材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)
建筑力学课程教学大纲
《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课,在本专业中起着承上启下的作用,为后续课程打基础。
《建筑力学》的任务是:教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法;杆件及结构内力与变形的分析方法;关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。
通过本课程的学习,要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力,并初步具备对结构的实验分析能力。
二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。
2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用,了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。
第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1)力的概念和性质2)力对点之矩3)力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1)约束与约束反力的概念2)工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求(1)理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理,合力矩定理、刚体的概念;掌握平面力偶系合成的计算。
(2)了解约束的概念及荷载的分类;了解作用在构件上荷载的计算方法;掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定;第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1)力的平移定理2)平面力系向一点的简化3)力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4)平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1)平面一般力系的平衡条件和平衡方程2)平面力系的几种特殊情形3)静定与超静定问题4)物体系的平衡问题2、教学要求(1)了解力的平移定理的内容;掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算,掌握合力的投影定理;(2)理解平面一般力系的概念;了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。
(3)掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用,重点掌握常见物体支座反力的求法。
材料力学第9章--梁的挠度和刚度计算
3
9.4 叠加法求梁的变形
在小变形条件下,材料服从虎克定律
内力
Fs , M 与外力 q, P, M 0 成线性关系
几个载荷共同作用的变形 === 各个载荷单独作用的变形之和
叠加原理
例9.4
简支梁的EI已知,用叠加法
q
ql
求梁跨中截面的位移和支座B的转角。 A
B
载荷分解如图 均布载荷单独作用时
6 最大挠度
when
0 w1
Fb 2 Fb 2 2 x l b 0 2l 6l
a l b a a 2b l 2 b2 x 3 3 3 if a b then x a Fb wmax w1 ( x ) 9 3EIl if a b then x a wmax Fl 3 48EI
5ql 4 ql 3 wC1 , q B1 384 EI 24 EI ql 4 ql 3 wC 2 , qB2 16EI 3EI 叠加 19ql 4 wC wC1 wC 2 384 EI 7 ql 3 q B q B1 q B 2 24 EI
wmax
挠曲线
P
x
挠曲线方程
挠曲线:梁弯曲后,梁轴线所成的曲线 挠度:梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移
w w( x ) dw x 转角:梁截面相对于变形前的位置转过的角度 q tan q
dx
符号给定:
正值的挠度向下,负值的向上;正值的 转角为顺时针转相,负值的位逆时针转向
2,意义
4
3
7 梁两端的转角
ql 3 EIq A EIq |x 0 24 1 3 ql 2 ql 3 ql 3 EIq B EIq |x l ql l 6 4 24 24
材料力学-杆件的变形计算
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中, C 和 D 是积分常数,需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件:梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳, 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件:梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以,在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值,这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知:l = 54 mm ,di = 15.3 mm,E=200 GPa,
= 0.3,拧紧后,△l =0.04 mm。 试求:(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解:1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度,即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形,不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊,若 弯曲变形过大,轧出旳钢板将薄厚不均匀,产品不合格;假 如是机床旳主轴,则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大,单位长度扭转角越小
g
在一段轴上,对单位长度扭转角公式进行积分,
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
杆系结构的刚度与稳定性计算—平面弯曲梁的变形与刚度条件
1. 查表4.1求梁在各种简单荷载作用下的挠度和转角;
2. 叠加简单荷载作用下梁截面的各挠度和转角。
表4.1 梁在简单荷载作用下的挠度和转角
案例1
外伸梁所受荷载如图(a)所示,梁的抗弯刚度为常数,求C截面的挠度和
转角。
解: 外伸梁的挠度和转角不能从表格中直接
查出,但可将其变成能在表中查到的几项,再
1. 全面提高梁的弯曲刚度
a)选用高弹性模量材料
b)选用惯性矩较大的截面
2. 改变梁的弯矩分布
a)改变梁的约束位置
b)增强约束条件
c)改变加载方式
3. 减小梁的跨度
如果条件允许,应尽量减小梁的跨度以提高其刚度。
y C y C1 y C 2
11qa 4 qa 4 qa 4
24 EI 3EI 8EI
添加标题
3.梁的刚度条件
3.1 梁的刚度条件
工程上的梁,不仅应具备足够的强度,而且应具备必要的刚度。
梁的刚度条件是指:梁的最大挠度与最大转角分别不超过各自的许用值
设以 表示许用转角,则梁的转角刚度条件为:
max
梁进行刚度计算时,通常只对挠度进行计算。梁的挠度容许值通常用许
f
可挠度与梁跨长的比值
l
作为标准。
| y | m ax f
l
l
f
在土建工程中, 的值常限制在1/250~1/1000 范围内。
l
3.2 提高梁刚度的措施
一般情况下,提高梁强度的措施,也能提高梁的刚度。强度问题一般
dy
tan
dx
表明横截面的转角等于挠曲轴在该截面处的斜率。
第九章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
若梁上只有第i个载荷单独作用,截面上弯矩 为 M i ( x ) ,转角为 i ,挠度为 yi ,则有:
EIy''i M i ( x)
由弯矩的叠加原理知: M i ( x) M ( x)
i 1
n
所以,
7-4
EI y' 'i EI ( yi )' ' M ( x)
q
C L/2 L/2
2、查梁的简单载荷变形表
=
5(q ) L4 2 yCa ; yCb 0 384EI 3、叠加
q/2
AA
L/2
q/2
C L/2
yC yCa yCb yCa 0
4 5(q ) L4 5 qL 2 384EI 768EI
积分一次得转角方程为:
dy EI z EI z M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度方程为:
EI z y M ( x) dxdx C x D
7-3
目录
§9-3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 位移边界条件
M 1 ( x) EIy1 M 2 ( x) EIy2 M 3 ( x) EIy3
叠加法计算梁的变形
EIy M ( x)
y2 y3 y y1 M ( x) M 1 M 2 M 3
一、前提条件:弹性、小变形。 二、叠加原理:各荷载同时作用下,梁任一截面的挠度或转角,等 于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
右侧段(a≤x2≤L):
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L 2 Fb F ( x a ) Fb 2 2 2 EIw2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6
8.平面弯曲梁的强度与刚度计算解析
20
§8.3 弯曲正应力强度计算
解 (1)求支座反力
FA 0.75kN
FB 3.75kN
(2)画出梁的弯矩图 最大正弯矩在截面C上
M c 0.75kN m
最大负弯矩在截面B上
M B 1kN m
21
§8.3 弯曲正应力强度计算
(3)T形截面对中性轴的截面的二次矩为
πD 4 I y Iz (1 4 ) 64
πd 4 IP I y Iz 32
πd 3 Wy Wz 32
d D
πd 4 I y Iz 2 64 I
πD 3 Wy Wz (1 4 ) 32
8
例1 受均布载荷作用的简支梁如图,求:
(1)1—1截面上1、2两点的正应力; (2)此截面上的最大正应力;
1.2 F 185 10 6 170 106
1.85 106 170 106 [F ] N 26.2 103 N 26.2kN 1.2
19
§8.3
弯曲正应力强度计算
例3
已知T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸,铸铁抗拉许
用应力 [s ] 30MPa ,抗压许用应力 [s c ] 160MPa 。 t
y
A
B
(1)
dx
(二)物理关系
y
O1 A1 dq
O2 B1
s E
Ey
(2)
x
纯弯曲梁横截面上正应力σ与点到中性轴 距离y成正比。
y
5
(三)静力学关系:
M z = A ys dA A y
公式中 即
工程力学 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13-5 梁的刚度条件与合理刚度设计
例13-8
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13-5 梁的刚度条件与合理刚度设计
提高梁强度与刚度的措施
1、跨度 2、约束位置与形式 3、载荷形式及位置 4、截面形状 5、材料
工程力学
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13-1 挠曲线、挠度和转角 §13-2 挠曲线的近似微分方程 §13-3 积分法求梁的变形 §13-4 叠加法求梁的变形 §13-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §13-6 用变形比较法解简单超静定梁
本章小结 本章作业 习题:13-4(a,b),13-10
求:加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13-3 积分法求梁的变形
解:1. 确定梁约束力
首先,应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
2. 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP,所以需要分为AB和BC两段建 立弯矩方程。
在图示坐标系中,为确定梁在0~l/4范围内各截面上的 弯矩,只需要考虑左端A处的约束力3FP/4;而确定梁在l/4~l 范围内各截面上的弯矩,则需要考虑左端A处的约束力3FP/4 和荷载FP。
§13-1 挠曲线、挠度和转角
机械传动机构中的 齿轮轴,当变形过大时 (图中虚线所示),两齿 轮的啮合处将产生较大 的挠度和转角,这不仅 会影响两个齿轮之间的 啮合,以致不能正常工 作;而且还会加大齿轮 磨损,同时将在转动的 过程中产生很大的噪声; 此外,当轴的变形很大 使,轴在支承处也将产 生较大的转角,从而使 轴和轴承的磨损大大增 加,降低轴和轴承的使 用寿命。
《变形与刚度计算》课件
产生原因
变形产生的原因一般有两 种,分别是受力和温度变 化。其中,受力引起的变 形是材料力学中最常见的, 我们将在后面课程中详细 讲解。
计算方式
变形的计算方法通常有三 种:梁的挠度计算、结构 的变形计算与有限元法计 算。不同的计算方法适用 于不同的应用场景,根据 实际需求选用合适的方法。
材料的刚度
为了帮助更好地理解变形与刚度计算的应用,我们将进行两个实例演示,分别是悬臂梁和桥梁的变形计 算演示。
悬臂梁实例演示
我们将使用一个实际应用场景来演示悬臂梁的变 形计算,加深大家对悬臂梁计算方法的理解。
桥梁实例演示
桥梁是一个很重要的应用场景,我们将为大家演 示一下桥梁的变形计算方法,参考现实应用场景。
结论与总结
《变形与刚度计算》PPT 课件
欢迎来到我们的课件。在本次讲义中,我们将全面介绍变形与刚度计算的基 本概念,以及其在实际工程中的应用。
什么是变形
变形指的是物体由于外力作用而发生的形状、大小、位置等方面的改变。本节将介绍变形的定义,产生原 因以及计算方式。
定义
变形是指物体在受到作用 力(外力)时形状、大小、 位置等方面的改变。简单 来说,它表示了物体由于 外界条件变化,所发生的 形状或状态的改变。
1
变形计算公式
2
桥梁变形的计算公式较为复杂,主要
涉及梁的挠度、材料的应力和应变等。Leabharlann 我们将在后面的课程中逐一介绍。
3
桥梁结构
桥梁是由多个组件组成的大型结构, 一般包括桥墩、桥面和桥面之间的支 撑结构。
刚度计算公式
桥梁刚度的计算方法与悬臂梁类似, 一般采用挠度法和材料力学方法,具 体计算不再赘述。
实例演示
悬臂梁的变形计算公式为 y=FL^3/3EI,其中y是悬臂 梁最大变形,F是悬臂梁上 的受力,L是悬臂梁长度, E是弹性模量,I是截面惯 性矩。
《材料力学》教学大纲
《材料力学》课程教学大纲(80学时5学分)一. 课程的地位及其任务材料力学是一门由基础理论课过渡到专业课的技术基础课。
其任务是研究杆件在载荷作用下的强度.刚度和稳定性的问题,为工程有关零构件设计提供必要的基础知识和计算方法。
二. 课程的基础要求(1)基本掌握将一般工程零部件或结构简化为力学简图的方法。
(2)牢固树立四种基本变形及组合变形的概念,熟练掌握直杆的受力分析。
(3)熟练掌握杆件在基本变形下的内力、应力、位移及应变的计算,并能应用强度.刚度条件进行计算。
(4)了解平面几何图形的性质,能计算简单图形的静矩、形心、惯性矩、惯性半径和圆截面的极惯性矩。
能用平行移轴公式求简单组合截面的惯性矩。
会应用型钢表。
(5)熟练掌握求解简单超静定问题的基本原理和方法,正确建立变形条件,掌握用变形比较法解轴向拉压超静定问题及简单超静定梁。
(6)掌握应力状态和强度理论,并能进行组合变形下杆件的强度计算。
(7)掌握常用金属材料的力学性质及测定方法,对电测应力方法有初步认识。
(8)理解剪切的概念,能进行剪切和挤压的实用计算。
(9)正确理解弹性稳定平衡的概念,确定压杆的临界载荷和临界应力,并进行压杆稳定性计算。
(10)掌握受铅垂冲击时杆件的应力和变形计算。
(11)掌握动静法求动载荷问题,掌握用能量法求杆件受冲击时的应力和变形。
(12)认识交变应力及疲劳破坏的涵义,了解交变应力下材料的持久极限及其主要影响因素,初步掌握对称循环下构件的疲劳强度计算。
(13)正确认识能量法的基本原理和方法,熟练掌握用单位力法计算结构的位移。
三. 教学内容及学时分配1. 绪论及基本概念(2学时)材料力学的任务及研究对象;变形固体的概念及基本假设;内力与截面法。
应力与应变的概念。
2. 杆件的内力与内力图(9学时)轴向拉压杆的轴力及轴力图。
功率.转速与外力偶矩的关系。
扭转杆的扭矩及扭矩图。
梁的计算简图。
平面弯曲梁的剪力和弯矩。
弯矩方程和剪力方程。
(参考资料)材料力学72-必做题
第二章杆件内力与内力图2-2(b)、(d)、(g)试作图示各杆的轴力图,并确定最大轴力| F N |max 。
2-3(b)试求图示桁架各指定杆件的轴力。
2-4(c)试作图示各杆的扭矩图,并确定最大扭矩| T |max 。
2-5图示一传动轴,转速n =200 r/min ,轮C为主动轮,输入功率P=60 kW ,轮A、B、D均为从动轮,输出功率为20 kW,15 kW,25 kW。
(1)试绘该轴的扭矩图。
(2)若将轮C与轮D对调,试分析对轴的受力是否有利。
2-8(a)、(c)、(e)、(g)、(h)试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。
作剪力图和弯矩图,并确定|F s |max及|M |max值。
2-9(a)、(c)、(d)、(f)、(g)、(i)、(k)、(l)、(m)试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图,并确定|F s |max及|M |max值,并用微分关系对图形进行校核。
2-10设梁的剪力图如图(a)(d)所示(见教材p39)。
试作弯矩图和荷载图。
已知梁上无集中力偶。
2-11(b)试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。
2-6一钻探机的功率为10 kW,转速n =180 r/min。
钻杆钻入土层的深度l= 40m。
若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶,试求分布力偶的集度m,并作钻杆的扭矩图。
2-14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P=12kN,试绘出横梁AB的内力图。
第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3-1图示圆截面阶梯杆,承受轴向荷载F1=50kN与F2的作用,AB与BC段的直径分别为d1=20mm与d2=30mm,如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同,试求荷载F2之值。
3-5变截面直杆如图所示。
已知A1=8cm2,A2=4cm2,E=200GPa 。
求杆的总伸长量。
3-7图示结构中,AB为水平放置的刚性杆,1、2、3杆材料相同,其弹性模量E=210GPa ,已知l =1m,A1=A2=100mm2,A3=150mm2,F P=20kN 。
平面弯曲杆件的变形与刚度计算平面弯曲杆件的变形与刚度计算
EIw ′′ = − Fx + FL
挠度方程:
w= 1 Fx 3 FLx 2 (− ) + 6 2 EI
FL2 FL3 (顺) w B = (↓ ) 2 EI 3 EI
Fx 2 EIw ′ = − + FLx + C 2
Fx 3 ; D 6 2
• 横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。 • 挠曲线上某点处的斜率为正,则该处横截面的转
角为正,反之为负。
• 转角的单位是弧度(rad)。 • 分析梁弯曲变形的关键在于确定挠曲线方程 。
6
平面弯曲杆件的变形与刚度计算
z z z z z z
挠曲线 挠度和转角 挠曲线的近似微分方程 积分法求梁的变形 叠加法求梁的变形 梁的刚度条件与合理刚度设计 用变形比较法解简单超静定梁
利用位移边界条件:
x = 0, w = 0
x = l, w = 0
D=0 C= ql 3 24 EI
17
dw 1 q 3 ql 2 = ( x − x )+C dx EI 6 4
w=
1 q 4 ql 3 ( x − x ) + Cx + D EI 24 12
积分法求梁的变形
最大挠度发生在 x= l /2 截面C 处
挠曲线 挠度和转角 挠曲线的近似微分方程 积分法求梁的变形 叠加法求梁的变形 梁的刚度条件与合理刚度设计 用变形比较法解简单超静定梁
10
积分法求梁的变形
将挠曲线近似微分方程相继积分两次,
θ=
dw M ( x) = −∫ dx + C dx EI M ( x) dxdx + Cx + D EI d2w M ( x) =− 2 EI dx
第九章_构件变形和结构的位移计算讲解
M(x)=-FP (L-x) 2)列出挠曲线近似微分方程
EIy" M (x) FP (l x)
6
积分一次得 再积分一次得
EIy'
EI
FPlx
FP 2
x2
C
EIy
1 2
Fplx2
1 6
FP
x3
Cx
D
3)确定积分常数
悬臂梁的边界条件是固定端处的挠度和转角都为零。
x=0 处 θA=0 代入得 C=0
yc1
FP
(
l 2
)3
3EI
ql 4 48EI
(向下)
8
9
图9-6
2)考虑到截面B的实际转动,把上述梁BC的B端反力矩
反向作用在AB段上,相当于FP对AB的影响,求出它与q共同
作用下B端的转角 B ,这时外伸臂BC像刚体一样同时转动 B
在截面C产生挠度 yC2
B
Bq
BMB
LCD LDE
FN l EA
40103 110103 2 2.11011 250106
10103 1 20103 2.11011 200106
3
3.81104 11.9 104
0.00157m 4
1.57mm
§9-2 平面弯曲梁的变形计算
梁发生平面弯曲时,其轴线由直线变成一条曲率为1/ρ的平面
曲线(即挠曲线)如图所示。梁轴线某处曲率 1/ρ与梁该处的
抗弯刚度及弯矩M的关系为:
1 M
EI
可见曲率
1
与M
平面弯曲梁的变形计算公式
平面弯曲梁的变形计算公式梁是工程结构中常见的构件,用于承担横向载荷和弯矩。
在实际工程中,梁的变形是一个重要的问题,因为变形会影响结构的稳定性和使用性能。
平面弯曲梁是一种常见的梁结构,其变形计算公式是工程设计和分析中的重要内容。
本文将介绍平面弯曲梁的变形计算公式及其应用。
平面弯曲梁的变形是由横向载荷和弯矩引起的。
在计算平面弯曲梁的变形时,需要考虑梁的截面形状、材料性质和受力情况。
根据梁的几何形状和材料性质,可以得到平面弯曲梁的变形计算公式。
下面将介绍平面弯曲梁的变形计算公式及其推导过程。
首先,考虑一根长度为L的平面弯曲梁,在横向载荷和弯矩的作用下发生弯曲变形。
假设梁的截面形状为矩形,材料为弹性材料,横向载荷为P,弯矩为M。
根据弹性力学理论,可以得到平面弯曲梁的变形计算公式如下:1. 梁的挠度计算公式。
梁的挠度是描述梁在弯曲变形下的位移情况的参数。
挠度计算公式可以通过梁的受力分析和材料力学理论推导得到。
对于矩形截面的平面弯曲梁,其挠度计算公式为:δ = (PL^3)/(3EI) + (ML^2)/(2EI)。
其中,δ为梁的挠度,P为横向载荷,L为梁的长度,E为弹性模量,I为梁的惯性矩,M为弯矩。
2. 梁的曲率计算公式。
梁的曲率是描述梁在弯曲变形下曲线形状的参数。
曲率计算公式可以通过挠度计算公式求导得到。
对于矩形截面的平面弯曲梁,其曲率计算公式为:κ = d²δ/dx² = M/(EI)。
其中,κ为梁的曲率,δ为梁的挠度,x为横向坐标,M为弯矩,E为弹性模量,I为梁的惯性矩。
3. 梁的最大挠度计算公式。
梁的最大挠度是描述梁在弯曲变形下最大位移情况的参数。
最大挠度计算公式可以通过挠度计算公式和曲率计算公式求解得到。
对于矩形截面的平面弯曲梁,其最大挠度计算公式为:δmax = (5PL^4)/(384EI) + (3ML^3)/(64EI)。
其中,δmax为梁的最大挠度,P为横向载荷,L为梁的长度,E为弹性模量,I为梁的惯性矩,M为弯矩。
第九章材料力学
压杆失稳可能有以下三种形式:
1.每根压杆两端固定分别失稳
Fcr1
I
d 4
64
2
0.5
2E d 4
EI Fcr1 2 L 2
2
64 0.5L 2
3 Ed 4
8L2
2.两杆下端固定上端自由,以 z 为中性轴弯曲失稳。
Fcr 2
Iz
d 4
64
2
2
Fcr 2
Fcr
A
2 EI
L
2
A
sin
L
x
挠曲线为半波正弦曲线
§3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式 压杆的长度因数
F F F F F
L
L
L
Fcr
EI
2
1
L
2
Fcr
2 EI
2L
2
Fcr
0.7 L
2 EI
2
Fcr
0.5L 2
2 EI
l
BC Fcr
BC FBC Fcr tan AB cot 2 FAB Fcr
arctan cot 2
2 EI LBC 2
2 EI L sin 2
两根直径为 d 的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示。 试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小 的临界荷载。(设满足欧拉公式的使用条件)
y
kL 2 cos 0 2
0
n 1,
kL cos 0 2
kL n 2 2
3,
5...
n k L
Fcr 又 k EI
工程力学 平面弯曲杆件的变形与刚度计算PPT共65页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 Biblioteka 和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一, 也是成 功的利 器之一 。没有 它,天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ,徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿.丘吉 尔。 30、我奋斗,所以我快乐。--格林斯 潘。
56、书不仅是生活,而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次,但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许,为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处, 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定,就要勇敢地 走到底 ,决不 回头。 ——左
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度
• 例133 简支梁,弯曲刚度为EI,在D处受集中力F作用,求
梁的挠曲线方程和转角方程,并确定最大挠度和最大转角。
F Ay = Fb l
F By =
Fa l
x x A a
l
F D b B x
w 解: Œ建立坐标系并写出弯矩方程
Fb M ( x ) = x ( £ x £ a ) 0 1 l Fb M 2 ( x ) = x - F ( x - a ) ( £ x £ l ) a l
当a>b时, x < a \ 最大挠度发生在 AD 段。 w max = w 1 ( x ) = Fb ( l 2 - b 2 ) 3 9 3 EIl
当a=b=l/2时, w max
Fl 3 = w x = l / 2 = 48 EI
_讨论 讨论
• 集中荷载越靠近右支座,发生最大挠度的截面越远离中间 截面,梁的最大挠度与跨中截面挠度的差值也随之增加。
大挠度及两端截面的转角。 解: Œ建立坐标系并写出弯矩方程 qlx qx 2 M ( x ) = 2 2 •建立挠曲线近似微分方程并积分
qx 3 qlx 2 EI ¢ = EI = w q + C 2 2 1 ö d w 1 æ qx qlx 6 4 ¢ ç = w ¢ = 2 ç 2 - 2 ÷ ÷ qx 4 qlx 3 dx EI è ø EIw = + C x + D 1 1 24 12 Ž 应用位移边界条件求积分常数 w 0 = 0 ( )
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a
A
x1
F C
b
Fa l
当 a>b 时——
6lEI
B
max
x2
Fab( l a ) max B 6lEI 当 a>b 时——最大挠度发生在AC段
0 x l 2 b2 3 a( a 2b ) 3
xa
最大挠度一定在左侧段
x x
max 1
2 Fb 1 ( x x ) ( l b 2 )3 9 3 EIl
19
Fb l
讨论:1、此梁的最大挠度和最大转角。 左 1 max 1 0 x1 0 右 2 max 2 0 x 2 l 侧 侧 Fab( l b ) Fab( l a ) 段: 1 max A 段: 2 max B 6lEI
§9-1 挠曲线 挠度和转角
§9-2 挠曲线的近似微分方程
§9-3 积分法求梁的变形 §9-4 叠加法求梁的变形 §9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §9-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
研究范围:等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的:①对梁作刚度校核; ②解超静定梁(为变形几何条件提供补充方程)。
式中,C1、D1是积分常数,可通过梁的边界条件(支座 的约束条件)确定。
梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时,弯 矩方程需分段写出,各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积 分常数还要利用连续性条件,才能求出。 7
二、位移边界条件
A F C B F D
支座位移条件: A 0 B 0 Nhomakorabea
18
⑸跨中点挠度及两端端截面的转角
x L 2
Fb ( 3l 2 4b 2 ); 48 EI
Fbx1 2 2 l b x12 6lEI Fb 2 1 1 ( l 2 b 2 ) 3 x1 6lEI
1
x L
2
Fb l 2 4b2 24lEI
5
§9-2
挠曲线的近似微分方程
x
1 M( x ) EI
M>0
(1)
ω
0
1
x
1 ( x )
( x )
小变形
3 2 2
( x )
M( x ) ( x ) EI
ω
M<0 0
d 2 M( x ) 2 dx EI
3
M a
b
A
B
M a
b
A
B
M
A a b A
d
B a b B
M
变形后
4
θ(x)
θ(x) C ω(x)
P x
二、转角与挠曲线的关系:
ω
C1
d tg dx
单位 挠度 转角 mm rad
小变形
(1)
正负
与ω轴正向一致为正,反之为负。 挠曲线上某点处的斜率为正, 则该处横截面的转角为正。
右侧段(a≤x2≤L):
Fb x2 F ( x2 a ) l Fb 2 F ( x2 a )2 EI EI 2 x2 C2 2l 2 EI 2
Fb 3 F ( x2 a )3 Fb 3 x2 C 2 x2 D2 EI1 x1 C1 x1 D1 EI 2 6l 6 6l
a
A
F
C
b
B
max
Fl ; 16 EI B
x L 2
A
2
max C
Fl 3 48 EI
21
§9-4
叠加法求梁的变形
一、前提条件:线弹性、小变形。 二、叠加原理:各荷载同时作用下,梁任一截面的挠度或转角, 等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
M ( x ) F ( l x )
F l
x
ω
x
⑵写出微分方程并积分
d 2 M( x ) F( l x ) 2 dx EI EI
1 EI EI Flx Fx 2 C1 2 1 1 EI Flx2 Fx 3 C1 x D1 2 6
C1 0 D1 0
1 2 C 2 2 Fa 1 D2 Fa 3 6
x a , 连续性条件 x a ,
13
C1 0 D1 0
1 2 C 2 2 Fa 1 D2 Fa 3 6
max
max
1 2 1 2 Fl 2 (l ) Fl Fl EI 2 2 EI
1 Fl 3 Fl 3 Fl 3 ( l ) EI 2 6 3 EI
11
[例9-2] 如图所示悬臂梁,弯曲刚度EI为常数。试求该梁 的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。 解:⑴建立坐标系并写出弯矩方程
(2)
式(2)就是挠曲线近似微分方程。 6
§9-3
积分法求梁的变形
一、求挠曲线方程(弹性曲线)
确定挠曲线方程的基本方法: 积分法 d M( x ) dx C1 dx EI d 2 M( x )
dx
2
EI
M( x ) dxdx C1 x D1 EI
两端支座处的转角—— Fab( l b ) ; A 6lEI ⑹求最大挠度
l 2 b2 a( a 2b ) 3 3
Fab( l a ) B 6lEI
当θ =ω ′=0时,ω 取极值。(先研究梁段AC)
x
当a>b时,x值将小于a,最大
挠度将发生在AC段中。
max
17
⑶应用位移边界条件和连续条件求积分常数
x 0 , 1 0 x l , 2 0
Fb 2 x x a EI1 EI ( x2 a x)12 C1 1 2 Fb 2 F EI EI 2 x2 C2 2 l 2Fb l 2 1 2 3 1 2 , 1 2 EI x C x D
B ( F1 , F2 , , Fn ) B1 ( F1 ) B 2 ( F2 ) Bn ( Fn )
( F1 , F2 , , Fn ) B1 ( F1 ) B 2 ( F2 ) Bn ( Fn )
D1 D2 0
1 1 3 1 1 Fb F6 (l x2 a ) 3 EI 2 x2 C 2 x2 D2 6l 6 1
Fb 2 2 C1 C 2 ( l b ); 6l
⑷确定挠曲线和转角方程 左侧段(0≤x1≤a): 右侧段(a≤x2≤L):
Fb l 3 3 2 2 Fbx1 2 2 2 2 ( x2 a ) x2 ( l b ) x2 l b x1 1 6lEI b 6lEI Fb l 1 2 2 2 2 Fb 2 2 2 ( x2 a ) x2 ( l b ) 1 1 ( l b ) 3 x1 2 2 2lEI b 3 6lEI
16
Fb M ( x1 ) x1 l
⑵写出微分方程并积分
Fb l
a
( 0 x1 a )
A
x1
F
C
b
Fa l
Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) ( a x2 l ) l
B
x2
左侧段(0≤x1≤a):
Fb x1 l Fb 2 EI EI1 x1 C1 2l EI1
1 2 Fax Fx C1 EI EI 2 C 2
1 1 2 3 Fax Fx C1 x D1 EI 2 6 C 2 x D2
14
⑷最大挠度及最大转角
F 2ax x 2 ( 0 x a ) 1 2 EI 2 Fa 1 max ( a ) 2 Fa 2 ( a x l ) 2 EI 2 EI F 2 2 3a 2 x a 3 ( a x l ) Fa 2 max ( l ) ( 3l a ) 6 EI
F ( x a ) M( x ) 0 (0 x a ) (a x l )
a l ω
F x
⑵写出微分方程并积分
F ( a x ) EI 0
(0 x a ) (a x l )
1 2 Fax Fx C1 EI EI 2 C 2
连续条件: 光滑条件:
D 0
或写成
D 0
C 右
8
C C
或写成 C 左 C 右
C左
C C
[例9-1] 如图所示悬臂梁,弯曲刚度EI为常数。试求该梁 的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。 解: ⑴建立坐标系并写出弯矩方程
12
1 2 Fax Fx C1 EI EI 2 C 2
1 1 2 3 Fax Fx C1 x D1 EI 2 6 C 2 x D2
a l ω
F x
⑶确定积分常数并写出转角方程和挠曲线方程 边界条件
x 0, 0 x 0, 0
10
⑷写出梁的转角方程和挠曲 线方程并画出曲线
1 Fx Flx EI 2 1 Flx 2 Fx 3 EI 2 6