虚功原理证明
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3.8 刚体体系的虚功原理
二、应用虚功原理求解静定结构的约束力
P A a X C B b P C B a b
单位支座位移法 p
A
X
x
将求约束力的问题转化为求机构平衡力的问题
4
应用虚功原理求静定结构的约束力Fx (支座反力或内力) ： 1）去掉Fx约束代以未知主动力，施加单位支座位移形成机构； 2）建立虚位移方程； 3）由位移几何关系解出未知力。
机构的平衡问题
关键：机构虚位移的几何关系
单位支座位移法，单位约束位移法，单位位移法
5
用虚位移原理求内力的问题
1）求截面C的弯矩 m
c
a b
内力：相互作用的约束力 2）求截面C的剪力 q
c
a b
l
l
m
a
Mc Mc
b
q
C
QC
a
QC
l
b
l
M c m 0
Qc a b q y dx 0
A
A
A
（a） N1
（b）N 2
（c） N1 N 2
N1 N2 0
P B A
N AB
P 2 P 2
N1 N2
N AB
10
（4）构造作等效变换的影响 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分内力不变
P
A NAB A NAB B
11
B
作业：3-27(a, d)
12
P 3 3 b 3b cot X 2 2 2c 4c
（3）解方程求X
D
E
3c
y d
c
A
C
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
虚功原理
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
虚功原理(微分形式的变分原理)
1 Fcos sin m sin 0 1 m 1g 1 2g 2 1 F cos m g sin 0 2 2 2 2
广义平衡方程
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:
2F tan 1 2 m m g 2 1 tan 2 F 2 m2 g
Q δq 0
1
s
Q δ q Q δ q Q δ q 0 1 1 2 2 s s
δ q 若 δ q 0 相互独立 1
Q q 0 1 1
δ q ,..., δ q 0 2 s
Q 1 0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
同 , 若 理 δ q 0 1
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
一、虚功原理
受有理想约束[、 定常约束]的力学系统, 保持[静]平 衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零. n Fi δri 0
i1
在直角坐标系中, 上式写成
( F δ x F δ y F δ z) 0
i 1 ix i iy i iz i n
i 1 i 1
对理想约束
0 0 n F r i δ i 0
i 1
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
充分条件的证明： 若系统的主动力虚功之和为零, 对于受有理想约束的系统
F ri 0 i δ 1 n i n F δ r F δ r 0 i i Ri i
应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求 的条件； (2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； (3)分析并图示系统受到的主动力； (4)通过坐标变换方程, 将虚功原理化成
结构力学-虚功原理
R
G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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理论力学15-2虚功原理N
1 x B yC tan 2 1 [ FCy F ( tan )]yC 0 2 δyC 是任意的，∴ 1 FCy F tan ( ) 2
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
四、虚位移原理应用
一) 用虚位移原理求平衡位置的主动力
基本步骤： 1. 受力分析 画出全部可作虚功的主动力； 2. 虚位移分析 1) 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2) 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 3. 使用虚位移原理：
若求B点约束反力，虚位移图？
若求A点约束反力，虚位移图？
二) 用虚位移原理求平衡时的约束反力 虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一假想的主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
虚功原理及其应用
c 2r cos
o
l mg(2r cos 2 cos ) 0 2
l 2r cos 2 cos 2
y D [(2r cos l / 2)sin ] r ( r sin 2 l / 2sin ) l (2r cos 2 cos ) y 2 ri W Fi ri mg yD 0 Q Fi i qk i
坐标的表示式为： s ri ri ri ri ri q1 q2 qs qk q1 q2 qs k 1 qk 代入虚功原理：
s ri W Fi qk i k 1 qk
ri ( Fi )qk 0 qk k 1 i 1
①
因 在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须有：
3l r sin 2r sin 0
2r sin 3l r sin
②
x1 2r sin l r sin
又由 x1 2r cos l r cos 得：
2r cos l r cos
③
由②③可得：
tan 3 tan
例4：如下图示，已知P、l，求：轻杆所受的力？
解：自由度为1，广义坐标取为 ,体系所受 主动力如图所示，有用坐标为：y l cos
E
A B
4P
E
x D TD
xD l sin xB l sin
重力是主动力
o
x
3
由虚功原理:
n i 1
1
2
Fi ri 0
P1y1 P2y 2 P3y3 0
理论力学第5章第2节虚功原理
z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
r irj 2lij20
因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即
ri rj . 由约束方程可知, 虚位移满足
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为
f(x,y,z)0
质点的虚位移应满足
f(x ,y ,z)δ x f(x ,y ,z)δ y f(x ,y ,z)δ z 0
由此解得
ta1 n(m 1 22 F m 2)g, tan 2m 22 F g
6 约束力的求解——拉格朗日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡
条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格 朗日乘子法.
n个质点组成的系统, 有k个完整约束
f(x,y,z)0 ( 1 ,2 , ,k) (5.14)
Ri
Rj
2 r i r jδ r i δ r j 0
因此约束力的虚功
δ W R i δ r i R j δ r j r i r jδ r i δ r j 0
3 虚功原理
当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的主动 Fi和 力约束 Ri的合力 力应
为零, 即
F iR i0
(5.7)
于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
r irj 2lij20
因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即
ri rj . 由约束方程可知, 虚位移满足
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为
f(x,y,z)0
质点的虚位移应满足
f(x ,y ,z)δ x f(x ,y ,z)δ y f(x ,y ,z)δ z 0
由此解得
ta1 n(m 1 22 F m 2)g, tan 2m 22 F g
6 约束力的求解——拉格朗日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡
条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格 朗日乘子法.
n个质点组成的系统, 有k个完整约束
f(x,y,z)0 ( 1 ,2 , ,k) (5.14)
Ri
Rj
2 r i r jδ r i δ r j 0
因此约束力的虚功
δ W R i δ r i R j δ r j r i r jδ r i δ r j 0
3 虚功原理
当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的主动 Fi和 力约束 Ri的合力 力应
为零, 即
F iR i0
(5.7)
于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零
13–5 卡氏定理 13–6 虚功原理
* i 1
n
将杆件视为无数微段的组合，虚功为： W * dW *
L
We* Wi* V
*
F1 1 F2 2 ... lq( x) ( x)dx ... M
在小变形情况下虚功原理适用于一般可变形体。
虚功原理：在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一 个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁 F11 F2 2 ... lq( x) ( x)dx ... M 的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功。
V n Pn
卡氏第二定理 线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导 数等于相应于该力的广义位移 ，即卡氏第二定理
意大利工程师—阿尔伯托· 卡斯提安诺(Alberto Castigliano，
1847～1884)
二、使用卡氏定理的注意事项：
P 1 P2
①Vε——整体结构在外载作用下的线
因为虚位移是连续的两个相邻微段的公共截面因为虚位移是连续的两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的但相邻微段公共截面上的位移和转角是相同的但相邻微段公共截面上的内力却大小相等方向相反作用力和反作用的内力却大小相等方向相反作用力和反作用力力故它们所作的虚功相互抵消即杆件上力力故它们所作的虚功相互抵消即杆件上所有内力所做的虚功之和为零故所有内力所做的虚功之和为零故杆件的总虚功杆件的总虚功即为外力在虚位移上所做的虚功即为外力在虚位移上所做的虚功
§13–5 卡氏定理 在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条 件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为，
n 1 1 1 1 V P 1 P2 2 Pn n Pi i 1 i 12 2 2 2
即，在上述条件下，弹性体内的变形能与外力加 载的次序（加载路径）无关。
n
将杆件视为无数微段的组合，虚功为： W * dW *
L
We* Wi* V
*
F1 1 F2 2 ... lq( x) ( x)dx ... M
在小变形情况下虚功原理适用于一般可变形体。
虚功原理：在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一 个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁 F11 F2 2 ... lq( x) ( x)dx ... M 的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功。
V n Pn
卡氏第二定理 线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导 数等于相应于该力的广义位移 ，即卡氏第二定理
意大利工程师—阿尔伯托· 卡斯提安诺(Alberto Castigliano，
1847～1884)
二、使用卡氏定理的注意事项：
P 1 P2
①Vε——整体结构在外载作用下的线
因为虚位移是连续的两个相邻微段的公共截面因为虚位移是连续的两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的但相邻微段公共截面上的位移和转角是相同的但相邻微段公共截面上的内力却大小相等方向相反作用力和反作用的内力却大小相等方向相反作用力和反作用力力故它们所作的虚功相互抵消即杆件上力力故它们所作的虚功相互抵消即杆件上所有内力所做的虚功之和为零故所有内力所做的虚功之和为零故杆件的总虚功杆件的总虚功即为外力在虚位移上所做的虚功即为外力在虚位移上所做的虚功
§13–5 卡氏定理 在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条 件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为，
n 1 1 1 1 V P 1 P2 2 Pn n Pi i 1 i 12 2 2 2
即，在上述条件下，弹性体内的变形能与外力加 载的次序（加载路径）无关。
04-课件：6.2 虚功原理
原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0
虚位移原理
yA lsin yA lcos
则 : FA tan
FB
例3：图示系统中除连接H点的两杆长度为l 外, 其余各杆长 度均为2l, 弹簧的弹性系数为k, 当未加水平力 P 时弹簧不受 力，且 = 0 ，求平衡时水平力P 的大小。
解：自由度1，广义坐标，弹簧内 力做功，需将其断开，用弹簧力表 示，才能满足虚位移原理的条件。
基本步骤：
m3g
1.确定系统是否满足原理的应用条件
2.分析主动力作用点的虚位移
3.求主动力的虚功之和
n Fi δ ri 0
i 1
rA
A
rC1
O
M m1g rC2
m2g
rB
B
F
解： δ rA δ rB δ rA δ rB L δ m3g
δW 0
ri
0
i 1
n
Fi
ri
0
i 1
与命题矛盾
所以，质点系必定平衡。
解题步骤:
几何法：
δ w
n
Fi
δ
ri
0
i 1
解析法：
n
δ w (Fxi δ xi Fyi δ yi Fzi δ zi ) 0 i 1
1 确定自由度数，选广义坐标。 1 确定自由度数，选广义坐标。
（2）虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条 件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
n
δ w Fi δ ri 0
—几何法
i 1
n
δ w (Fxi δ xi Fyi δ yi Fzi δ zi ) 0 —解析式
则 : FA tan
FB
例3：图示系统中除连接H点的两杆长度为l 外, 其余各杆长 度均为2l, 弹簧的弹性系数为k, 当未加水平力 P 时弹簧不受 力，且 = 0 ，求平衡时水平力P 的大小。
解：自由度1，广义坐标，弹簧内 力做功，需将其断开，用弹簧力表 示，才能满足虚位移原理的条件。
基本步骤：
m3g
1.确定系统是否满足原理的应用条件
2.分析主动力作用点的虚位移
3.求主动力的虚功之和
n Fi δ ri 0
i 1
rA
A
rC1
O
M m1g rC2
m2g
rB
B
F
解： δ rA δ rB δ rA δ rB L δ m3g
δW 0
ri
0
i 1
n
Fi
ri
0
i 1
与命题矛盾
所以，质点系必定平衡。
解题步骤:
几何法：
δ w
n
Fi
δ
ri
0
i 1
解析法：
n
δ w (Fxi δ xi Fyi δ yi Fzi δ zi ) 0 i 1
1 确定自由度数，选广义坐标。 1 确定自由度数，选广义坐标。
（2）虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条 件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
n
δ w Fi δ ri 0
—几何法
i 1
n
δ w (Fxi δ xi Fyi δ yi Fzi δ zi ) 0 —解析式
第二节虚功原理
n
m
× a m • ζ cos ϕ t = 0
桁架杆件在轴向荷载作用下虚功原理的推导
qx ( x)
i j
∂N + qx ( x) = 0 ∂x
qx ( x)
N ( x)
N ( x + ∆x )
∆x
x
∂u = ε ( x) ∂x
桁杆的虚位移原理
∂N ∫ δu( x )( ∂x + q x ( x ))dx = 0 0
n n virtul _ work = ∑ P m • δ η + ∑ P m × a m • δ ζ m =1 m =1 virtul _ work = 0
m =1
∑P
n
m
• δ η cos ϕ t +
n
m =1
∑P
n
m
× a m • δ ζ cos ϕ t = 0
n
m =1
∑P
m
=0
m =1
∑P
m
× am = 0
n n virtul _ work = ∑ δ P m • η + ∑ δ P m × a m • ζ = 0 m =1 m =1
m =1
∑δ P
n
m
• η cos ϕ t +
m =1
∑δ P
W = P∆
通常将上述状态图形分画在两个图中，称为力状态和位移状态。 通常将上述状态图形分画在两个图中，称为力状态和位移状态。
三、虚功原理 Ⅰ.虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变 形体系上所有外力所做的虚功总和W，等于变形体系各微 段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功U。即外力虚功 等于变形虚功（或称虚应变能）。
虚功原理
虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的， 必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到 的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲， 的两个方面 ， 力和位移并不是随意的 。 对于力来讲 ， 它必须 是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲， 是在位移过程中处于平衡的力系 ； 对于位移来讲 ， 虽然是虚 位移，但并不是可以任意发生的。 位移 ， 但并不是可以任意发生的 。 它必须是和约束条件相符 合的微小的刚体位移。 合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时， 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约 束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。 束力方向的位移应为零 ， 因而该约束力所作的虚功也应为零 。 这时该约束力叫做被动力 如图1 被动力。 由于支点C 这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力Rc ，由于支点C 没有位移， 所作的虚功对于零) 反之，如图1 没有位移，故 Rc 所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的
虚功原理及虚功方程
PA
A
Rc
C B
PB
图 1-8a 示一平衡的杠杆 ， 对 C 点写力矩平衡方程： 点写力矩平衡方程：
(a)
P b A = P a B
B
图 1-8b 表示杠杆绕支点 C 转动 表示杠杆绕支点C 时的刚体位移图： 时的刚体位移图： ∆ b
b
a
∆A
综合可得： 综合可得：
=
a
A'
∆A
P b ∆B A = = P a ∆A B
虚功原理---虚功原理----用于弹性体的情况
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 式中{δ *}T 是{δ *} 的转置矩阵。 的转置矩阵。
怎么证明虚功原理的充分性
怎么证明虚功原理的充分性要证明虚功原理的充分性，需要进行如下步骤：1. 假设存在一力学系统，在任意虚位移时，系统的虚功为零，即：∑Fi·δri = 0其中，∑Fi表示系统中所有作用力的矢量和，δri表示虚位移的矢量。
2. 根据虚功原理的定义，我们可以将上述虚功表达式转化为：∑(Fi·δri) = ∑(Fi·vi)dt = 0其中，vi表示虚位移的速度。
3. 根据向量内积的定义，将上式展开可得：∑(Fi·dri) = ∑(Fi·vi)dt = ∑(Fi·vi)·dt = 0其中，(Fi·dri)表示力Fi与虚位移dri的点积。
4. 引入广义坐标的概念，将力Fi表示为广义坐标qi的函数，即Fi = Fi(q1, q2, ..., qn)，其中，n为系统的自由度。
5. 对上式进行变换，得到：∑(∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi)dt = 0其中，qi表示广义坐标，∂qi/∂t表示qi对时间的偏导数。
6. 对上式进行展开和整理可得：∑(∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi)dt = ∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi·dt = 0即：∑(Fi·∂qi/∂t)·δqi = 07. 由于上式对任意的虚位移δqi均成立，所以，我们可以得到：∑(Fi·∂qi/∂t) = 0即：系统中任意一个力的广义力矩的总和为零。
综上所述，通过以上推导，我们证明了虚功原理的充分性，即当系统中力的广义力矩的总和为零时，任意虚位移时系统的虚功为零。
虚功原理
Theoretical Mechanics
I § 15-2 虚位移原理 15P
E δθ1 A 2a δθ2 δθ2
例题
δrF
F G
δrG Q
δθ3 a D 2a
δrE
B 2a C
RC
利用虚位移图计算虚功. δW(Q) = Qaδθ1
δW(P) = Paδθ1
2 δr 2 E
δW ( RC ) = RC
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15设具有(双面,定常)理想约束的质点系,在某一位 置处于平衡状态的必要与充分条件是:所有作用于质 点系的主动力,在该位置的任何虚位移中所作的元功 之和等于零. 数学表达式
i =1 n
∑ F δ r = 0
i i
n
数学证明
i
∑ ( X δx + Y δy ) = 0
a
a
δrB
δrC = ACδθ1= ACδθ2 δθ1 = δθ2
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15利用虚位移图计算虚功. δW(m) = -m δθ1 δW(YB) =-2aYBδθ2 δW(P) = aP δθ2
a
A δθ2 δθ1 δθ2
例题
m
C
P δrC YB
i =1 i i i
虚功方程或静力学普遍方程 虚位移原理又称为虚功原理
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15虚位移原理的应用 求解复杂系统的平衡问题. 1)选取适当的广义坐标. 2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系. 3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解主动力之间的关系.
I § 15-2 虚位移原理 15P
E δθ1 A 2a δθ2 δθ2
例题
δrF
F G
δrG Q
δθ3 a D 2a
δrE
B 2a C
RC
利用虚位移图计算虚功. δW(Q) = Qaδθ1
δW(P) = Paδθ1
2 δr 2 E
δW ( RC ) = RC
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15设具有(双面,定常)理想约束的质点系,在某一位 置处于平衡状态的必要与充分条件是:所有作用于质 点系的主动力,在该位置的任何虚位移中所作的元功 之和等于零. 数学表达式
i =1 n
∑ F δ r = 0
i i
n
数学证明
i
∑ ( X δx + Y δy ) = 0
a
a
δrB
δrC = ACδθ1= ACδθ2 δθ1 = δθ2
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15利用虚位移图计算虚功. δW(m) = -m δθ1 δW(YB) =-2aYBδθ2 δW(P) = aP δθ2
a
A δθ2 δθ1 δθ2
例题
m
C
P δrC YB
i =1 i i i
虚功方程或静力学普遍方程 虚位移原理又称为虚功原理
Theoretical Mechanics
§ 15-2 虚位移原理 15虚位移原理的应用 求解复杂系统的平衡问题. 1)选取适当的广义坐标. 2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系. 3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解主动力之间的关系.
虚功原理证明
δ We = δ Wi
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:
q x
a
a
a
a
b b
b b b
1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 为两部分 相互作用力 微段外力功 体系外力功dWe 分为两部分 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
微段外力:
N
N dN
Q成:
微段拉伸
ds
微段弯曲
ds
ds 微段剪切
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
2 1
W P
W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
A B
P
W P A P B P( A B ) P
B A W M A M B M ( A B ) M
t C
P
t
W Pt
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
虚位移原理的证明 虚功原理的证明
已知：如上图变形体，为位移边界面，为力边界面（除位移边界面之外均为力边界面），S u ∪S f 即为全部表面；应力为τij ，应变为εij ，位移为u i 。
简要证明虚功原理（或虚位移原理）。
证明：首先有平衡方程（f i B 为体力）,0B ij j i f τ+=力边界条件（自然边界条件）on fS ij j i f n f S τ=其中n j 为单位法向量位移边界条件（本质边界条件）on u S i i u u u S =其中,0u f u f S S S S S =⋃⋂=考虑任意位移i u ，即虚位移，在边界上满足0 on i u u S =那么平衡方程可写为(),0B ij ji i f u τ+=X, Uju积分有(),0B ij ji i Vf u dV τ+=⎰根据求导运算法则，可知(),,,ij i ij j i ij i j ju u u τττ=+代入积分式可得(),,0B ij i ij i j i i j V u u f u dV ττ⎡⎤-+=⎣⎦⎰ 根据散度定理可知(),ij i ij i j jVSu dV u n dS ττ=⎰⎰代回积分式可得,0Bij i j i i ij i j V S u f u dV u n dS ττ⎡⎤-++=⎣⎦⎰⎰由于位移边界条件，虚位移为零，则积分式第二项实际只需在力边界条件上进行积分，即上式可化为,0f ff SSB ij i j i i i i V S u f u dV f u dS τ⎡⎤-++=⎣⎦⎰⎰ 根据应力张量的对称性，可知(),,j,i ,j,i 111222ij i j ij i j ji ij i j ij ij u u u u u ττττε⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦则积分式可以进一步化为fffS S B ij ij i i i i VVS dV f u dV f u dS τε=+⎰⎰⎰从上式可知，等式左侧为内部虚功，右侧则为外部虚功，即内部虚功与外部虚功相等，这就是虚功原理，也称为虚位移原理。
结构力学 虚功原理
W （外力虚功） ＝（内力虚功）U ，称为虚功原理。
实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
1 A y C 求位移。 EI
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B EI l C
q A l
1 2 ql 2
1 2 ql 8
B EI l
C
MP图
2l l
M图
P 1
Cy
1 l ql 2 5l 2l ql 2 3l ( ) EI 2 2 3 3 8 2 7ql 4 24EI
y
MP
C
A
dx yC
MP图 B
M图
MM
A
B
P
dx
A yC
A — MP图的面积
tg A xC
B
A
xtgM P dx
o
x xC
M
A
B
x
yC — MP图形心所对 M 图的竖距
于是虚功原理 可写作：
1 A yC EI
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
1 A y C 求位移。 EI
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B EI l C
q A l
1 2 ql 2
1 2 ql 8
B EI l
C
MP图
2l l
M图
P 1
Cy
1 l ql 2 5l 2l ql 2 3l ( ) EI 2 2 3 3 8 2 7ql 4 24EI
y
MP
C
A
dx yC
MP图 B
M图
MM
A
B
P
dx
A yC
A — MP图的面积
tg A xC
B
A
xtgM P dx
o
x xC
M
A
B
x
yC — MP图形心所对 M 图的竖距
于是虚功原理 可写作：
1 A yC EI
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
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三、变形体的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和 充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即 →. → Σf δr =0
i i
FP1
FN1
FP 2
m1 m2
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是：
力状态 （虚力状态）
P2
12
位移状态 （虚位移状态）
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移 例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 P P P M
所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和 : 将位移分析化为平衡问题来求解。 W=∫dWi =δWi W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 几个问题 :
故有δWe=δWi成立。
（4）变形体虚功方程的展开式 δWi 的计算: q M dM M
2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 1.利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 所有微段的外力虚功之和 W 变形体，适用于任何结构。 微段外力分 体系外力 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 相互作用力 为两部分 变形位移 ab ab 3. 原理可有两种应用： 微段外力功 体系外力功dWe 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 分为两部分 相互作用力功dWn 分为两部分 在变形位移上的功dWi 将平衡问题化为几何问题来求解。 微段外力功 dW= dWe+dWn 微段外力功 dW= dWg+dWi 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
3Δ/2
XA 0 Δ YA P / 2
P
2Δ
YB P / 2
P P 3 2 P 0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
C
单位位移法(Unit-Displacement Method)
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A 1 c B A B C C A b C a Y(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 (2)虚设的力状态与实 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 际位移状态无关，故 Y b / a M 0 由 B 求得： A 可设单位广义力 P=1 1 YA c 0 (3)求解时关键一步是 虚功方程为： 找出虚力状态的静力 bc / a 解得： 平衡关系。 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) (4)是用静力平衡法来 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 解几何问题。 Maxwell-Mohr Method
(c)
由外力虚功总和为零，即： X M 0 实际受力状态的平衡方程 B X bP / a 将 X / C a / b 代入得: (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 x 1 X 1 x 通常取
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线 P P A B
X
C
C
a
b (a)
X
(b)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 X P 0
§4-2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功 P 1 W P 2 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
δ We = δ Wi
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:
q x
a
a
a
a
b b
b b b
1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 为两部分 相互作用力 微段外力功 体系外力功dWe 分为两部分 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 1. 虚功原理里存在两个状态： 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和 δ W i。 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 变形体虚功原理的证明 : 条件。因此原理仅是必要性命题。 q x b a b b a b a a b
2 1
W 为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
A B
P
W P A P B P( A B ) P
B A W M A M B M ( A B ) M
A
单位位移法的虚功方程
单位荷载法的虚功方程
平衡方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
微段外力:
N
N dN
Q ds Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
微段弯曲
ds
ds 微段剪切
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
t C
P
t
W Pt
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
21 22
P2
注意： P1 （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 11 应满足变形协调条件； 12 力状态应满足平衡条件。 P1 （3）位移状态与力状态完全无关；