第四章 恒定总流基本方程
恒定总流的动量方程详解
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.5 实际液体恒定总流的动量方程
3.5.1 动量方程的推导 3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点 3.5.4 动量方程的应用
K 2-2' dt u2u2dA2 Q22 v2dt Q2 v2dt A1
K dt uudA Q vdt A
u1u1dA1
u1u1dA1
1 A1 v1Q
A1
v1Q
uudA
uudA
A
for a gradually varied flow A
dt 时间内水流动量的变化
1’
1
A1
u1
1’
dA1
1
2 2’ A2
u2
2 2’
K K 1'-2' K 1-2 K 1'-2' K 2-2' K 1'-2 K 1-2 K 1-1' K 1'-2
u1dt
u2dt
dA2
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K ＝ 1'-2 K 2-2' K 1-1'
vQ
vQ
按照动量原理
K＝K 22' K 11'＝Q22 v2dt Q11v1dt＝ Fdt Q22 v2 Q11v1＝ F
按照动量原理
K＝K 22' K 11'＝Q22 v2dt Q11v1dt＝ Fdt Q22 v2 Q11v1＝ F
水力学恒定总流的动量方程
5.7 恒定总流的动量方程
对复杂的水流运动分析,特别是涉及分析水流和其固 体边界之间的作用力问题,应用动量方程进行分析和 计算更简便,直接.
如:求动水总压力,求水流作用于管道弯头上的动 水压力及射流冲击力等.
5.7 恒定总流的动量方程
一、恒定总流动量方程的推导
推导的原理： 动量定律
5.7 恒定总流的动量方程
一、恒定总流动量方程的推导
元流的动量: ρu1∆tdA1u1
所 以:
M11 A1 u1tdA1 u1 t A1 u1u1dA1 t Q u1dQ
用断面平均流速v代u,所产
生的误差用动量修正系数
α'修正.
于是
5.7 恒定总流的动量方程
一、恒定总流动量方程的推导
A1 1 1 1
(如c):作求1用动于水脱总离压体力内,求水水体流上作的用重于力管. 道弯头上的动水压力及射流冲击力等.
Qtv Qtv v v A 为动2解计量：恒算 定 因定方律弯总便：管流,单水动将位平量动时放方量间置程方内，的程物故1应写体此用成动弯三量管坐的液标变体轴化所上等受的于重投作力影1用在式于平该面物内体投上影的分1所量1有等外于1力零的，总沿和管轴线取基准面，则：
动量方程的应用条件及注意事项: 动量方程的应用条件与能量方程的应用条件相同: (1)必须是恒定流,且为不可压缩的均质流体.
(2)作用于流体上的质量力只有重力,所研究的流 体边界是静止的.
(3)所取的两个过流断面必须是均匀流断面或渐 变流断面,但两个断面之间可以不是渐变流. (4)一般地,所取两个断面间没有流量的汇入和分 出;也无能量的输入和输出.
(c5)作动用量于方脱程离只体能内求水解体一上个的未重知力数.,两个以上时,要与连续性方程以及能量方程联合求解.
浙大工程流体力学试卷及答案
2002-2003学年工程流体力学期末试卷一、单选题（每小题2分，共20分）1、一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下4.2米处的测压管高度为2.2m，设当地压强为98KPa，则容器内液面的绝对压强为水柱。
(a) 2m (b)1m (c) 8m (d)-2m2、断面平均流速υ与断面上每一点的实际流速u 的关系是。
(a)υ =u (b)υ >u (c)υ <u (d) υ ≥u或υ ≤u3、均匀流的定义是。
(a) 断面平均流速沿流程不变的流动；(b) 过流断面上各点流速相互平行的流动；(c) 流线皆为平行直线的流动；(d) 各点流速皆相等的流动。
4、与牛顿内摩擦定律有关的因素是。
(a) 压强、速度和粘度；(b) 流体的粘度、切应力与角变形率；(c) 切应力、温度、粘度和速度；(d) 压强、粘度和角变形。
5、流量模数K的量纲是_____。
(a) L3T-2 (b ) L3T-1 (c)L2T-1 (d)L2T-16、设模型比尺为1：100，符合重力相似准则，如果模型流速为0.6m/s，则原型流速。
(a)60m/s (b) 0.006m/s (c) 60000m/s (d) 6m/s7、在孔口的水头值与孔口的面积相同的情况下，通过管嘴的流量孔口的流量。
(a)等于 (b)大于 (c)小于 (d) 不能判定8、圆管流中判别液流流态的下临界雷诺数为。
(a) 2300 (b)3300 (c)13000 (d) 5759、已知流速势函数，求点（1，2）的速度分量为。
(a) 2 (b) 3 (c) -3 (d) 以上都不是10、按与之比可将堰分为三种类型：薄壁堰、实用堰、宽顶堰(a)堰厚堰前水头 (b) 堰厚堰顶水头 (c) 堰高堰前水头 (d) 堰高堰顶水头二、简答题（共24分）1．静水压强的特性(6分)2．渐变流的定义及水力特性(6分)3．边界层的定义及边界层中的压强特性(6分)4．渗流模型简化的原则及条件(6分)三、计算题（共56分）１、(本小题14分)有一圆滚门，长度L=10m，直径D=4m，上游水深H1=4m，下游水深H2=2m，求作用在圆滚门上的水平和铅直分压力。
恒定总流的动量方程
恒定总流的动量方程利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。
动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。
一、动量方程式的推导及适用条件（一）动量方程式的推导由物理学可知，物体的质量m 与速度υ的乘积称为物体的动量。
动量是矢量，其方向与流速方向相同。
物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。
动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。
现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。
图3-29在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。
设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dA dA 和1u 、2u ，经过dt 时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21'-'处，从而发生了变化。
设其动量的变化为dk ，它应等于流段21'-'与流段1—2内的动量之差。
因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21-'段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。
这样，在dt 时段内，21'-'段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22'-段的动量与11'-段的动量之差。
在dt 时段内，通过11'-段的水体质量为11dtdA u ρ，通过22'-段的水体质量为22dtdA u ρ，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdt dtdA u dtdA u ρρρ==2211，则微小流束段的动量变化为)(12u u dQdt k d -=ρ设总流两个过水断面的面积分别为21A A 与，将上述微小流束的动量变化k d 沿相应的总流过水断面进行积分，即可得到总流在dt 时段内动量的变化量为)()()(121112221212a dA u u dA u u dt u dQdt u dQdt u u dQdt k d A A QQ Q ⎰⎰⎰∑⎰⎰-=-=-=ρρρρ 由于实际液体过水断面上的流速分布均匀，且不易求得，故考虑用断面平均流速υ来代替断面上不均匀分布的流速u ，以便计算总流的动量。
恒定总流连续性方程 (2)
恒定总流连续性方程恒定流连续性方程是水动力学的一个基本方程，它是质量守恒原理在水力学中的应用。
从总流中任取一段（图2-5），其进口过水断面1-1面积为A 1，出口过水断面2-2面积为A 2；再从中任取一微小流束，其进口过水断面面积为dA 1，流速为u 1；出口过水断面面积为dA 2，流速为u 2。
考虑到：（1）在恒定流条件下，微小流束的形状与位置不 随时间改变； 图2-5（2）不可能有液体经微小流束侧壁流进或流出； （3）液体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度为常数。
根据质量守恒原理，单位时间内流进dA 1的质量等于流出dA 2的质量，即1122u dA u dA ρρ==常数消去ρ，则有dQ dA u dA u ==2211(2-8)式（2-8）即为恒定流微小流束的连续性方程。
总流是无数个微小流束之和，将微小流束的连续性方程在总流过水断面上积分，可得总流的连续性方程：221121dA u dA u dQ A A ⎰⎰⎰==引入断面平均流速后成为Q A v A v ==2211(2-9)式（2-9）即为不可压缩恒定总流的连续性方程。
该式表明，不可压缩液体的恒定总流中，任意两过水断面，其平均流速与过水断面面积成反比。
上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导出的。
若沿程有流量汇入或分出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。
如图2-6所示的情况。
图2-6123Q Q Q +=或321Q Q Q += (2-10)[例2-1] 直径d 为100mm 的输水管道中有一变截面管段（图2-7），若测得管内流量Q 为10L/s ，变截面管段最小截面处的断面平均流速v 0=20.3m/s ，求输水管的断面平均流速v 及最小截面处的直径d 0。
图2-7解：1.输水管的断面平均流速 由恒定总流连续性方程Q vA =故 2321.014.341101041⨯⨯⨯==-d Q v π=1.27m/s2. 最小截面处的直径d 0 由恒定总流连续性方程220044d d vv ππ=故 220201.03.2027.1⨯==d v v d =0.000626 所以d 0=0.0250m=25mm。
电磁学第四章恒定电流和电路
dq en dS u dt
J enu
铜导线一般 n～1028m-3 ，u～0.15mm/sec 所以，电流密度大小为J～104 库/秒米2。
6
4. I 与 J 的关系：
通过导体中任意截面 S的电流 强度为：
I
导体中各点的 J 可以有不同的量值和方向，它是空
电流密度矢量的通量等于该面内 电荷量的减少率. 物理实质：电荷守恒定律. 3.恒定电流和恒定电场
S
要在导体中维持恒定电流，必须在导体内建立 dq 一个不随时间变化的恒定电场.这就要求激发 dt 0 电场的电荷分布不随时间变化，即
9
电流稳恒条件
J dS 0
S
上式表明，形成恒定电流时，在导体内从任一闭合 曲面流入的电荷量等于流出的电荷量. 恒定电场 激发电场的电荷分布不随时间变化，所建立 起的电场也不随时间变化，称为恒定电场. 讨论: ①稳恒的含义是指物理量不随时间改变. 稳恒条件可说成电荷分布不随时间变化，而并不意 味着电荷不能运动. 形成恒定电流的电荷处于宏观的定向运动状态之中.
电流线上每一点的切线方向就是 的方向，电流线的疏密表示它 J 的大小。 J 即| | 电流线的疏密度。
根据电荷守恒，在有电流分布的空间作一闭合 曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于 曲面内电量变化速率的负值。
8
2.电流连续性方程
dq J dS dt S
§4.4 电动势和全电路欧姆定律
4.4.1 非静电力
稳恒电流线必然是闭合的。然而仅有静电场不可能实现稳恒 电流。因为静电场的一个重要性质是
E dl 0
L
即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0。若电场力将电 荷从一点移到另一点做正功，电势能减小，则从后一位置 回到原来位置电场力做负功，电势能增加。由于导体存在 电阻，电场移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热， 这就不可能使电荷再返回电势能较高的原来位置，即电流 线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
2022年流体力学作业试题库及答案
取管道中线所在水平面为基准面，则
4-15 在宽为b＝2.0m旳矩形断面渠中修建一宽顶堰，堰高P＝1.2m，上下游水深分别为h1＝3.0m和h2＝1.5m，流量qv＝5.2m3/s。试求水流作用于堰上旳水平推力。
解:
（1）取控制体
取堰前渐变流断面1-1至堰后渐变流断面2-2所截取旳宽为b＝2.0m旳水体所占空间为控制体。
解：
（1）取控制体
取断面1-1与断面2-2及管壁所围成旳水体为控制体。
（2）选坐标系
取直角坐标xOy，如图所示。
（3）受力分析
①
②
（4）列动量方程
列x、y方向旳总流动量方程，取 ，有
③
④
（5）补充条件求v1、v2及p2
由持续性方程求v1、v2：
，代入已知条件得
由伯努力方程求p2：基准面选在管轴线所在平面上，则z1＝z2＝0。计算断面分别选在弯管进出口断面1-1和2-2，计算点取在管轴线上。取а1＝а2＝1，不计水头损失，得：
解：
液体粘度
1-4 求题图所示旳轴与轴套之间旳流体粘度。
解：
第二章 流体静力学
习题2
2-5 用多管水银测压计测压，，题图中标高旳单位为m，试求水面旳压强p0。
解：
2-9 一盛水旳敞口容器作加速运动，试求下列两种状况下容器内静压强旳分布规律：（1）自由降落；（2）以等加速度a向上运动。
解：
（1）
（2）
2-12 试求启动题图所示水闸闸门所需旳单宽拉力F。不计闸门自重及转轴摩擦力。
解：
2-16 试定性绘出题图中各ABC曲面旳压力体图。
答：
第三章 流体运动基本原理
习题3
3-1 已知二元流，其流速分布为ux＝x2t，uy= -2xyt。试求t=1，点(-2,1)处旳流线方程和迹线方程。
流体力学例题大全
第一章：绪论例1-1 200 ºC体积为的2.5m3水，当温度升至800ºC时，其体积增加多少？解： 200 ºC时：ρ1=998.23kg/m3 800CºC时：ρ2=971.83kg/m3即：则：例1-2使水的体积减小0.1%及1%时，应增大压强各为多少？（K=2000MPa）d V/V =-0.1%=-2000×106×（-0.1%）=2×106Pa=2.0MPad V /V = -1%= -2000×106×（-1%）=20 MPa例1-3输水管l=200m，直径d=400mm，作水压试验。
使管中压强达到55at后停止加压，经历1小时，管中压强降到50at。
如不计管道变形，问在上述情况下，经管道漏缝流出的水量平均每秒是多少？水的体积压缩率κ =4.83×10-10m2 /N 。
解水经管道漏缝泄出后，管中压强下降，于是水体膨胀，其膨胀的水体积水体膨胀量5.95 l 即为经管道漏缝流出的水量，这是在1小时内流出的。
设经管道漏缝平均每秒流出的水体积以Q 表示，则例1-4：试绘制平板间液体的流速分布图与切应力分布图。
设平板间的液体流动为层流，且流速按直线分布，如图1-3所示。
解：设液层分界面上的流速为u,则：切应力分布：图1-3上层下层：在液层分界面上：--流速分布：上层：下层：例1-5：一底面积为40 ×45cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面向下作等速运动，如图1-4所示，已知木块运动速度u =1m/s，油层厚度d =1mm，由木块所带动的油层的运动速度呈直线分布，求油的粘度。
解：∵等速∴αs =0由牛顿定律：∑F s=mαs=0m gsinθ－τ·A=0（呈直线分布）图1-4∵ θ=tan-1(5/12)=22.62°例1-6: 直径10cm的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平台间充有厚度δ=1.5mm的油膜相隔，当圆盘以n =50r/min旋转时，测得扭矩M =2.94×10-4 N·m。
实际液体恒定总流的能量方程
实际液体恒定总流的能量方程
对于实际液体恒定总流的能量方程，可以用以下形式表示：
h1 + (P1/ρg) + (V1^2/2g) + Q*(h1-h2) = h2 + (P2/ρg) + (V2^2/2g) + Ws
其中，h1和h2分别表示流体在进口和出口处的液面高度；P1和P2分别为进口和出口处的压力；ρ为液体的密度；g为重力加速度；V1和V2分别为进口和出口处的流速；Q为液体的流量；Ws为液体的功率损失。
该能量方程描述了实际液体在恒定总流的情况下，能量守恒的原理。
具体来说，液体在进口处拥有一定的势能、压力能和动能，然后通过管道流动到出口处，流动的过程中可能会有一定的能量损失，最终液体在出口处又拥有一定的势能、压力能和动能。
能量方程中的左侧表示进口的能量，右侧表示出口的能量，其中Q*(h1-h2)表示流体在运动过程中产生的重力势能变化。
Ws则表示能量损失，例如管道摩擦引起的热量损失等。
综上所述，实际液体恒定总流的能量方程描述了液体在管道中流动时能量守恒的原理，是管道设计和工程实践中必须掌握的基本概念。
流体力学例题大全
第一章：绪论例1-1 200 ºC体积为的2.5m3水，当温度升至800ºC时，其体积增加多少？解： 200 ºC时：ρ1=998.23kg/m3 800CºC时：ρ2=971.83kg/m3即：则：例1-2使水的体积减小0.1%及1%时，应增大压强各为多少？（K=2000MPa）d V/V =-0.1%=-2000×106×（-0.1%）=2×106Pa=2.0MPad V /V = -1%= -2000×106×（-1%）=20 MPa例1-3输水管l=200m，直径d=400mm，作水压试验。
使管中压强达到55at后停止加压，经历1小时，管中压强降到50at。
如不计管道变形，问在上述情况下，经管道漏缝流出的水量平均每秒是多少？水的体积压缩率κ =4.83×10-10m2 /N 。
解水经管道漏缝泄出后，管中压强下降，于是水体膨胀，其膨胀的水体积水体膨胀量5.95 l 即为经管道漏缝流出的水量，这是在1小时内流出的。
设经管道漏缝平均每秒流出的水体积以Q 表示，则例1-4：试绘制平板间液体的流速分布图与切应力分布图。
设平板间的液体流动为层流，且流速按直线分布，如图1-3所示。
解：设液层分界面上的流速为u,则：切应力分布：图1-3上层下层：在液层分界面上：--流速分布：上层：下层：例1-5：一底面积为40 ×45cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面向下作等速运动，如图1-4所示，已知木块运动速度u =1m/s，油层厚度d =1mm，由木块所带动的油层的运动速度呈直线分布，求油的粘度。
解：∵等速∴αs =0由牛顿定律：∑F s=mαs=0m gsinθ－τ·A=0（呈直线分布）图1-4∵ θ=tan-1(5/12)=22.62°例1-6: 直径10cm的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平台间充有厚度δ=1.5mm的油膜相隔，当圆盘以n =50r/min旋转时，测得扭矩M =2.94×10-4 N·m。
理想流体动力学基本方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
第四章 流动阻力和水头损失
2.粗糙区：希弗林松公式
k 0.11 d
0.25
3.舍维列夫公式: 适用于旧钢管和旧铸铁 管 紊流过渡区,v≤1.2m/s
m3 2.0
雷诺实验揭示了沿程水头损失与流速的关系。当
v<vc时，hf～v1.0；当v>vc时， hf～v1.75～2.0 。
发现了流体流动中存在两种性质不同的形态，即
层流和紊流： 层流——流体呈层状流动，各层质点互不掺混； 紊流——流体质点的运动轨迹极不规则，各层 质点相互掺混，且产生随机脉动。
切应力分布:
r 0 r0
1.切应力分布 2.层流、紊流均适用
§4-4 圆管中的层流运动
1.流动特性
流体呈层状流动，各层质点互不掺混
层流中的切应力为粘性切应力
du dy
其中 y=r0-r
Hale Waihona Puke du dr2.断面流速分布
du 牛顿内摩擦定律 dr r 又 g J 2
总水头损失=沿程水头损失+局部水头损失
二、流动阻力
hw——流体粘性引起
1.沿程阻力——沿程损失(长度损失、摩擦损失)
l v hf d 2g
λ——沿程阻力系数
2.局部阻力——局部损失
2
达西-魏斯巴赫公式
v hj 2g
ζ——局部阻力系数
2
3.总能量损失
**说明几点
hw h f h j
d ux u x y l1 u x y l1 dy d ux u x u x y l1 u x y l1 dy
（2） 横向脉动速度 u x
恒定总流的连续性方程
地方流速小。管道越粗，
流速越小，管道细，流速
越大。
v1 v2
v3
如果液体有分叉，或汇流情况，那 么水流的连续方程怎么写？
1
2 v2 2
Q1 v1 v3 Q3
3
1 Q1 v1
2 Q2 2 3 Q3 3
Q2
3
1
对于有分叉的恒定总流，连续性方 程可以表示为：
∑Q流入=∑Q流出
对于有分叉的恒定总流连续性方程可以表示为
3 流体动力学理论基础
3.1
描述液体运动的两种方法
3.2 3.3
3.4 3.5
流体运动的基本概念 恒定总流的连续性方程
恒定总流的能量方程 恒定总流的动量方程
液体运动必须遵循：质量守
恒的普遍规律。这个规律的具体体现源自是液体连续方程。现推导如下:
恒定流中一个控制体：过水断面1
2
u1dA1 dt u2 dA2 dt
dA1
u1dA1 u2 dA2
1
Q dQ＝ u1dA1
Q A1
A2
u dA
2
分别引入两个总流断面的断面平均流速v1、v2
A1
1 A2 2
u1 dQ
u1dA1 u2 dA2 Q dQ＝ u1dA1 u2 d A2 2 Q A1 A2
A1
1
过水断面2，以及两个断面之间的边壁与
液体之间的交界面。从过水断面1上取一 微小流束，符号如图。
A2
2
u1 d Q
u2
u1dA1 dt u2 dA2 dt
dA1
u1dA1 u2 dA2
1 恒定微小流束连续方程
2
dA2
恒定流能量方程要点
Q
h w gdQ
得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。
2 p1 1 12 p2 2 2 z1 z2 hw12 g 2 g g 2 g
上式反映了总流中不同过流断面上( z g )值和断面平均流速v的变 化规律，也就是流体运动中的能量转化关系。这是我们普遍使用的 方程。
若过流断面为渐变流，则在断面上 ( z
Q
(z
p p p ) gdQ ( z ) g dQ ( z ) gQ Q g g g
u2 Q 2 g gdQ
p )C g
积分可得
2．第二类动能积分
因 dQ udA 所以
u2 3 3 2 Q 2g gdQ 2 Au dA 2 A Q 2
p3 3v32 p1 1v12 p2 2v2 2 gq1 z1 gq z h gq z h 2 2 w1 2 3 3 w13 g 2g g 2g g 2g
对于汇流情况，也可分别列出1、3及2、3的伯努利方程，同理可得总 能量守恒的伯努利方程
式中 v 3 A 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于 1；不均匀分 布时，α>1； 在渐变流时，一般α =1.05～1.1。为计算简便起见，通常取α≈1。
A
Hale Waihona Puke u 3 dA§3.5 恒定总流能量方程式
3．第三类积分
都用一个平均 假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量 hw 值 hw 来代替则第三类积分变为： ' h w gdQ ghw dQ gQhw
p3 3v32 p1 1v12 p2 2v2 2 gq1 z1 hw13 gq2 z2 hw23 gq3 z3 g 2g g 2g g 2g
流体力学复习要点(计算公式)
第一章 绪论单位质量力：mF f B m= 密度值：3mkg 1000=水ρ，3mkg13600=水银ρ，3mkg29.1=空气ρ牛顿内摩擦定律：剪切力：dy du μτ=， 内摩擦力：dy du A T μ= 动力粘度：ρυμ= 完全气体状态方程：RT P =ρ压缩系数：dpd 1dp dV 1ρρκ=-=V （Nm2） 膨胀系数：TTV V V d d 1d d 1ρρα-==(1/C ︒或1/K)第二章 流体静力学+流体平衡微分方程：01;01;01=∂∂-=∂∂-=∂∂-zp z y p Y x p X ρρρ 液体平衡全微分方程：)(zdz ydy xdx dp ++=ρ液体静力学基本方程：C =++=gp z gh p p 0ρρ或 绝对压强、相对压强与真空度：a abs P P P +=；v a abs P P P P -=-= 压强单位换算：水银柱水柱mm 73610/9800012===m m N at 2/1013251m N atm =注：hgPP →→ρ ； P N at →→2m /98000乘以 2/98000m N P a =平面上的静水总压力：（1）图算法 Sb P = 作用点e h y D +=αsin 1)()2(32121h h h h L e ++=若01=h ，则压强为三角形分布，32L e y D==注：①图算法适合于矩形平面；②计算静水压力首先绘制压强分布图，且用相对压强绘制。
（2）解析法A gh A p P c c ρ== 作用点Ay I y yC xc C D+= 矩形123bL Ixc= 圆形644d I xc π=曲面上的静水总压力： x c x c x A gh A p P ρ==；gV P z ρ= 总压力z x P P P+= 与水平面的夹角xzP P arctan=θ潜体和浮体的总压力：0=x P 排浮gV F P z ρ==第三章 流体动力学基础质点加速度的表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a zz z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x AQV Q Q Q Q Q G A====⎰断面平均流速重量流量质量流量体积流量g u d Am ρρ流体的运动微分方程：tz t y t x d du z p z d du y p Y d du x p X =∂∂-=∂∂-=∂∂-ρρρ1;1;1不可压缩流体的连续性微分方程 ：0zu yu xu z y x=∂∂+∂∂+∂∂恒定元流的连续性方程：dQ A A ==2211d u d u 恒定总流的连续性方程：Q A A ==2211νν无粘性流体元流伯努利方程：g 2ug p z g 2u g p z 22222111++=++ρρ 粘性流体元流伯努利方程：w 22222111'h g2u g p z g 2u g p z +++=++ρρ恒定总流的伯努利方程：w 2222221111h g2g p z g 2g p z +++=++ναρναρ 气流伯努利方程：w 22212211P 2)()(2++=--++ρνρρρνP z z g Pa 有能量输入或输出的伯努力方程w 2222221111h g2g p z g 2g p z +++=±++ναρναρm H 总流的动量方程：()∑-=1122Q F νβνβρ 投影式⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=∑∑∑)()()(112211221122z z zy y y x x x v v Q F v V Q F v v Q F ββρββρββρ动能修正系数α：11.105.1Av dAu 33=-==⎰ααα，一般，较均匀流动A动量修正系数β：105.102.1Av dAu 22=-==⎰βββ，一般，较均匀流动A水力坡度dldh dl dH J w =-= 测压管水头线坡度dl dh dl dH J w p=-= 第四章 流动阻力和水头损失圆管沿程水头损失：gv d l h f22λ= ⎪⎭⎫ ⎝⎛==2g 8Re64C λλ；紊流层流 局部水头损失：gvh j22ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==-==0.15.015.0v v g 2v v h 1g 2v h 1g 2v h 12221j 2122222j 2211211j出入；管道出口注：管道入口）（用细管流速（突缩管—其余管用断面平均流速—弯管）（）（，）（，突然扩大管ζζζζζζζA A A A A A 雷诺数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======575R e e 2300d e d e c cR R c c υνυνυνυνR R R R R ，非圆管，圆管 流态判别⎪⎩⎪⎨⎧=><，流动为临界流为紊流，为层流，cc c Re Re 流动Re e 流动Re e R R 谢才公式：RJ C V = 谢才系数：λg C 8= ; 曼宁公式：611R n C =均匀流动方程式：lh gR gRJ f 0ρρτ== 圆管过流断面上剪应力分布：0ττr r =圆管层流：（1）流速分布式)r (r 4g u 220-=μρJ （2）最大流速20max r 4g u μρJ =（3）断面平均流速：2u v max = （4）Re 64=λ紊流剪应力包括：粘性剪应力和附加剪应力，即21τττ+=，dyu d x1μτ=，y x 2u u ''-=ρτ 紊流流速分布一般表达式：C +=Iny k1u*ν 非圆管当量直径：)4Re ;2(42υυλR v vd gv d l h R d e e fe ==== 绕流阻力： A U C D D 220ρ=第五章 孔口、管嘴出流和有压管流薄壁小孔口恒定出流： 02gH v ϕ=2gH A Q μ= 97.0=ϕ 62.0==ϕεμ AA c =ε-0H 作用水头，自由出流gv H H 22000α+=，若00≈v ，H H =0；淹没出流g v g v H H H 22222211210αα-+-=，若021≈≈v v ，H H H H =-=210孔口变水头出流：)(2221H H gA Ft -=μ，若02=H ，放空时间max1222Q V gA H Ft ==μ 圆柱形外管嘴恒定出流：02gH v n ϕ=；2gH A Q n μ=； 82.0==n n μϕ；μμ32.1=n ；075.0H gP v =ρ简单管道：5228,d g a a alQ h H f πλ=-==比阻，（62/m s ）串联管道：ii ni i i ni i i i ni fi l a S Q S Q l a h H i ====∑∑∑===阻抗,12121并联管道：233322222111321,Q l a Q l a Q l a h h h f f f ==== 注：串联、并联管道有时需结合节点流量方程求解。
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z1
pg1
1v12
2g
z2
pg2
2v22
2g
hw
P32
教师：朱红钧
2、恒定总流伯努利方程的适用条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体； （3）质量力只有重力； （4）所选取的两过流断面必须是渐变流（或均匀流）断面
但两过流断面间可以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过流断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输 入或输出。
流前，先分析元流流动，然后将元流积分就可推
广到总流。
元流 总流
P8 教师：朱红钧
2、控制断面恒选在渐变流上
什么是渐变流呢?
在总流分析法中，其控制断面恒取在渐变流， 或其极限情况（均匀流）。
想一想 为什么控制断面恒选在渐变流上？
为什么不能选在急变流段呢？
P9
教师：朱红钧
非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率半径很大，接近 平行为渐变流（Gradually Varied Flow），否则为急变流 （Rapidly Varied Flow）。
际
zA
pA
g
uA2 2g
zB
pB
g
0 hw
Δh
H
0
0
应
令
uA
u
及
hw
u2 2g
u AB
式中 称为水头损失因数，由实验确定，图毕4-6托毕管托管的测速原理
用
值大于0且接近于0。
P36
教师：朱红钧
则
u 1
1
2g[(zB
pB
g
)
(zA
pA
g
)]
1
1
理想流体伯努利方程
z p u2 C
g 2g
P3 教师：朱红钧
第四章 恒定总流基本方程
第一节 总流分析法 第二节 连续性方程 第三节 恒定总流伯努利方程 第四节 恒定总流动量方程
P4 教师：朱红钧
本章学习要点：
1）掌握流体运动的总流分析法； 2）掌握恒定总流的连续性方程、伯努利方程和动
d K dmu (udA)u
P16
教师：朱红钧
总流单位时间通过整个过流断面其相应的动量值为：
d K (udA)u (u2dA) i
A
v2
Ai
A
qvvi
qvv
为了将上式中的积分用断面平均流速v来表达
引入动量修正系数
P17
教师：朱红钧
2g
z3
pg3
v2 33 2g
图4-11 分流
hw1,3
P43
教师：朱红钧
（2）汇流
满足总流的总能量守恒 ，即
gqV 1 ( z1
pg1
h
水
际
z1
pg1
v12 2g
z2
pg2
v22 2g
应 h (z1 pg1 ) (z2 pg2 )
1
d1
1 2
z1 hp
2 p2 /g
d2
z2
用
v2
A1v1 A2
(
d1 d2
)2v1
0
p
0
P38
教师：朱红钧
代入上式得
v1 2gh /
(
d1 d2
)4
P28
教师：朱红钧
二、恒定总流伯努利方程
元流（Element Flow） 过流断面无限小的流束，元流的极限是流线。 断面上的各点的运动要素均相同。
积 分
总流（Total Flow）
元流 总流
过流断面有限大小的流束，是由无数元流构成的。
断面上各点的运动要素一般情况下不相同。
P29
教师：朱红钧
1、恒定总流伯努利方程的推导
P41
教师：朱红钧
四、伯努利方程的扩展
1、沿程有流量分出（分流）或汇入（汇流）时的伯努利方程
（1）分流
对于断面1与断面2或断面1与断面3之间仍然适用
1
2
v2
伯努利方程式，即
v1
2
v1
3
z1
pg1
1v12
2g
z2
pg2
2v22
2g
hw1,2
1
节点 3
v3
或
z1
pg1
1v12
2gh
又令
1 c
1
则 u c 2gh
式中c称为毕托管因数，其值与能量转换中的水头损失以 及毕托管的构造有关，由实验确定，数值接近于1.0。
P37
教师：朱红钧
文丘里流量计
管径d1、 d2及压差计的水头差h。 试求流量qV。 实
解：hw 0，取1 = 2 =1 ，得 p1 /g
量方程(三大方程)及其综合应用 。
P5 教师：朱红钧
第一节 总流分析法
一、概念
元流（Element Flow）
过流断面无限小的流束，元流的极限是流线。
1．元流 和总流
断面上的各点的运动要素均相同。
元流
总流（Total Flow）
总流
过流断面有限大小的流束，是由无数元流构成的。
断面上各点的运动要素一般情况下不相同。
2vg2—总流过流断面上单位重流体平均动能，平均流速水头；
hw —总流两断面间单位重流体平均的机械能损失，总流水头损失；
z
p
g
v 2
2g
—总流过流断面上单位重流体的平均机械能。
P35
教师：朱红钧
毕托（Pitot H）管测速原理
试根据h ，计算A点的流速u。
实 选取基准面，根据粘性流体元流伯努利方程
一、实际流体元流伯努利方程
理想流体伯努利方程：
z
p
g
u2 2g
C
考虑水头损失，设
hw——粘性流体元流单位重量流体从第1个过流断面流到第2
个过流断面间的机械能损失，称为元流的水头损失。
由能量守恒原理得：粘性流体元流伯努利方程
z1
pg1
u12 2g
z2
pg2
u22 2g
hw
值大小也取决于总流过流断面上的流速分布 情况，分布较均匀的流动，=1.05~1.1，通常在工 程计算中取 =1.0。
P21
教师：朱红钧
第二节 连续性方程
一、 恒定不可压缩总流的连续性方程
(ux uy uz )dV 0
V x y z
由Gauss定理：
v
(
ux x
qv
平均流速v
v A udA qV AA
u v
Δu
几何意义：以底为A，高为v 的柱形图4体-3 平积均等流速于流速分
布曲线与过流断面所围成的体积。
AudA vA
P15
教师：朱红钧
（2） 动量及动量修正系数
动量（momentum）：是物体运动的一种量
度。
rr
k mv
元流单位时间内通过过流断面的动量：
P6 教师：朱红钧
2．控制断面（Control Cross Section）
控制体表面上有流体流进、流出的过流断面。
控制体——断面1–1与断面2–2之间的水体所占据
的空间 。
1
2
1
2
P7
图4-1 总流控制体与控制断面
教师：朱红钧
二、总流分析方法
1、以元流为基础
总流是无限多元流的总和，因此，在分析总
连续性微分方程
(ux ) (uy ) (uz ) 0
t x
y
z
P1 教师：朱红钧
欧拉运动微分方程
fx
1
p x
du x dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
du z dt
恒定、不可压缩、质 量力只有重力、有势 积分
P2 教师：朱红钧
u22 2g
) gu2dA2
hw gdqV
P30
教师：朱红钧
在总流过流断面上积分可得总流能量关系：
A
1
( z1
pg1
u12 2g
) gu1dA1
A
2
(z2
pg2
u22 2g
) gu2dA2
Q hw gdqV
1.势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有
z
p
g
C
则
g A (z
p
g
)udA
g(z
p
g
)
A
udA
(z
p
g
)
gqV
2.动能积分：
g
A
u3 2g
dA
g
2g
v 3 A
v 2
2g
gqV
3.损失积分：
P31
qV hw gdqV hw gqV
教师：朱红钧
实际流体恒定总流的伯努利方程 （对单位重流体而言）
P24
教师：朱红钧