圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
圆锥曲线中直角梯形的应用
圆锥曲线中直角梯形的应用
曾凡荃;刘财香
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2013(000)008
【摘要】圆锥曲线的＂焦点弦＂是高考的热点,配合准线构成一个直角梯形称为＂焦准梯形＂,灵活运用这个梯形的性质在一些问题的解题过程中,可以大大简化运算过程,同时可以激发学生的学习兴趣,提高创造性思维能力,例1在椭圆x~2/4＋
y★2/3=1中,F为右焦点,AB是过F的弦,若AF=BF/2,求直线AB的方程.分析通常方法是方程组方法,解题过程运算量大,这个学生当然要掌握,
【总页数】1页(P21-21)
【作者】曾凡荃;刘财香
【作者单位】江西省赣州市赣南师院附属中学,341000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.大螺距直角梯形螺纹车铣加工宏程序的应用 [J], 董兆鹏;柏长友;杨浩
2.圆锥曲线中焦直角梯形的若干性质 [J], 罗永高
3.直角梯形在圆锥曲线中的应用 [J], 江民杰
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一类圆锥曲线关于焦点弦问题的新解法
中 学数学
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一 类 圆 锥 曲 线 关于 焦 点 弦 问 题 的 新 解 法
# $ % % # % 西 北师范 大学 数学 与信 息科 学学 院 王立 新
本 文介 绍 了 圆 锥 曲 线 的 焦 点 弦 & 或焦半 径’ 与离 心率 的一 条 新关 系式 及其 推 论 ( 并说 明了 其在 解高考 题中 的应 用 ) 定理 设点 +是 离心 率为 , 焦点 在 -轴 上 的圆 ( 锥曲线的 一个焦点( 过焦 点 + 的弦 与 -轴 的夹 角为 . ( / 为 焦点 + 到 其对 应 准 线的 距离 ( 为 该圆 锥 曲线 0 的焦 半径 ( 则有 , 1 图* 0 & 6’ /2 0 3 4 5 . 成立 ( 其中 7 若该 圆锥 曲线 为椭 圆 ( 当 定点 + 为左 & * ’ 焦点 时 ( 式 取8 号( 当 定点 + 为右 焦点 & 6’ 9: 时( 式取 8 号< & 6’ ;: 若该 圆锥 曲线 为双 曲线 ( 当定 点 + 为 & = ’ 右焦 点时 ( 式取 8 号( 当定 点 +为 左焦 & 6’ 9: 点时 ( 式 取8 号< & 6’ ;: 若该 圆锥 曲 线为 抛物 线 ( 当开 口 向右 & $ ’ 时( 式取 8 号( 当开 口向 左 时 ( 式 & 6’ 9: & 6’ 取8 号) ;: 证明 留给读 者 ) 推论 > 设点 + 是 离 心率 为 , 焦 点在 ( 轴上 的圆 锥曲 线的 一个 焦点 ( 过 +的 弦 ? @与 则两 焦半 径 ? -轴的 夹角为 . ( +与 + @之 比为 A 1 略证 * 9, 3 4 5 . ) * ;, 3 4 5 . , 1 0 /9 0 3 4 5 .
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 ⑴过 椭圆 x2 + y2 =1（a >b >0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A 、B 两点 ，设 abAF p, BF =q 。
若 A 、B 两点在双曲线的同一支上（此时称 AB 为双曲线的同支焦点弦）AF p, BF =q ， 11 则 + = pq 2a b 2 2 = e 2d 0 ,其中d = b c 2是焦准距，cce= 是离心率。
a⑵过双曲线 22x 2 y 2 122 ab(a > 0,b > 0) 焦点 F 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，设1 12 b 2则 + = ，其中 d 0 = 是焦准距； p q ed 0 c若 A 、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上 时称 AB 为双曲线的异支焦点弦），则1 - 1pqe 2d 0 ,其中d 0 b 2c 是焦准距， ce= 是离心率。
a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质⑴ , 性质⑵的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。
设右准线 l 与 x 轴交于点 D ，过 A 作 AG ⊥l 于 G ，过 B 作 BH ⊥l 于点 H ，则 AG ∥FD ∥ BH ；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p，|BH|= BF q。
e e e e令|FE|= m ,|ED|= n ，故由 mq,n = pmnpq p = p+q,q =。
∴e(p q)e e因此， b2 m +n = ? c 2pq b2e(p q) 。
c2∴p q 2c2。
又 ec，从而1 1 p q 2a2= 2 ,其中d0= b就是焦准距。
证毕。
pqeb 2a p q pqb 2ed 0 c[ 说明 ] ①在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。
双曲线与抛物线也则 m +n =|FD|=FEBF，AGBA，BH GB =AB可得：②如图 1，若设∠ AFD =θ，并分别过 A 、F 作 FD 和 BH 的垂线，则可证： p= ba+ ccos θ2ab2； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p + q= 2 2 2 q =1 - e cos θa -c cos θ22d0e2,其中d 0 就是焦准距 b。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴),焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； (2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=。
推论：（1）焦点在x 轴上,当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. (2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用。
例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点。
(Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值,并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.例2(07全国Ⅰ文第22题)已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点,过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P 。
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
圆锥曲线中焦直角梯形的若干性质
点 共线 性 质 ２ 焦 直 角 梯 形 Ａ Ｄ 中 ， ＾ 的 倾 ＢＣ 若 Ｂ
茸、 Ｄ 所 围 成 的 四 边 形 称 之 为 圆 锥 曲 线 的 焦 直 角 梯 Ｃ、 形 ． 称 为 焦 直 角 梯 形 ．如 图 ｌ 焦 直 角 梯 形 Ａ Ｃ 简 ， Ｂ Ｄ 中 、 然 有 ｌＡ 显 Ｆｌ＝ Ｐｌ Ｄ ｝ ｌ Ｆ ｌ ｌ ｃ ｌ 其 中 Ａ ， Ｂ ＝ ， ｅ 离心 宰． 为 性 质 １ 焦 直 角 梯 形 Ａ Ｃ 中， 为 焦点 ， Ｂ Ｄ
２ ）项 数 为 奇 数 项 的 等 差 数 列 ， 数 项 之 和 为 奇
Ｔ
但口 ２＋口 ． 口 ２ ｌ＋口 Ｌ ，
ｎ
’
，
即若 等 差 数列有 奇 数项 ， 偶 数 其
项 之 和 与 奇数 项 之 和 的 比是 某 相邻 两 自然数 之 比．
而上侧中 ， ＝ ２ ６不能 玎 分成 两 个 相 邻 自然 丽 ７
１ ＢＦｌ：
． ｌ一
证 明
３）
△ ＡＦＤ
延 长 Ｄ 交 Ｆ
则 ｌＡ Ｆｌ
。 。
， Ｆ Ｉ ＩＢ
ＥＦ ｆ ＣＢ 。
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＿ ＝ ＾ ｉ …ｓ＝ ÷ ， 『 （ ’ 即 ａ＾ 一
同 理 可 证 为 钝 角 时 也 成 立
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一
而
丽
丽
｛ＡＦ ｌ
现错 误．
数 之 比 ， 此 原 题 目设 计 不 合 理 ． 因
一
般地 ， 于等差数列 ｛ 对
， 有 ２ 若 ｎ＋１项 ， 则
ｓ 一５ ＝。 ＋且 々 ＿ ｎ－
； 有２ 若 ｎ项 ， ｓ 一５ 则 ＿
圆锥曲线大题—弦长问题-含解析
第02章弦长问题经过第一章的学习, 本章部分题目会跳步(实际考试一定要把完整过程写上去), 对于不知道硬解公式的人来说是跟不上的, 但是对于掌握硬解公式的人来说解题效率会有很大提升！通过前面的学习, 相信你已经对硬解定理有了一定的了解和掌握, 在圆雉曲线中弦长问题的计算也是比较烦琐的, 本章目的是通过练习能够熟练使用弦长公式, 并不要求死记硬背, 跟随着我们的脚步, 慢慢熟练掌握这个公式即可, 相信掌握之后能够大大减少你的计算时间!首先推导一下弦长公式. 由{x2a2+y2b2=1Ax+By+C=0ε=a2A2+b2B2消y得(a2A2+b2B2)x2+(2a2AC)x+a2(C2−b2B2)=0εx2+βx+μ=0Δx=β2−4εμ=4a2b2B2(ε−C2)由弦长公式AB=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2有AB =√1+A2B2√β2ε2−4εμε⋅ε=√1+A2B2√β2−4εμε2=√1+A2B2√Δxε2=√1+A2B2√4a2b2B2|ε−C2|ε2=√A2+B22ab√∣ε−C2Φ|ε|=2ab⋅√A2+B2⋅√∣ε−C2T|ε|所以【注】这个公式的绝对值对于椭圆来说是不必要的,对于双曲线来说是必要的. 在练习题中如果急需弦长, 只需看着上面的方程组来默写弦长即可. 我们先借助一些简单的题目来熟悉一下弦长公式.【例 1】过椭圆 x 26+y 22=1 的布焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点, 求 线段 AB 的长度.解 :法一:一般解法.吻知右焦点坐标为 (2,0), 设直线 l 的方程为 y =x −2, 联立方程组有{x 26+y 22=1x −y −2=0消去 y 并整理得 2x 2−6x +3=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故x 1+x 2=3, x 1x 2=32则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√6法二: 套公式解法.公式: AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε| (对照使用,熟悉该式, 建议保留原始数据去 计算).这里说明一下:并不是让大家做题直接套公式,首先联立方程的标准书写流程大家都是会的,当熟悉了硬解定理之后,联立方程的步骤就相当于默写,弦长公式也是可以跳过前面的流程邺写的,这对提高解题效率是很有帮助的.其实圆雉曲线联立的计算流程都是千篇一律的,当熟悉了硬解公式后,解题的重心就偏向于分析解题思路而不是限于计算,也就是节省计算时间来分析题日思路.下面的解题过程会适当跳步.【例2】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)经过椭圆的左焦点F 1作倾斜角为60∘的直线l ,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,求线段AB 的长.解:(1){2c =2c a =√22⇒x 22+y 2=1.a 2=b 2+c 2(2)过椭圆的左焦点F 1(−1,0),倾斜角为60∘的直线l 的方程为y =√3(x +1).公式:AB =2ab⋅√Λ2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|.{x 22+y 21=1√3x −y +√3=0AB =2√2×√1×√√32+12√7−√322×√32+1=8√27例1、例2正常计算也是十分简单的,因为不含用字母表示的末知量,接下来我们看看带用字母表示的末知量的情况.【例3】已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,长轴长为4,过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点.(1)求椭圆G 的方程.(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由题意可得{c a =√322a =4a 2=c 2+b 2⇒x 24+y 2=1. (2)法一:设切线l 的方程为ty =x −m,|m|⩾1. 由√t 2+1=1,得m 2=t 2+1.联立{ιy =x −m x 2+4y 2=4,得 (t 2+1)y 2+2tmy +m 2−4=0由Δ>0,可得4+t 2>m 2,所以y 1+y 2=−2tm t 2+4,y 1y 2=m 2−4t 2+4|AB|=√(1+t 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=1√3|m|m 2+3=1√3|m|+3|m|⩽2 当务仅当|m|=√3时取等号.此时|AB|取得最大值2.法二:使用公式计算.公式:AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|. 由{x 24+y 21=1x −ty −m =0,得 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+ι2−m 24+t 2由相切可得|m|√1+t 2=1⇒t 2=m 2−1所以 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+t 2−m 24+t 2=4√3|m|m 2+3=4√3|m|+3|m|后面同法一一样,不再慗述.【例4】设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OΛ⊥OB , 若存在,写出该圆的方程,并求出|AB|的范围;若不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,所以{4a 2+2b 2=16a 2+1b 2=1 解得a 2=8,b 2=4所以椭圆E 的方程:x 28+y 24=1.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OA ⊥OB ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),该圆的切线方程为x =ky +m .由{x 28+y 24=1x −ky −m =0消x 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；消y 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.所以x 1x 2=,,,,,,,,,,,,,,；,y 1y 2= ,,,,,,,,,,,,,,；Δ>0⇒,,,,,,,,,,,,,.因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=8(m 2−4k 2)+4(m 2−8)8+4k 2=0 所以(8+4)m 2=8×4(1+k 2)⇒m 2=83(1+k 2) 因为直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =√1+k 2=√8×48+4=2√63（应用公式r =√a 2b 2a 2+b 2) 所以所求的圆为x 2+y 2=83. 由弦长公式有。
圆锥曲线中的弦长问题(含解析)
圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ）A ．2B C ．72D ．42．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．83．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．B ．4C ．2D ．14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．,3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．,48⎣⎦D ．816⎣⎦5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52二、填空题6．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______.7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为32，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ．12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值.14．已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为43.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB 15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长.16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ） A ．3 B ．3C ．72D ．4【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，，而,所以,故选C.考点：椭圆的性质2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A 【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．1【答案】A 【分析】过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2EFP π∠=，即可求得PE 的值. 【详解】如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ，设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知sin sin PF PEPEF EFP=∠∠，即cos sin 2sin m FEP FEP FEP∠=∠∠，所以2cos 2FEP ∠=，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=，则sin 21EFP FEP ∠=∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2EFP π∠=，在直角EFP △中，2EF =，4FEP π∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题.4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．45,253⎡⎢⎣B ．85453⎡⎢⎣C ．535,48⎣⎦D ．535816⎣⎦【答案】B【分析】先利用等面积法可得：12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式12AB y =-的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r ，由题意得12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，1212AB y y y =-=-∈⎣. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52【答案】B 【分析】设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，4PF FQ =，可得()412x -=，解得32x =， 由抛物线的定义可得35122QF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．已知P为椭圆221 164xy+=上的一个动点，过点P作圆()2211x y-+=的两条切线，切点分别是A，B，则AB的最小值为_______..【答案】422.【分析】连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，求得圆心和半径，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB，设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值.【详解】如图，连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，圆()2211x y-+=的圆心为()1,0C，半径1r=，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，则21PA PB PC==-又222121221PCPA ACAB AHPC PC PC-⋅====-设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，可得()()2 2222111 4cos12sin12cos8cos512cos33PCθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113，此时AB 取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10 【分析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28xy ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.【分析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点，∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴， ∵c =3，∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x，根据椭圆定义可知2PF x =，∴22)36x x +=，解得2x =.. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（232. 【分析】（1）由12:3e e =可得得42243840c a c a -+=，化为2232a c =，从而3a b ，2c b =， )2,0Ab ，()0,B b -，则直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得3b =（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ，利用韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合配方法可得答案. 【详解】（1）由题意知1c e a =，222222c b c ae --==， 因为12:3e e =22232c c a a c-=⋅，222223a c a c -=，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a cac --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b，c =，所以),0A，()0,B b -，所以直线AB的方程为y x b =-， 与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260kxknx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m k m∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=，由()*式可得()()()22222223641339129336k m kmk m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以M N MN x =-==设213k t +=，则1t >，2MN ==22<，所以当4t =，即1k =±时，MN 最大，且最大值为322. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为22. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1t =±.【分析】（1）求出,a b 可求椭圆的方程.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于t 的方程，解方程后可得t 的值.【详解】解：（1）因为1222PF PF +=P 轨迹为椭圆，并且长轴长222a =， 因为焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，所以22c =，又因为222a b c =+，所以1b =，所以P 点运动轨迹椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为22220x y y x t⎧+-=⎨=+⎩，消元化简得2234220x tx t ++-=，所以()2221612222480t t t ∆=--=->，1221243223t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以3AB ==又因为3AB =3=， 解得1t =±，满足>0∆，所以1t =±. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）30. 【分析】(1)根据椭圆离心率的关系可得2a =，进而根据抛物线的性质求出方程即可. (2) 设直线:AB x my n =+，联立28y x =得出韦达定理，再结合抛物线的方程与20OA OB ⋅=化简可得10n =，再根据抛物线的焦半径公式以及弦长公式求得2m =±，进而求得||AB . 【详解】解析：（1）因为椭圆222:1x E y a +=22134a a -=， 解得24a =，所以2a =， 而22p=，所以4p =， 从而得抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立28y x =得2880y my n --=， 设()()1122,,,A x y B x y （其中120y y <） 所以12128,8y y m y y n +=⋅=-，且0n >，因为20OA OB ⋅=，所以22121212122064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，2820n n -=，所以(10)(2)0n n -+=，故10n =或2n =-（舍）， 直线:10AB x my =+， 因为PAB △的周长为2||4AB + 所以||||||2||4PA PB AB AB ++=+. 即||||||4PA PB AB +=+，因为()21212||||424824PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12||AB y y =-=所以2820m +=解得2m =±，所以||30AB ==.【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理与弦长公式、焦半径公式求解的问题，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）22143x y +=（2）257【分析】（1）由已知条件推导出1c =，12c a =，由此能求出椭圆的方程． （2）依题意可得直线1MF 的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出两交点的横坐标，再根据弦长公式计算可得； 【详解】 解：（1）椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限），1c ∴=，12c a =，解得2a =， 2223b a c ∴=-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）依题意可得()11,0F -，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1MF ：3344y x =+ 联立方程得223344143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22118390x x +-=，则()()121390x x -+=解得11x =，2137x =-所以121325177MN x ⎤⎛⎫=-=--= ⎪⎥⎝⎭⎦【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）245. 【分析】（1）求出椭圆的右集合，即抛物线的焦点，从而可得p 值，得抛物线方程，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，由切点设出切线方程11:()PA y y k x x -=-，由相切求出斜率k ，得切线PA 方程，同理得PB 方程，代入P 点坐标后可得过,A B 两点的直线方程，得证其过焦点；（2）由（1）中直线AB 方程与抛物线方程联立后消元应用韦达定理，然后可证得PA PB ⊥，又可证得PF AB ⊥，这样由直角三角形性质可得PF【详解】（1）证明：因为椭圆222:198x y C +=的右焦点()1,0F ，所以12p=，即2p =.所以抛物线1C 的方程为24y x =. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，设()111:PA y y k x x -=-， 联立()1112,4,y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩消x 得211114440yy y x k k -+-=， 由0∆=得2111110k y k x -+=.又2114y x =，故2211111104k y k y -+=，故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为()1112y y x x y -=-， 即1122yy x x =+.同理22PB k y =，直线PB 的方程为2222yy x x =+. 又点P 在直线PA ，PB 上，所以112222,22,ay x ay x =-+⎧⎨=-+⎩故()11,A x y ，()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+，令0y =，得1x =，所以直线AB 过焦点F .（2）解：由（1）知联立222,4,ay x y x =-+⎧⎨=⎩消x 得2240y ay --=，故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=-， 故直线PA 与直线PB垂直，从而10AB ==.因为2AB k a =，0112PF a ak -==---，所以1PF AB k k ⋅=-， 故PF AB ⊥，所以6824105PF ⨯==. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方法，本题中设出两切点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，由直线AB 方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后代入PA PB k k ⋅可得垂直．这是直线与圆锥曲线相交问题常用的方法．14．已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【分析】（1）由点到直线的距离得12b a =，再由长轴长可求得,a b 得椭圆方程；（2）直线AB 的斜率一定存在，设方程为()12y k x +=-，代入椭圆方程整理，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，由中点坐标公式求得k ，再由弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a =b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =-- 设()()1122,,,A x y B x y 联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k +-⋅==+所以12AB x =-==【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长．15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长. 【答案】（1）8；（2）6. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，求出12x x +的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段AB 的长； （2）设直线l 的方程为32x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，可得出129y y =-，由2AF =求得1x 的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得2x 的值，利用抛物线的定义可求得BF 的长. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 由于直线l 过点F ，且该直线的倾斜角为60，则直线l的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，联立2326y x y x⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 并整理得29504x x -+=，259160∆=-=>， 由韦达定理可得125x x +=，由抛物线的焦点弦长公式可得123538AB x x =++=+=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线l 不可能与x 轴重合，设直线l 的方程为32x my =+， 联立2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y my --=，()23610m ∆=+>，由韦达定理可得126y y m +=，129y y =-，1322AF x =+=，可得112x =，21163y x ∴==，129y y ∴=-，则22218127y y ==，222962y x ∴==，因此，2362BF x =+=.【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.【答案】（1）2214y x +=；（2【分析】（1）设M 、P ，利用相关点法即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，()00,Q y ∴，点M 是线段PQ 中点，002,x x y y ∴==，又()00,P x y 在圆224x y +=上，()2224x y +=， 即点M 的轨迹方程为2214y x +=. （2）联立22114y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，25230x x --=， ()22600∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1225x x +=，1235x x =，12AB x ∴=-===. 【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解. （2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解. （3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.。
圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。
圆锥曲线的焦点弦公式及其应用
Ｊ Ｚ 一 ） ＝ ａ
一
Ｃ
一ｂ２ ｝ ａ Ｚ － ２ ｎ０ ａ ｔ
－
２ ｔ ｎ０ ａｎ ０ ｃ
ｂ ＋ （ 一 Ｃ ｔ ｎ ｎ ２） ａ ０ ２ 。— ａ
ｆ ２
一２
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解 由知１一 ｉ２ 又 ： 已 得譬 ４ 。 ’ 一 一
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２１ ０ ０年 第 ３期
数 学 教 育 研 究
・ ４３ ・
４ 综 合 应 用
例 ４ （ ０ ９湖 南 卷 理 ） 平 面 直 角 坐 标 系 ｚ ｙ ２０ 在 Ｏ 中 ， Ｐ 到 点 Ｆ（ ｏ 的 距 离 的 ４倍 与 它 到 直 线 ｚ一 ２ 点 ３， ） 的 距 离 的 ３ 之 和记 为 ｄ， Ｐ 点 运 动 时 ， 倍 当 ｄ恒 等 于 点 Ｐ 的横 坐 标 与 １ ８之 和 ． （ Ｉ）求 点 Ｐ 的轨 迹 Ｃ； （ Ⅱ）设 过 点 Ｆ 的 直线 Ｉ与 轨 迹 Ｃ 相 交 于 Ｍ ， 两 Ｎ 点 ， 线 段 ＭＮ 长 度 的最 大值 ． 求 解 ：（工）设 点 Ｐ 的 坐 标 为 （ ） 贝 ｄ 一 ｚ， ， Ｕ
（Ｕ） 已 知 过 点 Ｆ１ 一 ２ ０ 倾 斜 角 为 ０的 亘 线 交 椭 （ ，）
设 点 Ａ、 的坐 标 分 为 （ Ｙ ） （ ｚ Ｙ ） 则 由 上 Ｂ ｚ ， 和 ｚ ，ｚ ，
式 得 ３１ ｚ 一 。 ２＋ ｚ ２
—
ａ２
ｃｔ ｎ ａ ２ ０
ｔ
： ．
圆 ｃ于 Ａ， Ｂ两 点求 证 ：ＡＢＩ Ｉ —
２ ｔｎ ・ｚ十 ａ ｃａ ０ ｔ ｎ 一 ｎ ２— ０． ａ２ ｂ
２
． ２
÷
ｘ
已 知 椭 圆 ｃ：
圆锥曲线中过焦点的弦长最值问题探究
圆锥曲线中过焦点的弦长最值问题探究
作者：贾金庆
来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第32期
在解析几何教学中，圆锥曲线的弦长的计算问题比较复杂。
教材中涉及的主要是圆的弦长和抛物线的弦长，而椭圆和双曲线的弦长往往是要么所给的曲线方程比较简单，要么是经过特殊点的弦长。
然而我们通过圆内一个定点的弦长最小值的问题，可以进一步对其它圆锥曲线做类似的探究。
我们知道，过圆O内一定点F（不同于圆心）的所有的弦长中，垂直于线段OF的弦长最短，容易知道最大值是圆的直径2r。
通过对于圆锥曲线中过焦点的弦长最值问题探究，不仅仅是会求圆锥曲线中过焦点的弦长最值，而且对于已知弦长的直线有几条问题彻底解决了，同时避开了直接进行复杂的弦长计算问题。
（作者单位：上海市嘉定区第二中学）。
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗陈㊀蕾(金华第一中学,浙江金华㊀321000)摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一 圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=ep1-e cosθ来求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.1 圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.图1在极坐标系中,椭圆㊁双曲线㊁抛物线方程得到了完美的统一:ρ=ep1-e cosθ,其中p是定点F到定直线L的距离,当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口(上接第13页)径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数(14),利用函数的性质,找到了证明思路.在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透过 观念性问题 与 技术性问题 的视点[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,2017(11):15-18.㊃41㊃中学教研(数学)2021年第4期∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.向右的抛物线.2㊀应用实例㊀㊀例1㊀如图2,过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左右焦点F 1,F 2分别做斜率为22的直线交椭圆C 的上半部分于点A ,B ,记әAOF 1,әBOF 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1ʒS 2=7ʒ5,求椭圆C 的离心率e.图2分析㊀一般的思路是:首先延长BO 交椭圆于点Bᶄ,利用用两三角形面积比例关系得到比例关系y A ʒy B =-7ʒ5,再设直线ABᶄ的方程并与椭圆方程联立,最后用韦达定理解决.这样思路虽然明确,但计算量很大,对学生的运算能力要求较高,学生在处理的时候准确度也不高,颇有点小题大做之嫌.但如果建立极坐标系,采用椭圆的极坐标方程解决此题,则计算量很小,而且不容易出错,是真正意义的小题小做.解法1㊀(韦达定理法)作点B 关于原点的对称点Bᶄ,设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),Bᶄ(x Bᶄ,y Bᶄ),可得S 1S 2=y A-y Bᶄ=75,将直线方程的ABᶄ设为x =24y -c,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立可得(b 2+8a 2)y 2-42b 2cy -8b 4=0.利用韦达定理得到㊀y A +y Bᶄ=42b 2cb 2+8a 2,㊀y A y Bᶄ=-8b 4b 2+8a 2,㊀Δ>0,从而㊀(y A +y Bᶄ)2y A y Bᶄ=42b 2c b 2+8a 2()2-8b 4b 2+8a 2=-4c 2b 2+8a 2=y Bᶄy A +y A y Bᶄ+2=-57+-75+2=-435,整理可得e =c a =12.解法2㊀(极坐标法)以椭圆左焦点F 1为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep 1-e cos θ,其中tan θ=22,cos θ=13.设A(ρ1,θ),Bᶄ(ρ2,π+θ),则ρ1=ep 1-e cos θ=ep1-13e ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=ep1+13e ,又S 1ʒS 2=7ʒ5,得ρ1ρ2=1-13e1+13e =75,从而椭圆离心率e =12.点评㊀解法1为常规解法,先将面积比转化为坐标比,用到了对称思想,然后借助韦达定理来表达坐标关系,进而运算得到a ,b ,c 的关系求出离心率.因为是字母运算,计算量偏大.而建立极坐标系,将长度用角度θ表示,可以统一处理,使得运算简便.通过以上两种解法的对比,我们发现在表达同一个几何关系或数量关系的时候,采用极坐标方程有时候更加简便有效[1].以下再用两个例子来说明.图3例2㊀如图3,已知过椭圆E :x 22+y 2=1的左焦点F的直线L 交椭圆于点A ,B ,求|AF |+2|BF |的最小值.极坐标解法㊀以椭圆左焦点F 为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep1-e cos θ.根据椭圆方程可得e =22,p =1,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),则㊃51㊃2021年第4期中学教研(数学)ρ1=ep1-e cos θ=221-22cos θ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=221+22cos θ.而|AF |即为ρ1,|BF |即为ρ2,则ρ1+2ρ2=2211-22cos θ+21+22cos θ()=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ.令t =6-2cos θ,则ρ1+2ρ2=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ=22㊃t-t 22+6t -16,当t =42时,上式取到最小值1+324.点评㊀本题常规方法可参照例1的解法1,计算量非常大.我们这里直接采用极坐标方程来解决,发现极坐标方程把两个长度直接表达成三角函数cos θ来运算,得到关于cos θ的表达式,然后再利用换元法将它转化为关于t 的二次函数求最小值,表达上简洁快捷,便于计算.图4例3 如图4,已知抛物线y 2=4x ,作过焦点且互相垂直的两条弦AB ,CD ,求|AB |+|CD |的最小值.解㊀以抛物线焦点F 为极点㊁x 正半轴为极轴建立极坐标系,得抛物线极坐标方程为ρ=21-cos θ.设A (ρ1,θ),B (ρ2,π+θ),C ρ3,π2+θ(),D ρ4,3π2+θ(),则|AB |=ρ1+ρ2=21-cos θ+21-cos (π+θ)=4sin 2θ,|CD |=ρ3+ρ4=21-cosπ2+θ()+21-cos 3π2+θ()=4cos 2θ,从而|AB |+|CD |=4sin 2θ+4cos 2θ=16sin 22θ,故当θ=π4和θ=3π4时,|AB |+|CD |取到最小值16.点评㊀这个问题是一道比较经典的抛物线问题,涉及的量比较多,且表达起来比较困难,学生在处理的时候很难达到统一协调,阻碍比较多,很容易在多个量的运算中迷失方向.我们这里采用圆锥曲线极坐标方程来解,使得所有的量都能用同一个角θ来表示,最后转化为简单的三角函数运算问题,解题方向明确,目标单一容易实现,运算量少.奥地利思想家马赫提出了一个思维的经济原则,又称 费力最小原则 ,参照这一原则,我们在寻求表达事物的本质上需要从不同的角度㊁采用不同的工具来实现我们的目标.通过上面的几个简单的例子,我们发现圆锥曲线极坐标方程在解决圆锥曲线焦点弦问题上的精准有效和简便,当然在解决其他一些圆锥曲线问题上也是非常有效的.其根源在于圆锥曲线在表达数学中的某些几何关系或数量关系时有天然的优势.本文只是浅尝辄止地想表达一个理念,即如何提升我们在高中数学教育教学中的智力上的创造力,这种创造力更多地体现在:我们可以对同一问题采用不同的视角和思想方法来处理,更加跟上我们这个日新月异的科技时代[2].事实上,高考考查类似的问题很多,也期望读者能够触类旁通.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀舒镜霖.用圆锥曲线的极坐标方程解高考题与传统方法之比较[J ].考试周刊,2011(40):3-4.[2]㊀龚袭. 极坐标 思想速解圆锥曲线焦点弦问题[J ].数理化解题研究,2017(7):43.㊃61㊃中学教研(数学)2021年第4期。
圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总(学生版)
圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型1圆锥曲线通径二级结论题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论题型1圆锥曲线通径二级结论椭圆，双曲线的通径长AB=2b2 a.1(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F c,0的弦中最短弦长是()A.2b2a B.2a2bC.2c2aD.2c2b【变式训练】1(2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.53B.32C.22D.332(2023秋·四川内江·高三期末)椭圆x24+y23=1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.65B.3 C.113D.37113(2022·全国·高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y216-x29=1的通径长是()A.94B.92C.9D.104(2022·全国·高三专题练习)抛物线y2=4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为．5(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C 相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p=．6(2023·全国·高三专题练习)过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=23，则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论1．F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF2的周长为4a．2.F1, F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF1的周长为4a．注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．1(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A , B两点，求△ABF2的周长．【变式训练】1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1作直线l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为．2椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.633(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为43，离心率为12，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为()A.4B.5C.16D.324(2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ,B 两点，交y 轴于点C ，若F 1，C 是线段AB 的三等分点，△F 2AB 的周长为45，则椭圆E 的标准方程为()A.x 25+y 24=1B.x 25+y 23=1C.x 25+y 22=1D.x 25+y 2=15(2014·全国·高考真题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为()A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1C.x 212+y 28=1D.x 212+y 24=16古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，其面积为43π，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 且△F 2AB 的周长为16，则椭圆C 的方程为()A.y 216+x 23=1 B.y 216+x 212=1C.x 216+y 212=1D.x 216+y 23=17(2014·安徽·高考真题)设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y b 22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|(1)若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.8(2022·全国·高三专题练习)已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点(1，0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，MN 2=4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线同支于A , B 两点，且AB =m ，则△ABF 2的周长为4a +2m ．证明：由双曲线的第一定义知，AF 2 -AF 1 =2a ①，BF 2 -BF 1 =2a ②，又AF 1 +BF 1 =m ③，由①②③，得AF 2 +BF 2 =4a +m , ∴AB +AF 2 +BF 2 =4a +2m ，即△ABF 2的周长为4a +2m ．1(2022·全国·高三专题练习)椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.52如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点．(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF2的周长．3已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.54如果F1、F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则ΔABF2的周长是5(2022·全国·高三专题练习)若F1,F2分别是双曲线x2m-y27=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=．6已知双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为π6的弦AB ．求：(1)AB 的长；(2)△F 2AB 的周长．7已知双曲线C 经过点P 3,2 ，它的两条渐近线分别为x +3y =0和x -3y =0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左､右焦点分别为F 1､F 2，过左焦点F 1作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求△ABF 2周长的取值范围.题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长【结论3】如图，F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线C 右支、左支分别交于A , B 两点，且AB =m ，则焦点弦三角形F 1AB 的周长：C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．证明：令AF 2 =u , BF 2 =v ，则AF 1 =2a +u , BF 1 =v -2a ，ΔF 1AB 的半周长s =v ，由秦九韶-海伦公式得S ΔFAB =s s -AB s -AF 1 s -BF 1 =2a m -2a uv ．又cos ∠AF 2F 1=cos ∠BF 2F 1，由余弦定理推论，得u 2+4c 2-2a +u 22u ⋅2c =v 2+4c 2-v -2a 22v ⋅2c ，∴b 2-au u =b 2+av v , ∴b 2u -b 2v =2a , ∴uv =b 2v -u 2a =b 2m 2a ，将u =v -m 代入uv =b 2m2a，得v -m v =b 2m 2a ，解这个关于v 的一元二次方程，得v =12m +m m +2b 2a ．又ΔF 1AB 的半周长s =v ，因此异支焦点弦三角形F 1AB 的周长C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．1(2021·浙江·统考一模)如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若AB ∶BF 2∶ AF 2 =3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【变式训练】1(2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为边长为4的等边三角形，则△AF 1F 2的面积为()A.23B.33C.43D.632(2021·高三课时练习)已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M 0,2 ，则△PFM 的周长的最小值为()A.2+42B.4+22C.32D.26+33已知F 1、F 2分别是双曲线x 23-y 26=1的左右焦点，过右焦点F 2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点．(Ⅰ)求线段AB 的长；(Ⅱ)求△AF 1B 的周长．题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，不妨设AF >BF ，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线半通径为p =b 2a，则AF =p 1-e cos θ , BF =p 1-e cos θ+π =p 1+e cos θ , ∴AB =AF +BF =2p1-e 2cos 2θ，即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：AF =p 1-e cos θ , BF =p 1+e cos θ , ∴AB =2p1-e 2cos 2θ①.二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2p 1-e 2cos 2θp =b 2a；(2)F 1 , F 2为椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ=2p 1-e 2sin 2θp =b 2a．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)如图，F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1经过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB的长.2(2022上·全国·高二专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，则△AOB (其中O 为原点)的形状为.3(2022上·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2，斜率为12的直线l 过左焦点F 1且交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e ∈12,34，则线段AB 的长度的取值范围是4(2022·全国·高三专题练习)过椭圆3x 2+4y 2=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |=7，求直线方程．5(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 29+y 28=1的左右焦点分别为F 1 , F 2，若过点P 0，-2 及F 1 的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 2的面积.6(2023·四川广安·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点F 与椭圆x 225+y 216=1的右焦点重合．斜率为k k >0 直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若AF =3BF ，则直线l 的方程是()A.3x -y -33=0B.43x -4y -33=0C.3x -y -9=0D.x -3y -3=0题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ =2p 1-e 2cos 2θ p =b 2a ．(2)F 1 , F 2为双曲线C :y 2a2-x 2b 2=1a >0 , b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ =2p 1-e 2sin 2θ p =b 2a ．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 ，其中两焦点坐标为F 1-c ,0 F 2c ,0 ，过F 1的直线l 的倾斜角为θ，交双曲线于A ，B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．2(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为150°直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．4(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长AB ．5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线x 23-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，若过点P (0，-2)及F 1的直线交双曲线于A ，B 两点，求△ABF 2的面积题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB =2psin 2θ焦点在x 轴上2pcos 2θ焦点在y 轴上．2.过抛物线y 2=2px (p >0)焦点的直线交抛物线于A ,B 两点，则：y A y B =-p 2,x A x B =p 24.(焦点在y 轴上的性质对比给出.)引伸：M (a ,0)(a >0)在抛物线y 2=2px (p >0)的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点.A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y 1,y 2=-2pa (定值).3.|AB |=2p sin 2α(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=x 1+x 2+p (焦点在cos θ =λ-1λ+1 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p )最短.4.AF =λBF ，则有cos θ|=|λ-1λ+1|,AF =p 1-cos θ，BF =p 1+cos θ(θ为直线与焦点所在轴的夹角).1(2022·全国·高三专题练习)如图，抛物线y 2=2px p >0 与过焦点F p2,0的直线l 相交于A ,B 两点，若l 的倾斜角为θ，求弦长AB ．【变式训练】1(2020·山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =．2已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2，直线l 1与C 交于A ,B 两点，直线l 2与C 交于D ,E 两点，则AB +DE 的最小值为()A.16B.14C.12D.103(2021上·江西·高三校联考阶段练习)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作倾斜角为θθ≠π2的直线，交抛物线于A ,B 两点，当θ=π3时，以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T 0,3 .(1)求抛物线的方程；(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P ，使得FA ⋅PB =FB ⋅PA 成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.4(2020·四川遂宁·统考二模)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点(M ，N 的横坐标不相等)，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若MN =40，则HF =()A.14B.16C.18D.205设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A , B 两点.若|AF |=3|BF |，则l 的方程为()A.y =x -1或y =-x +1B.y =33(X -1)或y =-33(x -1)C.y =3(x -1)或y =-3(x -1)D.y =22(x -1)或y =-22(x -1)6(2022·全国·高三专题练习)已知点F 和直线l 是离心率为e 的双曲线C 的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为p ．过点F 的弦AB 与曲线C 的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90° ，则有．题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：1.焦半径公式：Px 0，y 0是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是左、右焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a +ex 0,PF 2=a -ex 0，Px 0，y 0是椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是上、下焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a -ey 0,PF 2=a +ey 0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：(1)椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a +e x A +x B (过左焦点)；AB =2a -e x A +x B (过右焦点)，即AB =2a -e x A +x B ；(2)椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a -e y A +y B (过上焦点)；AB =2a +e y A +y B (过下焦点)，即AB =2a -e y A +y B ．二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P 在双曲线上时的焦半径公式，(其中F 1 为左焦点，F 2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a 是实半轴长，e 是离心率，x 0是P 点的横坐标.当焦点在x 轴，P 在左支时：PF 1=-(ex 0+a ),PF 2=-(ex 0-a ).当焦点在x 轴，P 在右支时：PF 1=ex 0+a ,PF 2=ex 0-a .当焦点在y 轴:P 在上支时：PF 1=ey 0+a ,PF 2=ey 0-a当焦点在y轴:P在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：(1)双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e x A+x B-2a=2ab21+k2a2k2-b2；异支弦AB=2a-e x A+x B=2ab21+k2b2-a2k2，统一为：AB=e x A+x B-2a =2ab21+k2a2k2-b2；(2)双曲线y2a2-x2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e y A+y B-2a；异支弦AB=2a-e y A+y B，统一为：AB=e y A+y B-2a．1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A , B两点，求AB．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x22+y21=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F1的直线交椭圆于A，B两点，求AB．2(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B两点的横坐标之和是-7，求AB．3(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：(1)抛物线y2=2px p>0的焦点弦长公式：AB=p+x A+x B；(2)抛物线y2=-2px p>0的焦点弦长公式：AB=p-x A+x B；(3)抛物线x2=2py p>0的焦点弦长公式：AB=p+y A+y B；(4)抛物线x2=-2py p>0的焦点弦长公式：AB=p-y A+y B．1(2021·河北·高三专题练习)过抛物线y2=2px p>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=.【变式训练】1(2023·北京·人大附中校考三模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则p=．2(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，则过点F且斜率为3的直线l截抛物线C所得弦长为()A.223B.163C.193D.833题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．【变式训练】1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过F 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆相交于不同两点A ,B ，已知AF =2FB．(1)求椭圆的离心率；(2)若|AB |=154，求椭圆方程．4(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.322(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为433，过左焦点F 且斜率为k >0的直线交C 的两支于A ,B 两点．若|FA |=3|FB |，则k =．3(多选)(2022·辽宁沈阳·统考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线与双曲线右支交于P ，Q 两点，且PF 1 =2PF 2 ，下列说法正确的是()A.PF 2 与双曲线的实轴长相等B.e ∈1,3C.若P 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y =±4xD.若PF 1 =QF 2 ，则直线PQ 的斜率为±424(2021·四川成都·石室中学校考三模)已知直线经过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 并交抛物线于A ，B 两点，则AF =4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB =2BF，则p =.5(2020·全国·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (3,1)，且左、右顶点分别为A 1,A 2，左焦点为F 1，上、下两个顶点分别为B 1,B 2,0为坐标原点，△A 1B 1F 1与△OA 2B 2面积的比值为3-63．(1)求C 的标准方程；(2)过F 1且斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，点D 在y 轴上，且满足PD =QD ，已知E (0,-2)，求△EPQ 与△A 2OD 面积比值的最小值．6(2021·江西新余·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2,F 1(-1,0),F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为α∈0,π2的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，交圆O 于P ,Q 两点(如图所示)，当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程(2)若点M 是圆O 上一点，求当AF 2,BF 2,AB 成等差数列时，△MPQ 面积的最大值．7(2020·安徽蚌埠·统考一模)已知M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，且F 1F 2 =2，∠F 1MF 2=π3，△F 1MF 2的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆C 右焦点F 2，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ (O 为坐标原点)交椭圆于P ，记△AOQ 的面积为S 1，△BPQ 的面积为S 2，若S 2=3S 1，求直线l 的方程．8(2010·全国·高考真题)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D ，且BF =2FD，则C 的离心率为9(2010·全国·高考真题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF =3FB，则k =()A.1B.2C.3D.210(2009·全国·高考真题)已知双曲线C :χ2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.65B.75C.85D.9511(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O 为坐标原点，直线y =-3x -1 过抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()．A.p =2B.MN =83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形。
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课题：探究抛物线中的焦点弦问题
【学习目标】：
探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法.
【问题探究】：
抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.
问题一：已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB
问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'
',A B 为,A B 在准线上的射影， 则'
'
?A FB ∠= （3）：'
'
90A FB ∠=
（4）：以Q 为圆心，以''
A B 为直径的圆切AB 于F 点
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
B´
A´
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
F´B´
A´Q
问题三、已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线
交抛物线于,A B 两点，''
,A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？
（5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠
=
问题四、已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：22
121
2,4
p x x yy p ==-
问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线
交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11
?AF BF
+= （8）：112A F B F p
+=
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
B´
A´Q
P
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
例1、过抛物线2
4y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果
126x x +=，那么AB =
变式：过抛物线2
4y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是
例2、直线l 经过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'
'
,AA BB ，垂足分别为'
'
,A B ，如果''A B a =，Q 为''
A B 的中点， 则QF = （用a 表示）
变式：直线l 经过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'
'
,AA BB ，垂足分别为'
'
,A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''
A B 的中点， 则QF = （用,a b 表示）
例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线2
4y x =于,A B 两点，则OA OB ⋅=
例4、过抛物线2
2
(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则
11
p q
+=
小结：
（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个 直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形 的运用；
（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
B´
A´。