高中数学中的对称性问题

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高中数学中的对称性

一、关于点对称

(1) 点关于点的对称点问题

若点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，则P 为M 'M 的中点，利用中点坐标公式可得00, 22

x x y y a b ++==，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M 的坐标是.

① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标;

② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点'

M 的坐标.

(2) 直线关于点对称

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线

设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；

② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l

解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于P 的对称点为'

(2,2)M a x b y --，因为'M

点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=。

解法（二）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++=

=求设'C 从而可求的及对称直线方程。

(3) 曲线关于点对称

曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。

二、关于直线的对称

(1) 点关于直线的对称

1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b -

2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b -

3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b -

4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b -

5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a

6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a --

7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标

解法设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22

a x

b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅

+⋅+=①；再由'PP B K A =得b y B a x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

(2) 直线1l 关于直线l 的对称直线2l

设直线:0l Ax By C ++=，则l

关于x 轴对称的直线是()0Ax B y C +-+=

关于y 轴对称的直线是()0A x By C -++=

关于y x =对称的直线是0Bx Ay C ++=

关于y x =-对称的直线是

()()A y B x C -+-+=

1) 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l

在1l 上取一点00(,)M x y 求出它关于l 的对称点'M 的坐标。再利用12l l K K =可求出2l 的方程。

2) 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。

解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A

的坐标。则交点必在对称直线2l 上。再在1l 上找一点B ，

点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线

2l 的方程。

解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，1PQ L K K =-。又PQ 的中点在l 上，由此解得11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。

例：求直线1:230l x y -+=关于直线:10l x y +-=对称的直线l ２的方程

解：设(),M x y 为所求直线l ２上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在直线l １上.

()1'1111 1 (MM',K =-1) 10 (MM')22MM l y y l x x x x y y l -⎧⋅-=-⊥⎪-⎪∴⎨++⎪+-=⎪⎩

即K 的中在上⇒1111x y y x =-⎧⎨=-⎩ ()()1123021130x y y x -+=∴---+=又

故所求直线方程为240x y -+=

(3) 曲线关于直线对称