材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)

(2)
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 6
§9-3
积分法求梁的变形
一、求挠曲线方程（弹性曲线）
确定挠曲线方程的基本方法： 积分法 d M( x ) dx C1 dx EI d 2 M( x )
dx
2

EI
M( x ) dxdx C1 x D1 EI
B ( F1 , F2 , , Fn ) B1 ( F1 ) B 2 ( F2 ) Bn ( Fn )
( F1 , F2 , , Fn ) B1 ( F1 ) B 2 ( F2 ) Bn ( Fn )
(a) (b)
9
⑶应用位移边界条件求积分常数 边界条件 x 0， 0；
F
l
x 0， 0
把边界条件代入式(a)、(b) 中，可得
C1 0， D1 0
x
ω
EI EI Flx
x
1 2 Fx C1 2
EI
1 1 Flx 2 Fx 3 C1 x D1 2 6
连续条件： 光滑条件：
D 0
或写成
D 0
C 右
8
C C
或写成 C 左 C 右
C左
C C
[例9-1] 如图所示悬臂梁，弯曲刚度EI为常数。试求该梁 的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 解： ⑴建立坐标系并写出弯矩方程
D1 D2 0
1 1 3 1 1 Fb F6 (l x2 a ) 3 EI 2 x2 C 2 x2 D2 6l 6 1
Fb 2 2 C1 C 2 ( l b ); 6l
⑷确定挠曲线和转角方程 左侧段（0≤x1≤a）： 右侧段（a≤x2≤L）：
Fb l 3 3 2 2 Fbx1 2 2 2 2 ( x2 a ) x2 ( l b ) x2 l b x1 1 6lEI b 6lEI Fb l 1 2 2 2 2 Fb 2 2 2 ( x2 a ) x2 ( l b ) 1 1 ( l b ) 3 x1 2 2 2lEI b 3 6lEI
两端支座处的转角—— Fab( l b ) ; A 6lEI ⑹求最大挠度
l 2 b2 a( a 2b ) 3 3
Fab( l a ) B 6lEI
当θ =ω ′=0时，ω 取极值。(先研究梁段AC）
x
当a>b时，x值将小于a，最大
挠度将发生在AC段中。
max
2 Fb 1 ( x x ) ( l b 2 )3 9 3 EIl
19
Fb l
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。 左 1 max 1 0 x1 0 右 2 max 2 0 x 2 l 侧 侧 Fab( l b ) Fab( l a ) 段： 1 max A 段： 2 max B 6lEI
F ( x a ) M( x ) 0 (0 x a ) (a x l )
a l ω
F x
⑵写出微分方程并积分
F ( a x ) EI 0
(0 x a ) (a x l )
1 2 Fax Fx C1 EI EI 2 C 2
3
M a
b
A
B
M a
b
A
B
M
A a b A
d
B a b B
M
变形后
4
θ(x)
θ(x) C ω(x)
P x
二、转角与挠曲线的关系：
ω
C1
d tg dx
单位 挠度 转角 mm rad
小变形

(1)
正负
与ω轴正向一致为正，反之为负。 挠曲线上某点处的斜率为正， 则该处横截面的转角为正。
17
⑶应用位移边界条件和连续条件求积分常数
x 0 , 1 0 x l , 2 0
Fb 2 x x a EI1 EI ( x2 a x)12 C1 1 2 Fb 2 F EI EI 2 x2 C2 2 l 2Fb l 2 1 2 3 1 2 , 1 2 EI x C x D
a
A
F
C
b
B
max
Fl ; 16 EI B
x L 2
A
2
max C
Fl 3 48 EI
21
§9-4
叠加法求梁的变形
一、前提条件：线弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角， 等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
5
§9-2
挠曲线的近似微分方程
x
1 M( x ) EI
M>0


(1)
ω
0
1

x

1 ( x )
( x )
小变形
3 2 2

( x )
M( x ) ( x ) EI
ω
M<0 0
d 2 M( x ) 2 dx EI
右侧段（a≤x2≤L）：
Fb x2 F ( x2 a ) l Fb 2 F ( x2 a )2 EI EI 2 x2 C2 2l 2 EI 2
Fb 3 F ( x2 a )3 Fb 3 x2 C 2 x2 D2 EI1 x1 C1 x1 D1 EI 2 6l 6 6l
12
1 2 Fax Fx C1 EI EI 2 C 2
1 1 2 3 Fax Fx C1 x D1 EI 2 6 C 2 x D2
a l ω
F x
⑶确定积分常数并写出转角方程和挠曲线方程 边界条件
x 0, 0 x 0, 0
Fb ( l 2 b 2 )3 9 3lEI
20
l x 0.577l 若b值很小， 3
1
x l 2
max
Fbl 2 Fbl 2 0.0642 EI 9 3l
Fbl 2 Fbl 2 0.0625 16 EI EI
可以用跨中截面的挠度代替 挠度最大值。
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。
1 2 Fax Fx C1 EI EI 2 C 2
1 1 2 3 Fax Fx C1 x D1 EI 2 6 C 2 x D2
14
⑷最大挠度及最大转角
F 2ax x 2 ( 0 x a ) 1 2 EI 2 Fa 1 max ( a ) 2 Fa 2 ( a x l ) 2 EI 2 EI F 2 2 3a 2 x a 3 ( a x l ) Fa 2 max ( l ) ( 3l a ) 6 EI
a l ω
F x
把上式代入右式得
F 2ax x 2 ( 0 x a ) 1 2 EI 1 2 Fa 2 ( a x l ) 2 EI
F 3ax 2 x 3 ( 0 x a ) 1 6 EI F 3a 2 x a 3 ( a x l ) 2 6 EI
M ( x ) F ( l x )
F l
x
ω
x
⑵写出微分方程并积分
d 2 M( x ) F( l x ) 2 dx EI EI
1 EI EI Flx Fx 2 C1 2 1 1 EI Flx2 Fx 3 C1 x D1 2 6


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⑸跨中点挠度及两端端截面的转角

x L 2
Fb ( 3l 2 4b 2 ); 48 EI
Fbx1 2 2 l b x12 6lEI Fb 2 1 1 ( l 2 b 2 ) 3 x1 6lEI
1


x L
2
Fb l 2 4b2 24lEI
C1 0 D1 0
1 2 C 2 2 Fa 1 D2 Fa 3 6
x a , 连续性条件 x a ,
13
C1 0 D1 0
1 2 C 2 2 Fa 1 D2 Fa 3 6
式中，C1、D1是积分常数，可通过梁的边界条件（支座 的约束条件）确定。
梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时，弯 矩方程需分段写出，各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积 分常数还要利用连续性条件，才能求出。 7
二、位移边界条件
A F C B F D
支座位移条件：
A 0 B 0
max
max
1 2 1 2 Fl 2 (l ) Fl Fl EI 2 2 EI
1 Fl 3 Fl 3 Fl 3 ( l ) EI 2 6 3 EI
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[例9-2] 如图所示悬臂梁，弯曲刚度EI为常数。试求该梁 的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 解：⑴建立坐标系并写出弯矩方程
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Fb M ( x1 ) x1 l
⑵写出微分方程并积分
Fb l
a
( 0 x1 a )
A
x1
F
C
b
Fa l
Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) ( a x2 l ) l
B
x2
左侧段（0≤x1≤a）：
Fb x1 l Fb 2 EI EI1 x1 C1 2l EI1
§9-1 挠曲线 挠度和转角
§9-2 挠曲线的近似微分方程
§9-3 积分法求梁的变形 §9-4 叠加法求梁的变形 §9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §9-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
10
⑷写出梁的转角方程和挠曲 线方程并画出曲线
1 Fx Flx EI 2 1 Flx 2 Fx 3 EI 2 6
2
F L x
(c)
ω
(d)
⑸最大转角及最大挠度
1 2 EI EI Flx Fx C1 2 1 1 3 2 EI Flx Fx C1 x D1 2 6
2
§9-1
其方程为：
挠曲线 挠度和转角
ω =ω （x) θ(x) C P x
一、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
梁变形用两个量来描述 ω
ω(x) C1
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω 表示。 2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针 转动为正，反之为负。
a
A
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x1
F C
b
Fa l
当 a＞b 时——
6lEI
B
max
x2
Fab( l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
0 x l 2 b2 3 a( a 2b ) 3
xa
最大挠度一定在左侧段
x x
max 1
6 EI
a l ω
F x
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[例9-3]求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数,
Fb l
a b l)
a
A
x1
F C
b
Fa l
B
x2
解：⑴建立坐标系并写出弯矩方程
Fb M ( x1 ) x1 l
( 0 x1 a )
Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) ( a x2 l ) l