动量及动量修正系数
动量（momentum）：是物体运动的一种量
度。
rr
k mv
元流单位时间内通过过流断面的动量：

p
g

C
则
g A (z

p
g
)udA

g(z

p
g
)
A
udA

(z

p
g
)
gqV
2.动能积分：
g
A
u3 2g
dA

g
2g
v 3 A

v 2
2g
gqV
3.损失积分：
P31
ຫໍສະໝຸດ Baidu
qV hw gdqV hw gqV
教师：朱红钧
实际流体恒定总流的伯努利方程 （对单位重流体而言）
动能：
dEk

1 2
dm u2

1 2
u3dA
P19
教师：朱红钧
不可压缩流体总流过流断面上单位时间所通过的动能：
dEk

1 2

u3dA
A

qV
v 2
2
为了将上式中的积分用断面平均流速v来表达
引入动能修正系数
P20
教师：朱红钧
u3dA
u 3dA

A
qVv 2

A
Av 3
Q1= Q2+ Q3
P26
Q3 Q2
教师：朱红钧
v1 A1 v2 A2 v3 A3
或
qV1 qV 2 qV 3 1
2
qV2
2
节点连续性方程：
n
qV i 0
i 1
qV1
3
1 节点 3
qV3
式中： n—支管数。流出节点的流量为“-”，流
入节点的流量为“+”。
P27
教师：朱红钧
第三节 恒定总流伯努利方程
符合渐变流性质 可选作控制断面
受离心 作用， 测压管 水头差
异大
渐变流
急变流 急变流 渐变流 急变流
P12
渐变流
教师：朱红钧
P13
教师：朱红钧
3、有关物理量对断面取平均
（1）断面平均流速（Cross-Section Mean Velocity）
流速分布
u
不均
r
umax r0
P14
教师：朱红钧
断面平均流速怎么表示呢？
d K dmu (udA)u
P16
教师：朱红钧
总流单位时间通过整个过流断面其相应的动量值为：

d K (udA)u (u2dA) i

A
v2
Ai


A
qvvi

qvv
为了将上式中的积分用断面平均流速v来表达
引入动量修正系数
P17
教师：朱红钧
P28
教师：朱红钧
二、恒定总流伯努利方程
元流（Element Flow） 过流断面无限小的流束，元流的极限是流线。 断面上的各点的运动要素均相同。
积 分
总流（Total Flow）
元流 总流
过流断面有限大小的流束，是由无数元流构成的。
断面上各点的运动要素一般情况下不相同。
P29
教师：朱红钧
1、恒定总流伯努利方程的推导
2gh
又令
1 c
1
则 u c 2gh
式中c称为毕托管因数，其值与能量转换中的水头损失以 及毕托管的构造有关，由实验确定，数值接近于1.0。
P37
教师：朱红钧
文丘里流量计
管径d1、 d2及压差计的水头差h。 试求流量qV。 实
解：hw 0，取1 = 2 =1 ，得 p1 /g
s
z1

pg1

u12 2g

z2

pg2

u22 2g
hw
dA
设元流的流量为dqV=u1dA1=u2dA2，则在上述元流伯努利方 程的等式两端同乘以ρgdqV，可得单位时间内流过元流两过流断 面的总重量流体的能量关系式：
( z1

pg1

u12 2g
) gu1dA1

( z2

pg2
z1

pg1

1v12
2g

z2

pg2

2v22
2g
hw
P32
教师：朱红钧
2、恒定总流伯努利方程的适用条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体； （3）质量力只有重力； （4）所选取的两过流断面必须是渐变流（或均匀流）断面
但两过流断面间可以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过流断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输 入或输出。
连续性微分方程
(ux ) (uy ) (uz ) 0
t x
y
z
P1 教师：朱红钧
欧拉运动微分方程
fx

1

p x

du x dt
fy

1

p y

du y dt
fz

1

p z

du z dt
恒定、不可压缩、质 量力只有重力、有势 积分
P2 教师：朱红钧
接近平行
恒定渐变流过流断面
上 z p 为常数。
g
P10
教师：朱红钧
急变流：沿程急剧改变的流动。 特征：流线间夹角很大或曲率半径很小或二者 兼而有之，流线是曲线，过流断面不是一个平面。 急变流的加速度较大，因而惯性力不可忽略。
P11
教师：朱红钧
过流断面不是 平面，流速分
布不均匀
渐变流
过流断面
量方程(三大方程)及其综合应用 。
P5 教师：朱红钧
第一节 总流分析法
一、概念
元流（Element Flow）
过流断面无限小的流束，元流的极限是流线。
1．元流 和总流
断面上的各点的运动要素均相同。
元流
总流（Total Flow）
总流
过流断面有限大小的流束，是由无数元流构成的。
断面上各点的运动要素一般情况下不相同。
P34
教师：朱红钧
4、恒定总流伯努利方程的物理意义和几何意义
各项物理意义和几何意义同元流伯努利方程，但需要注意，
方程的平均意义。
z1

pg1

1v12
2g

z2

pg2

2v22
2g

hw
式中：
Z —总流过流断面上所取计算点的单位重流体的位置高度，位置水头；
p g —总流过流断面上所取计算点的单位重流体的测压管高度；
理想流体伯努利方程
z p u2 C
g 2g
P3 教师：朱红钧
第四章 恒定总流基本方程
第一节 总流分析法 第二节 连续性方程 第三节 恒定总流伯努利方程 第四节 恒定总流动量方程
P4 教师：朱红钧
本章学习要点：
1）掌握流体运动的总流分析法； 2）掌握恒定总流的连续性方程、伯努利方程和动
H Hp
hw
2v22 2g
2 p2 /g H2
1
z1
2
z2
水力坡度J（Hydr0aulic
Slope）
0
：指单位长流程的平均水头损失，
即
J

dhw ds


dH ds

0
测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降落，用测
压管测量。
d(z p )
Jp
g
ds
P40
教师：朱红钧
注意： 1.理想流动流体的总水头线为水平线； 2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线； 3.测压管水头线可升、可降、可水平。 4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。
流前，先分析元流流动，然后将元流积分就可推
广到总流。
元流 总流
P8 教师：朱红钧
2、控制断面恒选在渐变流上
什么是渐变流呢?
在总流分析法中，其控制断面恒取在渐变流， 或其极限情况（均匀流）。
想一想 为什么控制断面恒选在渐变流上？
为什么不能选在急变流段呢？
P9
教师：朱红钧
非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率半径很大，接近 平行为渐变流（Gradually Varied Flow），否则为急变流 （Rapidly Varied Flow）。
2g

z3

pg3

v2 33 2g
图4-11 分流
hw1,3
P43
教师：朱红钧
（2）汇流
满足总流的总能量守恒 ，即
gqV 1 ( z1

pg1

u y y

uz z
)dV

undA
A

0
u1 dA1 A1
P22
u2 dA2 A2
教师：朱红钧
u1 dA1 A1
入口面： - A1 u1dA
u2
dA2
出口面：
A2 u2dA
A2
P23
教师：朱红钧
u
外表面： 0
A1 u1dA A2 u2dA
即
v1A1 v2 A2 或 qV1 qV 2
P33
教师：朱红钧
3、恒定总流伯努利方程的应用步骤
“三选一列”
1.选择基准面: 例如选过流断面形心（z =0），或选自由液面（p=0）等。 2.选择计算断面： 计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选 取已知量尽量多的断面。 3.选择计算点： 管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。 4. 列伯努利方程解题： 对同一个方程，必须采用相同的压强标准。 注意与连续性方程的联合使用。