虚功原理证明
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A
单位位移法的虚功方程
单位荷载法的虚功方程
平衡方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线 P P A B
X
C
C
a
b (a)
X
(b)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 X P 0
对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
3Δ/2
XA 0 Δ YA P / 2
P
2Δ
YB P / 2
P P 3 2 P 0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和 : 将位移分析化为平衡问题来求解。 W=∫dWi =δWi W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 几个问题 :
故有δWe=δWi成立。
（4）变形体虚功方程的展开式 δWi 的计算: q M dM M
三、变形体的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和 充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即 →. → Σf δr =0
i i
FP1
FN1
FP 2
m1 m2
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是：
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 1. 虚功原理里存在两个状态： 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和 δ W i。 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 变形体虚功原理的证明 : 条件。因此原理仅是必要性命题。 q x b a b b a b a a b
力状态 （虚力状态）
P2
12
位移状态 （虚位移状态）
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移 例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 P P P M
微段外力:
N
N dN
Q ds Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
微段弯曲
ds
ds 微段剪切
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
2 1
W P
W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
A B
P
W P A P B P( A B ) P
B A W M A M B M ( A B ) M
t C
P
t
W Pt
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real ห้องสมุดไป่ตู้ork)和虚功 (Virtual Work)
21 22
P2
注意： P1 （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 11 应满足变形协调条件； 12 力状态应满足平衡条件。 P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
δ We = δ Wi
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:
q x
a
a
a
a
b b
b b b
1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 为两部分 相互作用力 微段外力功 体系外力功dWe 分为两部分 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
§4-2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功 P 1 W P 2 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
C
单位位移法(Unit-Displacement Method)
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A 1 c B A B C C A b C a Y(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 (2)虚设的力状态与实 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 际位移状态无关，故 Y b / a M 0 由 B 求得： A 可设单位广义力 P=1 1 YA c 0 (3)求解时关键一步是 虚功方程为： 找出虚力状态的静力 bc / a 解得： 平衡关系。 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) (4)是用静力平衡法来 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 解几何问题。 Maxwell-Mohr Method
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 1.利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 所有微段的外力虚功之和 W 变形体，适用于任何结构。 微段外力分 体系外力 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 相互作用力 为两部分 变形位移 ab ab 3. 原理可有两种应用： 微段外力功 体系外力功dWe 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 分为两部分 相互作用力功dWn 分为两部分 在变形位移上的功dWi 将平衡问题化为几何问题来求解。 微段外力功 dW= dWe+dWn 微段外力功 dW= dWg+dWi 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
(c)
由外力虚功总和为零，即： X M 0 实际受力状态的平衡方程 B X bP / a 将 X / C a / b 代入得: (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 x 1 X 1 x 通常取
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题
单位位移法的虚功方程
单位荷载法的虚功方程
平衡方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线 P P A B
X
C
C
a
b (a)
X
(b)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 X P 0
对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
3Δ/2
XA 0 Δ YA P / 2
P
2Δ
YB P / 2
P P 3 2 P 0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和 : 将位移分析化为平衡问题来求解。 W=∫dWi =δWi W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 几个问题 :
故有δWe=δWi成立。
（4）变形体虚功方程的展开式 δWi 的计算: q M dM M
三、变形体的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和 充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即 →. → Σf δr =0
i i
FP1
FN1
FP 2
m1 m2
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是：
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 1. 虚功原理里存在两个状态： 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和 δ W i。 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 变形体虚功原理的证明 : 条件。因此原理仅是必要性命题。 q x b a b b a b a a b
力状态 （虚力状态）
P2
12
位移状态 （虚位移状态）
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移 例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 P P P M
微段外力:
N
N dN
Q ds Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
微段弯曲
ds
ds 微段剪切
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
2 1
W P
W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
A B
P
W P A P B P( A B ) P
B A W M A M B M ( A B ) M
t C
P
t
W Pt
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real ห้องสมุดไป่ตู้ork)和虚功 (Virtual Work)
21 22
P2
注意： P1 （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 11 应满足变形协调条件； 12 力状态应满足平衡条件。 P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
δ We = δ Wi
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:
q x
a
a
a
a
b b
b b b
1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 为两部分 相互作用力 微段外力功 体系外力功dWe 分为两部分 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
§4-2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功 P 1 W P 2 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
C
单位位移法(Unit-Displacement Method)
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A 1 c B A B C C A b C a Y(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 (2)虚设的力状态与实 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 际位移状态无关，故 Y b / a M 0 由 B 求得： A 可设单位广义力 P=1 1 YA c 0 (3)求解时关键一步是 虚功方程为： 找出虚力状态的静力 bc / a 解得： 平衡关系。 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) (4)是用静力平衡法来 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 解几何问题。 Maxwell-Mohr Method
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 1.利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 所有微段的外力虚功之和 W 变形体，适用于任何结构。 微段外力分 体系外力 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 相互作用力 为两部分 变形位移 ab ab 3. 原理可有两种应用： 微段外力功 体系外力功dWe 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 分为两部分 相互作用力功dWn 分为两部分 在变形位移上的功dWi 将平衡问题化为几何问题来求解。 微段外力功 dW= dWe+dWn 微段外力功 dW= dWg+dWi 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
(c)
由外力虚功总和为零，即： X M 0 实际受力状态的平衡方程 B X bP / a 将 X / C a / b 代入得: (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 x 1 X 1 x 通常取
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题