系统动力学建模

物质的源与汇及守恒子系统
在流图中物质的源与汇都是用水潭符号表示。源 表示取之不尽、用之不竭的物质源泉，抽象为白 洞，物质只出不进，所以与它相连的物质流线箭 头均朝外。 汇的概念正相反，表示永远填不满的坑，抽象为 黑洞，物质只进不出，所以与它相连的物质流线 箭头均向内。源和汇的抽象概念源于现实又高于 现实。源和汇总是成对出现的，有时为了方便也 可将源和汇合为一体，用双向箭头流线与其它变 量相连。
混合图
值得一提的是，在实际构模过程中还经常采用一 种混合图法。 将系统中物质流线上的状态变量和速率变量按流 图的方式画出，而将信息流线上的各种反馈变量 按因果关系图的方式画出，如图 所示。混合图法 汲取了因果关系图法和流图法的优点,既保持了因 果关系图简单明了的特点，又将系统中的重要变 量鲜明地突出出来。因此，混合图法得到了比较 广泛的应用。
模型的基本模块
根据系统动力学关于系统基本结构的理论， 任何大规模的复杂系统都可以用多个系统 基本结构按照特定的方式联结而成。系统 的基本模块是典型基本结构的形式，也是 由系统的基本单元、单元的运动以及单元 的信息反馈三大部分组成。 了解和掌握系统基本模块的性能、特性和 作用，有助于分析和构造系统模型，尤其 是分析和构造大规模复杂系统的模型。
方框图
系统框图是一种极其简单的系统描述方法。 方框图中只有方框和带箭头的实线两种符 号。方框表示系统的元素、子系统或功能 块，方框中填上相应的名称、功能或说明。 带箭头的实线表示各元素、各子块之间的 相互作用关系、因果关系或逻辑关系，也 可以表示流量的运动方向(流量写在实线旁)。
公司模型方框图
国民经济流转模型方框图
因果关系图法
在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是 用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线 (直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方 向，箭头旁标有“+”或“-”号，分别表示两种极性 的因果链。 a．正向因果链 A→+B：表示原因A 的变化(增或 减)引起结果B 在同一方向上发生变化(增或减)。 b．负向因果链A→-B：表示原因A 的变化(增或减) 引起结果B 在相反方向上发生变化(减或增)。
流图法的特点是将系统中各变量按其不同的特征以及在系 统中所起的不同作用划分成不同的种类，并用物质流线和 信息流线按照其特有的作用方式将它们联结起来，组成系 统的结构。所以，流图法比因果关系图法更加详细地反映 出系统内部的反馈作用机制，使人们对系统的构成有一个 更加直观、更加透彻的理解。 流图法是在系统动力学构模过程中介于思维模型和计算机 模型之间的一个十分重要的过渡方法，它为构造系统的数 学模型打下了良好的基础。对一个比较熟练的构模者来说， 他可以省去用因果关系图法描述系统的步骤，但是通常不 能省去流图法的步骤。
常数和表函数
在特殊的情况下，外生变量呈现出固定不 变的状态时就退化成常数。常数的流图符 号是一杠上加小圆圈。 系统中变量与变量之间的关系除了可以用 各种代数形式的函数来表示之外，还可以 用图表的方式来表示，这样的图表函数称 为表函数，它的流图符号是圆圈内加两横， 内部填表函数的名字。表函数反映了两个 变量之间某种特定的非线性关系。
因果关系图
因果图重要性
因果关系图在构思模型的初级阶段起着非 常重要的作用,它既可以在构模过程中初步 明确系统中诸变量间的因果关系，又可以 简化模型的表达，使人们能很快地了解系 统模型的结构假设，使实际系统抽象化和 概念化，非常便于交流和讨论。
流图法
流图法又叫结构图法,它采用一套独特的符 号体系来分别描述系统中不同类型的变量 以及各变量之间的相互作用关系。流图中 所采用的基本符号及涵义见图
构模的基本工具
系统动力学的构模过程是一个由粗到精,由浅入深 地将思维模型转化成数学模型和计算机模型的过 程。在这个转化过程中，系统动力学有一整套有 助于模型逐步量化的方法：方框图法、因果关系 图法、流图法和图解分析法等。 这些方法各有不同的特点和功能，依次使用这些 方法，就能够比较方便而又有效地将定性模型过 渡到定量模型。
系统动力学建模
系统分析
这一步骤首先要对所需研究的系统作深入、广泛 的调查研究，通过与用户及有关专家的共同讨论、 交换意见，确定系统目标，明确系统问题，收集 定性、定量两方面的有关资料和数据，了解和掌 握国内外在解决类似系统问题方面目前所处的水 平、状况及未来的发展动向，并对前人所做工作 的长处与不足作出恰如其份的分析。对其中合理 的思想和方法要注意借鉴、吸收，对其中不足之 处要探究其原因，提出改进的设想。
微分方程表达
根据动态守恒原理，状态变量的变化速率 等于其输入率与输出率之差,即设状态变量 的输入率与输出率分别是IR 和OR，有
差分方程表达
系统的状态变化遵循着过去决定现在，过 去和现在决定将来的时间因果律。 系统目前的状态是在其一时刻状态的基础 上加上一个从旧状态向新状态过渡的转化 值，即设时间间隔为△t，有
回路的极性
多个因果链以同向封闭的形式连接起来就组成了因果关系 回路，回路的极性取决于组成回路的各因果链中负向因果 链的个数。若回路中所含负向因果链的个数为偶数，则回 路极性为正(+)；若回路中所含负向因果链的个数为奇，则 回路极性为负(－)。如简单人口摸型中，人口的增加将导 致人口增长速度的增加，而人口增长速度的增加也导致人 口的进一步增加，因此图中两个因果链的极性符号均为正。 在由人口和人口增长速度两个变量组成的反馈回路中，负 向因果链的个数为零，所以回路的极性也是正的。如冰箱 模型中，经分析变量间因果链的极性符号如图中所示。在 由变量冰箱内温度、温差和制冷组成的反馈回路中，负因 果链的个数是奇数(1 个)，所以回路的极性是负的。
பைடு நூலகம்
流线与延迟
流图中的流线(通道)分成物质流线和信息流线两 种。物质通过物质流线运动，信息通过信息流线 传送。物质流线和信息流线分别用带箭头的实线 和虚线表示。若作为信息源的变量尚未定义，可 用括弧代替。箭头的指向表示物质或信息的运动 方向。 在流线上经常会出现各种延迟现象。如工厂的产 品要经过运输才能到达仓库；信件发出后要经过 一定的时间才能寄到等等。发生在物质流上的延 迟叫物质延迟，发生在信息流上的延迟叫信息延 迟。它们的流图符号为一个方框内标上延迟的种 类和延迟变量的名字。
守恒子系统
所有的物质都取之于源而聚入汇，但是出自于不 同源的物质只能聚入与其同质的汇中去，这就是 守恒子系统的概念。 是指以一个状态变量为中心组成的局部系统。根 据源和汇的特点可以得到以下两个结果： a．同质守恒子系统之间既可以用物质流线连接， 表示正向的因果关系，也可以用信息流线连接， 表示反馈的因果关系。 b．不同质的守恒子系统之间只能用信息流线连接， 不能用物质流线连接。
状态变量
状态变量又称作位，它是表征系统状态的内部变 量，可以表示系统中的物质、人员等的稳定或增 减的状况。状态变量的流图符号是一个方框，方 框内填写状态变量的名字。显然，能够对状态变 量的变化产生影响的只是速率变量（见图）。 状态方程可根据有关基本定律来建立，如连续性 原理、能量质量守恒原理等。状态方程有三种最 基本的表达方式：微分方程表达、差分方程表达 和积分方程表达。在一定的条件下，这三种表达 方式可以互相转化。
积分方程表达
从积累效应来看，状态变量的变化是一个 积累的过程，因此可以积分方程来表达：
速率变量
速率变量的流图符号像一个阀门。速率变量控制 着状态变量的变化，速率方程规定了这种控制的 方式和强度。速率方程的构成比较灵活，没有固 定的形式。 一般说来，速率方程可以是状态变量、辅助变量、 外生变量等的代数组合。但是应该特别注意的是， 状态变量对速率变量的作用关系不是通过物质的 直接转移来实现的，而是通过状态变量变化的信 息传递来实现的。确定速率方程的函数关系 在系统动力学构模过程中是相当关键的一环，需 要经过理论分析、逻辑判断、历史经验参考再结 合各种技术方法上的技巧综合求得。
基本负反馈模块
负反馈也是现实生活中存在的现象与过程，如资源的枯竭， 物种的退化，知识的老化等等。负反馈具有自调节、自控 制、自均衡的作用。负反馈模块是稳定的，并具有跟随系 统目标的特性。商品销售例子中，市场需求量越大，则商 品的销售量也越大；而商品的销售量增大以后反过来会缓 解商品的市场需求。如此循环往复直到商品的销售量完全 满足潜在的商品需求为止，此时市场需求量为零，系统达 到稳定平衡。
结构分析
结构分析主要有两大方面的内容，即变量的定义和系统 内部反馈回路的分析。要定义系统变量，包括内生变量和外 生变量．首先要分清楚什么是系统的基本问题和主要问题， 什么是系统的基本矛盾和主要矛盾，什么是一般变量和重要 变量。变量的定义要少而精，在能够反映系统状况的前提下 尽可能精简变量。变量的定义也是一个由粗到细、由浅入深 的过程。根据系统的等级性观点，系统可分解成多个相对独 立的子块，在每个子块中根据实际情况的需要定义出各类变 量。变量定义完以后，以那些与系统问题关系密切而又能代 表系统某一特征的所谓主要变量为中心展开。系统的状态变 量能够反映出系统的状态特征，所以状态变量通常是重要变 量。将各变量的因果关系链组织起来就构成了系统的反馈回 路，在反馈回路上可以确定出系统结构方面的一些性质，如 反馈回路的极性，各回路之间的反馈耦合关系，系统局部与 总体之间的反馈机制，系统的主回路及其主回路的变化特性 等等。
基本S 型增长非线性模块
S 型增长趋势是现实生活中非常普遍的现象,如细 菌的繁殖，产品的开发与销售，生物种群的增长， 传染病的蔓延，谣言的传播等等。S 型增长是一 个非线性模块，它包含了指数增长和渐近指数增 长两种过程。某产品销售量的S 型增长曲线。在 新产品刚开发阶段，人们对它的性能、功用等还 不十分了解，其销售量处于较低的水平。由于产 品广告的作用以及满意的试用者的宣传，愿意购 买该产品的人越来越多，销售量亦急剧上升。随 着销售量的不断上升，市场需求逐渐减少，随之 销售量的增长速度开始减慢，直至市场趋于饱和 时销售量处于一个比较稳定的水平。